五与圆有关的比例线段
1.经历相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的探究过程，体会运动变化思想，认识四条定理的内在联系.
2.理解相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，能应用四条定理解决相关的几何问题.
3.通过探究，进一步体会运动变化的思想，体验数学探究的过程．
1．已知AB是直径，CD⊥AB交于点P，线段P A，PB，PC，PD之间有何关系？请说明理由．答案P A·PB＝PC·PD.如图，连接AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A
＝∠D，∠C＝∠B.∴△P AC∽△PDB，∴P A∶PD＝PC∶PB, P A·PB＝PC·PD.
2．如图，已知弦AB和CD交于⊙O内一点P.线段P A，PB，PC，PD之间
有何关系？请说明理由．
答案P A·PB＝PC·PD.同理可由△P AC∽△PDB证得．
3．把2中的两条相交弦的交点P从圆内移动到圆上，再到圆外，结论P A·PB＝PC·PD还能成立吗？说明理由．
答案当P在圆上时，P A＝PC＝0，仍有P A·PB＝PC·PD；当P在圆
外时，仍有P A·PB＝PC·PD.如图，易证△P AD∽△PCB.∴P A
PC＝PD PB，故
P A·PB＝PC·PD.
4．将3中的割线PD绕P点运动到切线的位置，P A·PB＝PC·PD是否还能成立？为什么？
答案仍能成立，原因如下：
连接AC、AD易证△P AC∽△PDA
故P A·PB＝PC·PD仍成立．
因为A，B重合，上式可变形为P A2＝PC·PD
1．相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
2．割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
3．切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．4．切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
要点一相交弦定理的应用
例1如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，
AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，
弦PQ交CD于E，求PE·EQ的值．
解延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N.
∵CD2＝AD·DB，AD＝9，BD＝4，∴CD＝6.
在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE·EQ＝DE·EM＝CE·EN，
设CE＝x，则DE＝6－x，
则(6－x)(x＋6)＝x(6－x＋6)，解得x＝3.
所以，CE＝3，DE＝6－3＝3，EM＝6＋3＝9.
所以PE·EQ＝3×9＝27.
规律方法用相交弦定理解决此类问题的步骤：
(1)结合图形，找准分点及线段被分点所分成的线段；
(2)正确应用相交弦定理列出关系式；
(3)代入数值运算，求出正确的答案．
跟踪演练1如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点
A为BF的中点，BF交AD于点E，且BE·EF＝32，AD＝6.
(1)求证：AE＝BE；
(2)求DE的长；
(3)求BD的长．
(1)证明 连接AF ，AB ，AC .∵A 是BF 的中点，
∴∠ABE ＝∠AFB .
又∠AFB ＝∠ACB ，
∴∠ABE ＝∠ACB .
∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，AH ⊥BC .
∴∠BAE ＝∠ACB .∴∠ABE ＝∠BAE .∴AE ＝BE .
(2)解 设DE ＝x (x ＞0)，
由AD ＝6，BE ·EF ＝32，AE ·EH ＝BE ·EF ，
则(6－x )(6＋x )＝32，解得x ＝2，即DE 的长为2.
(3)解 由(1)、(2)有：BE ＝AE ＝6－2＝4，
在Rt △BDE 中，BD ＝42－22＝2 3.
要点二 切割线定理的应用
例2 如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延
长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2.求：
(1)BC 的长；
(2)⊙O 的半径r .
解 (1)不妨设BM ＝MN ＝NC ＝x .
根据切割线定理，得AB 2＝BM ·BN ，即22＝x (x ＋x )．
解得x ＝2，∴BC ＝3x ＝3 2.
(2)在Rt △ABC 中，AC ＝BC 2－AB 2＝14，
由割线定理，得CD ·AC ＝CN ·CM ，由(1)可知，
CN ＝2，CM ＝BC －BM ＝32－2＝22，
AC ＝14，∴CD ＝CN ·CM AC ＝214
7，
∴r ＝1
2(AC －CD )＝12????14－214
7＝51414.
规律方法 (1)应用切割线定理的一般步骤：
①观察图形，寻找切割线定理成立的条件；
②找准相关线段的长度，列出等式；
③解方程，求出结果．
(2)应用切割线定理及割线定理的前提条件：
只有从圆外一点才可能产生割线定理或切割线定理，切割线定理是指一条切线和一条割线，而割线定理则是指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理．
跟踪演练2如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为__________．
答案 5
解析在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，
∴BC＝AB·sin60°＝10 3.
∵CD是此圆的切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.
在Rt△BCD中，CD＝BC·cos60°＝53，BD＝BC·sin60°＝15.
由切割线定理可得CD2＝DE·DB，∴(53)2＝15DE，解得DE＝5.
要点三切线长定理的应用
例3如图所示，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，点C
为AB上任意一点，过C作⊙O的切线，分别交P A、PB于点D、E，△PDE
的周长为8cm，且∠DOE＝70°，
求(1)P A的长；(2)∠P的度数．
解(1)P A＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋CE.
由“切线长定理”可知P A＝PB，DA＝DC，EB＝EC.
所以P A＋PB＝2P A＝PD＋PE＋DA＋EB＝PD＋PE＋(DC＋EC)，即2P A＝PD＋PE＋DE.
而△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝8cm.
所以2P A＝8cm，P A＝4cm.
(2)连接OA、OB、OC，则P A⊥OA，PB⊥OB，DE⊥OC，
且∠1＝∠2，∠3＝∠4＝∠9＝90°.
由三角形内角和得∠5＝∠6，∠7＝∠8.又∠P＋∠P AO＋∠AOB＋∠PBO＝360°，所以∠P＝180°－(∠5＋∠6＋∠7＋∠8)．由已知∠6＋∠7＝70°，
所以∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝140°，
所以∠P＝180°－140°＝40°.
规律方法切线上一点到切点的距离为切线长，并且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角．解此题第(2)问时，注意四边形内角和这一隐含条件的使用，当已知条件中有切线时，通常连接切点和圆心，以便使用“垂直”这一结论，这也是切线问题常用的辅助线．
跟踪演练3如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC、BC、AB分别与⊙O切于
点D、E、F，∠C＝90°，AD＝3，⊙O的半径为2，则BC＝________.
答案12
解析如图所示，分别连接OD、OE、OF.
∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥BC，OD⊥AC，
∴四边形OECD是正方形．
设BF＝x，则BE＝x.
∵AD＝AF＝3，CD＝CE＝2，
∴(2＋x)2＋25＝(x＋3)2，
解得x＝10，∴BC＝12.
1．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，
DE＝CE＋3，则CD的长为()
A．4 B．5
C．8 D．10
答案 B
解析设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，
得AE·EB＝CE·ED，
即x (x ＋3)＝2×2，解得x ＝1或x ＝－3(不合题意，应舍去)．则CD ＝3＋1＋1＝5.故选B.
2．在半径为12cm 的圆中，垂直平分半径的弦的长为( )
A ．33cm
B ．27cm
C ．123cm
D ．63cm
答案 C
解析 方法一 如图所示，
OA ＝12，CD 为OA 的垂直平分线，
连接OD .
在Rt △POD 中，
PD ＝OD 2－OP 2
＝122－62＝63， ∴CD ＝2PD ＝12 3 (cm)．
方法二 如图所示，延长AO 交圆于M ，由相交弦定理得P A ·PM ＝PC ·PD .
又∵CD 为线段OA 的垂直平分线，
∴PD 2＝P A ·PM .
又∵P A ＝6，PM ＝6＋12＝18，
∴PD 2＝6×18，∴PD ＝63，
∴CD ＝2PD ＝12 3 (cm)．
3．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，
且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的
长为________．
答案 72
解析 设BE ＝a ，则AF ＝4a ，FB ＝2a .
∵AF ·FB ＝DF ·FC ，∴8a 2＝2，∴a ＝12
， ∴AF ＝2，FB ＝1，BE ＝12，∴AE ＝72
， 又∵CE 为圆的切线，∴CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74
，
∴CE＝
7 2.
4．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别
为A、B，过P A的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，
CD＝3，则PB＝_______.
答案 4
解析∵QA是⊙O的切线，∴QA2＝QC·QD，
∵QC＝1，CD＝3，∴QA2＝4，∴QA＝2，∴P A＝4，
∵P A，PB是⊙O的切线，∴PB＝P A＝4.
5．如图所示，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切
于点L、M、N、P.求证：AB＋CD＝AD＋BC.
证明因为AB、BC、CD、DA都与⊙O相切，L、M、N、P为切点，
所以AL＝AP，LB＝MB，DN＝DP，NC＝MC.
所以AB＋CD＝AL＋LB＋DN＋NC＝AP＋MB＋DP＋MC＝AD＋BC.
即AB＋CD＝AD＋BC.
1.相交弦定理的证明过程是利用分类讨论思想进行分析的，也可以理解为是由特殊到一般的过程进行分析的．
2．割线定理是圆中的比例线段，在证明割线定理时所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地把握．
3．要真正弄懂切割线定理的数量关系，把握定理叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两条线段长”等关键字样．
4．(1)切线长定理在证明线段相等、角相等及垂直关系中占有重要地位，故为重点．
(2)“切割线定理”和“切线长定理”实际上是割线定理的特例．
(3)深刻理解结论：由于圆是轴对称图形，在图中若再连接AB与OP交于点C，则存在射影
定理的基本图形，于是有AC2＝BC2＝PC·OC，P A2＝PB2＝PC·PO，AO2＝BO2＝OC·OP.