§集合的概念与运算 【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力． 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解． 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2.
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算 4. 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A. [难点正本疑点清源] 1．正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况． 3．正确区分?，{0}，{?} ?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?.
1 / 6 模块： 一、集合、命题、不等式 课题： 1、集合及其运算 教学目标： 理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、真子集、 集合相等等概念，能判断两个简单集合之间的包含关系或相等关系；理解交集、 并集，掌握集合的交、并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义， 能求出已知集合的补集． 重难点： 集合的概念及其运算；对集合有关概念的理解． 一、 知识要点 1、 集合的有关概念 （1） 集合、元素、有限集、无限集、空集； （2） 子集、真子集、集合相等； （3） 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性． 2、 表示集合的方法：列举法、描述法． 3、 集合运算：交集、并集、补集（全集）． 4、 有限集的子集个数公式： 对于有限集A ，若其中有n 个元素，则有2n 个子集，21n -个非空子集，21n -个真子集． 5、 两个有限集的并集的元素个数公式： ()()()()card A B card A card B card A B =+-． 二、 例题精讲 例1、已知{}221,251,1,2A a a a a A =-+++-∈且,则a = ． 答案：3 2- 例2、给出下列四种说法 ①任意一个集合的表示方法都是唯一的； ②集合{}1,0,1,2-与集合{}2,1,0,1-是同一个集合 ③集合{}|21,x x k k Z =-∈与集合{}|21,y y s s Z =+∈表示的是同一个集合； ④集合{}|01x x <<是一个无限集. 其中正确说法的序号是 .（填上所有正确说法的序号） 答案：②③④ 例3、下列五个关系式：（1）{}?=0；（2）0=?；（3）?∈0；（4）{}??0；（5）{}0≠?； 其中正确的个数是（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 答案：A 例4、设P 是一个数集，且至少含两个数，若对任意,a b P ∈，都有
1 集合的概念与运算（一） 目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题 2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质， 3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法． 重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用; 2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 基本知识点： 知识点1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集） （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 知识点2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N * 或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {} 数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N * 或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 知识点3、元素与集合关系（隶属） （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写 知识点4、集合中元素的特性 （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复 （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
1.2.2 集合的运算 第1课时交集与并集 【学习要求】 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集． 2.能使用Venn图表示集合的交集和并集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用． 3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的交集与并集运算． 【学法指导】 通过观察和类比，借助Venn图理解集合的交集及并集运算，培养数形结合的思想；体会类比的作用；感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁性和准确性. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.交集的定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫 做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．即A∩B＝ {x|x∈A且x∈B} . 2.交集的性质：(1)A∩B＝ B∩A ；(2)A∩A＝A ； (3)A∩?＝?∩A＝?；(4)如果A?B，则A∩B＝A . 3.并集的定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A 与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．即A∪B＝ {x|x∈A或x∈B} . 4.并集的性质：(1)A∪B＝ B∪A ；(2)A∪A＝A ；(3)A∪?＝?∪A＝A ；(4)如果A?B，则A∪B ＝B . 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减法运算，如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢？本节就来研究这个问题． 探究点一交集 问题1你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？ (1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,8}，C＝{3,4,5}； (2)A＝{x|x≤3}，B＝{x|x>0}，C＝{x|0 集合的概念与运算训练 一、选择题 1．（07浙江）设全集U ={1，3，5，6，8}，A ={1，6}，B ={5，6，8}，则(C U A )∩B =( ) A ．｛6｝ B ．{5，8} C ．{6，8} D ．{3，5，6，8} 2．（09山东）集合{0,2,}A a =,2{1,}B a =,若{0,1,2,4,16}A B = ,则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 3．（10湖北）设集合M ={1,2,4,8}，N ={x |x 是2的倍数}，则M ∩N =( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8} 4．（08安徽）若A 为全体正实数的集合，{2,1,1,2}B =--则下列结论中正确的是（） A ．{2,1}A B =-- B ．()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ．(){2,1}R C A B =-- 5．（06陕西）已知集合P ={x ∈N |1≤x ≤10},集合Q ={x ∈R |x 2+x -6=0}, 则P ∩Q 等于( ) A ． {2} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3} 6．（07安徽）若22 {|1},{|230}A x x B x x x ===--=，则A B ＝( ) A ．{3} B ．{1} C ．? D ．{1}- 7．（08辽宁）已知集合{31}M x x =-<<，{3}N x x =≤-，则M N = （） A ．? B ．{3}x x ≥- C ．{1}x x ≥ D ．{1}x x < 8．（06全国Ⅱ）已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>，则M N = ( ) A ．? B ．{|03}x x << C ．{|13}x x << D ．{|23}x x << 9．（09陕西）设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N 为（） A ．[0，1） B ．（0，1） C ．[0，1] D ．（-1，0] 10．（07山东）已知集合11{11}| 242x M N x x +??=-=<<∈????Z ，，，，则M N = （） A ．{11}-， B ．{0} C ．{1}- D ．{10}-， 11．（11江西）已知集合{}? ?????≤-=≤+≤-=02,3121x x x B x x A ，则B A 等于（） A ．{10}x x -≤< B ．{01}x x <≤ C ．{02}x x ≤≤ D ．{01}x x ≤≤ 12．（07广东）已知集合1{10{0}1M x x N x x =+>=>-，，则M N = （） A ．{11}x x -<≤ B ．{1}x x > C ．{11}x x -<< D ．{1}x x -≥ 13．（08广东）届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（） A. A B ? B. B C ? C. B ∪C = A D. A∩B = C 14．（09广东）已知全集U =R ，则正确表示集合M = {-1，0，1}和N = {x |x 2+x =0}关系的韦恩（Venn ） 图是（） A ． B ． C ． D ． 1.2.1集合之间的关系 教学目的：1、使学生掌握子集、真子集、空集、两个集合相等等概念，会写出一个集合的所有子集。 2、能过与不等式类比学习集合间的基本关系，掌握类比思想的应用。 教学重难点：重点是掌握集合间的关系，难点是子集与真子集的区别。 教学过程： 一、复习提问 1、元素与集合之间有什么关系？a与{a}有什么区别？ 2、集合的表示方法有几种？分别是什么？ 二、新课 5<7 例1、A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5} 或7>5 特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。 称为：集合A是集合B的子集。 记作：A?B，或B?A。 例2、A为高一(2)班女生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合。 特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。 定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset)。 记作：A?B，或B?A。用Venn图表示(右上图)。 5=5 例3、设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形} a≤b 特点：集合C中的任何一个元素都是集合D中的元素，集合D中的任何一 且b ≥a 个元素都是集合C 中的元素，即C ?D ，或D ?C 。 则a=b 所以，C=D 。 定义：如果集合A 是集合B 的子集(A ?B)，且集合B 是集合A 的子集(B ?A)，此时 集合A 与集合B 的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作：A=B 定义：若集合A ?B ，但在在元素x ∈B ，且x ?A ，我们称集合A 是集合B 的真子集 B ，或B A 记作：A 例1中，集合A 是集合B 的真子集。例2呢？ 方程x 2+1=0没有实数根，所以方程x 2+1=0的实数根组成的集合中没有元素。 定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为?，并规定：空集是任何集合的子 集。 两个结论：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ?A 。 (2)对于集合A 、B 、C ，如果A ?B ，且B ?C ，那么A ?C 类比：a §1.1集合的概念与运算 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 A B(或 B A) 3. (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个． (2)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×) (2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×) (3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(√) (4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×) (5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.(√) (6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则?U P＝{2}．(√) 1．(2014·课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于() A．[－2，－1]B．[－1,2) C．[－1,1]D．[1,2) 答案 A 解析∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}， ∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A. 2．(2014·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于() A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1} C．{0,1} D．{－1,0} 答案 A 解析因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}，故选A. 3．(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．5 D．9 答案 C §1.1集合的概念及其基本运算 基础自测 1.（2008·山东，1）满足M ?{}4321,,,a a a a ,且M {}{}21321,,,a a a a a = 的集合M 的个数是 . 答案 2 2.设集合A ={1，2}，则满足A ∪B ={1，2，3}的集合B 的个数是 . 答案 4 3.设全集U ={1，3，5，7}，集合M ={1，|a -5|}，, U M ?U M ={5，7}，则a 的值为 . 答案 2或8 4.(2008·四川理，1)设集合U ={},5,4,3,2,1A {},3,2,1=B {},4,3,2=则 U （A B ）等于 . 答案 {}5,4,1 5.（2009·南通高三模拟）设集合A ={}R ∈≤-x x x ,2|2||，B ={}21,|2≤≤--=x x y y ，则 R （A B ）= . 答案 （-∞,0） (0, +∞) 例题精讲 例1 若a ,b ∈R ,集合 {},,,0,,1? ?? ???=+b a b a b a 求b -a 的值. 解 由 {}? ?? ?? ?=+b a b a b a ,,0,,1可知a ≠0，则只能a +b =0，则有以下对应关系： ???? ???===+1 0b a a b b a ①或???????===+10a b a b b a ② 由①得,11?? ?=-=b a 符合题意；②无解.所以b -a =2. 例2 已知集合A = {}510|≤+ 《集合间的基本关系》教案 教材分析 类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系，了解空集的含义． 本节内容是在学习了集合的概念、元素与集合的从属关系以及集合的表示方法的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也为下一节学习集合的基本运算打好基础．因此本节内容起着承上启下的重要作用． 教学目标 【知识与能力目标】 1．了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 2．理解子集、真子集的概念； 3．能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 【过程与方法目标】 让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义． 【情感态度价值观目标】 感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义． 教学重难点 【教学重点】 集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念． 【教学难点】 属于关系与包含关系的区别． 课前准备 学生通过预习，观察、类比、思考、交流、讨论，发现集合间的基本关系． 教学过程 （一）创设情景，揭示课题 复习回顾： 1．集合有哪两种表示方法？ 2．元素与集合有哪几种关系？ 问题提出：集合与集合之间又存在哪些关系？ （二）研探新知 问题1：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？ 让学生自由发言，教师不要急于做出判断．而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察、研探． 投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==； （2）设A 为国兴中学高一（3）班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合； （3）设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形 （4）{2,4,6},{6,4,2}E F ==． 组织学生充分讨论、交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系： ①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集． 记作：()A B B A ??或 读作：A 含于B （或B 包含A ）． ②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等． 教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解．并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图．如图1和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图． 图1 图2 投影问题3：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论? 教师引导学生通过类比，思考得出结论： 若,,A B B A A B ??=且则． 问题4：请同学们举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例，并用Venn 图表示． 学生主动发言，教师给予评价． 2019-2020学年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案新人教版必 修1 【考点透视】 1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2．了解空集和全集的意义. 3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题. 5．注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如 A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论. 【例题解析】 题型1．正确理解和运用集合概念 理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（） A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1} 思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集． 解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D． 点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组 21, 1. y x y x ?=+ ? =+ ? 0, 1, x y = ? ? = ? 得 1, 2. x y = ? ? = ? 或 从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的． 例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（） A．P B．Q C． D．不知道 思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了． 解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y ≥0},Q={y|y≥1}，知Q P，即P∩Q=Q．∴应选B． 例3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（） A．P∩Q=? B．P Q C．P=Q D．P Q 教学课题人教版必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算 教学目标知识目标： （1）掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题（2）运用类比的方法，对照实数的相等与不等的关系，探究集合之间的包含与相等关系 （3）能利用Venn图表达集合间的关系；探索直观图示（Venn图）对理解抽象概念的作用 (4)通过探讨集合与集合间的关系，对照数或式的算术运算和代数运算，探究集合之间的运算. 能力目标： (1)发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界 (2)初步经历使用最基本的集合语言表示有关数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力 (3)使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力 . 教学重点与难点重点：集合间的基本关系以及基本运算 难点：子集、真子集的判断、空集与非空集合的分类谈论 教学过程 课堂导学 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即若 x∈A，则x∈B) A?B(或B ?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至 少有一个元素不在集合A中 A B(或 B A) 【点评】含字母的两个集合相等，并不意味着按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的 元素的互异性和无序性。 ★★★变式2：集合{|2,}A x x k k Z ==∈，{|21,}B x x k k Z ==+∈，{|41,}C x x k k Z ==+∈，又,a A b B ∈∈，则有（ ） A ．a b A +∈ B ．a b B +∈ C ．a b C +∈ D ．a b +不属于,,A B C 中的任一个 答案：B 解：设Z k k a ∈=11,2，2221,b k k Z =+∈， ∴12122212()1a b k k k k B +=++=++∈。 新知三： 子集、真子集、空集 ①如果集合A B ?，并且存在元素x B ∈且x A ?，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 。 ②不含任何元素的集合叫做空集，记作?，并规定：空集是任何集合的子集。 ★例3：写出集合{1,0,1}-的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解：子集为：?，{1}-，{0}，{1}，{1,0}-，{1,1}-，{0,1}，{1,0,1}-。 真子集为：?，{1}-，{0}，{1}，{1,0}-，{1,1}-，{0,1}。 【点评】若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非 空真子集有22n -个。 ★★变式3：已知集合{}{}1,21,2,3,4,5P ??，那么满足条件的集合P 的个数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案：D 解：满足条件的集合P 可为：{}1,2,{}1,2,3,{}1,2,4,{}1,2,5,{}1,2,3,4,{}1,2,3,5, {}1,2,4,5,{}1,2,3,4,5，共8个。 ★★例4：已知集合{13}A x x =-≤≤，2{,}B y y x x A ==∈，{2,}C y y x a x A ==+∈，若满足C B ?，求 实数a 的取值范围。 解：2{,}{09}B y y x x A y y ==∈=≤≤， {2,}{26}C y y x a x A y a y a ==+∈=-+≤≤， ∵C B ?，∴20 2369a a a -??? +? ≥≤≤≤。 ★变式4：集合{}1,2,3,4A =，2{0}B x N x a =∈-=，若满足B A ?，求实数a 的值组成的集合。 答案：{}1,4,9,16 ★★例5：已知集合A ={|25}x x -<≤，{|121}B x m x m =+-≤≤且B A ?，求实数m 的取值范围。 解：∵B A ? （1）当B =?时，则121m m +>-，解得2m <。 （2）当B ≠?时，则12121512m m m m +-?? - ??+>-? ≤≤，解得23m ≤≤。 综上所述，实数m 的取值范围是m ≤3。 【点评】当出现“A B ?”这一关系时，首先是讨论A 有没有可能为空集，因为A =? 时满足 A B ?。 第一节 集合 一．考试要求： 理解集合，子集，补集，交集，并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并用它们正确表示一些简单的集合。 二．基本概念和性质 1．集合的基本概念： 某些指定的对象集在一起成为一个集合。其中每一个对象叫做集合的_______,集合中的元素具有________、_________、________三个特性。 2．集合的三种表示方法：_________、________、_________，它们各有优点，用什么方法来 表示集合要具体问题具体分析。 3．集合中元素与集合的关系分为__________或_________,它们用符号___或____表示。 4．集合间的关系及运算 子集：___________________________________称A 为B 的子集，记作为_____; 真子集：___________________________________称A 为B 的真子集，记为_____; 空集：____________________,记为_____ 补集：如果已知全集U ，集合A U ?，则U C A =_________________; 交集：A B =___________________;并集：A B =_____________________ 5.集合中常用运算性质 若,A B B A ??则______，若,A B B C ??则_______, ___A ?, 若,A ≠?则___A ?，___,__,__,__A A A A A A =?==?= __U A C A = __,()__,()__U U U A C A C A B C A B === ____A B A B A B ??=?= 6．熟练掌握描述法表示集合的方法，理解下列五个常见集合： {}{}{}{}{}(1)|()0,:______________(2)|()0,:_________________ (3)|():____________________(4)|(),:________________(5)(,)|(),:__________________________ x f x x R x f x x R x y f x y y f x x M x y y f x x M =∈>∈==∈=∈ 7．特别注意： （1）空集和全集是集合中的特殊集合，应引起重视，特别是空集，避免误解或漏解。 （2）为了直观表示集合之间的关系，常用韦恩图来解决问题，另外要充分利用数轴和平面 直角坐标系来反映集合及其关系。 （3）解决有关集合问题，关键在于集合语言的转化。 三、例题选讲 高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 1.1.2集合间的基本关系 一、选择题 1．对于集合A ，B ，“A ?B ”不成立的含义是( ) A ． B 是A 的子集 B ．A 中的元素都不是B 的元素 C ．A 中至少有一个元素不属于B D ．B 中至少有一个元素不属于A [答案] C [解析] “A ?B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C. 2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( ) A ．P M B ．M P C ．M ＝P D ．M P [答案] C [解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0 ∴x 与y 同为负数 ∴????? x ＋y <0xy >0等价于??? x <0y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ?C ，B ?C ，则集合C 中元素最少有( ) A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 [答案] C [解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}， ∵A ?C ，B ?C ， ∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素． 4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ?A ，则满足条件的实数x 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] ∵B ?A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1 ∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C. 5．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R }和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R }，则两个集合间的关系是( ) A ．M P B ．P M C ．M ＝P D ．M 、P 互不包含 [答案] D [解析] 由于两集合代表元素不同，因此M 与P 互不包含，故选D. 6．集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }；集合A 满足A ?B ，A ?C .则满足条件的集合A 的个数是( ) A ．8 B ．2 C ．4 D ．1 [答案] C [解析] ∵A ?B ，A ?C ，∴集合A 中的元素只能由a 或b 构成．∴这样的集合共有22＝4个． 即：A ＝?，或A ＝{a }，或A ＝{b }或A ＝{a ，b }． 7．设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12 ，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M 与N 的关系不确定 [答案] B [解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得 M ＝{…－34，－14，14，34，54 …}， N ＝{…0，14，12，34 ，1…}， ∴M N ，故选B. 解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋24 (k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B. [点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k 是任意整 高中数学·· 教师版 page 1 of 8 集合的关系与运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。 2、 了解空集的含义与性质。 3、 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 4、 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 一、子集： 一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合B 。 记作:A B B A ??或 ， 读作：A 包含于B 或B 包含A 。 特别提醒：1、“A 是B 的子集”的含义是：集合A 的任何．． 一个元素都是集合B 的元素，即由x A ∈，能推出x B ∈。如：{}{}1,11,0,1,2-?-；{}{}?深圳人中国人。2、当“A 不是B 的子集”时，我们记作：“() A B B A ??//或”，读作：“A 不包含于B ，（或B 不包含A ）”。如：{}{}1,2,31,3,4,5?/。 3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合A ，它的任何一个元素都属于集合A 本身，记作A A ?。 4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合A ，有A ??。 5、在子集的定义中，不能理解为子集A 是集合B 中部分元素组成的集合。因为若A =?，则A 中不含有任何元素；若A =B ，则A 中含有B 中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B 的子集。 二、集合相等： 一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．． 一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．． 一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A =B 。 特别提醒：集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法，即欲证A B =，只需证A B ?与B A ?都成立即可。 三、真子集： 1．2 集合间的基本关系 问题导学 预习教材P7－P8，并思考以下问题： 1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？ 2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？ 3．空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？ 1．Venn 图 (1)定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法． (2)适用范围：元素个数较少的集合． (3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部． ■名师点拨 表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． 2．子集的概念 “集合A 是集合B 的子集”可以表述为：若x ∈A ，则x ∈B . 3．集合相等的概念 一般地，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等，记作A ＝B ，也就是说，若A ?B ，且B ?A ，则A ＝B . 4．真子集的概念 A B (或B A ) (1)若A ?B ，又B ?A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ?B ，且B ?A . (2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关． (3)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ?B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ?A . 5．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集． (2)用符号表示为：?． (3)规定：空集是任何集合的子集． ■名师点拨 ?，0，{0}与{?}之间的关系 ?{0} ? {?}或?∈{?} (1)任何一个集合是它本身的子集，即A ?A . (2)对于集合A ，B ，C ，如果A ?B ，且B ?C ，那么A ?C ． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“∈”“?”的意义是一样的．( ) (2)集合{0}是空集．( ) (3)空集是任何集合的真子集．( ) (4)若集合A 是集合B 的真子集，则集合B 中必定存在元素不在集合A 中．( ) (5)若a ∈A ，集合A 是集合B 的子集，则必定有a ∈B .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第一章-1-第1讲-集 合及其运算 https://www.doczj.com/doc/e212340872.html,work Information Technology Company.2020YEAR 知识点 最新考纲 集合了解集合、元素的含义及其关系．理解集合的表示法． 了解集合之间的包含、相等关系．理解全集、空集、子集的含义．会求简单集合间的并集、交集．理解补集的含义并会求补集. 命题及其关系、充分条件与必要条件 了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系． 理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R 表示 关系 文字语言符号语言记法 基本关 子集 集合A的所有元素 都是集合B的元素 x∈A? x∈B A?B或 B?A 真子集集合A是集合B的A?B，且存在x0∈A B 系子集，且集合B中 至少有一个元素不属 于A B，x0?A 或B A 相等 集合A，B的元素完 全相同 A?B， B?A A＝B 空集 不含任何元素的集 合．空集是任何集合 A的子集 任意x，x??，??A ? 3.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言 符号 语言 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} ?U A＝ {x|x∈U，且x?A} (1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A； A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A； A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. (3)补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?． (4)?U(?U A)＝A；?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)； ?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．() (2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.() (3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．() (4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立．() (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)× [教材衍化] 1．(必修1P12A组T3改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则() A．a∈P B．{a}∈P C．{a}?P D．a?P集合的概念与运算练习题
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