欧拉方程的求解
1.引言
在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.
几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”L L 欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位L L
以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.
在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.
但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方
程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.
2.几类欧拉方程的求解
定义1 形状为
()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++=L （1）
的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ，L ，1n a -，n a 为常数）
2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）
二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数）
我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、
1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂
函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得
212()0K K K K K x a Kx a x -++=
或
212[(1)]0K K a K a x +-+=,
消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）
定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）
的特征方程.
由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.
于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论： 定理1 方程（2）的通解为
(i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）
（其中1c 、2c 为任意常数）
证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则
1
1K x y =是方程（2）的解,
且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于
2
1
()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,
约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得
22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.
由于1K 是特征方程（3）的二重根， 因此
21112(1)0K a K a +-+=
或
112(1)0K a +-=,
于是，得
20x u ux '''+=
或
0xu u '''+=,
即 ()0xu ''=, 故 12()ln u x c x c =+. 不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解
12ln K y x x =,
所以，方程（2）的通解为
1112ln K K y c x c x x =+.
（其中1c ，2c 为任意常数）
（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根: 12K K ≠，则
1
1K x y =，2
2K y x =是方程（2）的解.
又2
211()21K K K K y x x y x -==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为
1
2
12K K x c x y c +=.
（其中1c ，2c 为任意常数）
（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则
()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解，
利用欧拉公式，有
()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+， ()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,
显然，
12
cos(ln )2
y y x x αβ+=
和
12
sin(ln )2y y x x i
αβ-=
是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为
12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.
（其中1c ，2c 为任意常数）
例1求方程20x y xy y '''-+=的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为
(1)10K K K --+=，
即 2(1)0K -=, 其根为： 121K K ==,
所以原方程的通解为
12(ln )y c c x x =+.
（其中1c ，2c 为任意常数）
例2 求方程280x y xy y '''--=的通解.
解 该欧拉方程的特征方程为
2(11)80K K +---=，
即 2280K K --=, 其根为： 12K =-，24K =， 所以原方程的通解为
4
122
c y c x x
=
+. （其中1c ，2c 为任意常数）
例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=. 解 该欧拉方程的特征方程为
(1)350K K K -++=，
即 2250K K ++=, 其根为： 1,212K i =-±, 所以原方程的通解为
121
[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x
=+.
（其中1c ，2c 为任意常数）
2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）
二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''. （4）
（其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）
为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设
1121a K K =--，212a K K =, （5）
则方程（4）变为
212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，
即
212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''', （6）
根据韦达定理，由（5）式可知，1K ，2K 是一元二次代数方程
212(1)0K a K a +-+= （3） 的两个根.
具体求解方法：
定理2 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为 212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=??. （7）
证明 因为1K ，2K 为方程（2）的两个特征根， 于是方程（4）等价于方程（6），
令 2xy K y p '-=, 代入方程（6）并整理，得
1()
K f x p x x
p =
-
' 和
2K p y y x x
'-
=, 解之，得方程（4）的通解为
212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=??.
由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.
定理3 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则
（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为
1
1
1
11[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----?=??,
（ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为
11221112
1
[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=
??,
（iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为
111
[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ
----=
-??
证明 （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时， 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得
2
1
2
1
2112
2121211211112
1
12
12
112111
[()]1
[()]1{[()]}1[]
()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dx
x x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=
-==
=--???????
??
（8） （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，122K K i β-=， 再由欧拉公式有
1
ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+,
2
ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-,
将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为
111
[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]
x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ
-----=
??（i ）的证明和（ii ）类似.
例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解.
解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=，
特征根为 122K K ==, 所以由定理3，原方程的通解为
23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]
1
11{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}2
32
11
ln [(ln )(ln )]
62
x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-?+++-+-+++===??
（其中1c ，2c 为任意常数）
例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为
2320K K -+=，
特征根为 12K =，21K =， 所以由定理3，原方程的通解为
23323212212()()x x x x x x
x x e dx x x x e dx
x e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=??
（其中1c ，2c 为任意常数）
例3求方程2cos(ln )
2x
x x y xy y -+=
'''的通解.
解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为
2220k k -+=，
特征根为 1,21K i =±,
所以由定理3，原方程的通解为
212122cos(ln )
]
cos(ln )cos(ln )
11sin(ln )
cos(ln )cos(ln )
)sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}
[][sin(ln )ln x x
x x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++????
cos(ln )ln(cos(ln ))]
x x
（其中1c ，2c 为任意常数）
在定理3中，若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.
推论 方程（2）的通解为
(i)1112ln K K x c x x y c +=, （12K K =是方程（2）的相等的实特征根） (ii)1212K K x c x y c +=, （12K K ≠是方程（2）的不等的实特征根） (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根）
（其中1c ，2c 为任意常数）
2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）
三阶非齐次欧拉方程：32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''. （9）
（其中1a ，2a ，3a 为常数）
（9）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. （10） 特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=. （11）
定理4 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程
22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=
的根，则（9）的通解为
1
2
2
1
1
2
1
1
(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=??? .
（12） 证明 根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解. 设1()K y c x x =是方程（9）的解（其中()c x 是待定的未知数）， 将其代入方程（9），整理得
1121111112(3)
3
23
1
11
1213()(3)()[3(1)2]()
[(3)(2)]()()
K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x x
f x ---+-''''''+++-++++-+-++= （13）
因为1K 是（11）的根，则
321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,
于是（13）式化为
1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=（14）
这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程. 设2K 为（14）对应的齐次方程的特征方程
21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, （15）
的根，则
221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=??.
从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=???. 故方程（1）的通解为
1
2
2
1
1
2
1
1
(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=???.
定理5 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程（15）的根，则
（i ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根，则（9）的通解为
1
212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-???（ii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为
1
11(2)
(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x x
x f x dx x x x f x dx dx
y x
α
ααβββββ-++-++-=???
（其中11132K a α--=
，β= (iii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的重实根，则（9）的通解为
1
2
1
2
1
2
(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-?=???,
（iv ）当1K 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为2210K K ++=，有
21K =-，则（9）的通解为
111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-????.
证明 （i ）因为2K 是方程（15）的单实根，得（14）的通解为
212121121(2)1(3)(2)31211
[()()]
(32)1
()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-=
'??则（9）的通解为
1212121121(2)1(3)(2)3
121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-???（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根
1,2
2K =
得（14）的通解为
11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]
()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x α
ααβββββ
-++-++-=
'??则（9）的通解为
1
11(2)
(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x x
x f x dx x x x f x dx dx
y x
α
ααβββββ-++-++-=???（其中11132K a α--=
，β= （iii ）因为2K 是方程（15）的重实根，得（9）的通解为
1
2
1
2
1
2
(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-?=???.
（iv ）当1K 是方程（10）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为
222210K K ++=，有21K =-，将1133a K =-，21K =-代入（12）式得
11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=??,
对上式分部积分得（9）的通解为
1
1
1
(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-?-?=???.
例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解. 解 原方程对应的齐次方程为
323660x y x y xy y -+-='''''',
其特征方程为
3261160K K K -+-=，
解得其特征根为1，2，3，
取 11K =， 将11K =，13a =-，26a =，代入方程（15），得
2220K K -=,
解得
21K =或0，
利用定理5（i ）的通解公式有
323212311
[]ln 22
y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=
+++???. （其中1c ，2c ，3c 为任意常数）
例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解. 解 原方程对应的齐次方程为
32413130x y x y xy y ''''''-+-=,
其特征方程为
21613()()0K K K -+-=，
从而解得特征单实根为
11K =，
将11K =，14a =-，213a =代入方程（15），得到
222250K K -+=，
解得 1,2212i K =±. 令212i K =+，则1α=，2β=， 利用定理5（ii ）的通解公式有
33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}2
11
ln [sin(2ln )cos(2ln )]816
x
x x x dx x x x dx dx
x x c x c x c x y x ---=
+-+=???
（其中1c ，2c ，3c 为任意常数）
2.4 n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）
令K y x =是方程（1）的解，将其求导（需要求出y '、y ''L (1)n y -、()n y ）
代入方程（1），并消去K x ，得
1(1)(1)(1)(1)(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++++=L L L . (16）
定义3 以K 为未知数的一元n 次方程（16）称为n 阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.
由此可见，如果选取k 是特征方程（16）的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：
定理6 方程（1）的通解为
112211n n n n y c y c y c y c y --=++++L
（其中1c ，2c L 1n c -，n c 为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：
例1 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为
(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,
整理，得
2(22)0K K K ++=，
其根为
120K K ==，3,41K i =-±，
所以原方程的通解为
3412ln cos(ln )sin(ln )c c
y c c x x x x x
=++
+. （其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）
例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为
(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，
整理，得
410K +=，
其根为
1,2K i =-，3,4K i =（即一对二重共轭复根），
所以原方程的通解为
1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.
（其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）
3.结束语
从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >围对齐次欧拉方程求解的，如果要在0x <围对其求解，则文中的所有ln x 都将变为ln()x -，所得的结果和0x >围的结果相似.
4.致
经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.
首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础. 其次，自己要有严谨的思维逻辑.
再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.
最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，
而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.
在这里首先要感我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！
5、参考文献
欧拉方程的求解 1.引言 在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）. 几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数” 欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示 圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位 以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”. 在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解. 但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明. 2.几类欧拉方程的求解 定义1 形状为 ()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++= （1） 的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ， ，1n a -，n a 为常数）
2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解） 二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数） 我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ） ，且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得 212()0K K K K K x a Kx a x -++= 或 212[(1)]0K K a K a x +-+=, 消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3） 定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程. 由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解. 于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论： 定理1 方程（2）的通解为 (i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根） （其中1c 、2c 为任意常数）
本科生毕业论文 论文题目：图解刚体力学——欧拉运动学方程 学生姓名：罗加宽 学号： 2008021152 专业名称：物理学 论文提交日期： 2012年05月17日 申请学位级别：理学学士 论文评审等级： 指导教师姓名：陈洛恩 职称：教授 工作单位：玉溪师范学院 学位授予单位：玉溪师范学院 玉溪师范学院理学院物理系 2012年05月
图解刚体力学—欧拉运动学方程 罗加宽 （玉溪师范学院理学院物理系 08级物理1班云南玉溪 653100） 指导教师：陈洛恩、杨春艳 摘要：本文阐述了描述刚体定点转动的欧拉角及欧拉运动学方程的图解，以期让复杂的问题转 化得简单清晰而易于学习者的理解，抽象的概念变得直观具体而易于学习者的掌握；并能在一 定程度上对提高学习者的空间思维能力、引导和培养学习者的创新思维能力有一定的帮助。 关键字：图解；刚体；欧拉角；欧拉运动学方程 1.引言 理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学；依照牛顿的说法，理论力学“是关于力产生的运动和产生任何运动的力的理论，是精确的论述和证明” [1]。理论力学作为使用数学方法的自然知识的一部分，不仅研究实际物体，而且研究其模型—质点、质点系、刚体和连续介质。从研究次序来看，通常先研究描述机械运动现象的运动学，然后再进一步研究机械运动应当遵循哪些规律的动力学。至于研究平衡问题的静力学，对理科来讲可以作为动力学的一部分来处理，但在工程技术上，静力学却是十分的重要，因此，常把它和动力学分开，自成一个系统[2]。本文图解的内容为刚体力学运动学问题之一的刚体的绕定点的转动。 “图解”的方法,较早见于上海科学技术出版社1988年翻译出版的《图解量子力学》，原书名为The Picture Book of Quantum Mechanics，由Springer-Verlag 出版；类似的书还有Springer-Verlag出版的Visual Quantum Mechanics。其特点是通过将理论物理与数值计算相结合实现可视化来讲解物理知识。国外对物理的可视化教学十分重视，早在1995-1996年间Wiley出版社出版了9本有关物理多媒体教学的丛书,是由大学高等物理软件联盟(The Consortium for Upper-Level Physics Software，CUPS)编写该丛书及其所用的教学软件[3]。如今，图解法已经广泛应用于力学、电磁学、模拟电子技术等方面，理论力学方面同样也有不少人已经采用了图解法。如赵宗杰使用3dsmax建立质点外弹道运动规律的虚拟模型和场景[4]；乐山师范学院王峰等利用Matlab分别对质点受力仅为位置、速度或时间的函数进行了图解，并说明了Matlab在理论力学中的应用[5]；阜阳师范学院孙美娟、韩修林利用Mathematica进行编程作出了落体的位移—时间图像[6]。通过图解，使很多抽象繁难的物理问题在解析时达到空间立体直观，概念形成清晰，逻辑链路晓畅明朗，数式转换准确易见。 理论力学因理论性较强，与高等数学联系密切，一些概念的形成、公式的推导、逻辑推理等较抽象、繁难、复杂，往往使教授者感到教学很难达到预期的效果，学
关于欧拉方程的理解 1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。 形如：)(1)1(11)(x f y x p y x p y x n n n n n ='+++--- (1) 的方程称为欧拉方程, 其中n p p p ,,,21 为常数。 欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。 现阶段欧拉方程的应用领域很广，现只结合流体力学来探讨我对于欧拉方程的理解。 欧拉方程提出采用了连续介质的概念，把静力学中压力的概念推广到了运动流体中。 流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。 流体静压强的特性 1静压强的方向—沿作用面的内法线方向 2任一点的流体静压强的大小与作用面的方向无关，只与该点的位置有关
由上图可以推到出流体平衡微分方程式，即欧拉平衡方程 x y z p f x p f y p f z ρρρ??=?????=?????=??? 当流体处于平衡状态时，单位体积质量力在某一轴向上的分力，与压强沿该轴的递增率相平衡。 这里的fx 、fy 、fz 是流体质量力在x 、y 、z 轴上的投影，且质量力中包含以下两项：重力和惯性力。在这里如果假定fx 、fy 、fz 仅仅是重力在三个坐标轴上的投影，那么惯性力在x 、y 、z 轴上的投影分别为:-du/dt ，-dv/dt 和-dw/dt 。于是，上式便可写成 d d d d d d x y z u p f t x v p f t y w p f t z ρρρ????-= ???? ??????-=? ??? ??????-=? ??? ?? 上式整理后可得：
P77 31.利用改进欧拉方法计算下列初值问题，并画出近似解的草图：dy + =t = t y y ≤ ≤ ,2 ;5.0 0,3 )0( )1(= ,1 ? dt 代码： %改进欧拉法 function Euler(t0,y0,inv,h) n=round(inv(2)-inv(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1:n y1(i+1)=y(i)+h*fun(t(i),y(i)); t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+1/2*h*(fun(t(i),y(i))+ fun(t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') function y=fun(t,y); y=y+1; 调用：Euler(0,3,[0,2],0.5) 得到解析解：hold on; y=dsolve('Dy=y+1','(y(0)=3)','t'); ezplot(y,[0,2]) 图像：
dy y =t - t y ;2.0 t = ≤ )0( 0,5.0 ,4 )2(2= ≤ ? ,2 dt 代码： function Euler1(t0,y0,inv,h) n=round(inv(2)-inv(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1:n y1(i+1)=y(i)+h*fun(t(i),y(i)); t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+1/2*h*(fun(t(i),y(i))+ fun(t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') function y=fun(t,y); y=y^2-4*t; 调用： Euler1(0,0.5,[0,2],0.2) 图像：
泛函的欧拉方程(by zhengpin1390) (二)、泛函的欧拉方程 欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。 （1）最简单的欧拉方程： 设函数F(x,y,y') 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B 内，则对形如 的变分，若其满足以下条件： c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。 则函数y。(x) 满足微分方程： 上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。 （2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程 一般来说，对于下述泛函： 在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为： （3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程
对于下述泛函： 其欧拉方程组为： （4）多元函数的泛函及其欧拉方程 此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函： 其欧拉方程为： 泛函分析 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和 代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。 泛函分析的产生 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。 这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。 这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。
生物信息技术0801 徐聪U200812594 #include
关于欧拉方程变量代换后系数递推关系的一点总结 光信1104 李号 ) (0' 1) 1(1 1) (x f y a xy a y x a y x a n n n n n n =++++--- 程我们知道，对于欧拉方 不全为0 ,,,(32n a a a 可以通过变量代换x t e x t ln ==或化简。本文主要介绍如何用 低阶导数来表示高阶导数以及线性表示时的系数递推关系。 先用一个例子来说明我们要探讨的问题。 已知：' ''''2'3 3 22 ,,,,,,xy y x xy dt y d dt y d dt dy e x t 求=（此处均为对x 的导数）。 显然，由x dx dt x t e x t 1,ln = ==则可知 dt dy xy dt dy x dx dt dt dy dx dy y = ?? = ? = = ' ' 1 dt dy dt y d y x dt dy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x dt dy x dx d dx dy dx d dx y d y -=?-=??+?-=?=== 2 2 ' '22222222 2 ' ')(111)1()()1 1(1 )( 2)]( 1 [ )(2 2 3322 2 3 2 2 2 22 ' ''x dt y d x dt y d x dt dy dt y d x dt dy dt y d x dx d dx y d dx d y ?-?+-- =- = = dt dy dt y d dt y d y x dt dy dt y d dt y d x 2 3)23( 122 3 3 ' ''322 3 33+-= ?+-= 同理可求出dt dy dt y d dt y d dt y d y x 6 11 6 2 2 3 3 4 4 ) 4(4 -+-= 我们把系数提出，如下排列： n=1 1 n=2 1 -1 n=3 1 -3 2 n=4 1 -6 11 -6 为了方便讨论，我们作出以下两点规定： i) 用“m n B ”表示第n 排第m 列的数（显然m n ≥）； ii) !n -!n 1-)!1()!1() 1(n 1 ）（）即（=-=---n n n 由上文中的迭代求导不难得出下面三点规律： i) 11 =n B ； ii) 1 1)1(---=n n n n B n B ; iii) ()1)1(1 11+≥-+=---m n B n B B m n m n m n
欧拉方程的求解 1、引言 在数学研究领域,我们经常会瞧到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕、但就是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢？她就就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(Leonhard Euler,1707--1783)、 几乎在每一个数学领域都可以瞧到她的名字,譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”L L 欧拉还就是许多数学符号的发明者,例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求与、i 表示虚数单位L L 以欧拉命名的数学名词有很多,本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”、 在文献[1]中,关于欧拉方程的求解通常采用的就是变量变换的方法、变量变换法就就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程,然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解,亦即求其形如K y x =的解,进而求得欧拉方程的解、 但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难、本文在所学的欧拉方程的求解的基础上,对欧拉方程进行了简单的分类,并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理、最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明、 2、几类欧拉方程的求解 定义1 形状为 ()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++=L (1) 的方程称为欧拉方程、 (其中1a ,2a ,L ,1n a -,n a 为常数)
2、1二阶齐次欧拉方程的求解(求形如K y x =的解) 二阶齐次欧拉方程: 2120x y a xy a y '''++=、 (2) (其中1a ,2a 为已知常数) 我们注意到,方程(2)的左边y ''、y '与y 的系数都就是幂函数(分别就是 2x 、1a x 与02a x ),且其次依次降低一次、 所以根据幂函数求导的性质,我们用幂函数K y x =来尝试,瞧能否选取适当的常数K ,使得K y x =满足方程(2)、 对K y x =求一、二阶导数,并带入方程(2),得 212()0K K K K K x a Kx a x -++= 或 212[(1)]0K K a K a x +-+=, 消去K x ,有 212(1)0K a K a +-+=、 (3) 定义 2 以K 为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程(2)的特征方程、 由此可见,只要常数K 满足特征方程(3),则幂函数K y x =就就是方程(2)的解、 于就是,对于方程(2)的通解,我们有如下结论: 定理1 方程(2)的通解为 (i) 1112ln K K y c x c x x =+, (12K K =就是方程(3)的相等的实根) (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠就是方程(3)的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=、(1,2K i αβ=±就是方程(3)的一对
第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1．欧拉法、改进欧拉法. 2．龙格-库塔法。 3．单步法的收敛性与稳定性。 重点、难点 一、微分方程的数值解法 在工程技术或自然科学中，我们会遇到的许多微分方程的问题，而我们只能对其中具有较简单形式的微分方程才能够求出它们的精确解。对于大量的微分方程问题我们需要考虑求它们的满足一定精度要求的近似解的方法，称为微分方程的数值解法。本章我们主要 讨论常微分方程初值问题?????==00 )() ,(y x y y x f dx dy 的数值解法。 数值解法的基本思想是：在常微分方程初值问题解的存在区间[a,b]内，取n+1个节点a=x 0＜x 1＜…＜x N =b （其中差h n = x n –x n-1称为步长，一般取h 为常数，即等步长），在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题，再求出这些点的上的差分方程值作为相应的微分方程的近似值（满足精度要求）。 二、欧拉法与改进欧拉法 欧拉法与改进欧拉法是用数值积分方法对微分方程进行离散化的一种方法。 将常微分方程),(y x f y ='变为() *+=?++1 1))(,()()(n x n x n n dt t y t f x y x y 1．欧拉法（欧拉折线法） 欧拉法是求解常微分方程初值问题的一种最简单的数值解法。 欧拉法的基本思想：用左矩阵公式计算（＊）式右端积分，则得欧拉法的计算公式为：N a b h N n y x hf y y n n n n -= -=+=+)1,...,1,0(),(1 欧拉法局部截断误差 11121 )(2 ++++≤≤''=n n n n n x x y h R ξξ或简记为O （h 2）。
欧拉方程的求解 1. 引言 在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕. 但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉( Leonhard Euler,1707--1783 ) . 几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数” L L 欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用表示圆周率、e表示自然对数的底、f(x)表示函数、表示求和、i表示虚数单位L L 以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”. 在文献[1] 中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法. 变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如y x K的解，进而求得欧拉方程的解. 但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难. 本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理. 最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明. 2. 几类欧拉方程的求解 定义 1 形状为 n (n) n 1 ( n 1) n y(n)a1x n 1y(n 1)L a n 1xy a n y 0 (1) x 的方程称为欧拉方程. (其中a i, a2, L , a ni, a.为常数)
2.1 二阶齐次欧拉方程的求解（求形如 y x K 的解） 二阶齐次欧拉方程： x 2y a i xy a 2y 0. （ 其中 a 1, a 2 为已知常数） 我们注意到，方程（2）的左边y 、y 和y 的系数都是幕函数（分别是x 2 a i x 和a 2X °）,且其次依次降低一次.所以根据幕函数求导的性质，我们用幕 函数y x K 来尝试，看能否选取适当的常数 K ,使得y x K 满足方程（2）. x K 求一、二阶导数，并带入方程（2），得 由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幕函数y x K 就是方程（2） 共轭复根） （其中C i 、c 为任意常数） 证明(i )若特征方程(3)有两个相等的实根：? K 2，贝U 2） 消去 x K ，有 (K 2 [K 2 K 2 定义 2 以 K 为未知数的 的特征方程. K)X K (a 1 (a 1 KK a i Kx a 2 x 0 K i)K a 2]x K 0, 1)K a 2 0. 3) 元二次方程（ 3）称为二阶齐次欧拉方程（ 2） 的解. 于是，对于方程（ 2）的通解， 定理 i 方程（ 2）的通解为 y c i x Ki 我们有如下结论： (i) c 2X K1 ln X , （K i K 2是方程（3）的相等的实根） (ii) K 1 y c 1X 1 c2X K2 K i K 2是方程（3）的不等的实根） (iii) y c 1 X cos( ln X) c 2X sin( ln X). (K 1,2 i 是方程（ 3）的一对
利用MATLAB求解常微分方程数值解
目录 1. 内容简介 (1) 2. Euler Method(欧拉法)求解 (1) 2.1. 显式Euler法和隐式Euler法 (2) 2.2. 梯形公式和改进Euler法 (3) 2.3. Euler法实用性 (4) 3. Runge-Kutta Method(龙格库塔法)求解 (5) 3.1. Runge-Kutta基本原理 (5) 3.2. MATLAB中使用Runge-Kutta法的函数 (7) 4. 使用MATLAB求解常微分方程 (7) 4.1. 使用ode45函数求解非刚性常微分方程 (8) 4.2. 刚性常微分方程 (9) 5. 总结 (9) 参考文献 (11) 附录 (12) 1. 显式Euler法数值求解 (12) 2. 改进Euler法数值求解 (12) 3. 四阶四级Runge-Kutta法数值求解 (13) 4.使用ode45求解 (14)
1.内容简介 把《高等工程数学》看了一遍，增加对数学内容的了解，对其中数值解法比较感兴趣，这大概是因为在其它各方面的学习和研究中经常会遇到数值解法的问题。理解模型然后列出微分方程，却对着方程无从下手，无法得出精确结果实在是让人难受的一件事情。 实际问题中更多遇到的是利用数值法求解偏微分方程问题，但考虑到先从常微分方程下手更为简单有效率，所以本文只研究常微分方程的数值解法。把一个工程实际问题弄出精确结果远比弄清楚各种细枝末节更有意思，因此文章中不追求非常严格地证明，而是偏向如何利用工具实际求解出常微分方程的数值解，力求将课程上所学的知识真正地运用到实际方程的求解中去，在以后遇到微分方程的时候能够熟练运用MATLAB得到能够在工程上运用的结果。 文中求解过程中用到MATLAB进行数值求解，主要目的是弄清楚各个函数本质上是如何对常微分方程进行求解的，对各种方法进行MATLAB编程求解，并将求得的数值解与精确解对比，其中源程序在附录中。最后考察MATLAB中各个函数的适用范围，当遇到实际工程问题时能够正确地得到问题的数值解。 2.Euler Method(欧拉法)求解 Euler法求解常微分方程主要包括3种形式，即显式Euler法、隐式Euler法、梯形公式法，本节内容分别介绍这3种方法的具体内容，并在最后对3种方法精度进行对比，讨论Euler法的实用性。 本节考虑实际初值问题 使用解析法，对方程两边同乘以得到下式
1. Euler 公式 100(,)() i i i i y y hf x y y y x +=+??=? 实例： ，00(,),0,1,01f x y x y x y x =-==≤≤ 精确解为：1x y x e -=+- 程序代码： DIMENSION x(0:20),y(0:20),z(0:20),k(0:21) DOUBLE PRECISION x,y,z,k,h,x0,y0,z0,k0,n f(x,y)=x-y n=20 h=1/n x(0)=0 y(0)=0 DO i=0,n-1 y(i+1)=y(i)+f(x(i),y(i))*h x(i+1)=x(i)+h ENDDO k(0)=0 DO i=0,n z(i)=k(i)+exp(-k(i))-1 k(i+1)=k(i)+h END DO open(10,file='1.txt') WRITE(10,10) (x(i),y(i),z(i),i=0,20) WRITE(*,10) (x(i),y(i),z(i),i=0,20) 10 FORMAT(1x,f10.8,2x,f10.8,2x,f10.8/) END 输出结果： 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.05000000 0.00000000 0.00122942 0.10000000 0.00250000 0.00483742 0.15000000 0.00737500 0.01070798 0.20000000 0.01450625 0.01873075 0.25000000 0.02378094 0.02880078 ???=='00)(),(y x y y x f y ???=='0 0)(),(y x y y x f y
一类含对数函数的欧拉方程的解法 车茂林 (内江师范学院 数学与信息科学学院，四川 内江 641112)1 摘 要:利用变量代换,将一类含对数函数的欧拉方程转化成可求解的常系数非齐次微分方程,从而可以得到所讨论的方程的通解. 关键词:对数函数;欧拉方程;特殊解. 引言与引理说明 在文献[1] 中,论述了六类初等函数的基本形式.而且在解决某些问题时,通常用到如下的变量代换: t e x =,x t ln =,0>x 在文献[2] 中,讨论了常系数齐次线性微分方程 A x a dt dx a dt x d a dt x d a dt x d n n n n n n n n 01222111=+++++----- 与对应的常系数非齐次线性微分方程 B t f x a dt dx a dt x d a dt x d a dt x d n n n n n n n n )(1222111=+++++----- 的通解的求法问题.其中)(t f 满足下列两种形式: t m m m m k e b t b t b t b t t f λ)()(1110++++=-- t k e t t B t t A t t f βαα]sin )(cos )([)(+= )(t A ,)(t B 为带实系数的t 的多项式.且为次数为有限次. 由文献[3]中,有非齐次线性微分方程的叠加原理:设)(1t x ,)(2t x 分别是非齐次线性微分方程 )()()()()(11222111t f x t a dt dx t a dt x d t a dt x d t a dt x d n n n n n n n n =+++++----- , )()()()()(21222111t f x t a dt dx t a dt x d t a dt x d t a dt x d n n n n n n n n =+++++----- 的解，则)()(21t x t x +是方程 1 车茂林（1989-），男，汉，四川达州人，内江师范学院数学与信息科学学院本科生.
精心整理 欧拉方程的求解 1.引言 在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（LeonhardEuler,1707--1783）. 式”、i 表示形如2.2.1二阶齐次欧拉方程：2120x y a xy a y '''++=.（2） (其中1a ,2a 为已知常数） 我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）.
对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得 或 212[(1)]0K K a K a x +-+=, 消去K x ，有212(1)0K a K a +-+=.（3） 定义2以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程. 由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解. (i)y (ii)(iii)证明1x y =且设，2y 线约去由于1K 是特征方程（3）的二重根， 因此 或 112(1)0K a +-=, 于是，得 或 0xu u '''+=,
即()0xu ''=, 故12()ln u x c x c =+. 不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解 12ln K y x x =, 所以，方程（2）的通解为 1112ln K K y c x c x x =+. （ii 1x y =又21y y （iii 1x y =和 是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为 12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+. （其中1c ，2c 为任意常数） 例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.
常微分方程欧拉算法 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
常微分方程欧拉算法 摘要：本文主要论述了常微分方程的欧拉算法的算法原理，误差分析，实例，程序，以及算法比较等内容。 关键词：常微分方程 显式欧拉法 隐式欧拉法 引言：微分方程初值问题模型是常见的一类数学模型。对于一些简单而典型的微分方程模型，譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可资利用。但在数学建模中碰到的常微分方程初值问题模型，通常很难，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。因此，研究其数值方法，以便快速求得数值鳃有其重大意义。 一、欧拉算法原理 对于微分方程初值问题 的解在xy 平面上是一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。积分曲线上一点(),x y 的切线斜率等于函数f 在点(),x y 的值，从初始点()000,P x y 出发，向该点的切线方向推进到下一个点()111,P x y ，然后依次做下去，得到后面的未知点。一般地，若知道(),n n n P x y 依上述方法推进到点()111,n n n P x y +++，则两点的坐标关系为： 即 这种方法就是欧拉（Euler ）方法（也叫显式欧拉法或向前欧拉法）。当初值0y 已知，则n y 可以逐步算出 对微分方程()=x y dy f dx ，从n x 到1n x +积分，那么有 现在用左矩形公式()(),n n hf x y x 代替()()1 ,n n x x f t y t dt +?，n y 代替()n y x ，1n y +代替() 1n y x +就得到了欧拉方法。如果用右矩形公式()()11,n n hf x y x ++去代替右端积分，则得到另外一 个公式，该方法就称为隐式欧拉法（或后退欧拉法），其公式为 欧拉公式与隐式欧拉公式的区别在于欧拉公式是关于1n y +的一个直接计算公式，然而隐式欧拉公式右端含有1n y +，所以它实际上是关于1n y +的一个函数方程。 二、实例 例 取h=，用Euler 方法解
4.3 欧拉方程、非齐次高阶线性方程特解的待定系数方法 (How to Solve Euler equation, Use the method of undetermined coefficients to find particular solution to nonhomogeneous higher order Linear ODE) [教学内容] 1. 介绍欧拉方程及其解法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的待定系数求法. 3. 介绍非齐次线性方程特解的常数变易法. [教学重难点] 重点是知道欧拉方程的特征方程，并能获得原欧拉方程的基本解组；如何运用待定系数法或常数变易法求解非齐次线性方程的特解； 难点是如何由非齐次线性方程中 f(t)的形式合适选择特解的形式. [教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3 [考核目标] 1. 能写出欧拉方程的特征方程的形式 2. 能由欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组; 3. 知道待定系数法求解非齐次线性方程的特解； 4. 知道运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解. 1. 认识欧拉方程. (1) 称形如0qy px y''y'x 2 =++为欧拉等量纲方程（Euler ’s equi-dimensional equation ），其中p 和q 都是常数. (2) 解法：令自变量替换t e x =将原方程化为常系数方程： dt dy e (dx /dt)1dt dy dx dt dt dy dx dy t -=?=?=； dt dy dt dy xe dx dy x t ==-； )dx dt dt y d (e dt dy )dx dt e ()dt dy (e dx d dx y d 22t t t 22---+?-==； 2222 t 2t 2222 dt y d dt dy -)dx dt dt y d (e x dt dy )dx dt e (x dx y d x +=+?-=--； 因此，原方程化为0qy dt dy 1) (p dt y d 22=+-+，这是一个常系数线性微分方程. 令)x (y e y λ λt ==代入方程得到，方程为0q)1)λ(p (λe 2 t =+-+λ（或 0q p λ1)λ(λ=++-），称0q p λ1)λ(λ=++-为欧拉方程的特征方程. 由此得到新方程的基本解组为t λt λ21e ,e 或t λt λ11 te ,e ，或)sin(),cos(t e t e t t ββαα. 返回原变量得到欧拉方程的基本解组为2 1λλ x ,x 或1 1λλ x |x |ln ,x ，或 |)|ln sin(|),|ln cos(x x x x ββαα.
欧拉方程与纳维-斯托克斯方程 一发展历史 以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流；它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应的分析等等。 纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。 实际上，只有最简单的情况才能用上述方法解答，而它们的确切答案是已知的。这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。 虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。 二表达式 1纳维-斯托克斯方程
Euler法解常微分方程 Euler法解常微分方程算法： Step 1 分别取积分上限、积分下限、步长 Step 2计算判断是否成立，成立转到Step 3，否则继续进行Step 4 Step 3 计算 Step 4 Euler法解常微分方程算程序： function euler2(fun,y0,A,h) %fun--y' %y0---初值 %A----x取值范围 %a----x左区间端点值 %b----x右区间端点值 %h----给定步长 x=min(A); b=max(A); y=y0; while x Step 3 （1）做显性Euler预测 （2）将带入 Step 4计算判断是否成立，成立返回Step 3，否则继续进行Step 5 Step 5 改进Euler法解常微分方程算程序： function gaijineuler2(fun,y0,A,h) %fun--y' %y0---初值 %A----x取值范围 %a----x左区间端点值 %b----x右区间端点值 %h----给定步长 a=min(A); b=max(A); x=a:h:b; y(1)=y0; for i=1:length(x)-1 w1=feval(fun,x(i),y(i)); y(i+1)=y(i)+h*w1; w2=feval(fun,x(i+1),y(i+1)); y(i+1)=y(i)+h*(w1+w2)/2; end x=x' y=y' 例：用改进Euler法计算下列初值问题（取步长h=0.25） 输入：fun=inline('-x*y^2') gaijineuler2(fun,2,[0 5],0.25) 得到： x = 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000 2.2500 2.5000 2.7500
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