第十六章 分式 ** 分式的运算
** 整数指数幂 Ⅰ．核心知识扫描
1．负整数指数幂：一般地，当n 是正整数时，()1
0.n n a a a
-=
≠即()0n n a a a -≠是的倒数
2．把绝对值小于1的数，用科学记数法表示成10n a -?的形式，其中
110a n ≤＜，为正整数
3．整数指数幂的混合运算
Ⅱ．知识点全面突破
知识点1：负整数指数幂（重点）
定义：任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即
()1
0,.n n a a n a
-=
≠为正整数 （1） 正整数指数幂有以下运算性质： ①(,m
n
m n
a a a
m n +?=是正整数）
②(0,,m
n
m n
a a a
a m n m n -÷=≠是正整数,＞）
③()(,m n
mn
a a m n =是正整数） ④()(n
n n
ab a b n =是正整数）
⑤()(n
n n a a n b b
=是正整数）
另外还学习了0指数幂：0
1(0)a a =≠
（2）学习了分式后，对指数的认识会有新发展，即将讨论的(n
a n -是正整数）就属于
分式，○
C 如：3
x -就属于分式 例1：计算： （1）1233
()a b c -- （2）(
)
3
2322a b a b
---?
○
C 正整数指数幂的运算法则对于负整数指数幂仍然成立，并且由于有了负整数指数幂，除法就可以转化为乘法，如：2233a a b b
-=
（3）()3232
2(2)
ab c a b ---÷
解：（1）1233
()a b c --=13
23
33
()()()a b c --?? =369a b c --
=639b a c
（2）(
)
3
23
22a b a b
---?=2366a b a b --?
=89a b -
=9
8b a
（3）()3
232
2(2)
ab c a b ---÷=2246632a b c a b ----÷
=24762a b c --
=46
7
4a c b
点拨：引入负整数指数幂后，指数的取值范围扩充到了全体整数，前面学习的正整数指数幂的运算性质，对于整数指数幂仍然适用，整数指数幂的结果一般用正整数表示。 例2：利用负整数指数幂把下列各式化成分母不含字母的式子 （1）
x y （2）22x
b （3）23()x m n -- 解：（1）
x y
=1
1x xy y -?=
（2）
22x b =2
12
xb - （3）2
3()
x m n -
-=2
3()x m n --- 例3：下列等式是否正确，为什么？ （1）()m m m
x x y
y
-= （2）m n m n x x x x -÷=
解：（1）1()m m
m m
m x
x
x y y
y
-== 所以()m m m
x x y
y
-=
（2）()m n m n
m n m n x x x x x x -+--÷=== 所以m n m n
x x x x -÷=
点拨：引入负整数指数幂后，可以使除法转化为幂的乘法，整数指数幂的相互转化 知识点2：科学记数法（重点）
（1）对于一些较大的数可以用科学记数法表示：如，123000000就可以用科学记数法表示为81.2310?，即把一个较大的数表示为10n a ?的形式，其中10a 1≤＜，n 是该数的整数数位数少1
（2）引入负整数指数幂后，如：331
100.00110
-=
=，即我们可以把绝对值小于1的数，用科学记数法表示成
10n
a -?的形式，其中
110a n n ≤＜，为正整数，且是第一个非零数字前面所有零的个数，如：
50.0000206 2.0610-=?
例1：用科学记数法表示
（1）189200（保留两个有效数字） （2）0.0000032 （3）-0.00078 （4）0.0000000103
（5）0.008115（精确到万分位） 解：（1）5189200 1.910≈? （2）60.0000032 3.210-=? （3）40.000787.810--=-? （4）80.0000000103 1.0310-=? （5）30.0081158.110-≈?
点拨：首先判定是正整数指数还是负整数指数幂，然后确定a ，n 的值 例2：（2010年，潍坊）将85.6210-?用小数表述为（ ）．
A ．0．000 000 005 62
B ．0．000 000 056 2
C ．0．000 000 562
D ．0．000 000 000 562
答案：B
点拨：85.6210-?可表示为5.62×0．000 000 01，而0．000 000 01＝10－8，因此8
5.6210
-?＝0．000 000 056 2，科学记数法是每年中考试卷中的必考问题 知识点3：整数指数幂的运算（难点）
例：计算
（1）3
212
232
(3)(5)x y z xy z ---
○
C 前面学习的正整数指数幂的运算性质，对于整数指数幂仍然适用，整数指数幂的结果一般用正整数表示（除运用科学记数法）
○
C 引入负整数指数幂后，整数指数幂不能混淆，即正整数与负整数的混淆
（2）231232
(3)6a b a b a b ------ （3）2
3524()()()()a b a b a b a b --??+-??
-+??
解：（1）3
212
232
(3)(5)x y z xy z ---=642
2461259
x y z x y z ---? =
488
259
x y z -- =8
48259z x y
（2）231232(3)6a b a b a b ------=31
32
36a b a b
----- =313236a b a b -----÷ =1
2
b -
（3）2
3524()()()()a b a b a b a b --??+-??
-+??=610
48()()()()
a b a b a b a b --+--+ =14
14
()()a b a b -+
（4）35310510--???（）（）=35351010--???（）（） =81510-? =71.510-?
点拨：灵活运用整数指数幂，（4）中的结果用科学记数法表示，○
C 结果不能为8
1510-?应表示为71.510-?
Ⅲ．提升点全面突破
提升点1：分式的混合运算
例1：计算：2
21111
()()x
y x y y x
-----÷++
- 解：2
21111()()x
y x y y x -----÷++
-=11111111()()()x y x y x y y x
-------+÷++- =1
111
x
y y x
---+
-
=11110x y y x
-+-= 点拨：灵活运用整数指数幂，题中2
2()x
y ---可以化为1111()()x y x y -----+的形式
提升点2：整数指数幂的应用
例2：已知2x a =，求3322()()x
x x x a a a a --++的值
解：3322()()x
x x x a
a a a --++=3322
()()()()x x x x a a a a --????++????
当2x a =时，
3322
()()()()x x x x a a a a --????++????
=3322(22)(22)--++ =3322
(22)(22)--++ =1105
32
点拨：运用整数指数幂的性质，3333(),()x
x x x a a a a --== 例3：当12x x -+=时，求2
2
12()3x x x x --++++的值
解：2
2
12()3x x
x x --++++=22112()3x x x x
+
+++ =211()22()3x x x x
+-+++ 当12x x -+=，即1
2x x
+
=时， 211
()22()3x x x x
+-+++=222223-+?+
=1
点拨：解决本题的关键是：式子的变形2222
211()2x x x x x x
-+=+
=+- 例4：某种液体每升含有1210个有害细菌，某种杀菌剂1滴可以杀死910个此种有害细菌，现将2升这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂为310-升，要多少升？
解：根据题意得，1293
21010210?÷=?
3321010100.2-?÷?=
答：要用这种杀菌剂3
210?滴，若10滴这种杀菌剂为3
10-升，要0.2升
点拨：认真审题，找出关系式，特别注意10滴这种杀菌剂为310-升，不要忘记3
21010
?÷再乘以3
10-
Ⅳ．综合能力养成
例1．（2010，南通改编，探究题）探索规律：11
()33-=，个位数字是3；21()93
-=，
个位数字是9；31
()273-=，个位数字是7；41()813-=，个位数字是1；51()2433
-=，个位数字是3；61()7293-=，个位数字是9；…71()3-的个位数字是 ；201()3
-的个位数字是 答案：7，1
点拨：11()33-=，个位数字是3；21()93-=，个位数字是9；31()273
-=，个位数字是7；41()813-=；依次类推发现个位数字是3，9，7，1；即71()3-的个位数字是7，201()3
-的个位数字把20除以4得5，即个位数字是1，若求301()3
-就是30除以4得7余2，即
301
()3
-的个位数字是9 例2：（2010，南通改编，评估题）已知2
2(1)0b a b -++-=，求23a b --的值 解：由2
2(1)0b a b -++-=得，
2010b a b -=??
+-=?解得：1
2a b =-??=? 当12
a b =-??=?时，23a b --=()2
31128---=
答：23a b --的值
1
8
点拨：根据非负数的性质得，2010b a b -=??
+-=?求得1
2a b =-??=?
代人求值
Ⅴ．分层实战训练
A 组．基础训练
1．下列计算中，正确的是（ ）（知识点1）
A ．0a =1
B ．23-=－9
C ．5.6×210-=560
D ．21
()5
-＝25 2． 下列计算中，正确的是（ ）（知识点1） A ．2
2112()
2m n m m n n -----+=++ B ．212()m n m n --= C ．33
9(2)
8x x --= D ．11(4)4
x x --=
3．将11()6
-，0
(2)-，2
(3)-这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ）（知识点1）
A ．0
(2)-＜11
()6
-＜2
(3)- B ．11()6
-＜0(2)-＜2
(3)- C ．2
(3)-＜0
(2)-＜11()6
- D ．0(2)-＜2
(3)-＜11()6
-
4． 国家质检总局出台了国内销售的纤维制品甲醛含量标准，从2003年1月1 日起正式实施.该标准规定:针织内衣. 床上用品等直接接触皮肤的制品,甲醛含量应在百万分之七十五以下. 百万分之七十五用科学记数法表示应写成____________________．（知识点2）
5． （1）2(4)
--= ；（2）02007-= . （知识点1）
6． （1）13
(2)xy ---= ；（2）
32
1728a b a b
--= . （知识点1） 7．计算2331123
(2)
2a b a b a b -----?-＝______________．（知识点1、3） 8．计算221233
(3)
6a b a b a b ---?-＝_______________．（知识点1、3）
9．若23x a -=，23y b -=，则3x y -＝__________________．（知识点1、3）
10．计算： （知识点1、3）○
C （1）73(2.410)(510)-???； （2）6234
(310)(10)--?÷.
11．计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数形式：（知识点1、3） （1）222
55
(2)3a b a b --
（2）423
21
()
()x y x y y
--÷
（3）3
22224)2(3----?b
a a
b b a （4）2
322212)()2(-----÷-m n m mn
B 组．培优训练
1．计算：1
11()x
y ---+的结果为（ ）（提升点1）○
C A ．x y + B ．
1x y + C ．xy x y + D ．x y
xy
+
2． 已知21
=+-a a ，则2
2-+a a 等于（ ）（提升点2）
A ．4
B ．2
C ．6
D ．8
3． 计算3
42
3(9)a bc a b ÷-的结果不用分式，而用负整指数幂的形式表示，应为（ ）（提升点1）
A ．111
3
a b c ---
B ．3c ab
-
C ．1113a b c ---
D ．11113
a b c ----
4．计算下列各式（提升点1） （1）222132323(2)(3)6(3)
x y x y x y x y ---?-
（2）223345
(3)6a b a b a b ------
（3）2
22112
11
()a b a b a b -------??-?+ ?-??
（4）2
15()()x xy x y x x x y x --+-÷-
5．科学家研究发现，与我们日常生活密不可分的水的一个水分子的质量大约是26310-?千克，8克水中大约有多少个水分子？通过进一步研究科学家又发现，一个水分子是由2个氢原子和一个氧原子所构成，已知氧原子的质量约为262.66510-?千克，求氢原子的质量.（保留四个有效数字）（提升点2，阅读理解题）
第十六章 分式 ** 分式的运算
** 整数指数幂
A 组．基础训练
1．A ，点拨：A 项必须保证a≠0，B 项23-＝19
；C 项5.6×2
10-=0.056．
2． D ，点拨：A 项222
1()2m n m mn n
-+=
++；B 项2121
()m n m n ---=；C 项3339(2)2x x ---=．
3． A ，点拨：11()6
-＝6，0(2)-＝1，2
(3)-＝9．
4．57.510-?，点拨：6
5
75107.510--?=?
5． （1）
116
；（2）－1． 6．（1）3
328y x -；（2）4
34a b
．
7． 5
74b a
-
8．2
b -
9．
a b ，点拨：3x y -＝23x -÷23y -＝a b
． 10．（1）31.210-?，（2）9，点拨：（1）中41210-?应写成科学记数法31.210-? 易错警示：（1）中计算结果容易写成41210-?，而41210-?不是科学记数法 11．（1）12a b ；（2）10x ；（3）36a ；（4）62m
n
．点拨：灵活运用整数指数幂的运算性质
B 组．培优训练
1．C ，点拨：1
11
()
x y ---+=
111
x y
+＝
1x y xy
+＝xy x y +． 易错警示：学生容易误认为1
11()x y ---+=x y +，分别乘方而得
2． B ，点拨：∵21=+-a a ，∴12()4a a -+=，∴22-+a a ＋2＝4，∴22-+a a ＝2．
3． A ，点拨：3
42
3(9)a bc a b ÷-＝34239a bc a b -＝111
3
a b c ---．
4． （1）3723x y -；（2）62b a
-；（3）1；（4）1
x y -+．点拨：灵活运用整数指数幂的运
算性质
5．23
2.66710?（个），27
1.67510-?（千克），点拨：根据题意得8克（3
810-?千克）
水
中
大
约
有
3
2326
810 2.66710310
--?≈??个
水
分
子
；
26262627(310 2.66510)20.167510 1.67510----?-?÷=?=?