2018-2019学年数学人教版九年级上册
22.2.2 图象法求一元二次方程的近似根同步训练
一、选择题
1. ( 2分) 根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（）
A. x＜3.24
B. 3.24＜x＜3.25
C. 3.25＜x＜3.26
D. 3.25＜x＜3.28
【答案】B
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．故答案为：B．
【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02＜0；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01＞0，于是可判断x在3.24和3.25之间取某一值时，ax2+bx+c=0，由此得到方程ax2+bx+c=0（x≠0）的一个解x的范围。
2. ( 2分) 已知二次函数的对称轴是直线x=﹣1及部分图像（如图所示），由图像可知关于x的一元二次方程的两个根分别是和（）
A.﹣1.3
B.﹣2.3
C.﹣3.3
D.﹣4.3
【答案】C
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】根据二次函数的图象和性质进行求解.
由于函数关于对称轴对称，方程一根为1.3可知另一根－1－x2＝1.3－（－1），∴x2＝－3.3.
【分析】根据二次函数的图象和性质，结合对称轴x=，代入进行求解。
3. ( 2分) 二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（）．
A. －1＜x＜3
B. x＜－1
C. x＞3
D. x＜－1或x＞3
【答案】A
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】由图可知图象与x轴的交点是（-1,0）、（3,0）,当y＜0时，函数图像位于x轴的下方，此时自变量x的取值范围是:－1＜x＜3.故答案为：A
【分析】观察图像可以得出：当y＜0时，函数图像位于x轴的下方，就可写出此时自变量x的取值范围。
4. ( 2分) 如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是（）.
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）.
利用图象可知：ax2+bx+c＞0的解集即是y＞0是x的取值范围，
∴-1＜x＜5.
【分析】观察函数图像，可得出对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），利用二次函数的对称轴可出抛物线与x轴的另一个交点坐标，要使y＞0，就是观察x轴上方部分的图像，可得出答案。
5. ( 2分) 小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( )
x 1.5 2 2.5 3 3.5
x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25
A.1.5和2之间
B.2和2.5之间
C.2.5和3之间
D.3和3.5之间
【答案】C
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由表格得：2.5＜x＜3时，-0.75＜y＜1，二次函数y=x2－2x－2与x轴必有一个交点在2.5到3之间，所以x2－2x－2＝0必有一个实数根在2.5到3之间.故答案为：C
【分析】观察表中的x、y的对应值，主要观察0在相对应的哪两个y的值之间，那么就可得出近似根就在这两个y对应的x值之间。
6. ( 2分) 根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解()
A.x2＋3x－1＝0
B.x2＋3x＋1＝0
C.3x2＋x－1＝0
D.x2－3x＋1＝（）
【答案】A
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，令y=0，x2＋3x－1=0，解出x写出坐标即可，一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应，所以根据抛物线y＝x2＋3x－1与x 轴的交点的坐标，可以求出x2＋3x－1=0的近似解故答案为：A.
【分析】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，设y=0，x2＋3x－1=0，求出x的值，可得出抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点坐标，就可以求出x2＋3x－1=0的近似解。
7. ( 2分) 已知二次函数y＝x2－2x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(－1，0)，则关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根是( )
A.x1＝1，x2＝2
B.x1＝1，x2＝3
C.x1＝－1，x2＝2
D.x1＝－1，x2＝3
【答案】D
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】将(－1，0)代入y＝x2－2x＋m得, ,
解得,
则得方程为:x2－2x-3=0,
解得,
, .
所以D选项是正确的.
故答案为：D.
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，就可求出抛物线的解析式，再根据y=0求出对应的自变量的值，再根据二次函数y＝x2－2x＋m(m为常数)的图象与x轴的两个交点的横坐标就是关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根。
8. ( 2分) 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的近似根，二次函数y=a （x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣=﹣2，=﹣9a，
∴b=4a，c=-5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，
∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，
若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，
故答案为：B．
【分析】利用抛物线的顶点坐标，代入可得出b=4a，c=-5a，因此函数解析式转化为y=ax2+4ax﹣5a，分别将b=4a，c=-5a代入①②，结合a>0，可对①②作出判断；再由y=0，就可求出抛物线与x轴的两个交点坐标，结合函数图像及x1＜x2，可对③作出判断；若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，可对④作出判断，综上所述，可得出答案。
二、填空题
9. ( 1分) 二次函数y＝x2＋ax＋a与x轴的交点分别是A(x1，0)、B(x2，0)，且x1＋x2－x1x2＝－10，则抛物线的顶点坐标是________．
【答案】（- ，- ）
【考点】二次函数图象与系数的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵二次函数y=x2+ax+a与x轴的交点分别是A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=-a，x1x2=a，
∴由x1+x2-x1x2=-10，得
-a-a=-10，
解得a=5，
则二次函数的解析式为：y=x2+5x+5=（x+ ）2- ，
∴抛物线的顶点坐标是（- ，- ）．
故答案为：（- ，- ）
【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2、x1x2，再代入建立关于a的方程，求出a的值，然后将a的值代入抛物线的解析式，就可求出其顶点坐标。
10. ( 1分) 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是________．
【答案】，
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1．
所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1
故答案为x1=-2，x2=1．
【分析】方程ax2=bx+c 的解就是抛物线y=ax2与直线y=bx+c交点横坐标。
11. ( 1分) 已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是________．
x …﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
【答案】（3，0）
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x= =1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【分析】观察表格发现抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，根据抛物线的对称性得出其对称轴直线，进而得出点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0）。
12. ( 1分) 若二次函数y＝x2＋3x－c(c为整数)的图象与x轴没有交点，则c的最大值是________. 【答案】－3
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】因为抛物线y＝x2＋3x－c(c为整数)的图象与x轴没有交点,
所以,
所以,
因为c为整数,
所以c的最大值是-3.
故答案为:-3.
【分析】利用抛物线与x轴没有交点，可得出b2-4ac＜0，求出c的取值范围，再根据c为整数，可求出c的最大值。
13. ( 1分)的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图所示），由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别是x1=1.3和x2=________．
【答案】-3.3
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（-1，-3.2）
∴- =-1则- =-2
∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根
∴x1+x2=-
又∵x1=1.3
∴x1+x2=1.3+x2=-2
解得x2=-3.3．
【分析】利用顶点坐标公式及两根之和的公式，可求出方程的另一个根。或利用抛物线的对称性解答。
14. ( 1分) 已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2
的最小值是________
【答案】8
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，
∴x1+x2=﹣2k，x1?x2=k2+k+3，
∵△=4k2﹣4（k2+k+3）=﹣4k﹣12≥0，解得k≤﹣3，
∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2
=x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1
=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2
=（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2
=2k2+2k﹣4
=2（k+ ）2﹣
当k=-3时，（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的值最小，最小为8.
故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8．
故答案为：8．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，两根之和==-2k，两根之积==，再将所求代数式转化为两根之和与两根之积的形式，代入即可得关于k的代数式，根据非负数的性质即可求解。
15. ( 1分) 若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为________．
【答案】(1，0)，(5，0)
【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】已知一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，
即抛物线y＝a(x＋m)2－3与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
∵抛物线y＝a(x＋m)2－3向右平移两个单位可得抛物线y＝a(x＋m－2)2－3，
∴抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为(-1+2，0)，(3+2，0)，即(1，0)，(5，0).【分析】由一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，可得出抛物线y＝a(x＋m)2－3与x轴的两个交点坐标，再观察两函数解析式，可得出抛物线y＝a(x＋m)2－3向右平移两个单位可得抛物线y＝a(x＋m－2)2－3，就可求出抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标。
三、解答题
16. ( 10分) 已知抛物线的对称轴是直线，
（1）求证：；
（2）若关于x的方程，有一个根为4，求方程的另一个根．
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴- =1，
∴2a+b=0；
（2）解：∵关于x的方程ax2+bx-8=0，有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），
∴方程的另一个根为x=-2．
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线x==1，即可得证。
（2）由题意可知抛物线y=ax2+bx-8与x轴的一个交点坐标为（4,0），对称轴为x=1，可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，从而可得出方程的另一个根。
17. ( 15分) 抛物线与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；
（3）①当x取什么值时，？当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？
【答案】（1）解：将点（0，3）代入抛物线y=-x2+（m-1）x+m，
m=3，
∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3；
（2）解：令y=0，-x2+2x+3=0，
解得x1=3，x2=-1；
x轴：A（3，0）、B（-1，0）；
y轴：C（0，3）
（3）解：抛物线开口向下，对称轴x=1；
所以①当-1＜x＜3时，y＞0；
②当x≥1时，y的值随x的增大而减小．
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（0,3）代入函数解析式求出m的值，就可解答。
（2）要求抛物线与坐标轴的交点坐标，就是求当y-0时或x=0时的自变量的值和对应的函数值，就可得出答案。
（3）①根据抛物线与x轴的交点坐标，可得出y＞0时的x的取值范围；②根据抛物线的对称轴及二次函数的性质可解答。
18. ( 10分) 抛物线经过点、两点．
（1）求抛物线顶点D的坐标；
（2）抛物线与x轴的另一交点为A，求的面积．
【答案】（1）解：由题意，得，
解得，
则y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
则D（1，4）；
（2）解：如图，
由题意，得-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3；
则A（-1，0），
又∵B（3，0）、C（0，3），
∴S△ABC＝×4×3＝6
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点B、C的坐标分别代入函数解析式，建立关于a、c的二元一次方程组，解方程组，就可求得抛物线的解析式，再将抛物线的解析式转化为顶点式，即可解答。
（2）先由y=0，求出抛物线与x轴的交点A的坐标，再根据点A、B、C的坐标，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积。
19. ( 10分) 已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．（1）求b，c的值．
（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
【答案】（1）解:把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y=﹣x2+bx+c，
得，
解得
（2）解:由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣x2+ x+3，
△=（）2﹣4×（﹣）×3= ＞0，
所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点，
∵﹣x2+ x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8，
∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将A,B两点的坐标分别代入二次函数y=﹣x2+bx+c，得出关于b,c的二元一次方程组，求解得出b,c的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）首先算出?的值，然后判断出其值大于0，,从而判断出二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点就可求出两交点的坐标。
20. ( 20分) 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
（1）写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】（1）解：图中可以看出抛物线与x轴交于(1，0)和(3，0)，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3；
（2）解：不等式ax2+bx+c>0时，通过图中可以看出：当1
∴不等式ax2+bx+c>0的解集为1 （3）解：图中可以看出对称轴为x=2， ∴当x>2时，y随x的增大而减小； （4）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过(1，0)，(2，2)，(3，0)， ∴， 解得：a=?2，b=8，c=?6， ∴?2x2+8x?6=k,移项得?2x2+8x?6?k=0， △=64?4(?2)(?6?k)>0， 整理得：16?8k>0， ∴k<2时,方程ax2+bx+c=k有2个相等的实数根。 【考点】待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数图像求一元二次方程的近似根，二次函数与不等式（组）的综合应用 【解析】【解答】【分析】（1）观察函数图像，可知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)，就可得出方程ax2+bx+c=0的两个根就是抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两交点的横坐标。 （2）观察函数图像，要使ax2＋bx＋c＞0，即y＞0，观察x轴上方的图像，可解答。 （3）利用二次函数的性质，结合对称轴，可得出答案。 （4）利用待定系数法求出抛物线的解析式，就可得出?2x2+8x?6?k=0，再由b2-4ac＞0，求出k的取值范围。 21. ( 10分) 根据下列要求，解答相关问题． （1）请补全以下求不等式的解集的过程： ①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y= ；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y= 的图象（只画出大致图象即可）； ②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为；并用虚线标示出函数y= 图象中y＜0的部分； ③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式＜0的解集为． （2）请你利用上面求不等式解集的过程，求不等式-3≥0的解集． 【答案】（1）解：二次函数y=x2-2x的图象如图1所示， ∵二次函数y=x2-2x与x轴交于O（0，0），A（2，0）， ∴方程x2-2x=0的解为x=0或2． 由图象可知x2-2x＜0的解集为0＜x＜2． 故答案为x=0或2，0＜x＜2． （2）解：函数y=x2-2x-3的图象如图2所示， ∵A（-1，0），B（3，0）， ∴不等式x2-2x-3≥0的解集，由图象可知，x≥3或x≤-1． 【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根，二次函数与不等式（组）的综合应用 【解析】【分析】（1）先利用描点法画出二次函数y=x2-2x的图像，再求出抛物线y=x2-2x与x轴的两交点坐标，观察函数图像，写出x2-2x＜0的解集。 （2）先画出函数y=x2-2x-3的图象，观察函数图像，要使x 2? 2 x -3≥0即y≥0，就是观察x轴上方的图像，根据抛物线与x轴的两交点坐标，写出其解集。
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