对数知识点总结
一、引入
如果23x
=,则?x =
二、新课教学
1、 对数的概念:如果b a N =,则有log a N b =
注:①且1a ≠
②0N >
③b R ∈
3、 对数恒等式
①log 10a =
②log 1a a =
③log N a a N = ④log a N a N =
4、 常用对数、自然对数
10log lg N N =,log ln e N N =
三、练习
1、 将下列对数式写成指数式
(1)2log 5129= (2)lg0.00014=-
2、 求下列对数的值
(1)35log (255?) (2)lg1000
四、小结
本节主要学习了对数的概念,你要知道对数是来源于指数,会进行它们之间的转化,并给出一个对数式你要会计算它。
专题:对数函数知识点总结 1.对数函数的定义: 一般地,函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考:函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系? ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域
(1)0.2log (4);y x =-; (2)log 1a y x =- (0,1).a a >≠; (3)2(21)log (23)x y x x -=-++ (4)2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y =log 2(32-4x )的定义域是 ,值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域: (1)2log (3)y x =+; (2)2 2log (3)y x =-; (3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠). 9.函数f (x )=x 1 ln (432322+--++-x x x x )定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ; 13.函数f (x )= x 1 ln (432322+--++-x x x x )的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )=lg(ax 2 -2x +a ), (1) 如果f (x )的定义域是(-∞, +∞),求a 的取值围; (2) 如果f (x )的值域是(-∞, +∞),求a 的取值围. 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f (1)若函数的定义域为R ,数a 的取值围 (2)若函数的值域为R ,数a 的取值围
对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○2 x N N a a x =?=log ; ○3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log = ; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函 数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:x y 2log 2=,5 log 5x y = 都不是对数函数,而只能称 其为对数型函数. ○ 2 对数函数对底数的限制:0(>a ,且)1≠a . 对数函数·例题解析 例1.求下列函数的定义域: (1)2log x y a =; (2))4(log x y a -=; (3))9(log 2 x y a -=.
专题:对数函数知识点总结 1.对数函数的定义: 一般地,函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考:函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系? ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 |
一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 (1)0.2log (4);y x =-; (2 )log a y =(0,1).a a >≠; (3)2 (21)log (23)x y x x -=-++ (4 )y = ? (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数 的定义域是 5.函数y =log 2(32-4x )的定义域是 ,值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ { 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域: (1)2log (3)y x =+; (2)2 2log (3)y x =-; (3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠). 9.函数f (x )=x 1 ln (432322+--++-x x x x )定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为
基本初等函数知识点 知识点一:指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中 当为奇数时,正数的次方根为正数,负数的次方根是负数,表示为;当为偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0. 式子叫做根式,叫做根指数,叫做被开方数. 次方根的性质: (1)当为奇数时,;当为偶数时, (2) 3.分数指数幂的意义: ; 注意:0的正分数指数幂等与0,负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质: (1)(2)(3) 知识点二:指数函数及其性质1.指数函数概念 一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为. 2.指数函数函数性质: 函数名称指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点,即当时,. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数
函数值的变化情况 变化对图象的影响在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向看图象,逐渐减小. 知识点三:对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若,则叫做以为底的对数,记作,其中叫做底数,叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化:. 2.几个重要的对数恒等式 ,,. 3.常用对数与自然对数 常用对数:,即;自然对数:,即(其中…). 4.对数的运算性质 如果,那么①加法:②减法:③数乘: ④⑤ ⑥换底公式: 知识点四:对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地,函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域. 2.对数函数性质: 函数名称对数函数 定义函数且叫做对数函数图象
对数函数知识点及典型例题讲解 1.对数: (1) 定义:如果,那么称为,记作,其中称为对数的底,N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数,记作___________. ②以无理数为底的对数称为自然对数,记作_________. (2) 基本性质: ①真数N为 (负数和零无对数);②;③; ④对数恒等式:. (3) 运算性质: ① log a(MN)=___________________________; ② log a=____________________________; ③ log a M n= (n∈R). ④换底公式:log a N= (a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0) ⑤ . 2.对数函数: ①定义:函数称为对数函数,1) 函数的定义域为( ;2) 函数的值域为; 3) 当______时,函数为减函数,当______时为增函数; 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( ),图象在;2) 对数函数以为渐近线(当时,图象向上无限接近y轴;当时,图象向下无限接近y轴); 4) 函数y=log a x与的图象关于x轴对称. ③函数值的变化特征: ①②③①②③ 例1 计算:(1) (2)2(lg)2+lg·lg5+; (3)lg-lg+lg. 解:(1)方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==(2+)-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1.
(2)原式=lg(2lg+lg5)+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. (3)原式=(lg32-lg49)-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1:化简求值. (1)log2+log212-log242-1; (2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25; (3)(log32+log92)·(log43+log83). 解:(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 (2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. (3)原式=( 例2 比较下列各组数的大小. (1)log3与log5;(2)log1.10.7与(3)已知logb<loga<logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解:(1)∵log3<log31=0,而log5>log51=0,∴log3<log5. (2)方法一∵0<<1,<,∴0>, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7<方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7<为减函数,且, ∴b>a>c,而y=2x是增函数,∴2b>2a>2c. 变式训练2:已知0<a<1,b>1,ab>1,则log a的大小关系是() B. C. D. 解: C 例3已知函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围. 解:当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0. 所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在[3,+∞)上为增函数, ∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥log a3. 因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立. 只要log a3≥1=log a a即可,∴1<a≤3. 当0<a<1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)<0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f(x)=log a x在[3,+∞)上为减函数, ∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数. ∴对于任意x∈[3,+∞)都有
高一数学必修一对数及对数函数知识点总 结 数学是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。以下是查字典数学网为大家整理的高一数学必修一对数及 对数函数知识点,希望可以解决您所遇到的相关问题,加油,查字典数学网一直陪伴您。 对数定义 如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。 注: 1.以10为底的对数叫做常用对数,并记为lg。 2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数,并记为ln。 3.零没有对数。 4.在实数范围内,负数无对数。在复数范围内,负数是有对数的。 对数公式 0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。/p p其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞)。它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,
同样适用于对数函数。/p p对数函数性质/p p align=" center="" img="" /> 定义域求解:对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 值域:实数集R,显然对数函数无界。 定点:函数图像恒过定点(1,0)。 单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数; 奇偶性:非奇非偶函数 周期性:不是周期函数 对称性:无 最值:无 零点:x=1 注意:负数和0没有对数。 两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。 要练说,得练听。听是说的前提,听得准确,才有条件正确模仿,才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中,注意听说结合,训练幼儿听的能力,课堂上,我特别重视教师的语言,我对幼儿说话,注意声音清楚,高低起伏,抑扬有致,富有吸引力,这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼
第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . ◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m , )1,,,0(1 1* >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1)在[a ,b]上, )1a 0 a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [; (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为.底.N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log —对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○ 2 x N N a a x =?=log ; ○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln . ◆ 指数式与对数式的互化 幂值 真数 = b
对数及对数函数 1、对数的基本概念 (1)一般地,如果a (1,0≠>a a )的b 次幂等于N ,就是N a b =,那么数b 叫做以a 为底N 的对 数, 记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数,式子N a log 叫做对数式 (2)常用对数:N 10log ,记作N lg ; 自然对数N e log (e =2.71828…),记作N ln . (3)指数式与对数式的关系:log x a a N x N =?=(0>a ,且1≠a ,0N >) (4)对数恒等式: 2、对数的性质 (1)负数和零没有对数,即0>N ; (2)1的对数是零,即01log =a ; (3)底的对数等于1,即1log =a a 3、对数的运算性质 (1)如果a >0,a ≠1,M >0,N >0,那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M N M a a a log log log -=; ③M n M a n a log log = (2)换底公式: 推论:① b N N b log 1log = ; ② ; ③ 1log log =?a b b a 4、对数函数的定义: 函数 叫做对数函数,其中x 是自变量 (1)研究对数函数的图象与性质: 由于对数函数 与指数函数 互为反函数,所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 (2)复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 ()010log >≠>=N a a N a N a ,且b N N a a b log log log = b m n b a n a m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x =x y a =y x =
对数函数的图像与性质知识点与习题 一、知识回顾: 1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象与性质 2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数,其 图象关于直线x y =对称 二、例题与习题 1.)35lg(lg x x y -+=的定义域为___ __; 2. 已知函数=-=+-=)(,2 1 )(,11lg )(a f a f x x x f 则若 3.04 1 log 2 12≤-x ,则________∈x 4.函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1,则__________∈a
5.若函数m y x +=+-1 2 的图象不经过第一象限,则m 的取值范围是 ( ) (A )2-≤m (B )2-≥m (C )1-≤m (D )1-≥m 6.函数x x f a )1(2log )(-=是减函数,则实数a 的取值范围是 . 7.若13 2 log >a ,则a 的取值范围是 8.已知函数)(x f y =是奇函数,则当0≥x 时,13)(-=x x f ,设)(x f 的反函数是)(x g y =,则=-)8(g 9.方程lgx -x +1=0的实数解有______个. 10.)2lg(2 x x y +-=的递增区间为___________ ,值域为 . 11.求)1,0() (log ≠>-=a a a a y x a 的定义域。 12.已知3log 1)(x x f +=,2log 2)(x x g =,试比较)(x f 与)(x g 的大小关系。 13.已知函数)10)(1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且, (1)讨论)(x f 的奇偶性与单调性; (2)若不等式2|)(| 高考指数函数和对数函数 一.基础知识 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方 根,其中n >1,且n ∈N * . 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,? ??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 *>∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)] b (f ),a (f [ 或)]a (f ),b (f [; (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○ 2 x N N a a x =?=log ; ○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 对数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么:○1 M a (log ·=)N M a log +N a log ;○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =;(2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对 指数函数、对数函数知识点 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0=1(a≠0);a-n= 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n=n a m(a>0 , m,n∈N*, 且n>1) (a>0 , m,n∈N*, 且n>1) 当n∈N*时,(n a)n=a 当为奇数时,n a n=a 当为偶数时,n a n=│a│= a (a≥0) -a (a<0) 运算律:a m a n=a m + n (a m)n=a m n (ab)n=a n b n 1.计算: 2-1×6423=. 2. 224282=; 333363= . 3343427=; 393 36 = . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y=a x(a>0,且a≠1) 2、图象: 3、函数y=a x(a>0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ,即(-∞,+∞) 值域:R+ , 即(0,+∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上 当a>1时,在R上是增函数 当0<a<1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a>1时,图象向左与x轴无限接近; 当0<a<1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (-3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =;② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4-0.10.4-0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )- 1 2,( 2 3 )- 1 3,( 1 2 )- 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数, 则a的取值范围( ) A.a<3 B.c C.a>3 D.2<a<3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数,则a适合的条件是( ) A.|a|>1 B.|a|>2 C.a>2 D.1<|a|<2高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题
高中数学-指数函数对数函数知识点
对数函数知识点总结