全等三角形压轴题组卷
一．选择题 (共 5 小题 )
1．如图所示，是瑞安部分街道示意图，AB=BC=AC ，CD=CE=DE ， A ， B， C， D， E， F， G， H 为“公交汽车”停靠点，甲公共汽车从 A 站出发，按照 A ，H ，G，D ， E， C， F 的顺序到达F 站，乙公共汽车从B 站出发，按照 B ，F，H， E， D，C，G 的顺序到达G 站，如果甲、乙两车分别从 A 、B 两站同时出发，各站耽误的时间相同，两辆车速度也一样，则()
A ．甲车先到达指定站
B．乙车先到达指定站
C．同时到达指定站
D．无法确定
2．如图，在△ABC 中，∠ A=52°，∠ ABC 与∠ ACB 的角平分线交于D1，∠ ABD 1与∠ ACD 1的角平分线交于点 D2，依此类推，∠ABD 4与∠ ACD 4的角平分线交于点 D 5，则∠ BD 5C 的度数是 ()
A． 56°
B． 60°
C． 68°
D． 94°
3．如图在△ ABD 和△ ACE 都是等边三角形，则△ADC ≌△ ABE 的根据是 ()
A． SSS
B． SAS
C． ASA
D． AAS
4．如图 1，已知 AB=AC ， D 为∠ BAC 的角平分线上面一点，连接BD ， CD ；如图 2，已知 AB=AC ， D、E 为∠ BAC 的角平分线上面两点，连接BD ，CD ， BE ， CE；如图 3，已知 AB=AC ， D、 E、F 为∠ BAC 的角平分线上面三点，连接BD ， CD ，BE ， CE，BF ， CF；?，依次规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是()
A ． n B． 2n-1C． D ．3(n+1)
5．如图， D 为∠ BAC 的外角平分线上一点并且满足BD=CD ，∠ DBC= ∠ DCB ，过 D 作 DE⊥ AC 于 E，
DF⊥ AB 交 BA 的延长线于F，则下列结论：
①△ CDE ≌△ BDF ；② CE=AB+AE ；③∠ BDC= ∠ BAC ；④∠ DAF= ∠ CBD ．
其中正确的结论有()
A．1 个
B．2个
C．3个
D．4 个
二．填空题 (共 3 小题 )
6．如图， AC=BC ，∠ ACB=90°， AE 平分∠ BAC ， BF ⊥ AE ，交 AC 延长线于F，且垂足为E，则下列结论：① AD=BF ；② BF=AF ；③AC+CD=AB ，④ AB=BF ；⑤ AD=2BE ．其中正确的结论有．
第6题第7题第8题
7．如图，已知△ABC 和△ BDE 都是等边三角形．则下列结论：
① AE=CD ．②BF=BG ．③ HB ⊥ FG．④∠ AHC=60° ．⑤△ BFG 是等边三角形，其中正确的有．8．如图，∠ AOB 内一点 P， P1、 P2分别是点 P 关于 OA 、 OB 的对称点， P1P2交 OA 于 M，交 OB 于 N ，
若 P1P2=5cm ，则△ PMN 的周长是．
三．解答题 (共 22 小题 )
9．已知：如图，△ ABC 中，∠ ABC=45°， DH 垂直平分 BC 交 AB 于点 D， BE 平分∠ ABC ，且 BE⊥ AC 于 E，与 CD 相交于点 F，试说明一下论断正确的理由：
(1).∠ BDC=90°；
(2).BF=AC ；
1
(3).CE=BF．
2
10．已知， D 是△ ABC 中 AB 上一点，并且∠BDC=90°， DH 垂直平分BC 交 BC 于点 H．
(1).试说明： BD=DC ；
(2).如图 2，若 BE⊥ AC 于 E，与 CD 相交于点F，
试说明：△ BDF ≌△ ACD ；
(3).在 (1) 、 (2)条件下，若BE 平分∠ ABC ，试说明：
BF=2CE ．
11．数学问题：如图 1，在△ ABC 中，∠ A=α，∠ ABC 、∠ ACB 的 n 等分线分别交于点 O1、O2、?、O n-1，求∠ BO n-1C 的度数？
问题探究：我们从较为简单的情形入手．
探究一：如图 2，在△ ABC 中，∠ A=α，∠ ABC 、∠ ACB 的角平分线分别交于点O1，求∠ BO1C 的度数？
解：由题意可得∠O1BC=1
∠ ABC ，∠ O1CB=
1
∠ACB 22
11
∴∠ O1BC+ ∠O1CB= (∠ ABC+ ∠ ACB)=(180 °-α)
22
∴∠ BO 1C=180°-11 (180 °-α)=90 °+α．22
探究二：如图 3，∠ A=α，∠ ABC 、∠ ACB 三等分线分别交于点O1、 O2，求∠ BO 2C 的度数．
解：由题意可得∠O2BC=2
∠ ABC ，∠ O2CB=
2
∠ACB 33
22
22
∴∠ BO 2C=180°- (180 °-α)=60 °+α．
33
探究三：如图4，∠ A=α，∠ ABC 、∠ ACB 四等分线分别交于点O1、 O2、 O3，求∠ BO 3C 的度数．
(仿照上述方法，写出探究过程 )
问题解决：如图1，在△ ABC 中，∠ A=α，∠ ABC 、∠ ACB 的 n 等分线分别交于点 O1、 O2、?、O n-1，求
∠BO n﹣1C 的度
数．问题拓广：
如图 2，在△ ABC 中，∠ A=α，∠ ABC 、∠ ACB 的角平分线交于点O1，两条角平分线构成一角∠ BO 1C．1
2
探究四：如图3，∠ A=α，∠ ABC 、∠ ACB 三等分线分别交于点O1、O2，四条等分线构成两个角∠BO 1C，∠ BO2 C，则∠ BO 2C+∠BO 1 C=．
探究五：如图 4，∠ A=α，∠ ABC 、∠ACB 四等分线分别交于点O1、O2、O3，六条等分线构成三个角∠BO 3C，∠ BO2 C，∠ BO1 C，则∠ BO 3C+∠ BO2C+∠ BO 1C=．
探究六：如图 1，在△ ABC 中，∠ A=α，∠ ABC 、∠ ACB 的 n 等分线分别交于点 O1、O2、?、O n-1，(2n-2))等分
线构成 (n-1) 个角∠ BO n-1C?∠ BO3C，∠ BO2C，∠ BO1 C，则∠ BO n-1C+?∠ BO 3C+ ∠BO2 C+∠ BO 1C
=．
12．如图，在Rt△ ABC 中， AB=AC=4cm ，∠ BAC=90°， O 为边 BC 上一点， OA=OB=OC ，点 M 、 N 分
别在边 AB 、AC 上运动，在运动过程中始终保持AN=BM ．
(1).在运动过程中，OM 与 ON 相等吗？请说明理由．
(2).在运动过程中，OM 与 ON 垂直吗？请说明理由．
(3).在运动过程中，四边形AMON的面积是否发生变化？
若变化，请说明理由；若不变化，求出四边形AMON 的面积．
13．如图，在△ ABC 中， AB=AC=2 ，∠ B=∠ C=40°，点 D 在线段 BC 上运动 (D 不与 B 、 C 重合 )，连接
AD ，作∠ ADE=40°， DE 交线段 AC 于 E．
(1).当∠ BDA=115°时，∠ EDC=°，∠ DEC=°；点D从B向C运动时，∠ BDA逐渐变(填“大”或“小”)；
(2).当 DC 等于多少时，△ABD ≌△ DCE ，请说明理由；
(3).在点 D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？
若可以，请直接写出∠BDA 的度数．若不可以，请说明理由．
14．如图，等腰直角三角形ABC ， AB=BC ，直角顶点 B 在直线 PQ 上，且 AD ⊥ PQ 于 D， CE⊥ PQ 于 E．
(1).△ ADB 与△ BEC 全等吗？为什么？
(2).图 1 中， AD 、DE、 CE 有怎样的等量关系？说明理由．
(3).将直线 PQ 绕点 B 旋转到如图 2 所示的位置，其他条件
不变，那么AD 、 DE 、 CE 有怎样的等量关系？说明理由．
15．如图，在等腰△ ABC 中，CB=CA ，延长 AB 至点 D ，使 DB=CB ，连接 CD，以 CD 为边作等腰△ CDE ，
使CE=CD ，∠ ECD= ∠ BCA ，连接 BE 交 CD 于点 M．
(1).BE=AD吗？请说明理由；
(2).若∠ ACB=40°，求∠ DBE 的度数．
16．阅读理解
基本性质：三角形中线等分三角形的面积．
如图， AD 是△ ABC 边 BC 上的中线，则
1
S△ABD =S△ACD = S△ABC
2
理由：∵ AD 是△ ABC 边 BC 上的中线∴ BD=CD
又∵ S△ABD=11
BD×AH ； S△ACD=CD×AH 22
1
∴ S△ABD =S△ACD = S△ABC
2
∴三角形中线等分三角形的面积
基本应用：
(1).如图 1，延长△ ABC 的边 BC 到点 D，使 CD=BC ，连接 DA ．则 S△ACD与 S△ABC的数量关系为：；
(2).如图 2，延长△ ABC 的边 BC 到点 D，使 CD=BC ，延长△ ABC 的边 CA 到点 E，使 AE=AC ，连接 DE．则
S△CDE与 S△ABC的数量关系为：(请说明理由 )；
(3).在图 2 的基础上延长 AB 到点 F，使 FB=AB ，连接 FD，FE，得到△ DEF( 如图 3)．则 S△EFD与 S△ABC的
数量关系为：；
拓展应用：如图 4，点 D 是△ ABC 的边 BC 上任意一点，点 E， F 分别是线段 AD ，CE 的中点，且△ ABC
的面积为 18cm2，则△ BEF 的面积为cm2．
17．如图，在△ ABC 中， DE ， FG 分别是 AB ，AC 的垂直平分线，连接AE ，AF ，已知∠ BAC=80°，请运用所学知识，确定∠EAF 的度数．
18．问题发现：
如图①，△ ABC 与△ ADE 是等边三角形，且点B，D ， E 在同一直线上，连接CE，求∠ BEC 的度数，并确定线段 BD 与 CE 的数量关系．
拓展探究：
如图②，△ ABC 与△ ADE 都是等腰直角三角形，∠ BAC= ∠ DAE=90°，且点 B，D ，E 在同一直线上， AF ⊥ BE 于 F，连接 CE，求∠ BEC 的度数，并确定线段AF ， BF， CE 之间的数量关系．
19．如图，△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=90°，D 为 BC 中点， E、F 分别为 AB 、AC 上的点，且满足AE=CF ．求证： DE=DF ．
20．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=BC ，延长 AB 至点 D，使 DB=AB ，连接 CD ，以 CD 为直角边作
等腰三角形 CDE，其中∠ DCE=90°，连接 BE ．
(1).求证：△ ACD ≌△ BCE；
(2).若 AB=3cm ，则 BE=cm．
(3).BE 与 AD 有何位置关系？请说明理由．
21．如图， AP ∥ BC ，∠ PAB 的平分线与∠ CBA 的平分线相交于E，CE 的延长线交AP 于 D．
(1).求证： AB=AD+BC ；
(2).若 BE=3 ， AE=4 ，求四边形ABCD 的面积．
22．如图，已知△ABC 中， AB=AC=10cm ， BC=8cm ，点 D 为 AB 的中点．
(1).如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，
点 Q在线段 CA 上由 C点向 A 点运动．
①若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△ BPD 与
△ CQP 是否全等，请说明理由；
②若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度
为多少时，能够使△BPD 与△ CQP 全等？
(2).若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿△ ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在△ ABC 的哪条边上相遇？
23．如图，△ ABC 是等边三角形，点E、 F 分别在边AB 和 AC 上，且 AE=BF ．
(1).求证：△ ABE ≌△ BCF ；
(2).若∠ ABE=20°，求∠ ACF 的度数；
(3).猜测∠ BOC 的度数并证明你的猜想．
24．在△ ABC 中， AB=AC ，点 D 是直线 BC 上一点 (不与点 B、点 C 重合 )，以 AD 为一边在AD 的右侧作
△ADE ，使 AD=AE ，∠ DAE= ∠BAC ，连接 CE．
(1).如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，如果∠ BAC=90°，则∠ BCE=；
(2).如图 2，当点 D 在线段 BC 上时，如果∠ BAC=50°，请你求出∠BCE 的度数． (写出求解过程)；
(3).探索发现，设∠BAC=α，∠ BCE=β．
①如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：．
②当点 D 在线段 BC 的延长线上时，则α，β之间有怎样的数量关系？请在图 3 中画出完整图形并请直接
写出你的结论：．
25．以点 A 为顶点作等腰Rt△ABC ，等腰 Rt△ADE ，其中∠ BAC= ∠ DAE=90°，如图 1 所示放置，使得一
直角边重合，连接BD 、 CE．
(1).试判断 BD 、 CE 的数量关系，并说明理由；
(2).延长 BD 交 CE 于点 F 试求∠ BFC 的度数；
(3).把两个等腰直角三角形按如图 2 放置， (1)、 (2)
中的结论是否仍成立？请说明理由．
26．已知，在△ ABC 中，∠ BAC=90°，∠ ABC=45°，点 D 为直线 BC 上一动点 ( 点 D 不与点 B， C 重合 )，以AD 为边做正方形 ADEF ，连接 CF．
(1).如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，求证CF+CD=BC ．
(2).如图 2，当点 D 在线段 BC 得延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF， BC ， CD 三条线段之间的
关系．
(3).如图 3，当点 D 在线段 BC 得反向延长线上时，且点 A ， F 分别在直线BC 的两侧，若BC=17 ， CF=7 ，求 DF 的长．
27．如图，四边形ABCD 中， AD ∥BC， CE⊥ AB ，△ BDC 为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD ；CE 与 BD 交于 F，连 AF ， M 为 BC 中点，连接DM 交 CE 于 N．请说明：
(1).△ ABD ≌△ NCD ；
(2).CF=AB+AF ．
28．以点 A 为顶点作两个等腰直角三角形(△ ABC ，△ ADE) ，如图 1 所示放置，使得一直角边重合，连接
BD ， CE．
(1).说明 BD=CE ；
(2).延长 BD ，交 CE 于点 F，求∠ BFC 的度数；
(3).若如图 2 放置，上面的结论还成立吗？请简
单说明理由．
29．如图，已知△ ABC 中， AB=AC=6cm ，∠ B= ∠ C， BC=4cm ，点 D 为 AB 的中点．
(1).如果点 P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点Q在线段 CA 上由点 C向点 A 运动．
①若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过 1 秒后，△ BPD 与△ CQP
是否全等，请说明理由；
②若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少
时，能够使△ BPD 与△ CQP 全等？
(2).若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同
时出发，都逆时针沿△ ABC 三边运动，则经过后，点 P 与点 Q 第一次在△ ABC 的边上相遇？ (在横线上直接写出答案，不必书写解题过程)
30．如图 1，已知长方形ABCD ，AB=CD=4 ， BC=AD=6 ，∠ A= ∠ B= ∠ C=∠ D=90°，E 为 CD 边的中点， P 为长方形 ABCD 边上的动点，动点P 从 A 出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P 经过的路程为 x，△ APE 的面积为y．
(1).求当 x=5 时，对应y 的值；
(2).如图 2、 3、 4，求出当点P 分别在边AB 、BC 和 CE 上时， y 与 x 之间的关系式；
(3).如备用图，当 P 在线段 BC 上运动时，是否存在点 P 使得△ APE 的周长最小？若存在，求出此时∠ PAD 的度数；若不存在，请说明理由．
全等三角形压轴题精选（1） 1．（2016?常德）已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F． （1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF； （2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论． 2．（2015?菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
3．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF ⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
4．（2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC． （2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由． 5．（2013春?北京校级期中）探究 问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为______． 拓展
1.（11分）如图12-1，点O 是线段AD 上的一点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC . （1）求∠AEB 的大小； （2）如图12-2，△OAB 固定不动，保持△OCD 的形状和大小不变，将△OCD 绕着点O 旋转（△OAB 和△OCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2.如图1，△ABC 的边BC 直线l 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ；△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF=FP ． O 图 12-1 A 图12-2
(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ 与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 3．(本题8分)如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的部，点E，F 在射线CD上，已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠ ．
(1)如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，问EF=BE－AF，成立吗?说明理由． (2)将(1)中的已知条件改成∠BCA=60°，∠α=120°(如图2)，问EF=BE－AF仍成立吗?说明理 由． (3)若0°<∠BCA<90°，请你添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使结论EF=BE－AF仍然成 立．你添加的条件是．(直接写出结论) 4．(本题9分) 如图，△ABC和△ADC都是每边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A 出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC． (1)在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由； (2)在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由. (3)连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由． D
全等三角形压轴题组卷 一．选择题（共9小题） 1．（2015?荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△，△均为等边三角形，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论： ①△≌△；②∠60°；③△为等边三角形；④平分∠， 其中结论正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2014?山西）如图，点E在正方形的对角线上，且2，直角三角形的两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（） A．a2B．a2C．a2D．a2 3．（2013?东营）如图，E、F分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点O，下列结论：（1）；（2）⊥；（3）；（4）S△四边形中正确的有（）
4．（2012?长春）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点A、B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m﹣1，2n），则m与n的关系为（） A．21 B．m﹣21 C．2n﹣1 D．n﹣21 5．（2012?山西模拟）如图，点P、Q是边长为4的等边△边、上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论错误的是（） A． B．△≌△ C．∠的度数不变，始终等于60° D．当第秒或第秒时，△为直角三角形 6．（2012?镇平县校级一模）如图，在△中，∠90°，平分∠，⊥于D，如果3，那么等于（）
A．2B．3C．4D．5 7．（2011?恩施州）如图，是△的角平分线，⊥，垂足为F，，△和△的面积分别为50和39，则△的面积为（） A．11 B．5.5 C．7D．3.5 8．（2010?武汉模拟）如图，△中，∠、∠的角平分线、交于点P，下列结论： ①平分∠； ②∠∠180°； ③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则； ④∠2∠． 其中正确的是（） A．只有 ①②③B．只有 ①③④ C．只有 ②③④ D．只有①③ 9．（2004?内江）如图，∠30°，平分∠，∥，⊥，如果6，那么等于（）
、2如图，已知（A0，a），B（0，b），C（m，b）且（a-4）+b+3=0，S=14. 1ABCV（1）求C点坐标o。90DFE=为?AED的平分线，且?点，（2）作DE?DC，交y 轴于EEF 求证：FD平分?ADO；（3）E在y轴负半轴上运动时，连EC，点P为AC延长线上一点，EM平分∠AEC，且PM⊥EM,PN⊥x轴于N点，PQ平分∠APN，交x轴于Q点，则E在运动过程?MPQ中，?ECA的大小是否发生变化，若不变，求出其值。 y y A A ND F oQ D x oxE MC C B PE 1 2=2∠∠、如图1，AB//EF,2 FCE; FEC=∠(1)证明∠NMC，则∠FNM=∠FMNN为AC上一点，为FE延长线上一点，且
∠M(2)如图2，有何数量关系，并证明。与∠CFM A N1M EE 2CCB BFF 2 1 图图 1 (1)如图，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E，试问BE与DE有何位置关系？说明你的理由。 （2）如图，试问∠ABC的平分线BE与∠ADC的外角平分线DF有何位置关系？说明你的理由。 （3）如图，若∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E，试问BE与DE有何位置关系？说明你的理由。
N G D E D DM B F C B BC C EA A EA ,B=60∠°DCE的平分线交于点F，∠1（）如图，点E在AC的延长线上，BAC与 ∠6． BDC的度数。F=56°,求∠∠FB DEC 、试问∠F的平分线交于点与∠ADEF，∠E2（）如图，点在CD的延长线上，BAD 之间有何数量关系？为什么？和∠∠BC A BFECD 。的平分线交于点与∠已知∠7.ABCADCE3 （1）如图，试探究∠E、∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由。 A
《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 . 4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===，则ADE ?的面积为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时
针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程.
1、如图1，AB//EF, ∠2=2∠1 (1)证明∠FEC=∠FCE; (2)如图2，M 为AC 上一点，N 为FE 延长线上一点，且∠FNM=∠FMN ，则∠NMC 与∠CFM 有何数量关系，并证明。 图1 图2 2、（1）如图，△ABC, ∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠1=130°，∠2=110°，求∠A 的度数。 B C （2）如图，△ABC,∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点D,E 若 ∠ 1=110 ° ， ∠ 2=130 ° ， 求 ∠ A 的 度 数 。 A B C B C
A C 3、如图，∠ABC+∠ADC=180°，OE 、OF 分别是角平分线，则判断OE 、OF 的位置关系为？ F A B 4、已知∠A=∠C=90°. (1)如图，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系？说明你的理由。 （2）如图，试问∠ABC 的平分线BE 与∠ADC 的外角平分线DF 有何位置关系？说明你的理由。 （3）如图，若∠ABC 的外角平分线与∠
ADC的外角平分线交于点E，试问BE与DE有何位置关系？说明你的理由。
5．（1）如图，点E 在AC 的延长 线上，∠BAC 与∠DCE 的平分线交于点F ，∠B=60°,∠F=56°,求 ∠BDC 的度数。 A E （2）如图，点E 在CD 的延长线上，∠BAD 与∠ADE 的平分线交于点F ，试问∠F 、∠B 和∠C 之间有何数量关系？为什么？ E A D 6.已知∠ABC 与∠ADC 的平分线交于点E 。 （1）如图，试探究∠E 、∠A 与∠C 之间的数量关系，并说明理由 。 B
B O D C E 图8 七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三 角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。 ③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。 （湘潭·中考题） 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE ，△AMN 是等边三角形． C B O D 图7 A E A B C M N O P Q
（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证 明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请 给出证明，若不是，请说明理由． 同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =， BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； 图9 图10 图11 图① 图②
1、 2 a b m b a-+b+3=0=14.ABC A S V 如图，已知（0，），B （0，），C （，）且（4）， o y =DC FD ADO ⊥∠∠∠（1）求C 点坐标 （2）作DE ，交轴于E 点，EF 为AED 的平分线，且DFE 90。 求证：平分； （3）E 在y 轴负半轴上运动时，连EC ，点P 为AC 延长线上一点，EM 平分∠AEC ，且PM ⊥EM,PN ⊥x 轴于N 点，PQ 平分∠APN ，交x 轴于Q 点，则E 在运动过程中， MPQ ECA ∠∠的大小是否发生变化，若不变，求出其值。 x 2、如图1，AB//EF, ∠2=2∠1 (1)证明∠FEC=∠FCE; (2)如图2，M 为AC 上一点，N 为FE 延长线上一点，且∠FNM=∠FMN ，则∠NMC 与∠CFM 有何数量关系，并证明。 图1 图2 B C B C
3、（1）如图，△ABC, ∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠1=130°，∠2=110°，求∠A 的度数。 B （2）如图，△ABC,∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点D,E 若∠1=110°，∠2=130°，求∠ A 的度数。 A C 4、如图，∠ABC+∠ADC=180°，OE 、OF 分别是角平分线，则判断OE 、OF 的位置关系为？ F A 5、已知∠A=∠C=90°.
(1)如图，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系？说明你的理由。 （2）如图，试问∠ABC 的平分线BE 与∠ADC 的外角平分线DF 有何位置关系？说明你的理由。 （3）如图，若∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系？说明你的理由。 6．（1）如图，点E 在AC 的延长线上，∠BAC 与∠DCE 的平分线交于点F ，∠B=60°,∠F=56°,求∠BDC 的度数。 A E （2）如图，点E 在CD 的延长线上，∠BAD 与∠ADE 的平分线交于点F ，试问∠F 、∠B 和∠C 之间有何数量关系？为什么？ E A D 7.已知∠ABC 与∠ADC 的平分线交于点E 。 B B
全等三角形压轴题组卷 一．选择题(共5小题) 1．如图所示，是瑞安部分街道示意图，AB=BC=AC，CD=CE=DE，A，B，C，D，E，F，G，H为“公交汽车”停靠点，甲公共汽车从A站出发，按照A，H，G，D，E，C，F的顺序到达F站，乙公共汽车从B站出发，按照B，F，H，E，D，C，G的顺序到达G站，如果甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，各 站耽误的时间相同，两辆车速度也一样，则( ) A．甲车先到达指定站 B．乙车先到达指定站 C．同时到达指定站 D．无法确定 2．如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是( ) A．56° B．60° C．68° D．94° 3．如图在△ABD和△ACE都是等边三角形，则△ADC≌△ABE的根据是( ) A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 4．如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC 的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是( ) A．n B．2n-1 C． D．3(n+1) 5．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD，∠DBC=∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论： ①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠B AC；④∠DAF=∠CBD． 其中正确的结论有( )
图1 A B C D E 图2 B D 七年级下学期数学期末压轴题精选 1. 如图1，已知AB ∥CD ，点M 、N 分别是AB 、CD 上两点，点G 在AB 、CD 之间（1）如图1，点E 是AB 上方一点，MF 平分∠AME ， 若点G 恰好在MF 的反向延长线上，且NE 平分∠CNG ，2∠E 与∠G 互余，求∠AME 的大小. （2）如图2，在（1）的条件下，若点P 是EM 上一动点， PQ 平分∠MPN ，NH 平分∠PNC ，交AB 于点H ，PI ∥NH ,当点P 在线段EM 上运动时，求∠IPQ 的度数.
图2 H 2. 在平面直角坐标系中，点B （0，4），C （-5，4），点A 是x 轴负半轴上一点，S 四边形AOBC =24.（1）线段BC 的长为 ，点A 的坐标为 ；（2）如图1，EA 平分∠CAO ，DA 平分∠CAH ， CF ⊥AE 点F ，试给出∠ECF 与∠DAH 之间满足的数量关系式，并说明理由； （3）若点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点， 连接BP 、OP ，BN 平分，ON 平分CBP ∠∠BN 交ON 于N ，请依题意画出图形，给出∠之间满足的数量关系式，并说明理由. BNO ∠
N 3. 如图，AC ∥BD ,点D 在点B 的右侧，BE ⊥AB ,∠EBD 、∠ACD 的平分线交于点F (点F 不与点B 、C 重合). ∠ABD = m ，∠ACD = n . （1）若点A 在点C 的右侧，求∠BFC , 并直接写出的值； 1 2BFC ABE ABD ACD ∠-∠∠+∠（2）将（1）中的线段CD 沿BD 方向平移，当点C 移动到点A 的右侧时，求∠BFC ,并直接写出∠BFC 、∠ABD 、∠ACD 之间的关系. 4. 如图，MN ∥AB ,点C 、D 在直线MN 上运动，∠CBD 的平分线交射线AC 于点E . （1）当点D 在点C 的右侧运动时，①若∠ACB =∠A ，求AEB CDB ∠∠②若∠ACB 比∠A 大30°，的值是否发生变化， AEB CDB ∠∠若不变，求出其值；若变化，请探究∠AEB 与∠CDB （2）当点D 在点C 的左侧运动时，若∠ACB =∠A ，请直接写出∠AEB 与∠CDB 之间的关系.
,. 七年级下三角形综合题归类 一、双等边三角形模型 1.（ 1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC．求∠ AEB 的大小； （ 2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD不能重叠），求∠ AEB 的大小 . B C B C E E D O A O A D 图 7图 8 2. 已知 :点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM,△ CBN 都是等边三角形，且AN、 BM 相交于 O. ①求证： AN=BM ②求∠ AOB 的度数。 ③若 AN、 MC 相交于点 P， BM、 NC 交于点 Q，求证： PQ∥AB。 （湘潭·中考题） N M O P Q A C B 同类变式：如图 a，△ ABC和△ CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 连接 AF 和 BE. C， (1)线段 AF 和 BE有怎样的大小关系 ?请证明你的结论； (2)将图 a 中的△ CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判 断并说明理由； (3) 若将图 a 中的△ ABC绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c( 草图即可) ，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判断不必说明理由 . 图 c 3.如图 9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M , N分别为EB, CD的中点，易证： CD BE ，△ AMN 是等边三角形．
,. （ 1）当把△ADE绕A点旋转到图10 的位置时，CD BE 是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE绕A点旋转到图 11 的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． 图 9图10图11 同类变式：已知，如图①所示，在△ ABC 和△ ADE 中， AB AC ，AD AE，BACDAE ，且点 B， A， D 在一条直线上，连接 BE， CD， M ， N 分别为 BE， CD 的中点． （ 1）求证：①BE CD；②AM AN ； （ 2）在图①的基础上，将△ ADE 绕点A按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到 图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 . C C N N E D A M B B D M A E 图①图② 4.如图，四边形 ABCD和四边形 AEFG均为正方形，连接 BG与 DE相交于点 H． （1）证明：△ABG≌△ADE； （2）试猜想BHD的度数，并说明理由；
初二全等三角形所有知识点总结和常考题 知识点： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 常考题： 一．选择题（共14小题） 1．使两个直角三角形全等的条件是（） A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条边对应相等 2．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
在矩形ABCD 中，点E 为BC 边上的一动点，沿AE 翻折，△ABE 与△AFE 重合，射线AF 与直线CD 交于点G 。 1、当BE ：EC=3：1时，连结EG ，若AB=6，BC=12，求锐角AEG 的正弦值。 2、以B 为原点，直线BC 和直线AB 分别为X 轴、Y 轴建立平面直角坐标系，AB=5,BC=8，当点E 从原点出发沿X 正半轴运动时，是否存在某一时刻使△AEG 成等腰三角形，若存在， 求出点E 的坐标。 1、 2 a b m b a-+b+3=0=14.ABC A S 如图，已知（0，），B （0，），C （，）且（4）， o y =DC FD ADO ⊥∠∠∠（1）求C 点坐标 （2）作DE ，交轴于E 点，EF 为AED 的平分线，且DFE 90。求证：平分； （3）E 在y 轴负半轴上运动时，连EC ，点P 为AC 延长线上一点，EM 平分∠AEC ，且PM ⊥EM,PN ⊥x 轴于N 点，PQ 平分∠APN ，交x 轴于Q 点，则E 在运动过程中，
MPQ ECA ∠∠的大小是否发生变化，若不变，求出其值。 2、如图1，AB//EF, ∠2=2∠1 (1)证明∠FEC=∠FCE; (2)如图2，M 为AC 上一点，N 为FE 延长线上一点，且∠FNM=∠FMN ，则∠NMC 与∠CFM 有何数量关系，并证明。 图1 图2 3、（1）如图，△ABC, ∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠1=130°，∠2=110°，求∠A 的度数。 x B C B C
（2）如图，△ABC,∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点D,E 若∠1=110°，∠2=130°，求∠A 的度数。 4、如图，∠ABC+∠ADC=180°，OE 、OF 分别是角平分线，则判断OE 、OF 的位置关系为？ 5、已知∠A=∠C=90°. (1)如图，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关 B C A C F A
第1章《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 . 4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===，则ADE ?的面积为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时
针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程.
七年级下数学期末大题好题压轴题精选 25.地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户大爷准备进行大闸蟹与河虾 的混合养殖，他了解到如下信息： ①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租； ②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗； ③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益； ④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益； （1）若租用水面n亩，则年租金共需__________元； （2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润=收益－成本）； （3）大爷现在资金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，用于蟹虾混合养殖。已知银行贷款的年利率为8%，试问大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元？
已知某服装厂现从纺织厂购进 A种、B种两种布料共122米，用去4180元.已知A种布料每米30元，B种布料每米40元. (1)求A、B两种布料各购进多少米？ （2）现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时装共80套 已知做一套甲种型号的时装或一套乙种型号的时装所需A、B两种布料如下表：
①设生产甲种型号的时装为 x 套，求 x 的取值围； ②若一套甲种型号的时装的销售价为100 元，一套乙种型号的时装的销售价为90 元 .
该服装厂在生产和销售这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 为了保护生态平衡，绿化环境，国家大力鼓励“退耕还林、还草” ，其补偿政策如表（一） ；
1．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（） A．25 4 B． 25 3 C． 20 3 D． 15 4 2．如图，AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E, AE⊥DE,∠1+ ∠2=90°,M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．∠F的度数为___________． A．120° B．135° C．150° D．不能确定 3．如图，∠3=30°，使了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．如图，如果AB ∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（） A．∠1+∠2﹣∠3=90° B.∠1﹣∠2+∠3=90° C．∠1+∠2+∠3=90° D.∠2+∠3﹣∠1=180° 5．下列说法中正确的个数有（） （1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （2）画一条直线的垂线段可以画无数条． （3）在同一平面内，经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直．（4）从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A.1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO=a°，则下列结论： ①∠BOE=（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE=∠BOF；④∠POB=2∠DOF． 其中正确的个数有多少个？（） N M 2 1 F E D C B A
全等三角形压轴题精选（3） 16．（2015秋?垫江县期末）如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 17．（2015秋?临海市期末）在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5 ①求证：AF⊥BD ②求AF的长度； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由
18．（2015秋?番禺区期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°． （1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE； （2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值； （3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．
2014年1月发哥的初中数学组卷.选择题（共30小题） 1. （2013?南通）如图.Rt△ ABC内接于O O BC为直径，AB=4, AC=3 D是忑的中点，CD与AB的交点为E,贝偿等 DE 2. （2013?黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中, AD// BC / BCD=90，/ ABC=45 , AD=CD CE平分/ ACB交AB于点E,在BC上截取BF=AE连接AF交CE于点G 连接DG交AC于点H,过点A作AN L BC垂足为N, AN交CE于点 M则下列结论；①CM=AF②CELAF;3A ABF^A DAH④GD 平分/ AGC其中正确的个数是（） J k\ C X F A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. （2013?海南）直线I1//I2//I,且l 1与l 2的距离为1, 12与l 3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图 4. （2013?德阳）如图，在OO 上有定点C和动点P,位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q, 已知：OO半径为-,tan / ABC』，则CQ的最大值是（） 2 4 B. C. 3 D. AC与直线丨2交于点D,则线段BD的长度为（） C.- D.- rr4 于（） A. 4
OD=AD=3寸，这两个二次函数的最大值之和等于（ ) 5. （2012?宁德）如图，在矩形 ABCD 中, AB=2 BC=3 点 E 、F 、G H 分别在矩形 ABCD 的各边上，EF// AC// HQ EH// BD// FQ A . (1) ( 2) (3) B. ( 1) (3) C. (1) (2) D. (2) (3) A （4, 0）, O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点 O, A ）,过P 、O 两点 的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数 y 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 BC,射线OB 与 AC 相交于点D.当B.丄 D. 20 T C. 2 ii D. 2. | ； 6. （2012?泸州）如图，矩形 ABCD 中, E 是BC 的中点，连接 AE ,过点E 作EF 丄AE 交DC 于点F ,连接AF.设一^ =k , F 列结论：（ABE^A ECF （2） AE 平分/ BAF （ 3）当 k=1时，△ ABE^A ADF 其中结论正确的是（ 7. （2012?湖州）如图，已知点 A . 5 A. . I
在矩形ABCD中，点E为BC边上的一动点，沿AE翻折，△ABE与△AFE重合，射线AF与直线CD交于点G。 1、当BE：EC=3：1时，连结EG，若AB=6，BC=12，求锐角AEG的正弦值。 2、以B为原点，直线BC和直线AB分别为X轴、Y轴建立平面直角坐标系，AB=5,BC=8，当点E从原点出发沿X正半轴运动时，是否存在某一时刻使△AEG成等腰三角形，若存在，求出点E的坐标。 ~ 1、2 a b m b a-+b+3=0=14. ABC A S 如图，已知（0，），B（0，），C（，）且（4）， o y= DC FD ADO ⊥∠∠ ∠ （1）求C点坐标 （2）作DE，交轴于E点，EF为AED的平分线，且DFE90。 求证：平分； \ （3）E在y轴负半轴上运动时，连EC，点P为AC延长线上一点，EM平分∠AEC，
且PM ⊥EM,PN ⊥x 轴于N 点，PQ 平分∠APN ，交x 轴于Q 点，则E 在运动过程中， MPQ ECA ∠∠的大小是否发生变化，若不变，求出其值。 2、如图1， AB B A B C B C
C F A (1)如 图，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系说明你的理由。 （2）如图，试问∠ABC 的平分线BE 与∠ADC 的外角平分线DF 有何位置关系说明你的理由。 （3）如图，若∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系说明你的理由。 % 6．（1）如图，点E 在AC 的延长线上，∠BAC 与∠DCE 的平分线交于点F ，∠B=60°,∠F=56°,求∠BDC 的度数。 A E （2）如图，点E 在CD 的延长线上，∠BAD 与∠ADE 的平分线交于点F ，试问∠F 、∠B 和∠C 之间有何数量关系为什么 B B
O E C A B F 八上数学 全等三角形的证明 1 1. 如图所示，在△ABC 中，∠C=900，∠CAB、∠CBA 的平分线相交于点D ，BD 的延长 线交AC 于E ，求∠ADE 的度数． 2. 如图，点C 在线段AB 上，AD∥EB，AC =BE ，AD= BC ，CF 平分∠DCE． 求证：（1）△ACD≌△EBC；（2）CF⊥DE． 3. 如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B 、C 重合），F 、E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE ．请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF （不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明． （1）你添加的条件是： ；并证明△BDE ≌△ CDF ； （2）若AD =10，求AF +AE 的长． 4. 雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC ，支撑杆OE=OF ，，，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，在雨伞开闭过程中，∠BAD . 5. 如图，点D 、E 分别在等边△ABC 的AB 、AC 上，且CD ＞BD ，AE ＞EC ，AD 和BE 相交 于点F.. （1）若∠BAD=∠CBE，则AD BE ；（填“＞”、“=”、“＜”） D E A D E F B C A E D A F C B
A D C B E E B C G F D A （2）若AD=BE ，求证：∠BAD=∠CBE； （3）在（2）的条件下，以AB 为边作如图所示的等边△ABG，连接FG ，若FG=11， BF=3，请直接写出线段AF 的长度为 . 6.．（本题满分12分）如图1，已知A 0），B （0 . （ 1 的度数； （2）如图1，在（1）的条件下，点C 为线段AB 上一点（BC ＞CA ），以点C 为直角 顶点，OC 为腰作等腰Rt△OCD，连接BD ，求证：∠BDO=∠BCO； （3）如图2，△ABO 的两条角平分线AE 、BF 交于点Q ，若△ABQ 的面积为24，求四边形AFEB 的面积. 7. 如图 ，在平面直角坐标系中：A(a ，o)，B(0，b)，且满足（a-4) 2 =0，点C 、B 关于x 轴对称．