(人教a版)高一数学必修2模块综合测评试卷(一)(有答案)

(人教a 版)高一数学必修2模块综合测评试卷(一)(有答案)

模块综合测评

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1下列命题正确的是( )

A.因为直线向两方无限延伸,所以直线不可能在平面内

B.如果线段的中点在平面内,那么线段在平面内

C.如果线段上有一个点不在平面内,那么线段就不在平面内

D.当平面经过直线时,直线上可以有不在平面内的点

思路解析:根据公理1判断,只要当直线上有两点在一个平面内,则这条直线就在平面内;反之,只要直线上有一个点不在平面内,则这条直线就不在平面内.

答案:C

2过点(-1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A.2

3- B.32- C.52 D.2 思路解析:用两点式得到过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为y=2x+3.令y=0,得x=23-

. 答案:A

3在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,与AD 成异面直线的棱共有( )

A.4条

B.5条

C.6条

D.7条

思路解析:其余11条棱中,有4条与AD 异面,有三条与它相交,其他4条异面.

答案:A

4点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a 的取值范围是( )

A.-1

B.0

C.a<-1或a>1

D.a=±1

思路解析:解不等式(1-a)2+(1+a)2<4.

答案:A

5球的面积膨胀为原来的3倍,膨胀后的球的体积为原来的( ) A.3倍 B.32倍 C.33倍 D.4倍

思路解析:球的面积变为原来的3倍,球的半径就变为原来的.3倍,则它的体积就变为原来的33倍. 答案:C

6下列命题:

①一条直线在平面内的射影是一条直线.

②在平面内射影是直线的图形一定是直线.

③在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.

④两斜线与平面所成的角相等,则这两斜线互相平行.

其中真命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

思路解析:各个命题,都可以举出反例说明它们不成立,如:命题①一条直线的射影可以为一个点;命题②和此平面垂直的平面在此平面内的射影也可以是一条直线;命题③与此平面所成不同角的斜线射影长相等,但斜线长不相等;命题④两斜线与平面所成角相等,则他们也可能相交或异面.

答案:A

7已知空间两个动点A(m,1+m,2+m)、B(1-m,3-2m,3m),则AB 的最小值是( ) A.179 B.173 C.17173 D.17

179 思路解析:

AB 2=(1-2m)2+(2-3m)2+(-2+2m)2=17m 2-24m+9=17(m-

172)2+179=179, ∴AB min =

17

173179=. 答案:C

8正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后,下列结论不成立的是( )

A.AC ⊥BD

B.△ADC 为正三角形

C.AB 、CD 所成角为60°

D.AB 与面BCD 所成角为60°

思路解析:AB 与面BCD 所成的角应为45°.

答案:D

9从原点向圆x 2+y 2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )

A.π

B.2π

C.4π

D.6π

思路解析:将圆的方程配方得:

x 2+(y-6)2=9,

圆心在(0,6),半径为3.

如图1,Rt △PAO 中,OP=6=2PA,

图1

从而得到∠AOP=30°,

即∠AOB=60°.可求∠BPA=120°.

∴P 的周长为2π×3=6π, 劣弧长为周长的3

1,可求得劣弧长为2π. 答案:B

10a 、b ∈N *,则同时过不同三点(a,0)、(0,b)、(1,3)的直线条数为( )

A.1

B.2

C.3

D.多于3

思路解析:过(a,0)与(0,b)的直线为

b y a x +=1, 于是b

a 31+=1, 故3a=b(a-1).

若b=3m,m ∈N *,则a=m(a-1),

于是m≤2,代入逐个验证可知,m=2,a=2,进而b=6;

若b≠3m,则必有a-1=3n,n ∈N *,

则1=n(b-3),于是只有n=1,b=4,进而a=4,

故满足条件的直线最多有2条.

答案:B

11图2,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF ∥AB,EF=

2

3,EF 与面AC 的距离为2,则该多面体的体积为…( )

图2 A.29 B.5 C.6 D.2

15 思路解析:分别取AB 、CD 的中点G 、H 连EG ,GH,EH,把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱,可求得四

棱锥的体积为3,三棱柱的体积29,进而整个多面体的体积为2

15. 答案:D

12光线从点A(-1,1)射出经x 轴反射到圆C:(x-5)2+(y-7)2=4的最短路程是( ) A.26-2 B.8 C.64 D.10

思路解析:点A(-1,1)关于x 轴的对称点是A′(-1,-1).

圆心C(5,7),最短路程是A′C -r=2286+-2=8.

答案:B

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)

13过P(1,2)且与原点距离最远的直线方程为___________.

思路解析:过P 点且垂直于OP 的直线为所求,方程为x+2y-5=0.

答案:x+2y-5=0

14已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=1,则球面面积为___________-.

思路解析:由于球心在截面ABC 上的射影是△ABC 的外心(即小圆的圆心),则小圆的半径、球的半径及球心到截面的距离组成一个直角三角形,求出球的半径为

32,最后利用球的面积公式得S=916π为所求. 答案:9

16π 15在xOy 平面上,四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)、(0,3),则这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积为__________.

思路解析:几何体的体积为一个圆台(两底半径分别为1、3,高为2)的体积减去一个圆锥的体积(底为1,高为1). 答案:3

25π 16如图3,已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.

图3 思路解析:上面补成一个与原图形一样的图,把它倒扣在原图上即成一个圆柱.它的高为

21(a+b).所求体积为它的一半.

答案:2

1πr 2(a+b) 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17(本题满分12分)如图4,A 、B 分别是异面直线a 、b 上两点,自AB 的中点O 作平面α与a 、b 分别平行,M 、N 分别是a 、b 上的任意两点,MN 与α交于点P.

图4

求证:P 是MN 的中点.

思路分析:连接AN 交α于Q,连结OQ 、PQ,

从而在△ABN 和△AMN 中利用中位线的性质求解.

证明:连接AN 交α于Q,连结OQ 、PQ,

∵b ∥α,OQ 是过直线b 的平面ABN 与α的交线,

∴b ∥OQ.同理PQ ∥a.

在△ABN 中,O 是AB 的中点,OQ ∥BN,

∴Q 是AN 的中点.

又∵PQ ∥a,

∴P 是MN 的中点.

18(本题满分12分)画出方程|xy|+1=|x|+|y|的图形,并求图形所围成的面积S.

思路分析:关键是先把题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0这种易于求解的形式.

解:将题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0,由它得到|x|=1或|y|=1x=±1或y=±1.

它的图形(如图5)是四条直线围成的正方形ABCD,它的边长为2,面积为S=22

=4.

图5

19(本题满分12分)如图6所示,在正△ABC 中,E 、F 依次是AB 、AC 的中点,AD ⊥BC,EH ⊥BC,FG ⊥BC,

D 、H 、G 为垂足.若将正△ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥体积为V,则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值为多少？

图6

思路分析:阴影部分所产生旋转体体积用形成的大圆锥体积减去圆柱的体积方法计算.

解:设圆锥的高为h,底面半径为r, 则圆柱的高为2h ,底面半径为2

r . 所以,85312)2

(1122=??-=-=-h r h r V V V

V V ππ柱柱

. 20(本题满分12分)圆C:x 2+y 2-x-6y+F=0与直线l:x+2y-3=0交于两点P 、Q,且OP ⊥OQ,求F 的值.

思路分析:P,Q 两点即为圆的方程和直线的方程联立得到的方程的解.但没有必要求两点坐标的具体值,F 的值我们可以通过运用一元二次方程根与系数的关系灵活求解.

解:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).

联立题目中圆和直线的方程并消去y,我们有 ???

???-==+--+.23,0622x y F y x y x 5x 2+2x+4F-27=0. 根据根与系数的关系,有???

????-=?-=+.5274,522121F x x x x 根据题意,有PO ⊥OQ 2

211x y x y ??=-1?x 1x 2+y 1y 2=0?x 1x 2+?=-?-0232321x x 5x 1x 2-3(x 1+x 2)+9=0?5×5

2109)52(35274=?=+-?--F F . 21(本题满分12分)如图7,已知多面体ABCDE 中,AB ⊥平面ACD,DE ⊥平面

ACD,AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F 为CE 的中点

.

图7

(1)求证:BF ⊥面CDE.

(2)求多面体ABCDE 的体积.

(3)求平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角的大小.

思路分析:(1)如图6,取CD 的中点G ,DE 的中点H,连接FG ,FH,容易证明它们也是相应边的垂线.再连接BH.欲证线面垂直,先证线线垂直.如果BF ⊥面CDE 证明成立的话,则必然有BF ⊥CE,考虑到F 为CE 的中点,我们的目标就是要证明△BCE 是等腰三角形.另外由于BF 在平面ACD 上的射影AG 是△ADC 的边CD 上的高,所以BF ⊥CD.这样BF 就垂直于平面ACD 上的两条相交直线,从而BF ⊥面CDE.(2)求多面体的体积可以采取将图形通过切割转化为几个简单的几何体分别求体积后求和的方法.(3)注意到△BCE 在平面ACD 上的射影就是△ADC,有结论:两者的面积之比就是所成二面角的余弦值,利用这个结论列式求解.

解:(1)证明:∵AB ⊥平面ACD,∴AB ⊥AC,

由AB=a,AC=2a,得BC=5a.

同理,在直角梯形ABDE 中,AB ⊥AD,DE ⊥AD,且AB=a,AD=DE=2a,所以BE=5a.

又F 是CE 的中点,∴BF ⊥CE.

∵BF 在面ACD 上的射影是等边△ADC 的边CD 上的高,

∴BF ⊥CD.

∴BF ⊥平面CDE.

(2)解:连结BD,把原几何体分成三棱锥B —ACD 与三棱锥B —CDE.

V B —ACD =

31AB·S ACD =31·a·43(2a)2=3

3a 3. ∵CE=22a,CF=2a,

而BC=5a,∴BF=3a, ∴V B —CDE =31BF·S CDE =31·3a·21·(2a)2=3

323a . 故所求多面体ABCDE 的体积为3a 3.

(3)解:设面BCE 与面ACD 所成的角为θ.

∵△BCE 在面ACD 上的射影为△ACD,

∴cosθ=

2232221)2(4

32=??=??a a a s S BCE CDA , ∴θ=

4π 22(本题满分14分)已知圆C:x 2+y 2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l 被圆C 所截得的弦AB 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程;若不存在,请说明理由.

思路分析:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),再设出直线的方程后将其与圆的方程联立.则所得方程组的解就是A 和B 的坐标值.但不必解出A 和B 坐标的具体的表达式,而要将目标放在利用根与系数关系表示出题目所给条件上.其中以AB 为直径的圆可表示为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.

解:假设直线存在,设l 的方程为y=x+m, 由???=-+-++=,

0442,22y x y x m x y

得2x 2+2(m+1)x+m 2+4m-4=0.(*) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),

则x 1+y 2=-(m+1),x 1x 2=2

442-+m m . ∵以AB 为直径的圆(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0, 若它经过原点,则x 1x 2+y 1y 2=0.

又y 1·y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2. ∴2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=0,

∴m 2+3m-4=0,m=-4或m=1.

∵当m=-4或m=1时,可验证(*)式的Δ>0, ∴所求直线l 的方程是x-y-4=0或x-y+1=0.