一. 异面直线所成角的求法
1、正确理解概念
（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O 是任意选取的，异面直线a 和b 所成角的大小，与点O 的位置无关。
（2）异面直线所成角的取值范围是（0°，]
90? 2、熟练掌握求法
（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。
（2）求异面直线所成角的步骤：
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。 ②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。
③因为异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是 。
E
F
1
A 1
B 1
C 1
D A
B
C D
G
E
F
1
A 1
B 1
C 1
D A
B
C
D
G
例2已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ， 且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝
2
π
，M 、N 分别是AB 和SC 的中点． 求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．
例3长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。
B M A
N
C S
B M A
N
C
S
B M A
N
C
S
例4如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=?且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角
的正切值等于_____．
练习：
1.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )
3
1032()
()
()
()
2
10
5
5
A B C D
2.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C
1BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是
( ) 3013015()
()
()
()
10
2
15
10
A B C D 3.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC
(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 4.设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①如果a ⊥b 、b ⊥c ，则a ∥c ；
②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交；
③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和
c
(第2题)
F 1 A
B
C D 1 C 1
A 1
B 1
B
1
(第1题)
A 1
A
B C 1
D 1
C
D M
N
N M
F
E
D
C
B A
( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 5.如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)
6.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于
(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°
7．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成
60角；④DM 与BN 垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）① ② ③ （B ）② ④ （C ）③ ④ （D ）② ③ ④
8．如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则求MN 和BD 所成角的
正切值为 。
9．异面直线a 、b 成60°，过空间一点P 的直线c 与a 、b 成角都为60°，则这样的直线c 有 条。 10．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°]
11.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M 、N 分别是BC 和A 1C 1MN 与AB 1所
成角的余弦值。
12.如图，四面体ABCD 中，E 为AD 中点，若AC ＝CD ＝DA ＝8，AB ＝BD ＝5，BC ＝7，求BE 与AC 所成角的余弦值。
F
A
B C
E S (第6题)
A B C
D
M (第8题)
N
4 3 8
A B
C
D
E
(第12题)
7
8
5
4
4
5 (第11题)
M
A
B
C
N
C 1
A 1
B 1
二.共面、共线、共点问题
共点问题:
证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上． 共线问题:
证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上． 共面问题:
证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：①根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；②分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合．
1.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为A 1A 的中点. 求证：（1）E 、C 、D 1、F 四点共面；（2）CE 、D 1F 、DA 三线共点。
2.如图，∥，，，，求证：、、AB CD AB B CD D AC E B E ααα===D 三点共线。
练习：
1. 共点的四条直线最多能确定 个平面。
2. 空间四点中，若任意三点不共线，那么经过三点的平面有 个。
3. 已知平面
αβαβ 平面，点、，点且，=∈∈?=l A B C C l AB l R ，设过A 、B 、C 三
点的平面为
γ
，则
βγ
是（ ）
A. 直线AC
B. 直线BC
C. 直线CR
D. 以上全错
4. 已知△ABC 三边AB 、BC 、CA 分别交平面α于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 共线。
A B
C D A 1
B 1
C 1
D 1 A
B C
D P
Q
O
A B C D A 1
B 1
C 1
D 1 M N
A B C D
A 1
B 1
C 1
D 1
M N
E F
A B
C D A 1
B 1
C 1
D 1
E F
G 5. 如果△ABC 和△A 1B 1C 1不在同一平面内，且AA 1、BB 1、CC 1两两相交，求证：三直线AA 1、BB 1、CC 1交于一
点。
三.平行问题
1、“线//线”的证明： (1)平行四边形法： 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中, 由11AB DC D C ,
得四边形11ABC D 为平行四边形,于是11//BC AD ；
(2)中位线法：如图,四棱锥的底面ABCD 为平行四边形,
点Q 是PC 的中点,则由OQ 是△PAC 的中位线,得到OQ//PA ；
(3)“线//面”平行法：如图,若11//B C 平面ABCD,
过11B C 的平面交平面ABCD 于MN,则11//B C MN ；
(4)“面//面”法：如图,若平面1111//A B C D 平面ABCD,
平面α与平面
1111A B C D 、平面ABCD 分别交于EF 、MN,
则有EF // MN;
(5)“平行线分线段成比例定理的推论”：
平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）， 所得的对应线段成比例。 如图，在正方体
1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为面对角
A B C
D P
Q
O
A B C D A 1
B 1
C 1
D 1 M N
A
B C D A 1
B 1
C 1
D 1
M
N
A
B
C D
A B`
C D E F A
B
C D A
B`
C
D E
F
线D 1B 1，A 1B 上的动点，且D 1E= A 1F ，则
111,D E A F
EB FB
= 111D E A E
EB EG
=
又
，故11A E A F EG FB =，所以EF//GB 。
2、“线//面”的证明： (1)“线//线”法：
如图,Q 为PC 的中点，则//OQ AP ,所以//OQ 平面PAD ；
(2)“面//面”法： 如图,若
1111//A B C D 平面ABCD,直线MN 在平面1111A B C D ,
则MN //平面ABCD ； 3、“面//面”的证明：
“线//面”法：如图,在平面
1111A B C D 上找到两条相交直线
MN 、1MC 均平行于平面ABCD,则有平面1111A B C D //平面ABCD ；
例题分析：
1．αα//,//b a ，则a 与b 的位置关系（ ）
A ．平行
B ．异面
C ．相交
D ．以上情况均有可能
2．a ，b 是两条不相交的直线，则过直线b 且平行于a 的平面（ ）
A ．有且只有一个
B ．至少有一个
C ．至多有一个
D ．以上答案都不对
3、已知正方体ABCD-A`B`C`D`中，E ，F 分别是A`B`，B`C`的中点。求证：EF ∥面AD`C 。
A 11
E D 1
C 1
B 1
D
C
B
A
A 11
E
D 1
C 1
B 1
D
C
B
A
4、如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，E 、F 分别是AB, PC 的中点 ， 求证：EF ∥平面P AD ； 5. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点。 求证：AF ∥平面PCE ；
6、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点，求证：1//AC 平面
BDE 。
7. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -
中，点E 是PD 的中点． 求证：PB ∥平面AEC ．
E F
B
A
C
D
P C B
D A P E
F
C
B D
A P
E
F
E
F
B A
C
D
P
B 1
A 1
D 1C 1
B
A D C
P Q
_ P
_ B
_ A
_ N
_ M _ E
_ D
_ C _ P
_ B
_ A
_ N
_ M _ E
_ D
_ C _ P
_ B
_ A
_ N
_ M _ E
_ D
_ C B 1
A 1
D 1
C 1
B
A D
C
P
Q
8．已知正四棱锥P —ABCD ，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8，求证：直线MN ∥平面PBC ；
9、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，P 、Q 分别是正方形AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心。求证PQ ∥平面DD 1C 1C ；；
10．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，D 为AC 中点。求证：直线AB 1∥平面C 1DB ；
11．如图:已知A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱,D 是AC 中点.证明:AB 1∥平面DBC 1;
A 1
C 1
C B
A
B 1 D
B C A
D A 1 B 1
C 1
A 1
C 1
C
B
A
B 1 D
B C A D A 1 B 1
C 1
12．如图，在斜三棱柱
111C B A ABC -中，
E 、
F 分别是棱A A C B 111、的中点，证明E A 1∥平面FC B 1
13．如图，在四棱锥ABCD
P -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 是PC 的三等分点，F 是PB 的中点，
求证：AF ∥面BDE ；
14、如图PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB ，PD 的中点。求证：AF//平面PCE ；
F E
C 1
B 1
A 1C
B
A
F
E
P
D
C
B
A
F E
C 1
B 1
A 1C
B
A
F
E
P
D
C
B
A
G
F
P
A
E
B
C
H
15.如图，平面EFGH 分别平行于AB CD ,，H G F E ,,,分别在AD AC BC BD ,,,上，且
a CD =，
b AB =，AB CD ⊥．（1）求证：EFGH 是矩形；（2）求当点E 在什么位置时，EFGH
的面积最大．
16.如图，在四棱锥S ABCD -中，2SA AB ==，22SB SD ==，底面 ABCD 是菱形，且60ABC ∠=?，E 为CD 的中点．侧棱SB 上是否存在点F ， 使得//CF 平面SAE ？并证明你的结论．
S
A
B
C
D
E
17.如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AD//BC ，P A =AB =BC =
.2
1
AD 在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由.
18.如图，在长方体1111ABCD A BC D 中，
E 为1CC 的中点． （1）求证：1//AC 平面BDE ；
（2）判断并证明，点F 在棱1DD 上什么位置时，平面1//AC F 平面BDE .
异面直线所成的角求法 总结加分析 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
异面直线所成的角 一、平移法： 常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法 1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝ 3 ，求AD 、BC 所成角的大小． 解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝ 3 FG ＝EG ＝1 ∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。 2．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45° 3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝ 2 π ，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角
A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝ a 25 NQ ＝2 1SM ＝ 4 2 a BQ ＝ a 4 14 ∴COS∠QNB＝ 5 10 2222= ?-+NQ BN BQ NQ BN 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若 BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角． 解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角． 设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝ 5 ，GN ＝BM ＝ 6 ， cos∠GNA＝ 10 30 5 62556= ??-+。 5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所 成的角。 证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ， 又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1， 故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G∥D 1F 。 设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。
A B C S E F A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N N M F E D C B A 高二数学练习（二） 一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线 （C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线 2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离 4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）5 3（D ）54 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成ο60角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）（A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD ＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形 （C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题 11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．
如何求异面直线所成的角 立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。 Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角 一、端点平移法 例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若 1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。 解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ， //DF EC Q 且DF EC = ∴四边形DFEC 为平行四边形 //EF DC ∴ EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。 设2AB =, 则EF = AF = EA = 故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==g arccos 10 EFA ∴∠= 二、中点平移法 例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。 解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ， Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点， ∴NO 为DAM ?的中位线， ∴//NO AM ， ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。 设正四面体ABCD 的棱长为2 ，则有2NO = ，CN = ,2CO =, 故2222 cos 23 NO CN CO ONC NO CN +-∠= =g 2 arccos 3 ONC ∴∠= 1 B D C
异面直线所成的角的求法 法一：平移法 在正方体 ABCD A i B i C i D i 中，求下列各对异面直线所成的角。 恵，求直线AB 与CD 所成的角。 习题1?在空间四边形ABCD 中，AD = BC = 2, E, F 分别为AB 、CD 的中点，EF =为, 求AD 、BC 所成角的大小. 例1: (1) AA 1 与 BC ; (2) DD 1 与 AB ; (3) A i B 与 A C 。 法二： 例2: 求直线AB 与MN 所成的角。 中位线 在空间四边形 ABCD 中，AB = CD ，且AB CD ，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点, 变式：在空间四边形 ABCD 中，点M 、N 分别为 BC 、AD 的中点，AB = CD = 2,且 MN =
正 ABC 的边长为a , S 为 ABC 所在平面外的一点，SA = SB = SC = a, E , F 分别 是SC 和AB 的中点.求异面直线 SA 和EF 所成角. S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SA = SB = SC ,且 ASB = BSC = CSA = - , M 、N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线 SM 与BN 所成的角的 余弦值. 如图，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，/ BCA = 90° M 、N 分别是 A i B i 和A i C i 的中 点， 若BC = CA = CC i ，求BM 与AN 所成的角. 5.如图1 — 28的正方体中，E 是A D 勺中点 (1) 图中哪些棱所在的直线与直线 BA 成异面直线？ (2) 求直线 (3) 求直线 (4) 求直线 2. 3. 4 . BA 和CC 所成的角的大小； AE 和CC 所成的角的正切值; AE 和BA 所成的角的余弦值 B A （图 1— 28）
1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】D 【解析】 试题分析：如图所示，连接B 1C ， 则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°． 故选：D ． 考点：异面直线及其所成的角 2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（ ） A ． 3 ．7 C ．5 D ．5 【答案】B 【解析】 试题分析：设向量 1,,AB a AD b AA c === ，则11 ,AC a b c AD b c =++=- ，11AC A D ∴== 111111cos ,AC A D AC A D AC A D ?<>== 。 考点：空间向量的集合运算及数量积运算。 3．正方体1111ABCD A BC D -中，,,,E F G H 分别是1AA , AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
【答案】C 【解析】 试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠，大小为60° 考点：异面直线所成角 4．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（ ） A ． 5 ．5．5 10 - D ．5- 【答案】B 【解析】 试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1 D CF ∠为异面直线所成角，设边长为2 ，11C F DC DF ∴== 1cos 5 DC F ∴∠= 考点：异面直线所成角 5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ） A 、910 B 、45 C 、710 D 、3 5 【答案】A 【解析】 试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB = ,在'' A BC ?中 ''''AC A B BC ===''9 cos 10 A BC ∴∠= 考点：异面直线所成角 6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所 成的角是 A ．?60 B ．?90 C ．?45 D ．?30 【答案】A 【解析】 试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，
异面直线所成的角的两种求法 初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处？不会作！ 下面介绍两种求法 一．传统求法--------找、作、证、求解。 求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。 平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。 平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。 例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3， 求AB 和CD 所成的角. 解? 由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD， ∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. ∵? EFGH 是平行四边形，HG ＝2 1 AB ＝62， H G F E D C B A
HE ＝2 1 ，CD ＝23， ∴? S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123. ∴? sin∠EHG＝ 2 2 ,故∠EHG＝45°. ∴? AB 和CD 所成的角为45° 注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。 例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=2 2 AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。（如图） 解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG= 2 1 BC ，FG∥AD，且FG=2 1 AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为 所求。由BC=AD 知EG=GF=2 1 AD ，又EF=AD ，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。 注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。 例3.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 与CN 所成的角的余弦值； A B C G F E D
一. 异面直线所成角的求法 1、正确理解概念 （1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O 是任意选取的，异面直线a 和b 所成角的大小，与点O 的位置无关。 （2）异面直线所成角的取值范围是（0°，] 90? 2、熟练掌握求法 （1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。 （2）求异面直线所成角的步骤： ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。 ②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是 。 E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G
例 2 已知 S 是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， 且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝ 2 π ，M、N分别是AB和SC的中点． 求异面直线SM与BN所成的角的余弦值． 例3长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。 B M A N C S B M A N C S B M A N C S
异面直线及其所成的角填空题基础题1.doc 参考答案与试题解析 一．填空题（共30小题） 1．（2015?松江区一模）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为arccos（结果用反三角函数表示）． 来源：2015年上海市松江区高考数学一模试卷（文科） 难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角． 专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角． 分析：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，即b=a，再由余弦定理，即可得到． 解答：解：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b， 则由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，
即有tan60°=，即b=a， 在△BA1C1中，BC1=BA1==2a，A1C1=a， cos∠BC1A1==． 则BC1与AC所成的角为arccos． 故答案为：arccos． 点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题． 2．（2015?浦东新区一模）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点．求异面直线AC与ED所成的角的大小为arccos． 来源：2015年上海市浦东新区高考数学一模试卷 难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角．
异面直线所成的角 一、平移法： 常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法 1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小． 解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝3 FG ＝EG ＝1 ∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。 2．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和 AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45° 3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2 π ，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝ a 25 NQ ＝2 1SM ＝ 4 2a BQ ＝ a 4 14 ∴COS∠QNB＝5 10 2222= ?-+NQ BN BQ NQ BN 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝ CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角． 解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角． 设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6 ， cos∠GNA＝ 10 305 62556=??-+。 B M A N C S
3 3 如何求异面直线所成的角 立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也 是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作 证 求。其中“作”是关键，那 么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处 理方法。 I 、用平移法作两条异面直线所成的角 、端点平移法 例1、在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， CBA 900 ,点D , F 分别是 AQ , A ,B i 的中点，若 AB BC CC i ,求CD 与AF 所成的角的余弦值。 解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ， QDF//EC 且 DF EC 四边形DFEC 为平行四边形 EF // DC EFA （或它的补角）为CD 与AF 所成的角。 设 AB 2,则 EF 76，AF 730 arccos 10 、中点平移法 例2、在正四面体ABCD 中, 解：连结MD ，取MD 的中点0，连结NO ， Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点， NO 为DAM 的中位线， NO//AM ， ONC （或它的补角）为AM 与CN 所成的角。 広 J 7 设正四面体ABCD 的棱长为2，则有NO —，CN 73, CO — 2 2 皿 NO 2 CN 2 CO 2 故 cos ONC ----------------- 2NOgCN 2 ONC arccos-故EFA EF 2 FA 2 EA 2 2EFgFA 730 10 75，EA 45 M , N 分别是BC, AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。 EFA A l A D
异面直线及其夹角 教学目标：： 知识目标：1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形， 会判断两直线是否为异面直线。 2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能 求出一些较简单的异面直线所成的角 能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能 力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。 教学重点、难点: 重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角。 难点：异面直线所成角的定义, 如何作出异面直线所成的角。 教学准备：多媒体课件 教学课时：二课时 教学过程： 第一课时 一、导入新课 1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？ 两条道路所在的直线不在同一平面内。它们既不平行也不相交，这样的两条直线有什么特点呢？ 2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？ 有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线以前我们没有学习过，那么它们之间有什么特点和关系呢？）。（板书课题） 二、新课讲解 前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相交）。我们给它一个新的名称“异面直线”。 1 异面直线的定义：不同在任何．． 一个平面内的两条直线叫异面直线。 2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。（如前面我们所说的两个例子，同学们还能找出具有这种性质的两条直线吗？）找两位学生说说他们所找的情况。 3.空间两条异面直线的画法。 如何用图形来表示两条异面直线，通常怎么样画？（老师板演，同时让学生总结其特点） 这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征难以体现。（今后我们也可以不用平面来衬托） 同学们想一想如果这样表示两条异面直线行吗？为什么？ a b a b b a
异面直线所成角的几种求法 异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。 一、向量法求异面直线所成的角 例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。 解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线 到某个点上。作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。 由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。在△GHS 中，设正方体边长为a 。GH=a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ，46连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形），2 6GS=a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。426∴Cos ∠GHS=。6 1所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为。61解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。 以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。 B A C D F E B 1A 1D 1C 1 G H S R P Q 1
第二节 异面直线所成角的计算 1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交O ，分别a ?范围： 例1 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 分析:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形. 作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法: 把空间图形补成熟悉的几何体, 其目的在于容易发现两条异面直线的关系. 2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. 小结：求异面直线所成角的方法： 变式一：已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，各侧棱与底面边长相等，求异面直线PD 与AC 所成角的余弦值。 变式二：如图，点M 是正方形ABCD 所在平面外的一点，且MA=MB=MC=MD=AB 2，求异面直线MC 与BD 所成角的余弦值。 例2 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角AEB ∠=45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________． 例3 空间四边形ABCD 中，对角线8AC =，6BD =，,M N 分别为,AB CD 的中点，且5MN =，求异面直线,AC BD 所成的角。 变式：在空间四边形ABCD 中，4BD =，6AC =，且AC BD ⊥，,M N 分 别为,AB CD 的中点，求MN 及MN 与BD 所成角的正切值。 1、两条直线,与平面α所成的角相等,则直线a ,b 的位置关系是 (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能. 2、设棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1和BB 1的中点，则直线CM 和D 1N 所成角的正弦值为 . 3、已知a 、b 是一对异面直线，且a 、b 成60o 角，则在过空间任意点P 的所有直线中，与a 、b 均成60o 角的直线有 条. 4、异面直线a 、b 互相垂直，c 与a 成30o 角，则c 与b 所成角的范围是 . 5、.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的 度数为 6、 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ， （1）求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角的余弦值。 （2）若M 、N 分别是BC 、11C A 的中点，求异面直线M A 1与CN 所成角的余弦值。 A C B D A B M D A C B F E 1 A 1
构造异面直线所成角的几种方法 异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考． 一、抓异面直线上的已知点 过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标． 例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） 二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点 考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径. 例2(2005年全国高考浙江卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________． 三、平移(或构造)几何体 有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程. 例3(2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=?且 PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____． 1. 解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在 △B 1GF 中，由余弦定理，得 cos B 1GF ＝2221112B G GF B F B G GF +-= ?＝0， 故∠ B 1 G F ＝ ，应选(D)． 2评注：本题是过异面直线FG 上的一点G ，作B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是所求的 角，从而纳入三角形中解决． 解：取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝2 1 ED ． ∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． P B C A
异面直线所成的角 一．例题与课堂练习 题1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3 ， 求AD 、BC 所成角的大小． 题2．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2 π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 题3．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分 别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 题4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角． 题5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点． 求AE 与F D 1所成的角。 题6．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值 【说明】(1)如图1—29，单独画出△A?BF，使图中线段与角的数量关系较直观 图中清楚，使计算更为方便和准确，这是立体几何中常用的重要方法； (2)解法中用余弦定理求cos∠A?BF,其实有更简单方法，请找出简单方法 (3)如果用余弦定理求出角的余弦值为负数，应如何写答案? B M A N C S A C B N M A C B B? (图 1－ A? A B C? D? C D F E
- 总 1．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为 A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 【答案】D 【解析】 试题分析：如图所示，连接B 1C ， 则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°． 故选：D ． 考点：异面直线及其所成的角 2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（ ） A 6 B 14 C 15 D 10【答案】B 【解析】 试题分析：设向量1,,AB a AD b AA c ===，则11,AC a b c A D b c =++=-， 112,7AC A D ∴==， 11111114 cos ,7 AC A D AC A D AC A D ?<>= =。 考点：空间向量的集合运算及数量积运算。 3．正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（ ）
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】C 【解析】 试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠， 大小为60° 考点：异面直线所成角 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（ ） A B C ．5 10- D ． 【答案】B 【解析】 试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1DC F ∠为异面直线所成角，设边长为2 ， 11C F DC DF ∴== =1cos 5 DC F ∴∠= 考点：异面直线所成角 5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ） A 、910 B 、45 C 、710 D 、3 5 【答案】A 【解析】 试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB = ,在'' A BC ?中''''AC A B BC ===''9 cos 10 A BC ∴∠= 考点：异面直线所成角 6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成的角是 A ．?60 B ．?90 C ．?45 D ．?30 【答案】A 【解析】
一．选择题 1.没有公共点的两条直线的位置关系是( ) (A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定 2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( ) (A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交 3.两条异面直线指的是( ) (A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线 4.a 、b 是异面直线，b 、c 也是异面直线，那么a 、c 的位置是( ) (A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面 5.说出正方体中各对线段的位置关系： (1) AB 和CC 1； (2)A 1C 和BD 1； (3)A 1A 和CB 1； (4)A 1C 1和CB 1； (5)A 1B 1和DC ； (6)BD 1和DC. 答案：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．5．(2)相交，(5)平行，其余异面； 6.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( ) 3 1032() () () ()2 10 5 5 A B C D 答案：(D)，取AB 中点M ，CC 1中点N ，连B 1E 和B 1F ； 7.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直 三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，则 BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) 3013015() () () () 2 A B C D 答案：(A)，延长B 1A 1至M ，使A 1M ＝A 1D 1，连MA ，取AB 中点N ． 8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 9.设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c； ②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面 在上述四个命题中，真命题的个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 10.如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线 B 1 (第6题) A 1 C 1 D 1 C D (第7题) F 1 A B C D 1 C 1 A 1 B 1 B 1 (第6题) A 1 A B C 1 D 1 C D M N
异面直线所成角的求法 内蒙古杭锦后旗奋斗中学 刘 宇 例：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。 选题意图，通过该题，让学生进一步理解异面直线所成角的概念，熟练掌握异面直线所成角的求法。 分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。 解法一：如图①连结B 1C 交BC 1于0，过0点作OE ∥DB 1，则∠BOE 为所求的异面直线DB 1与BC 1所成的角。连结EB ，由已知有 B 1B C 1=5，BE=2，∴c o s ∠BOE=170 ∴∠BOE=cos arc 170 解法二：如图②，连DB 、AC 交于O 点，过O 点作OE ∥DB 1，过E 点作EF ∥C 1B ，则∠OEF 或其补角就是两异面直线所 成的角，过O 点作OM ∥DC ，连结MF 、OF 。则 ，cos ∠OEF=，∴异面直线B 1D 与 BC 1所成的角为cos arc 170 解法三：如图③，连结D 1B 交DB 1于O ，连结D 1A ，则四边形ABC 1D 1为平行四边形。在平行
四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补 ，cos∠角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△ADF中DF= 2 DOF=cos arc 解法四：如图④，过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。 则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角， 连结DE交AB于M， cos∠DB1 ∴∠DB1E=cos arc 解法五：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E 中，∠C E=135°，C1 cos∠C1C1BE=cos arc 分析：在已知图形外补作一个相同的 几何体，以例于找出平行线。 解法六：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接 一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则 DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与 BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，cos∠ C1BD2=
考点30： 异面直线所成的角 【考纲要求】 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 【命题规律】 异面直线的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题． 【典型高考试题变式】 （一）空间直线与直线夹角的问题 例1.【2017全国3卷（理）】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成30角； ②当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角； ③直线AB 与a 所称角的最小值为45； ④直线AB 与a 所称角的最小值为60； 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】② ③ 【解析】由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图． 不妨设图中所示正方体边长为1，故1AC =，2AB = 边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向， CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ， 直线a 的方向单位向量(0,1,0)=a ，1=a ．B 点起始坐标为(0,1,0)， 直线b 的方向单位向量(1,0,0)=b ，1=b ．设B 点在运动过程中的坐标()cos ,sin ,0B θθ'，
空间角 1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。异面直线所成的角的范围：(0, ] 2 几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几 何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的 点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中 一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是 常用的方法之一。 例 1 在正方体ABCD A B C D 中，E是AB的中点， // （1）求 BA与 CC夹角的度数 . // （2）求 BA与 CB夹角的度数． (3)求 A/ E 与 CB/夹角的余弦值． 例 2：长方体 ABCD— A1B1C1D1中，若 AB=BC=3， AA1=4，求异面直线 B1D 与 BC1所成角的余弦值。 直接平移：常见的利用其中一个直线 a 和另一个直线 b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线 a 的 平行线。 解法一：如图④，过B1点作 BE∥ BC1交 CB的延长线于 E 点。 则∠ DBE 就是异面直线DB 与 BC 所成角，连结 DE交 AB于 M， DE=2DM=3 5， 1 1 1 1 7 34 cos ∠DBE= 170 解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过 B 点作 BE∥ DB1交 D1B1的延长线于E，则∠ C1BE就是异面直线DB1与 BC1所成的 角，连结 C1E，在△ B1C1E 中， ∠ C1B1E=135°， C1E=3 5 7 34 ， cos ∠C1BE= 170 课堂思考： 1. 如图， PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。