绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷（理工农医类）
数学试题卷(理工农医类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (K)=k m P k (1-P)n-k 以R 为半径的球的体积V =
4
3
πR 3.
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的. （1）复数1+2
2i = (A)1+2i
(B)1-2i
(C)-1
(D)3
(2)设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 (A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(3)圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2-4y =0的位置关系是 (A)相离 (B)相交 (C)外切
(D)内切
(4)已知函数M ,最小值为m ,则
m
M
的值为
(A)
14
(B)
12
(C)
2
(D)
2
(5)已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (ζ＜3＝ (A)
15
(B)
14
(C)
13
(D)
12
(6)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是
(A)f (x )为奇函数 （B ）f (x )为偶函数 (C) f (x )+1为奇函数 （D ）f (x )+1为偶函数 (7)若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为 (A)－
1
3
(B) －
15
(C)
15
(D)
13
(8)已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e ,则双曲
线方程为
（A ）22x a －2
24y a =1
(B)22
2215x y a a -=
(C)22
2214x y b b
-=
(D)22
2215x y b b
-=
(9)如解（9）图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分
的体积，则下列关系中正确的是 （A ）V 1=
2
V (B) V 2=
2
V （C ）V 1> V 2
（D ）V 1< V 2
(10)函数f(x)
(02x π≤≤) 的值域是
（A ）[-
2
]
(B)[-1,0]
（C ）]
（D ）]
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上
（11）设集合U ={1,2,3,4,5},A ={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(A ?B)()C ??e= .
（12）已知函数f(x)=
(当x ≠0时) ，点在x =0处连续，则222
1
lim x an a n n
→∞+=+ . (13)已知12
4
9a =
(a>0) ，则23
log a = . (14)设S n =是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .
（15）直线l 与圆x 2+y 2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 .
(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A 、
B 、
C 、A 1、B 1、C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）.
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b.求： （Ⅰ）
a
c
的值； （Ⅱ）cot B +cot C 的值. （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为1
2
，且各局胜负相互独立.求：
（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望E ξ.
（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（19）图，在ABC 中，B=90,AC =
15
2
,D 、E 两点分别在AB 、AC 上.使 2AD AE
DB EC
==,DE=3.现将ABC 沿DE 折成直二角角，求： （Ⅰ）异面直线AD 与BC 的距离；
（Ⅱ）二面角A-EC-B 的大小（用反三角函数表示）.
（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）
设函数2
()(0),f x ax bx c a =++≠曲线y =f (x )通过点（0，2a +3），且在点（-1，f （-1）） 处的切线垂直于y 轴.
（Ⅰ）用a 分别表示b 和c ；
（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数g (x )=-f (x )e -x 的单调区间. （21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若2
·1cos PM PN MPN
-＝
,求点P 的坐标.
（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 设各项均为正数的数列{a n }满足32
112
2,(N*)n a a a a a
a n ++==∈.
（Ⅰ）若21
4
a =
，求a 3，a 4，并猜想a 2cos 的值（不需证明）；
（Ⅱ）记32(N*),n n n b a a a n b =∈≥若对n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的
通项公式.
2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（理工农医类）答案
一、选择题：每小题5分，满分50分. （1）A （2）A （3）B （4）C （5）D
（6）C
（7）A （8）C （9）D （10）B 二、填空题：每小题4分，满分24分. （11）25， （12）
13
（13）3 （14）-72 （15）x-y+1=0 （16）216
（1）复数3
21i +
= (A)1+2i
(B)1-2i
(C)-1
(D)3
解：33221112i i i i i
?+
=+=+? (2)设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解：,m n 均为偶数m n ?+是偶数 则充分；而m n +是偶数≠>,m n 均为偶数 。
(3)圆221:20O x y x +-=和圆22
2:40O x y y +-=的位置关系是
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切
解： 化成标准方程：22
1:(1)1O x y -+=，222:)2)4O x y +-=，则
1(1,0)O ，2(0,2)O ，12||O O R r ==<+，两圆相交
(4)已知函数y =M ,最小值为m ,则
m
M 的值为
(A)
14
(B)
12
(C)
2
(D)
2
解：定义域10
3130
x x x -≥??-≤≤?
+≥? ，244y =+=+
所以当1x =-时，y 取最大值M =，当31x =-或时y 取最小值2m =
2
m M ∴
= (5)已知随机变量ζ服从正态分布2
(3,)N σ,则(3)P ζ<=
(A)
15
(B)
14
(C)
13
(D)
12 解：ζ服从正态分布2
(3,)N σ，曲线关于3x =对称，1(3)2
P ζ<=,选 D
(6)若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈，有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是 (A) ()f x 为奇函数 （B ）()f x 为偶函数 (C) ()1f x + 为奇函数
（D ）()1f x +为偶函数
解：令0x =，得(0)2(0)1f f =+，(0)1f =-，所以()()()11f x x f x f x -=+-+=-
()()110f x f x +-++=,即()1[()1]f x f x +=--+，所以()1f x + 为奇函数,选C
(7)若过两点1(1,2)P -,2(5,6)P 的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为
(A)－
1
3
(B) －
1
5 (C)
15
(D)
13
解：设点(,0)P x ，则021
603
λ-==--，选 A
(8)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线为(0)y kx k =>,
离心率e =,
则双曲线方程为 （A ）22x a －2
24y a
=1
(B)22
2215x y a a
-=
(C)22
2214x y b b
-=
(D)22
2215x y b b
-=
解：c e a =
=22
2b k a c
a a
b
c ?=??
??=??+=???
， 所以224a b =
(9)如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是
（A ）12
V V >
(B) 22
V V <
（C ）12V V >
（D ）12V V <
解：设大球半径为R ，小球半径为2
R 根据题意331
2444()23324V R V R V ππ==?-?+所
以 333124424()233232V R V V R R πππ-=-?== 于是1222
V V V -=即212V V V -=所以2120V V V V -=->
，12V V <∴。 (10)
函数()2)f x x π=
≤≤ 的值域是
（A ）
] (B)[-1,0] （C ）
]
（D ）
]
解：特殊值法， sin 0,cos 1x x ==则f(x)
1=-淘汰A ，
令=得26(sin 1)cos 4x x -+=当时sin 1x =-时3
cos 2x =所以
矛盾()f x
≠淘汰C ， D
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上 （11）设集合U ={1,2,3,4,5},A ={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则()()U A B C e= .
解：{2,3,4,5)A
B =，{1,2,5}U
C =e ()(){2,5}U A B C =e
（12）已知函数f(x)= 23(0(0x x a x +≠??=?
当时）当时） ，点在x =0处连续，则222
1
lim x an a n n →∞+=+ . 解：0
lim x +→0
23lim 233x x x -
→+=+= 又 (0)f a = 点在x =0处连续， 所以0lim ()(0)x f x f →= 即3a = 故222
3131
lim 393
x n n n →∞+==+ (13)已知23
4
9a =
(a>0) ，则23
log a = . 解：23
3232
22()[()]3a =3
2()3a ?= 322332log log ()33
a ?==
(14)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-, 99S =-,则16S =
解： 1991955512()9
9,2192
a a S a a a a a a +?=
=-+=?=-∴+=-，
11651216()16()1691672222
a a a a S +?+?-?====-
（15）直线l 与圆2
2
240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 .
解：设圆心(1,2)O -，直线l 的斜率为k ， 弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，2110
op k -=--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ?=?-=-∴= 由点斜式得1y x =-
(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A 、
B 、
C 、A 1、B 1、C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）
解：111432A B C 处种，处种，处种则底面共43224??=，
1131A B B C ，B 分类，A ，同，处种，处种，则共有3种
，
12B A B A ，不同，处3，处种，1C ?处种，则共有32=6种，由分类计数原理得上底面共
9种，由分步类计数原理得共有249216?=种
三、解答题：满分76分. （17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）由余弦定理得
2222cos a b c b A =+-
＝22
21
117()2
,3
329
c c c c c +-=
故
3
a c = （Ⅱ）解法一：cot cot B C +
＝
cos sin cos sin sin sin B C C B
B C +
＝
sin()sin ,sin sin sin sin B C A
B C B C
+= 由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
2
2
7
sin19
··
1
sin sin sin9
·
3
c
A a
B C A bc c c
====
故cot cot
B C
+=
解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有
222
222
71
()
cos
27
2
c c c
a c b
B
ac
c c
+-
+
-
==
故sin B===
同理可得
222
222
71
cos
2712
2
33
c c c
a b c
C
ab
c c
+-
+-
===
sin
C
==
=
从而
cos cos
cot cot
sin sin9
B C
B C
B C
+=+==
（18）（本小题13分）
解：令,,
k k k
A B C分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为
12312333
111
()().
224
P AC B P B C A
+=+=
（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且
121222
111
(2)()(),
222
P P A A P B B
ξ==+=+=
12312333
111
(3)()().
224
P P AC C P B C C
ξ==+=+=
123412344
4111(4)()().228
P P AC B B P B C A A ξ==+=+= 1234512345
55111
(5)()(),2216P P AC B A A P B C A B B ξ==+=+= 1234512345
55111
(6)()(),2216
P P AC B A C P B C A B C ξ==+=+= 故有分布列
从而1111147
23456248161616
E ξ=?+?+?+?+?=
（局）. （19）（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）在答（19）图1中，因
AD AE
DB CE
=
，故BE ∥BC .又因B ＝90°，从而 AD ⊥DE .
在第（19）图2中，因A -DE -B 是直二面角，AD ⊥DE ,故AD ⊥底面DBCE ，从
而AD ⊥DB .而DB ⊥BC ,故DB 为异面直线AD 与BC 的公垂线. 下求DB 之长.在答（19）图1中，由2AD AE CB BC ==，得2
.3
DE AD BC AB == 又已知DE =3,从而39
.22
BC DE =
= 6.AB ===
因
1
, 2.3
DB DB AB =故＝ （Ⅱ）在第（19）图2中，过D 作DF ⊥CE ,交CE 的延长线于F ，连接AF .由（1）知，
AD ⊥底面DBCE ,由三垂线定理知AF ⊥FC ,故∠AFD 为二面角A -BC -B 的平面 角.
在底面DBCE 中，∠DEF =∠BCE ,
1155
2,,322DB EC ==
= 因此4
sin .5DB BCE EC ==
从而在Rt △DFE 中，DE =3,
412sin sin 3
.55DF DE DEF DE BCE ==== 在5
Rt ,4,tan .3
AD AFD AD AFD DF ?===中
因此所求二面角A -EC -B 的大小为arctan 5
.3
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D 点为坐标原点，DB DE DA 、
、的方向为x 、 y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （0，0，4），
9202C ??
???
，，，E （0，3，0）.
302AD AD ?
? ??
?＝-2，-，，＝（0，0，-4）.过D 作DF ⊥CE ,交CE 的延长线
于F ，连接AF .
设00(,,0),F x y 从而00(,,0),DF x y = 00(,3,0).EF x y DF CE =-⊥由，有
003
0,20.2DF CE x y =+
=即 ① 又由003
,
.32
2
x y CE EF -=得 ②
联立①、②，解得00364836483648,.,,0,,4.252525252525x y F AF ????=-
=-=-- ? ?????
即，得 因为36483(2)025252A F C E
????=--+-= ? ???
??,故AF CE ⊥,又因DF CE ⊥,所以
DFA ∠为所求的二面角A-EC-B 的平面角.因3648,,0,2525DF ??
=- ???
有
22
364812
,4,5DF AD ????=-+== ? ?所以5tan .3
AD AFD DF ==
因此所求二面角A-EC-B 的大小为5arctan .3
(20)（本小题13分）
解：(Ⅰ)因为2
(),()2.f x ax bx c f x ax b '=++=+所以
又因为曲线()y f x =通过点（0，2a +3）, 故(0)23,(0),2 3.f a f c c a =+==+而从而
又曲线()y f x =在（-1，f (-1)）处的切线垂直于y 轴，故(1)0,f '-= 即-2a +b =0,因此b=2a .
(Ⅱ)由(Ⅰ)得239
2(23)4(),44
bc a a a =+=+-
故当34a =-时，bc 取得最小值-9
4.
此时有33
,.22b c =-=
从而233333
(),(),42222
f x x x f x x '=--+=--
2333()()(),422
x
x g x f x c x x e --=-=+-
所以23()(()()(4).4
x x
g x f x f x e x e --''=-=--
令()0g x '=，解得122, 2.x x =-=
当(,2),()0,()(,2)x g x g x x '∈-∞-<∈-∞-时故在上为减函数； 当(2,2)()0,()(2,).x g x g x x '∈->∈+∞时，故在上为减函数 当(2,)()0()(2,)x g x g x x '∈+∞<∈+∞时，，故在上为减函数.
由此可见，函数()g x 的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）. (21)（本小题12分）
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴
b
=，
所以椭圆的方程为22
1.95
x y += (Ⅱ)由2
,1cos PM PN MPN
=
-得
cos 2.PM PN MPN PM PN =- ①
因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN
中，4,MN =由余弦定理有
2
22
2cos .MN
PM PN PM PN MPN =+- ②
将①代入②，得
2
2
2
42(2).PM PN PM PN =+--
故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2
213
x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22
195
x y +=，所以 由方程组2222
5945,3 3.x y x y ?+=?
?+=??
解得x y ?=????=
?? 即P
点坐标为
-. (22)(本小题12分)
解：(Ⅰ)因2
122,2,a a -==故
342
312
382
423
2,2.
a a a a a a -
--====
由此有0
223
(2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====，故猜想n a 的通项为 1
(2)*2(N ).n n a n --=∈
（Ⅱ）令2log ,2.n S
n n n n n x a S x n b ==表示的前项和，则 由题设知x 1=1且
*123
(N );2
n n n x x x n ++=
+∈ ①
123
(2).2n n S x x x n =+++≥≥ ②
因②式对n =2成立，有1213
,12x x x ≤+=又得
21
.2x ≥ ③
下用反证法证明：2211
..22
x x ≤>假设
由①得2121131
2()(2).22
n n n n n n x x x x x x ++++++=+++
因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为1
2
的等比数列.故
*
121111()(N ).222n n n x x x n +--=-∈ ④
又由①知 211111311
()2(),2222
n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=--
因此是112n n x x +-
是首项为21
2
x -，公比为-2的等比数列,所以 1*1211
()(2)(N ).22
n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得
1*221511
(2)()(2)(N ).222n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得
2*2215111(2)(2)(2)()(N ).2223
n n x x x n ---=+---∈ ⑦
由题设知21231
,22
k S x +≥
>且由反证假设有
21*22221
*2222112115
2)(2)()(N ).
2234
1211151
()(2)(2)2(N ).
23244
k k k k x x k x x x k ++++---≥∈+-≤+--<+∈（从而 即不等式
22k +1＜
2
2364112
x x +
--
对k ∈N *恒成立.但这是不可能的，矛盾. 因此x 2≤
12,结合③式知x 2=1
2
,因此a 2=2*2 将x 2=1
2代入⑦式得
S n =2－11
2
n -(n ∈N*),
所以b n =2S n =22－
112n -(n ∈N*)
数学试卷 一、选择题（30分） 1．在0，-2, 1，-3这四个数中，最小的数是( ). A ．0 B ．-2 C ．1 D ．-3 2. 函数中，自变量的取值范围是( ). A ．x≥1 B ．x≤1 C ．x≥-1 D ．x≤-1 3．把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( ). A ． B ． C ． D ． 4．如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是( ). A ．必然事件（必然发生的事件） B ．不可能事件（不可能发生的事件） C ．确定事件（必然发生或不可能发生的事件） D ．不确定事件（随机事件） 5. 若x1、x2是一元二次方程的两个根，则x12的值是( ). A.3 3 C.2 2 6．我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图，从图的左面看这个几何体的左视图是( ). A ． B ． C ． D ． 7．已知 ，我们又定义 ，， ，……，根据你观察的规律可推测出＝( ). 1 0 1 0 1 0 1 0
A. B. C. D. 8．如图，在矩形中，M、N分别为边、边的中点， 将矩形沿折叠，使A点恰好落在上的点F处， 则∠的度数为( ). A．20°B．25 °C．30°D．36° 9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况，从该年级学生中随机 抽取了4%的学生，对其参加的体育活动项目进行了调查，将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.下列结论：①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人；②在本次调查中“其他”的扇形的圆心角的度数为36°；③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目的学生多20%；④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 10．如图，等腰△中，∠90°，4，⊙C的半径为1，点P在斜边上，切⊙O于点Q，则切线长长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.4 二、填空题（18分） 11．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O
自主招生试题选讲(清华、北大、交大等) 清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章 自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难 度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风 格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。 几个热点问题 方程的根的问题： 1.已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结 论．（08交大） 2.设，试证明对任意实数： （1）方程总有相同实根； （2）存在，恒有．（07交大） 3.（06交大）设 （05复旦）在实数范围内求方程：的实数根． 5.（05交大）的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数， 求a,b,c的值． 6. 解方程：．求方程（n重根）的解．(09交大) 凸函数问题 1. (2009复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x，y都满足 ，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1）（2） （3）（） （4） 中是下凸函数的有-------------------。 A．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 2. （06复旦）设x1,x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是：(1)
（tanx1+tanx2）>tan; (2) （tanx1+tanx2）
2004年普通高等学校招生考试 数 学（文史类）（重庆卷） 本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟. 第Ⅰ部分（选择题 共60分） 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那幺n 次独立重复试验中恰好 发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()( 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数y =的定义域是：（ ） A [1,)+∞ B 23(,)+∞ C 23[,1] D 2 3(,1] 2. 函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2 f f = ( ) A 1 B -1 C 35 D 3 5 - 3.圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为：（ ） A 2 B 2 C 1 D 4．不等式2 21 x x + >+的解集是：（ ） A (1,0)(1,)-+∞U B (,1)(0,1)-∞-U C (1,0)(0,1)-U D (,1)(1,)-∞-+∞U
5．sin163sin 223sin 253sin313+=o o o o ( ) A 12- B 1 2 C 2- D 2 6．若向量r r a 与b 的夹角为60o ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,则向量a r 的模为： （ ） A 2 B 4 C 6 D 12 7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。那 么p 是q 成立的：（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题： ① ////m m αββα????? ② //////m n n m ββ???? ③ ,m m n n αβ??????异面 ④ //m m αββα⊥??⊥?? 其中假命题有：（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 9． 若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（ ） A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 10．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双 曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( ) A 43 B 53 C 2 D 73 11．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为：（ ） A 2140 B 1740 C 310 D 7120
重庆市2020年初中学业水平暨高中招生考试 数学试卷（A 卷） (全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B 铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式：抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为（a b ac a b 44,22--）,对称轴为a b x 2-= 一、选择题：(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A 、 B 、 C 、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．下列各数中，最小的数是（ ） A ．－3 B ．0 C ．1 D ．2 2．下列图形是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”，其中数据26000用科学记数法表示为（ ） A ．3 1026? ' B ．3 106.2? C ．4 106.2? D ．5 1026.0? 4．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此现律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ） A ．10 B ．15 C ．18 D ．21 5．如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，连接OA ，OB ，若∠B = 20°，则∠AOB 的度数为（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 6．下列计算中，正确的是（ ） A ．532= + B ．2222=+ C ．632=? D ．3232=- 7．解一元一次方程 x x 3 1 1)1(21-=+时，去分母正确的是（ ） A ．x x 21)1(3-=+ B ．x x 31)1(2-=+ C ．x x 36)1(2-=+ D ．x x 26)1(3-=+ 8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A (1，2)，B (1，1) ，C (3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2︰1，则线段DF 的长度为（ ） A ．5 B ．2 C ．4 D ．52 9．如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度(或坡比)i =1︰0.75，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD = 45m ，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖而在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（ ） (参考数据：sin 28≈0.47，cos 28≈0.88 ，tan 28≈0.53) A ．76.9m B ．82.1m C ．94.8m D ．112.6m 10．若关于x 的一元一次不等式组??? ??≤+≤-a x x x 321 3的解集为a x ≤，且关于y 的分式方程 12 4 32=--+--y y y a y 有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ） A ．7 B ．－14 C ．28 D ．－56 11．如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把△ABD 沿着AD 翻折，得到△AED ，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F 。若DG = GE ，AF =3，BF =2，△ADG 的面积为2，则点F 到BC 的距离为（ ） A ． 55 B ．552 C ．554 D ．3 34 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中 点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE 。若AD 平分∠OAE ，反比例函数x k y = (k >0，x >0)的图象经过AE 上的两点A 、F ，且AF =EF ，△ABE 的面积为18，则k 的值为（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24 二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 13．计算：2)1(0 -+-π =__________。 14．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是___________。
2010年科学素养测试 数学试题 【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、计算= . 2、分解因式：= . 3、函数中，自变量x的取值范围是. 4、已知样本数据x1，x2，…，x n的方差为1，则数据10x1＋5，10x2＋5，…，10x n＋5的方 差为. 5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为（a, 0）(b, 0)（0, c)，则a+b+c的值等 于. 6、在同一平面上，⊙、⊙的半径分别为2和1，＝5，则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有 个． 7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm， 则斜边长为cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
则第10个图案中有白色地面砖块. 9、将函数的图像平移，使平移后的图像过C（0，-2），交x轴于A、B两点，并且△ABC 的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是. 10、如图，平行四边形ABCD中，P点是形内一点，且△P AB的面积等于8 cm2，△P AD的 面积等于7 cm2，，△PCB的面积等于12 cm2，则△PCD的面积是cm2. （第10题图）（第11题图） 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图与左视图均为如图所 示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是. 12、正△ABC内接于⊙O，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE交⊙O与F, 连接BF交 AC于点P,则. 二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分） 13、已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9 求：①a∶b∶c②
2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温
3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图
2008年重庆市高考数学试卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2008?重庆）复数=（） 2222 4．（5分）（2008?重庆）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（） ．B C．D 2 ．B C．D 6．（5分）（2008?重庆）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则 7．（5分）（2008?重庆）若过两点P1（﹣1，2），P2（5，6）的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比λ的值为 ．D 8．（5分）（2008?重庆）已知双曲线的一条渐近线为y=kx（k＞0），离心率， ． ﹣=1
9．（5分）（2008?重庆）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（） ．B C 10．（5分）（2008?重庆）函数的值域是（） ﹣ ﹣ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（4分）（2008?重庆）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}，则（A∪B）∩（?U C）=_________． 12．（4分）（2008?重庆）已知函数f（x）=，点在x=0处连续，则=_________．13．（4分）（2008?重庆）已知（a＞0），则=_________． 14．（4分）（2008?重庆）设S n是等差数列{a n}的前n项和，a12=﹣8，S9=﹣9，则S16=_________． 15．（4分）（2008?重庆）直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+a=0（a＜3）相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为_________． 16．（4分）（2008?重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 _________种（用数字作答）． 三、解答题（共6小题，满分76分） 17．（13分）（2008?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）cotB+cot C的值．
重庆市2018年初中学业水平暨高中招生考试 数 学 试 题(A 卷) (全卷共五个大题,满分150分,考试时间120分钟) 注意事项: 1.试题的答案书写在答题卡上,不得在试卷上直接作答; 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项; 3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色签字笔完成; 4.考试结束,由监考人员将试题和答题卡一并收回. 参考公式:抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,24b ac b a a ??-- ???,对称轴为2b x a =- . 一、选择题:(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四 个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 2的相反数是（ ） A.-2 B. 12- C. 1 2 D.2 2. 下列图形中一定是轴对称图形的是（ ） 3. 为调查某大型企业员工对企业的满意程度,以下样本最具代表性的是（ ） A.企业男员工 B.企业年满50岁及以上的员工 C.用企业人员名册,随机抽取三分之一的员工 D.企业新进员工 4. 把三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有4个三角形,第②个图案中有6个三角形,第③ 个图案中有8个三角形,…,按此规律排列下去,则第⑦个图案中三角形的个数为（ ） A.12 B.14 C.16 D.18
5. 要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm ,6cm 和9cm ,另一个三角形的最 短边长为2.5cm ,则它的最长边为（ ） A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm 6. 下列命题正确的是（ ） A.平行四边形的对角线互相垂直平分 B.矩形的对角线互相垂直平分 C.菱形的对角线互相平分且相等 D.正方形的对角线互相垂直平分 7. 估计(1 30246 g ） A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 8.按如图所示的运算程序,能使输出的结果为12的是（ ） A.x =3，y =3 B.x =-4，y =-2 C.x =2，y =4 D.x =4，y =2 9. 如图,已知AB 是O e 的直径,点P 在BA 的延长线上,PD 与O e 相切于点D ,过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C .若O e 的半径为4,BC =6,则PA 对的长为（ ） A.4 B. 23 10. 如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E 点出测得旗 杆顶端的仰角∠AED =58°,升旗台底部到教学楼的底部的距离DE =7米,升旗台坡面CD 的坡度i =1:0.75,坡长CD =2米,若旗杆底部到到坡面CD 的水平距离BC =1米,则旗杆AB 的高度约为（ ） (参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6) A.12.6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米
中学自主招生数学试卷 一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分） 1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（） A．B．D． 2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（） A．2πB．4πC．2D．4 3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（） A．B．2C．3D．6 二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分） 6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是． 7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为． 8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两
点，且=m，=n，则+=． 9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个． 10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=． 11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是． 三、简答题（共4小题，满分50分） 12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分． 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由： 班级内环中环外环
2011年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2011?重庆）复数=（）A． B． C． D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为 a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数==== 故选C 【点评】题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题． 22．（3分）（2011?重庆）“x＜﹣1”是“x﹣1＞0”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．222【分析】由x＜﹣1，知x﹣1＞0，由x﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x﹣1＞0”的充分而不必要条件．2【解答】解：∵“x＜﹣1”?“x﹣1＞0”，2“x﹣1＞0”?“x＜﹣1或x＞1”．2∴“x＜﹣1”是“x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用．3．（3分）（2011?重庆）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．6 【考点】极限及其运算．【专题】计算题．2【分析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x，再取极限即可． 1 【解答】解：原式= 2=（分子分母同时除以x）= ==2 ∴a=6 故选：D．【点评】关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．n564．（3分）（2011?
实用文档 重庆市2018年初中学业水平暨高中招生考试 数学试题( B卷) (全卷共五个大题，满分150分。考试时间120分钟) 注意事项: 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色签字笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回。 2??b4ac?b2,0)?(aax?bx?cy?为轴对称坐标为,考参公式：抛物线的顶点?? aa42??b?x。2a一、选择题：(本大题12 个小题，每小题4分,共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1.下列四个数中，是正整数的是( ) 1 D.1 A.-1 B.0 C.22下列图形中，是轴对称图形的是( ) 3.下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片,第③个图中有7张黑色正方形纸片,..，按此规律排列下去,第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为( ) A.11 B.13 C.15 D.17 4.下列调查中，最适合采用全面调查(普查)的是( ) A.对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B.对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 C.对我市中学生观看电影(厉害了，我的国》情况的调查 D.对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查 3m?2m长方形广告牌的成本是1205.制作一块元,在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( ) A.360元 B.720元 C.1080元 D.2160元 实用文档( )
2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F
2011年重庆市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2011?重庆）复数=（）A．B．C．D． 【考点】复数代数形式的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数 ==== 故选C 【点评】题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题． 2．（3分）（2011?重庆）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题． 【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．
【解答】解：∵“x＜﹣1”?“x2﹣1＞0”， “x2﹣1＞0”?“x＜﹣1或x＞1”． ∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件． 故选A． 【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用． 3．（3分）（2011?重庆）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．6 【考点】极限及其运算． 【专题】计算题． 【分析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可． 【解答】解：原式= =（分子分母同时除以x2） = ==2 ∴a=6 故选：D．
【点评】关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧． 4．（3分）（2011?重庆）（1+3x ）n （其中n ∈N 且n≥6）的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n=（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x 5与x 6的系数，列出方程求出n ． 【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1=3r C n r x r ∴展开式中x 5与x 6的系数分别是35C n 5，36C n 6 ∴35C n 5=36C n 6 解得n=7 故选B 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 5．（3分）（2011?重庆）下列区间中，函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|在其上为增函数的是（ ） A ．（﹣∞，1] B ． C ． D ．（1，2）
2019重庆一外小升初招生数学真题 （考试时间：70分钟，总分120分） 姓名：____________ 分数：____________ A 组（58分） 一、选择题（共4题，每题2分，共计8分） 1.投掷2次硬币，有2次正面朝上，0次反面朝上，那么投掷第3次反面朝上的可能性是（ ）。 A.1 B.31 C.0 D. 2 1 2.一列火车长300米，它以每分钟1000米的速度经过一座大桥，从车头上桥到车尾离开桥一共用2分钟，求桥长（ ）米。 A.1700 B.2300 C.2600 D.140 3.分钟与分母的和是24的最简真分数有（ ）个。 A.1 B.2 C.3 D.4 4.一个圆柱和一个圆等底等高，它们的体积相差28立方厘米，那么圆柱的体积是（ ）立方厘米。 A.14 B.28 C.42 D.84 二、填空题（共4题，每题2分，共计8分） 5.两袋大米共重81千克，第一袋吃了52，第二袋吃了4 3，两袋大米一共还剩29千克，则第二袋剩 千克。 6.一份试卷共有25道题，每道题都给出了4个答案，其中只有一各正确答案，每道题选对得4分，不选或错选倒扣1分，如果一个学生得90分，那么它就做对了 道题。
7.在一个减法算式中，差与减数的比是3:5，减数是被减数的 %。 8.4点到5点之间，时针和分针第一次成60度角的时间是 。 三、判断题，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。 （共6题，每题1分，共计6分） 9.比1小的数一定是小数。（ ） 10.一个正方形的边长增加10%。它的面积增加21%。（ ） 11.一种商品先降价10%，后涨价10%。价格比原来降低了1%。（ ） 12.按照“外语校欢迎你外语校欢迎你外语校欢迎你……”这样的规律排列，则第2016个字是“你”字。（ ） 13.一个角的两条边越长，这个角就越大。（ ） 14.一副扑克牌有54张，最少要抽取14张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数。（ ） 四、计算（共计24分） 15.（1）直接写出答案（每题1分，共计6分） ○ 15.4+53 = ○22.4×6 5= ○35.4+3= ○ 40.6×6= ○551÷0.8= ○612 5 -32= （2）解方程（每小题2分，共计6分） ○17552-=+x x ○2132-=x x ③52：3.5＝17 1：x
2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p c q = ，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成；
4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ，然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9
【解析】难度简单，直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?， 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】 454 【解析】
8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2 n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】
2012年重庆市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的 1．（5分）（2012?重庆）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7B．15 C．20 D．25 考点：等差数列的性质． 专题：计算题． 分析：利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论． 解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5， ∴a2+a4=a1+a5=6， ∴S5=（a1+a5）= 故选B． 点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键． 2．（5分）（2012?重庆）不等式≤0的解集为（） A．B．C．D． 考点：其他不等式的解法． 专题：计算题． 分析： 由不等式可得，由此解得不等式的解集． 解答： 解：由不等式可得，解得﹣＜x≤1，故不等式的解集为， 故选A． 点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 3．（5分）（2012?重庆）对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（）A．相离B．相切 C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心 考点：直线与圆的位置关系． 专题：探究型． 分析：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=2内，故可得结论．
解答：解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在 ∵（0，1）在圆x2+y2=2内 ∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选C． 点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在． 4．（5分）（2012?重庆）的展开式中常数项为（）A．B．C．D．105 考点：二项式定理的应用． 专题：计算题． 分析： 在的展开式通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可 求得展开式中常数项． 解答： 解：的展开式通项公式为 T r+1==， 令=0，r=4． 故展开式中常数项为=， 故选B． 点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 5．（5分）（2012?重庆）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（） A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3 考点：两角和与差的正切函数；根与系数的关系． 专题：计算题． 分析：由tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将 tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值． 解答：解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根， ∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，
D C B A A 重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B卷）（含解答提示） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为( a2 b -, a4 b ac 42 - )，对称轴公式为x= a2 b -. 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分） 1.5的绝对值是（） A、5； B、-5； C、 5 1 ；D、 5 1 -. 提示：根据绝对值的概念.答案A. 2.如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（） .答案D. 3.下列命题是真命题的是（） A、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的周长比为2︰3； B、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的周长比为4︰9； C、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的面积比为2︰3； D、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的面积比为4︰9. 提示：根据相似三角形的性质.答案B. 4.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40°， 则∠B的度数为（） A、60°； B、50°； C、40°； D、30°. 提示：利用圆的切线性质.答案B. 5.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是（） A、直线x=2； B、直线x=-2； C、直线x=1； D、直线x=-1. 提示：根据试卷提供的参考公式.答案C. 6.某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（） A、13； B、14； C、15； D、16. 提示：用验证法.答案C. 7.估计10 2 5? +的值应在（） A、5和6之间； B、6和7之间； C、7和8之间； D、8和9之间. 提示：化简得5 3.答案B. 8.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是-2，若输入x的值是-8，则输出y的值是（） A、5； B、10； C、 提示：先求出b.答案C. 9.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，sin∠COA= 5 4 .若反比例函数)0 x,0 k( x k y> > = 经过点C，则k的值等于（）