2017高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.2.2 直线与圆
的位置关系对点训练 理
1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A ．－53或－35
B ．－32或－2
3
C ．－54或－45
D ．－43或－34
答案 D
解析 圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝1的圆心为C (－3,2)，半径r ＝1.如图，作出点A (－2，－
3)关于y 轴的对称点B (2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B .设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得
|k －3－2－2k －3|
1＋k
2
＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2
＋
25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－3
4
.故选D.
2.设直线l 与抛物线y 2
＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2
＋y 2
＝r 2
(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,4)
C ．(2,3)
D ．(2,4)
答案 D
解析 当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0 y 0)，则??? ?? x 1＋x 2＝2x 0 y 1＋y 2＝2y 0 . 又? ???? y 2 1＝4x 1y 2 2＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝ y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2 y 0 .设圆 心为C (5,0)，则k CM ＝ y 0 x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0 x 0－5 ＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2 －4<12，所以0 3．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2 ＋y 2 －4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( ) A ．2 B ．42 C ．6 D ．210 答案 C 解析 由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2 ＋(y －1)2 ＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2 ＝|AC |2 －|BC |2 ＝(－4－2)2 ＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C. 4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.4π 5 B.3π4 C ．(6－25)π D.5π4 答案 A 解析 解法一：由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝ 45 . ∴圆C 面积的最小值为π×? ????252＝4 5 π.故选A. 解法二：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点，且圆C 过原点(0,0)，∵圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离等于M 点到直线2x ＋y －4＝0的距离． 由抛物线的定义可知，圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点，2x ＋y －4＝0为准线的抛物线．如图所示． 要使圆C 面积最小，则需找出圆C 半径的最小值． 由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x ＋y －4＝0的距离的一半． 因此，圆C 半径的最小值为r min ＝4 5×12 ＝255.故圆C 面积的最小值为πr 2min ＝ π×? ?? ??2552＝4π 5. 5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切 的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________． 答案 (x －1)2 ＋y 2 ＝2 解析 因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2 ＋y 2 ＝2. 6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2 ＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则 a 2＋ b 2＝________. 答案 2 解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即 |a |2＝|b |2，|a |2 ＝cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2 ＝2. 7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2 ＋(y ＋1)2 ＝4截得的弦长为________． 答案 255 5 解析圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(2，－1)，半径r＝2，圆心C到直线x＋2y －3＝0的距离为d ＝|2＋2×－1－3|12＋22 ＝35，所求弦长l ＝2r 2－d 2 ＝24－95 ＝255 5 . 8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2 ＋(y －a )2 ＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________. 答案 4±15 解析 由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|1＋a 2 ＝3，即a 2 －8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15. 9.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2 ＋y 2 －6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标； (2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； (3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由． 解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2 ＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)． (2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即? ?? ??x －322＋y 2＝9 4. 故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是? ????x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2 ＝4内部的部 分，即? ????x －322＋y 2＝94? ?? ??53＜x ≤3. (3)联立??? ? ? x ＝53 ， ? ?? ??x －322 ＋y 2 ＝94， 解得??? ?? x ＝53，y ＝±253 . 不妨设其交点为P 1? ????53，253，P 2? ????5 3，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－257，kPP 2＝25 7 . 当直线L 与圆C 相切时， ??????32k －4k k 2＋1＝3 2 ，解得k ＝±3 4. 故当k ∈??????－34，34∪? ????? －257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点． 欢迎您的下载，资料仅供参考！
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