2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课时目标 1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律.
1.平面向量数量积
(1)定义:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量______________叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a 2b ,即a 2b =|a ||b |cos θ,其中θ是a 与b 的夹角.
(2)规定:零向量与任一向量的数量积为____.
(3)投影:设两个非零向量a 、b 的夹角为θ,则向量a 在b 方向的投影是____________,向量b 在a 方向上的投影是______________.
2.数量积的几何意义
a 2
b 的几何意义是数量积a 2b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影________________的乘积.
3.向量数量积的运算律
(1)a2b =________(交换律);
(2)(λa )2b =________=________(结合律);
(3)(a +b )2c =______________________(分配律).
一、选择题
1.|a |=2,|b |=4,向量a 与向量b 的夹角为120°,则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )
A .-3
B .-2
C .2
D .-1
2.已知a⊥b ,|a |=2,|b |=3,且3a +2b 与λa -b 垂直,则λ等于( ) A.32 B .-32 C .±32
D .1 3.已知向量a ,b 满足a 2b =0,|a |=1,|b |=2,则|2a -b |等于( )
A .0
B .2 2
C .4
D .8
4.在边长为1的等边△ABC 中,设BC →=a ,CA →=b ,AB →=c ,则a2b +b2c +c2a 等于( )
A .-32
B .0 C.32
D .3 5.若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )2b =0,则a 与b 的夹角为( )
A .30° B.60° C.120° D .150°
6.若向量a 与b 的夹角为60°,|b |=4,(a +2b )2(a -3b )=-72,则向量a 的模为( )
7.已知向量a 与b 的夹角为120°,且|a |=|b |=4,那么b 2(2a +b )的值为________.
8.给出下列结论:
①若a ≠0,a2b =0,则b =0;②若a2b =b2c ,则a =c ;③(a2b )c =a (b2c );④a2[b (a 2c )-c (a2b )]=0.
其中正确结论的序号是________.
9.设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则〈a ,b 〉=________.
10.已知a 是平面内的单位向量,若向量b 满足b2(a -b )=0,则|b |的取值范围是________.
三、解答题
11.已知|a |=4,|b |=3,当(1)a∥b ;(2)a⊥b ;
(3)a 与b 的夹角为60°时,分别求a 与b 的数量积.
12.已知|a |=|b |=5,向量a 与b 的夹角为π3
,求|a +b |,|a -b |. 能力提升
13.已知|a |=1,|b |=1,a ,b 的夹角为120°,计算向量2a -b 在向量a +b 方向上的投影.
14.设n 和m 是两个单位向量,其夹角是60°,求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.
1.两向量a 与b 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a ≠0,b ≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当a ≠0,b ≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a =0或b =0或θ=90°时).
2.数量积对结合律一般不成立,因为(a 2b )2c =|a ||b |2cos〈a ,b 〉2c 是一个与c 共线的向量,而(a 2c )2b =|a |2|c |cos 〈a ,c 〉2b 是一个与b 共线的向量,两者一般不同.
3.向量b 在a 上的射影不是向量而是数量,它的符号取决于θ角,注意a 在b 方向上的射影与b 在a 方向上的射影是不同的,应结合图形加以区分.
§2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
答案
知识梳理
1.(1)|a ||b |cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ
2.|b |cos θ 3.(1)b2a (2)λ(a2b ) a 2(λb ) (3)a2c +b2c
作业设计
1.D [a 在b 方向上的投影是
|a |cos θ=23cos 120°=-1.]
2.A [∵(3a +2b )2(λa -b )=3λa 2+(2λ-3)a2b -2b 2=3λa 2-2b 2=12λ-18=0.
∴λ=32
.] 3.B [|2a -b |2=(2a -b )2=4|a |2-4a 2b +|b |2
=431-430+4=8,∴|2a -b |=2 2.]
4.A [a2b =BC →2CA →=-CB →2CA →=-|CB →||CA →|cos 60°=-12.同理b2c =-12,c2a =-12
, ∴a2b +b2c +c2a =-32
.] 5.C [由(2a +b )2b =0,得2a 2b +b 2=0,
设a 与b 的夹角为θ,
∴2|a ||b |cos θ+|b |2=0.
∴cos θ=-|b |22|a ||b |=-|b |22|b |2=-12
,∴θ=120°.] 6.C [∵a2b =|a|2|b |2cos 60°=2|a |,
∴(a +2b )2(a -3b )=|a |2-6|b |2-a2b =|a |2-2|a |-96=-72.
∴|a |=6.]
7.0
解析 b 2(2a +b )=2a2b +|b |2
=234343cos 120°+42=0.
8.④
解析 因为两个非零向量a 、b 垂直时,a2b =0,故①不正确;
当a =0,b⊥c 时,a2b =b2c =0,但不能得出a =c ,故②不正确;向量(a2b )c 与c 共线,a (b2c )与a 共线,故③不正确;
④正确,a 2[b (a2c )-c (a2b )]
=(a2b )(a2c )-(a2c )(a2b )=0.
9.120°
解析 ∵a +b =c ,∴|c |2=|a +b |2=a 2+2a 2b +b 2.
又|a |=|b |=|c |,∴2a 2b =-b 2,
即2|a ||b |cos 〈a ,b 〉=-|b |2.
∴cos 〈a ,b 〉=-12
, ∴〈a ,b 〉=120°.
10.[0,1]
解析 b2(a -b )=a2b -|b |2=|a||b |cos θ-|b |2=0,
∴|b |=|a |cos θ=cos θ (θ为a 与b 的夹角),θ∈[0,π],
∴0≤|b |≤1.
11.解 (1)当a∥b 时,若a 与b 同向,
则a 与b 的夹角θ=0°,
∴a2b =|a||b |cos θ=4333cos 0°=12.
若a 与b 反向,则a 与b 的夹角为θ=180°,
∴a2b =|a||b |cos 180°=4333(-1)=-12.
(2)当a⊥b 时,向量a 与b 的夹角为90°,
∴a2b =|a||b |cos 90°=43330=0.
(3)当a 与b 的夹角为60°时,
∴a2b =|a||b |cos 60°=433312
=6. 12.解 a2b =|a||b |cos θ=535312=252
. |a +b |= a +b 2=|a |2+2a2b +|b |2=
25+23252+25=5 3. |a -b |= a -b 2=|a |2-2a2b +|b |2=25-23252
+25=5. 13.解 (2a -b )2(a +b )=2a 2+2a 2b -a 2b -b 2=2a 2+a 2b -b 2=2312+1313cos
120°-12=12
. |a +b |= a +b 2=a 2+2a 2b +b 2=1+231313cos 120°+1=1.
∴|2a -b |cos 〈2a -b ,a +b 〉=|2a -b |2 2a -b 2 a +b |2a -b |2|a +b |= 2a -b 2 a +b |a +b |
=12
. ∴向量2a -b 在向量a +b 方向上的投影为12
. 14.解 ∵|n |=|m |=1且m 与n 夹角是60°,
∴m2n =|m||n |cos 60°=131312=12
. |a |=|2m +n |= 2m +n 2=431+1+4m2n =
431+1+4312=7, |b |=|2n -3m |= 2n -3m 2=431+931-12m2n =
431+931-12312=7, a2b =(2m +n )2(2n -3m )=m2n -6m 2+2n 2=12-631+231=-72
. 设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=a2b |a||b |=-72737=-12. 又θ∈[0,π],∴θ=2π3,故a 与b 的夹角为2π3
.
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
第四章平面向量 考试要求重难点击命题展望 1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景; (2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的 含义; (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义; (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义; (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及其坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义; (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算; (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平面向量的数量积 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义; (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系; (3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算; (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题; (2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题. 本章重点: 1.向量的各种运 算; 2.向量的坐标运 算及数形结合的思 想; 3.向量的数量积 在证明有关向量相 等、两向量垂直、投 影、夹角等问题中的 应用. 本章难点: 1.向量的直角坐 标运算在证明向量垂 直和平行问题中的应 用; 2.向量的夹角公 式和距离公式在求解 平面上两条直线的夹 角和两点间距离中的 应用. 向量是近代数学中重要和 基本的数学概念之一,它是沟 通代数、几何与三角函数的一 种工具,有着极其丰富的实际 背景,同时又是数形结合思想 运用的典范,正是由于向量既 具有几何形式又具有代数形式 的“双重身份”,所以它成为 中学数学知识的一个交汇点.在 高考中,不仅注重考查向量本 身的基础知识和方法,而且常 与解析几何、三角函数、数列 等一起进行综合考查. 在考试要求的层次上更加突出 向量的实际背景、几何意义、 运算功能和应用价值. 知识网络
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
考点1 平面向量的概念及其线性运算 1.平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R ),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角,则m =( ) A .-2 B .-1 C . 1 D .2 2. 在下列向量组中,能够把向量a =(3,2)表示出来的是( ) A .e 1=(0,0),e 2=(1,2) B .e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C .e 1=(3,5),e 2=(6,10) D .e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3.已知向量a =(k ,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a -3b )⊥c ,则实数k =( ) A .-92 B .0 C .3 D.152 4.设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ=________. 考点3 平面向量的数量积及应用 5.已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|=___. 6.设向量a =(3,3),b =(1,-1).若(a +λb )⊥(a -λb ),则实数λ=___. 7.已知单位向量e 1与e 2的夹角为α,且cos α=13,向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-e 2的 夹角为β,则cos β=________. 8.若向量a ,b 满足:=1,(a +b )⊥a ,(+b )⊥b ,则|=______. 9.设向量a ,b 满足|a +b |=10,|a -b |=6,则=______. 10.在△ABC 中,已知AB →·AC →=tan A ,当A =π6 时,△ABC 的面积为______. 考点4 单元综合 11.在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0,3),C (3,0),动点D 满足 |CD →|=1,则|OA →+OB →+OD →|的最大值是________. 练习: 1.已知A ,B ,C 是圆O 上的三点,若1()2 AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为 .