电网络理论
Electric Network Theory
课程主要内容概述
一、 基本概念
1. 矩阵代数初步
在电网络分析中要出现代数的或者微分的线性方程组，当这些方程组包含着许多个方程式时，单单是编写它们和使它们具体化非常的麻烦。矩阵表示法乃是编写这些方程组的一种简便方法；而且矩阵表示法还能简化这些方程的运算和它们的求解。
在这一节中，复习了矩阵的基本性质和矩阵代数。如：矩阵的概念，矩阵的基本运算（矩阵的乘法、微分、积分、转置、共轭、共轭转置），矩阵的类型（对称矩阵和斜对称矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵），矩阵的逆，行列式及其基本运算等主要内容。 2 网络分类
电路的特性在很大程度上决定于电路元件的特性，同时也决定于电路元件的相互连接方式。
2.1线性和非线性
在电路理论中，电路的线性和非线性有两种定义，一是根据电路元件的特性来定义，二是根据输入输出关系来定义，后者称为端口型定义。
若电路的线性无源元件（具有任意的初始条件）、线性受控源及独立电源组成，则称为线性电路。若电路含有一个或几个非线性元件，则称为非线性电路。
研究电路（或网络）的输入输出关系时，则可根据端口变量之间的关系来定义电路的线性性质，这样的定义称为端口型线性定义。
假设多端口网络的输入U 为M 维向量，输出Y 为N 维向量。当任一端口的电压和电流服从该端口限定的约束时，称此端口的电压和电流为一对允许的信号。
若一网络的输入输出关系由微分积分方程组N （U ，Y ）=0给出，当该网络的输入输出关系既存在齐次性又存在可加性，则称为端口型线性网络。当网络的输入输出关系不同时存在齐次性与可加性，则称为端口型非线性网络。这一关系意味着端口型线性网络的输入输出微分积分关系式满足叠加原理。
2.2 时变和时不变
一个不含时变元件的电路称为时不变电路，否则称为时变电路。
关于N 端口的时变和时不变性质，“按端口”的时变和时不变根据以下定义来考虑。设对一个N 端口的激励和响应有：
U (t )→Y (t )，?(t )→?(t )
如果对所有t 0，当?(t )= U (t - t 0)时，有?(t )= Y (t - t 0)，则称此N 端口为“按端口时不变”网络。由时不变元件构成的N 端口且初始条件均为零值，将是按端口时不变的。在特殊情况下，由时变元件构成的N 端口有可能是按端口时不变的。
2.3 无源性和有源性 对于图1所示一端口N ，输入该网络的功率 P (t ) = v (t )i (t ) 从任何初始时刻 t 0到t ，该网络的总能量 W (t ) = W (t 0) +∫v (τ)i (τ)d τ
式中W (t 0)为在初始时刻t 0时该一端口储存的能量。 若对所有t 0以及所有时间t ≥t 0，有W (t ) ≥0（对于任何v (t )，i (t ) ）
则此一端口为无源的。如果一端口不是无源的，它就是有源的。就是说，当且仅当对某个激励和某一初始时间t0以及某一时间t≥t0，有W(t) <0，则此一端口就是有源的。
在以上有关无源性的定义中必须计及初始储存能量W(t0)。假设一端口在t = -∞时无任何储存能量，则无源性可按下式定义
W(t) = W(t0) +∫v(τ)i(τ)dτ≥0（对于任何v(t)，i(t) ）
以上有关无源性的定义可以推广到N端口。如果全部端口的电压、电流允许信号对是真实的，且对所有t，输入端口的总能量为非负的，则此N端口为无源的。如果对某些允许信号对，且对某些t>-∞，输入端口的总能量为负的，则此N端口为有源的。
以上有关无源性和有源性主要针对线性电路而言的。非线性电路的无源性和有源性的定义较为复杂。
2.4 连续时间系统和离散时间系统
连续时间信号的独立变量(t)是连续的，所以这种信号对独立变量的连续值都有意义。离散时间信号则仅对离散时间有意义。所以这种信号的独立变量取离散值。如果系统的输入是连续时间信号，输出也是连续时间信号，则称该系统为连续时间系统。值得注意的是并不要求连续时间系统的输入输出信号都是连续函数。
如果系统的输入和输出都是离散时间信号，则称该系统为离散时间系统。连续时间系统通常用微分方程描述，而离散时间系统则常用差分方程描述。
3 网络部件
电路元件主要有电阻元件、电容元件和电感元件。线性（正）电阻元件、电容元件和电感元件均为无源元件。线性负电阻、负电容和电感是有源元件。
2.网络部件
在网络模型中，假设存在由它们的电压和电流之间的关系来定义的某些元件。三种节本元件是电阻器、电感器和电容器。由三种基本的元件可以组成多种网络部件，如变压器、回转器、电源等。
二、图论与网络方程式
1.线图
网络的拓扑性质与构成支路的部件的类型无关。所以用一个简单的线段来表示每个网络元件是合适的，从而就不必去管特定的部件。这样所得到的结构是由被线段互相连接起来的一些节点构成的。线路理论所研究的正是这种结构。
在这节中介绍了线图及其相关概念。如：线图，节点，支路，关联，定向图，子图，路径，连通与不连通，回路，树，树支，余树，关联矩阵，回路矩阵，A和B的子矩阵之间的关系，割集和割集矩阵，平面图等。
2.电网络的基本定律
广义的说，一个电网络是由两个或者更多个元件或者支路的相互连接组成的；这些支路可以是由网络部件构成的，或者由其他更一般的（非线性、时变的等等）部件构成的。每个支路都有一个电压变量和一个电流变量；这些变量是有特定的关系彼此联系起来的。
本节介绍了基尔霍夫电流定律，基尔霍夫电压定律，支路关系。
3.回路、节点及节偶方程式
根据基尔霍夫电流定律（KCL），基尔霍夫电压定律（KVL）以及支路电压-电流关系。对于含有b个支路和n+1个节点的网络，有n个独立的KＣL方程式和b-n个独立的KVL 方程式，总共是b个方程式。还有b个支路v-i关系，同其他b个独立方程式结合在一起，足以求解2b个支路变量，即b个电流和b个电压。但是，求解2b个联立方程式是一件很繁重的工作；所以为了减少工作量而可以做到的任何事情都是有益的。
在这节中，对网络问题分析的若干方法，利用三种基本关系对网络求解分析。包括回
路方程式，节点方程式，节偶方程式。
4.对偶性
在回路方程组和节点方程组之间有惊人的相似。这个观察引起了有趣的问题，即能否找到两个网络以使一个网络的回路方程式和另一个网络的节点方程式除了符号之外其他都相同呢？如果整个的互换符号v和i，就能够把一个网络的回路方程式变成另一个网络的节点方程式吗？注意到当把支路关系代入到KVL中去，然后在利用KCL便得到回路方程式。另一方面，当颠倒这个顺序，就是：把支路关系代入到KCL中去，然后在利用KVL 时，就得到节点方程式。在此基础上，上述问题得到肯定回答。回路方程与节点方程组成对偶，与其相对应的网络是对偶网络。
5.非互易和有源网络
回路方程式和节点方程式的系数矩阵分别为BZB’和AYA’。于是，用这种一般形式来进行回路分析或节点分析能否成功，就要看支路阻抗矩阵Z或支路导纳矩阵Y是否存在了，对于迄今所处理的无源、互易网络，这两种矩阵都存在。对于完全耦合的变压器，这种说法必须加以斟酌，此时Y并不存在。因此，本节讨论了非互易和有源网络。
6.混合变量方程式
对于含有多端元件的网络，对于某些类型的元件，要编写回路或者节点方程式会遇到一定的困难。编写回路或节点方程式能否成功，取决于支路关系的阻抗或导纳表示是否存在。当一个多端器件没有这种表示法时，为了编写所要求的方程式，可以预先实行某种支路处理和合并。本节在遵循树支电压形成电压的一个集合，根据树支电压就可以表示出全部支路电压；连支电流形成电流的一个基底集合，根据连支电流就可以表示出全部支路电流的原则讨论了混合变量方程式。
7.网络复杂程度的阶数
在一个网络里，独立的基尔霍夫电流定律方程式和独立的基尔霍夫电压定律方程式的数目取决于网络的图，而与支路无关。这对于独立的节点电压变量数目和独立的回路电流变量数目同样是正确的。如果支路全是电阻器或者有一些是电容器或电感器，也不会影响这些独立方程式的数目。但是在一个全电阻器的网络中，回路或节点方程式应该是代数的，因为不具有对时间的微分，是静态的。另一方面，当出现电容器或者电感器时，方程式是动态的。这就提出了一个关于网络有多少个动态独立变量的问题，也就提出了网络的复杂程度的阶数概念。
一个网络的复杂程度的阶数等于网络的可以指定的独立的初始条件的数目。它等于网络方程的通解中所出现的待定常数的数目。
8.编写网络状态方程式的基本考虑
在讨论了电网络的回路电流、节点电压和混合变量的表示法之后，本节讨论了状态方程式。基本方程仍然是KCL、KVL和v-i关系。编写网络状态方程式的基本考虑基于以下几点：
（1）最后的方程不含积分。
（2）最后的方程是一阶微分方程。
（3）在网络中，电容器电压和电流两个变量中，可以独立指定的是电容器电压的初始值——具有全电容器回路情况除外。同样，对于电感器来说，可以独立指定
的是电感器电流的初始值——具有全电感器割集情况除外。
（4）在最后的变量中包含电容器电压，尽可能的把电容器置于一个树中，同样，在最后的变量中包含电感器电流，尽可能的把电感器置于余树中。
（5）我们所研究的网络假定没有全独立电流源割集和全独立电压源回路。
9.状态方程式的系统编写
基于以下几方面对状态方程式进行编写：
（1）拓扑学考虑。
（2）消去不需要的变量。
同时考虑了非时变网络，RLC网络，处理受控源考虑情况下的状态方程式的系统编写。
三、网络函数
1.策动点函数和传递函数
将网络函数这一通用术语定义为响应变换与激励变换的比。响应与激励二者都可以是电压也可以是电流。如果响应和激励是属于相同的端子（必须一个是电压，另一个是电流），则此函数称为策动点函数，它或是策动点阻抗或是策动点导纳。如果响应和激励是属于不同的端子，则此函数便称为传递函数。
本节详细叙述了策动点函数与传递函数。
2.二端口网络及其互联
二端口常用作传输网络，端口之一——通常标记为1的端口——称为输入端口；另一个标记为2的端口称为输出端口。端口变量是两个端口电流和两个端口电压。本节介绍了二端口网络的开路与短路参数，混合参数，链式参数的计算，以及传输零点。
某种复杂的二端口网络，它能看作由简单的二端口网络用某些方法将端口互相连接而构成，通常有几种连接方法：级联，并联和串联。
3.多端口网络
将二端口网络推广，形成多端口网络，有关二端口网络的相关概念多端口网络也适用。
4.不定导纳矩阵、不定阻抗矩阵和网络函数的拓扑公式
网络的端子以成对的形式与外部连接时，对网络端口的描述可用不定导纳矩阵和不定阻抗矩阵。本节推导了两个矩阵的形式与其具有的性质特征。利用两种矩阵推导出网络函数的拓扑公式。
四、网络函数的表示法
本章讨论网络函数的表示法并研究作为解析复变函数的网络函数的性质。重点对网络函数普遍适用的性质进行介绍。
1.极点、零点和固有频率的概念
2.最小相位函数
把左半平面上没有零点的函数定义为最小相位传递函数。
3.最小相位网络与非最小相位网络
一个支路间没有相互耦合的，无源、互易的梯形网络，其传递函数是最小相位的。4.由幅值确定网络函数，由给定的角度计算网络函数以及由给定的实部计算网络函数
本节介绍了三种确定网络函数的方法，由幅值确定网络函数，由给定的角度计算网络函数以及由给定的实部计算网络函数。
5.实部与虚部间的积分关系
前面讨论了函数的一个分量给定为有理函数时，几种确定作为s的有理函数的网络函数的代数方法。这里“函数的一个分量”是指下列量之一：实部、虚部、角度或幅值。这些方法的一个缺点是所给定的分量必须是一种可实现的有理形式。在开始求网络函数之前，先要找出一个可实现的有理函数来逼近所给定的函数，再从它求出其它分量中的任何一个。本节重点介绍实部与虚部间的积分关系。
6.频率响应与时间响应的关系
以前所涉及到的是网络函数的频率特性以及在频域内网络函数各分量之间的关系式。因为网络函数是响应函数与激励函数的拉普拉斯变换之比。本节主要考虑在网络函数的分
量与时间响应之间存在的关系。
五、信流图与反馈
至此，我们所提出的线性网络的模型包括许多部件：电阻器、电容器、回转器、变压器等。网络模型的每一个部件都是用一个参数和一个图示的符号来表示其特性。然而，每个电压—电流关系都规定一种数学运算。因此，可以不把注意力集中在参数上面，而强调这种数学运算以及对之进行这种数学运算的信号。可用一种运算符号来表示这种数学运算；并且，可将这些运算符号连接成一种运算图。分析这种运算图将提供确定网络传递函数的另一种方法。信流图正是这样的一种运算图。信流图的分析方法对无论是无源的还是有源的，互易的或者是非互易的网络都适用。而且，对于有源非互易网络是非常重要的。本章涉及到信流图、反馈、稳定性的一些概念。
六、非线性电阻电路
当电路中含有非线性元件时，该电路被称为非线性电路。本节对非线性电阻电路加以分析讨论。由于存在非线性电阻元件，所以以往在线性电路中的一些分析方法、定理不再适用，但基尔霍夫电流定律，电压定律在非线性电阻电路中仍然成立。本章主要介绍几种非线性电阻电路的常用分析方法，如图解法、分段线性化法和小信号分析法等。
七、非线性动态电路V olterra级数分析与非线性动态电路的多重拉氏变换
两章介绍了非线性动态电路的两种分析方法，即非线性动态电路Volterra级数分析与非线性动态电路的多重拉氏变换。
结束语
《电路网络理论》这门课程详细阐明了现代电网络理论的一些重要论题，比较全面的讨论了线性非时变网络，也介绍了时变和非线性网络。使笔者对系统内部成分和系统特性、网络的频率响应和时间响应、网络分析和网络综合理论得以全面的认识。通过本课程的系统学习，为打好理论基础，掌握基本分析方法，掌握更专业化、更深入的网络系统分析和综合方法奠定了基础。