一元二次方程常见错解剖析
一元二次方程是初中数学的重要内容，然而很多同学由于受思维定势的影响，往往会忽视含有字母系数的一元二次方程中的隐含条件，致使解答陷入误区。具体表现主要有以下几方面：
一、忽视二次项系数a ≠0导致字母系数取值范围扩大
例1. 已知关于x 的一元二次方程()()a x a x 2212210-+++=有实根，求a 的取值范围。
错解：因为方程有实根，所以△≥0
即4241022()()a a +--≥
解得a ≥-54
剖析：由一元二次方程的定义知：a 210-≠。 而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正确解法应为： 依题意得：a a a 2221042410
-≠=+--≥??????()() 解得a ≥-54
且a ≠±1 二、忽视△≥0导致错解
例2. 已知：x x 12、是方程()x k x k k 222350--+++=的两实根，求x x 1222
+的最大值。
错解：由根与系数的关系得：
x x k x x k k 12122235+=-=++，
所以()x x x x x x 1222
122122+=+-
()()
()=--++=---=-++k k k k k k 2235106
5192222
所以当k =-5时，x x 1222
+有最大值19。
剖析：当k =-5时，原方程变为x x 27150++=，此时△＜0，方程无实根！错因是忽略了△≥0这一重要前提，由于方程有两实根，故△≥0，即：
[]()---++≥()k k k 2435022
解得-≤≤443k
所以当k =-4时，x x 1222+有最大值18。
三、忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小
例3. 已知关于x 的方程()kx k x k 22110-++-=，当k 为何值时，方程有实数根？
错解：因为方程有实数根，所以△≥0
即()[]()-+--≥214102k k k
解得k ≥-13，又因为k ≠0
所以k ≥-13且k ≠0 剖析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论。
（1）当k ＝0时，原方程变为一元一次方程-=21x ，其实根为x =-12
，故k 可取0。 （2）当k ≠0时，原方程为一元二次方程，须满足△≥0，即k ≥-
1
3且k ≠0，综合（1）、（2）知：k ≥-1
3。
四、忽视对一元二次方程两根的具体分析导致字母系数取值范围扩大 例4. 若二次方程x x m 2650-+-=的两实根都大于2，则m 的取值范围为_________。
错解：设方程两实根为x x 12、，则x x 1222>>，
所以x x x x 121244+>>，
依题意得x x x x m m 121264
54
36450+=>=->=--≥????
??() 解得-≤<41m
剖析：当m ＝0时，原方程为x x 2650-+=，其根为x x 1215==，，显然不合题意，错因在于：由x 12>，且x 22>得x x x x 121244+>>，成立；反之，由x x 124·>则不一定有x 12>且x 22>成立。
正解：设方程的两实根为x x 12、，则
x x 122020->->，
依题意得?=--≥-->-+->+==-???????364502202206512121212()()()()()m x x x x x x x x m
， 解得-≤<-43m
例5. 已知方程x ax a 2240-+-=的两实根中仅有一根为负数，求a 的取值范围。
错解：设方程两实根为x x 12、，因两根中仅有一根为负数，故另
一根为0或正数，故有：
x x a 12240=-+≤
解得a ≥2或a ≤-2
剖析：当x 10≥且x 20<时有x x 120≤成立；反之当x x 120≤时则不能保证两根中必有一个为负数！
正确解法应分两种情况：
（1）当x x 1200<=，时，有x x a x x a 121220
40+=<=-+=???
即a =-2
（2）当x x 1200<>，时，有x x a 12240=-+<
解得a >2或a <-2，综合（1）、（2）知：
a >2或a ≤-2
五、忽视题目中的隐含条件导致错解
例6. 已知a 、b 是方程()x k x k 2110+-++=的两个根且a 、b 是某直角三角形的两条直角边，其斜边长等于1，求k 的值。
错解：因为a 、b 是方程()x k x k 2110+-++=的两个根
所以a b k ab k +=-=+11，
又由已知得：a b 221+=
所以()a b ab +-=221
即k k 2420--=
解得k =±26
剖析：由于a ，b 既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边，所以a b >>00，，从而a b ab +>>00，，当k =+26时
a b k +=-=--<1160，故 k =+26不合题意，舍去。
当 k =-26时，a b k ab k +=-=-=+=->1611360，，故k 的值为26-。
六、教学反思与小结：
通过以上几例错解剖析，提醒同学们在掌握一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性，学会数学反思，同时要注重分类讨论思想在解题中的合理运用。
一元二次方程 复习测试 一、选择题（共20分） 1. 如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为12x =，21x =，那么p 、q 的 值分别是（ ） A ．-3，2 B. 3，-2 C. 2，-3 D. 2，3 2. 在一元二次方程20ax bx c ++=中，如果a 和c 异号，那么这个方程 （ ） A ．无实数根 B. 有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D. 不能确定 3. 若2x =-是关于x 的一元二次方程22502 x ax a -+=的一个根，则a 的值为 （ ） A ．1 或 4 B. -1 或-4 C. -1或4 D. 1或4 4.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元.设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A. 248(1)36x -= B. 2 48(1)36x += B. C. 236(1)48x -= D. 236(1)48x += 5.已知关于x 的一元二次方程20x ax b ++=有一个非零根b -，则a b -的值为 （ ） A ． 1 B. -1 C. 0 D. -2 6. 已知关于x 的一元二次方程22(2)(21)10k x k x -+++=有两个不相等的实数根，则k 的 取值范围是（ ） A. 43k > 且2k ≠ B. 43 k ≥且2k ≠ B. C. 34k >且2k ≠ D. 34k ≥且2k ≠ 7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A ．4x 2﹣5x +2=0 B ． x 2﹣6x +9=0 C ． 5x 2﹣4x ﹣1=0 D ．3x 2﹣4x +1=0 8. 某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百 分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是 （ ） 9. 设x 1，x 2是方程x 2+5x ﹣3=0的两个根，则x 12+x 22的值是（ ） A ． 19 B ． 25 C ． 31 D ． 30
元二次方程练习题 1、已知关于X 的方程X 2 —2(k —1)x + k 2 =0有两个实数根 ⑴、求k 的取值范围; ⑵、若x 1 + X 2 = X i " X 2 —1，求 k 的值。 2.、已知关于X 的一元二次方程 亠 2(擀+5 +存+5=0 有两个实数根X 1与X 2 (1)求实数m 的取值范围; ⑵若(X i -1)(x 2 -1)=7，求 m 的值。 2 3.已知A(X 1 , yj , B(X 2 , y 2)是反比例函数y =-一图象上的两点，且x^ x^ -2 X (1)求5 72的值及点A 的坐标; (2)若一4V y < —1,直接写出X 的取值范围. k 2 4.(本小题 8分)已知关于X 的方程x 2-(k+1)x + +1=0的两根是一个矩形的两邻边的长。 4 (2)当矩形的对角线长为亦时，求k 的值。 (1) k 为何值时，方程有两个实数根; x 1、x 2
5已知关于x 的一兀二次方程F-(2上+1)才+4^■- 3- 0 . (1) 求证：方程总有两个不相等的实数根； (2) 当Rt △ ABC 的斜边长□二后，且两直角边i 和C 是方程的两根时，求△ ABC 的周长和面 积. 那么称这个方程有邻近根” (1)判断方程X 2 -(J 3+i)x + 73 =0是否有 邻近根”并说明理由; (2)已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m-1)x-1 = 0有 邻近根”求m 的取值范围. 7设关于x 的一元二次方程X 2+2px+1=0有两个实数根，一根大于1,另一根小于1,试求实数P 的范围. 8已知方程X 2 -mx +m + 5=0有两实数根P ，方程x 2-(8 m + 1)x + 15m + 7 = 0有两实数根 Y ，求a 2 PY 的值。6如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根X 1、x ?均为正数，且满足1< x X 2 <2 （其中 X 1 > X 2），
浙教新版八年级下第二章一元二次方程练习A 卷 姓名：__________班级：__________考号：__________ 一 、选择题（本大题共12小题） 1.下列方程中，一元二次方程共有（ ）个 ①x 2﹣2x ﹣1=0；②ax 2+bx+c=0；③ +3x ﹣5=0；④﹣x 2=0；⑤（x ﹣1）2+y 2=2；⑥（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2 +x+a 2 ﹣1=0的一个根是0，则a 的值是（ ） A ． ﹣1 B ． 1 C ． 1或﹣1 D ． ﹣1或0 3.一元二次方程x 2﹣8x ﹣1=0配方后可变形为（ ） A ．（x+4）2=17 B ．（x+4）2=15 C ．（x ﹣4）2=17 D ．（x ﹣4）2=15 4.关于x 的一元二次方程kx 2 ﹣6x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ． k ≥9 B ． k ＜9 C ． k ≤9且k ≠0 D ． k ＜9且k ≠0 5.若关于x 的一元二次方程mx 2 ﹣2x+1=0无实数根，则一次函数y=（m ﹣1）x ﹣m 图象不经过（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 6.已知关于x 的方程 ()0112 =--+x k kx ，下列说法正确的是（ ） A ．当0=k 时，方程无解 B ．当1=k 时，方程有一个实数解 C ．当1-=k 时，方程有两个相等的实数解 D ．当0≠k 时，方程总有两个不相等的实数解 7.已知关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2 ﹣ x+=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ． k 为任意实数 B ． k ≠1 C ． k ≥0 D ． k ≥0且k ≠1 8.已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x 2 ﹣8x+12=0的根，则这个三角形的周长为 （ ） A ． 7 B ． 11 C ． 7或11 D ． 8或9
8、解方程：(y 4)( y 3)(y 2)( y 1) 1 0 第一章《一元二次方程》竞赛拔尖题 2 1、若关于x 的方程x 2ax A. 2 x 2ax 3a 2 0 B. 2 x 2ax 5a 6 0 C. 2 x 2ax 10a 21 D. 2 x 2ax 2a 3 0 7a 10 0没有实根，那么必有实根的方程是 2、若关于x 的一元二次方程(b c)x 2 (a b)x c a 0有两个相等的实数根， 则a 、b 、 c 之间的关系是( ) b c , a c —— B. b —— 2 2 a b , ---- D. a b c 2 A. a C. c 3、若 2是关于x 的方程x 2 0的一个根，则a 的值为 4、已知 2 x 2 5x 2016 2)3 (x 1)2 1 的值为 x 2 5、满足 / 2 # \ n 2 (n n 1) 1的整数n 有 6、设整数a 使得关于x 的一元二次方程5x 2 5ax 26a 143 0的两个根都是整数，则 a 的值是 2 7、设a 、b 是整数，方程x ax b 0的一根是 7^2/3 ，求a+b 的值
9、求方程x 2 12x 5 5j x 2 12x 9的实数根的和与积 个时，求实数a 的取值范围 11、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程 2 c x 6x a 0的量根，当这样的三角形只有 12、已知3个不同的实数 a 、 2 b 、c 满足a-b+c=3，方程x 2 ax 1 0 和 x bx c 0 有一 个相同的实根，方程 x 2 2 a 0和x cx b 0也有一个相同的实根.求a 、b 、c 的值 13、已知在关于x 的分式方程 k 一 1 --- 二2①和一元二次方程 (2 - k ) x 2 +3mx+ (3 - k ) n=0②中, X - 1 k 、m 、n 均为实数，方程①的根为非负数. (1 )求k 的取值范围; (2)当方程②有两个整数根 X 1、X 2, k 为整数，且k=m+2, n=1时，求方程②的整数根; (3)当方程②有两个实数根 X 1、X 2,满足 x 1 (x 1 - k ) +x 2 (x 2- k ) = (x 1 - k ) (x 2- k ),且 k 为负整数时，试判断 m| W 是否成立？请说明理由. 15支少一元，试求初三年级共有多少学生 ？并确 (2 )若按批发价每购 15支与按零售价每购 定m 的值 10、一个批发兼零售的文具店规定： 凡一次购买铅笔 301支以上(包括301支)可以按批发
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以 3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？ (2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？ (3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 【答案】（1）PQ=62cm；（2）8 5 s或 24 5 s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2． 【解析】 试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可； （2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值； （3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E． 则根据题意，得 EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm； 在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得 PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴ cm； ∴经过2s时P、Q两点之间的距离是 ；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm． （16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64， ∴16-5x=±8， ∴x1=8 5 ，x2= 24 5 ； ∴经过8 5 s或 24 5 sP、Q两点之间的距离是10cm； （3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2． ①当0≤y≤16 3 时，则PB=16-3y， ∴1 2PB?BC=12，即 1 2 ×（16-3y）×6=12， 解得y=4； ②当16 3 ＜x≤ 22 3 时， BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则 1 2BP?CQ= 1 2 （3y-16）×2y=12， 解得y1=6，y2=-2 3 （舍去）； ③22 3 ＜x≤8时， QP=CQ-PQ=22-y，则 1 2QP?CB= 1 2 （22-y）×6=12， 解得y=18（舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2． 考点：一元二次方程的应用． 2．已知关于x的方程230 x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程 2 (1)320 k x x a -+-=②有实数根，又k为正整数，求代数式 2 2 1 6 k k k - +- 的值． 【答案】0. 【解析】 【分析】 由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨
4 13=+x x 一元二次方程单元检测 姓名 ___ 一、精心选一选（每题3分，共30分）： 1、下列方程是一元二次方程的是（ ） A 、12=+y x B 、()32122 +=-x x x C 、 D 、022=-x 2、关于x 的一元二次方程02 =+k x 有实数根，则（ ） A 、k ＜0 B 、k ＞0 C 、k ≥0 D 、k ≤0 3、把方程2 830x x -+=化成()2 x m n +=的形式，则m 、n 的值是（ ） A 、4，13 B 、-4，19 C 、-4，13 D 、4，19 4、已知直角三角形的两条边长分别是方程2 14480x x -+=的两个根，则此三角形的第三边是（ ） 108 A B C D 、6或8 、 10或、 或、 5、若关于x 的一元二次方程 ()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ） A 、 1 B 、 -1 C 、 1或-1 D 、1 2 6．方程x 2 =3x 的根是（ ） A 、x = 3 B 、x = 0 C 、x 1 =-3, x 2 =0 D 、x 1 =3, x 2 = 0 7、若方程02 =++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ） A 、1，0 B 、-1，0 C 、1，-1 D 、无法确定 8、已知0652 2=+-y xy x ，则x y :等于 （ ） A 、2131或 B 、32或 C 、16 1 或 D 、16或 9、方程x 2 -4│x │+3=0的解是（ ） A 、x=±1或x=±3 B 、x=1和x=3 C 、x=-1或x=-3 D 、无实数根 10、使用墙的一边，再用13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m 2 的长方形，求这个长
1 一元二次方程 一、情境创设 1、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？ 2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？ 3、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？ 4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。 二、探索活动 上述问题可用方程解决： 问题1中可设宽为x 米，则可列方程： x （x +10）= 900 问题2中可设这两年的平均增长率为x ，则可列方程： 5（1＋x ）2 = 7.2 问题3中可设这个正方形的连长为x ，则可列方程： 2x 2 = 15 问题4中可设较小的一个数为x ，则可列方程： x （x ＋3）= 10 观察上面列出的4个方程，它们有哪些相同点？（从方程的概念看） 归纳：像上述方程这样，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 注：符合一元二次方程即符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax 2＋bx ＋c = 0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别叫二次项系数和一次项系数。 三、例题教学 例 1 根据题意，列出方程： （1）某学校图书馆去年年底有图书1万册，预计到明年年底增加到1.44万册。求这两年图书的年平均增长率。 （2）一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的连长。 例 2 判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程： ⑴ 2（x 2－1）= 3y ⑵ 32 12=-x x ⑶（x －3）2= （x ＋5）2 ⑷ mx 2＋3x －2 = 0 ⑸ （a 2＋1）x 2 ＋（2a －1）x ＋5―a = 0 例 3 把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： ⑴ 2（x 2－1）= 3 x ⑵ 3（x －3）2=（x ＋2）2＋7 四、课时作业： 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． （A ）x 2－1 x =1 （B ）x 2+y=2 （C x 2=2 （D ）x+5=（－7）2 2．方程3x 2=－4x 的一次项系数是（ ）． （A ）3 （B ）－4 （C ）0 （D ）4 3．把一元二次方程（x+2）（x －3）=4化成一般形式，得（ ）． （A ）x 2+x －10=0 （B ）x 2－x －6=4 （C ）x 2－x －10=0 （D ）x 2－x －6=0 4．一元二次方程3x 2x －2=0的一次项系数是________，常数项是_________． 5．x=a 是方程x 2－6x+5=0的一个根，那么a 2－6a=_________． 6．根据题意列出方程： （1）已知两个数的和为8，积为12，求这两个数．如果设一个数为x ，那么另一个数为________，
北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点 知识点一：认识一元一次方程 （一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程；这样的方程叫一元二次方程. （注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次） （二） 一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数；a ≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项. 【例题】 1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 . 2、一元二次方程（x+1）(3x －2)=10的一般形式是 . 3、当m= 时；关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程. 4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 23 2057 x +-= 知识点二：求解一元一次方程 （一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【例题】 例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0；则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、1 2 （二）解一元二次方程的方法： 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤： ①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1； ③把常数项移到方程的右边； ④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式； ⑥两边开方求其根. 【例题】 例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（ ） A ．（x+4）2=17 B ．（x+4）2=15 C ．（x-4）2=17 D ．（x-4）2=15 例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0；下列变形正确的是（ ） A ．（x-6）2=-4+36 B ．（x-6）2=4+36 C ．（x-3）2=-4+9 D ．（x-3）2=4+9 例4 x 2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=0 2. 公式法x = （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式） 【例题】 例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解；则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1 B ．a≤4 C ．a≤1 D ．a≥1 例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0；则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数 D ．无实数根 例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0． （1）若该方程有两个不相等的实数根；求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时；求a 的值及方程的另一根． 3.分解因式法 把方程的一边变成0；另一边变成两个一次因式的乘积来求解.（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 【例题】 例8 一元二次方程x 2-2x=0的解是（ ） A ．0 B ．2 C ．0；-2 D ．0；2 例9 方程3（x-5）2=2（x-5）的根是 例10 x 2-3x+2=0； x 2+2x=3； （x-1）2+2x （x-1）=0 知识点三：一元二次方程的根与系数的关系 1.根与系数的关系：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x1、x2；则有：1212,b c x x x x a a +=-?= . 2.一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根；求另一根； （2）不解方程；求二次方程的根x1、x2的对称式的值. （3）对比记忆以下公式：
2016年九年级质量检测 数 学 试 题 （时间 100分钟 满分150分） 温馨提示： 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间100分钟。考生答题全部答在答题纸上，在草稿纸、试卷上答题无效。 2．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。 3．答题卡上作答内容不得使用胶带纸和涂改液，答错的用黑笔涂掉并在上（下）方空白处添上。 4．保持答题纸清洁，不要折叠、不要弄破。 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．一元二次方程32x =5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）． A 3，5 B 3，－5 C 3，0 D 5，0 ２．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）． A ()()2 3121x x +=+ B 211 x x +－2=0 C 20ax bx c ++= D 2221x x x -=+ 3. 关于x 一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，p =（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1- 4．方程()()1132=-+x x 的解的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有一个实数根 5．若关于x 的一元二次方程的两个根为11x =，22x =，则这个方程是（ ） A 2320x x +-= B.2320x x -+=
C.2230x x -+= D.2320x x ++= 6．根据下列表格对应值： 判断关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个解x 的范围是（ ） A.x ＜3.24 B.3.24＜x ＜3.25 C.3.25＜x ＜3.26 D.3.26＜x ＜3.28 7．.以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程040132=+-x x 的根，则这个三角形的周长为（ ） A.15或12 B.12 C.15 D.以上都不对 8．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，可列出的方程是（ ） A.340.515x x +-=）（ （ ） B.340.515x x ++=（）（） C.430.515x x +-=（）（） D.140.515x x +-=（）（） 二．填空题（每小题4分，共32分） 9. 方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 10．x 的一元二次方程1 (1)(2)30n n x n x n +++-+=中，一次项系数 是 . 11．一元二次方程2 230x x --=的根是 . 12．若关于x 的一元二次方程()()2 2111x m x x x -++=+化成一般形式后 二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为 。
一元二次方程 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132 =-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；
2．(2009年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值． 3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例 3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49-≤k (B)04 9≠-≥k k 且
(C)49- ≥k (D)049≠->k k 且 例：222()5()60x x x x ---+=，求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） .m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题） 1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为． 3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是． 4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是． 5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为． 6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=． 7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=． 10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是． 13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为． 14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染． 15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．
第1讲一元二次方程 新知新讲 题一：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由． (1)3x+2=5x3；(2)x2 = 4；(3)x2 4=(x+2)2． 题二：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)6y2 = y；(2)(x2)(x+3)=8；(3)(x+3)(3x4)=(x+2)2． 金题精讲 题一：关于x的方程mx m+1+3x=6是一元二次方程，求m的值． 题二：已知关于x的方程(a+8)x2 +2x+3+a=0是一元二次方程，则a_______． 题三：关于x的方程(m3)x2 +nx+m=0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？ 第2讲一元二次方程的根 新知新讲 题一：下面哪些数是方程2x2 +10x+12=0的根？ -4，3，2，1，0，1，2，3，4． 金题精讲 题一：已知方程5x2 +mx6=0的一个根是x=3，则m的值为________． 题二：如果x=2是方程x2-m=0的一个根，求m的值和方程的另一个根． 题三：你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ (1)x264=0；(2)3-27x2 =0；(3)4(1-x)2-9=0．
题四：若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根，求代数式xx(a+b+c)的值．
第3讲 解一元二次方程——直接开方法 新知新讲 题一：用直接开方法解下列方程． (1)x 2-16=0；(2)4x 2-25=0． 题二：解下列方程． (1)(2x 3)2 = 49；(2)3(x 1)2 6=0． 金题精讲 题一：解下列方程． (1)(x +2)(x 2)=5；(2)x 2 +6x +9=2；(3)x 2 +2x +1=0；(4)4x 2 12x +9=0． 第4讲 解一元二次方程——配方法 新知新讲 配方法： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法称为配方法． 题一：(1)x 2+8x +_____=(x +_____)2 (2)x 2-10x +_____=(x -_____)2 (3)x 232-x +_____=(x -_____)2 配方法的步骤： (1)化二次项系数为 (2)移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项 (3)方程两边各加上 的平方，使方程变形为2()(0)x m n n +=≥的形式 (4)用直接开方法求方程的解 题二：解下列方程． (1)x 2 2x 2=0；(2)3x 2 6x +4=0．
一元二次方程 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132 =-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； （2010年广东省广州市）已知关于x 的一元二次方程)0(012 ≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4 )2(222 -+-b a ab 的值。 2．(2009年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值．
3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根, 求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49- ≤k (B)04 9≠-≥k k 且 (C)49-≥k (D)049≠->k k 且 例：222 ()5()60x x x x ---+=，求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582 =+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
第二章一元二次方程复习卷1 姓名学号一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程属于一元二次方程的是（）． （A）（x2-2）·x=x2（B）ax2+bx+c=0 （C）x+1 x =5 （D）x2=0 2．方程x（x-1）=5（x-1）的解是（）． （A）1 （B）5 （C）1或5 （D）无解 3．已知x=2是关于x的方程3 2 x2-2a=0的一个根，则2a-1的值是（）． （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 4．把方程x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为（）． （A）（x-4）2=6 （B）（x-2）2=4 （C）（x-2）2=0 （D）（x-2）2=10 5．下列方程中，无实数根的是（）． （A）x2+2x+5=0 （B）x2-x-2=0（C）2x2+x-10=0 （D）2x2-x-1=0 6．当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是（）． （A）4 （B）0 （C）-2 （D）-4 7．方程（x+1）（x+2）=6的解是（）． （A）x1=-1，x2=-2 （B）x1=1，x2=-4 （C）x1=-1，x2=4 （D）x1=2，x2=3 8．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，?那么这个一元二次方程是（）． （A）x2+3x+4=0 （B）x2-4x+3=0 （C）x2+4x-3=0 （D）x2+3x-4=0 9．某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，?这两年平均每年绿地面积的增长率是（）． （A）19% （B）20% （C）21% （D）22% 10．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶 一条金色纸边，?制成一幅矩形挂图，如图所示．如 果要使整个挂图的面积是5 400cm2，设金色纸边的 宽为xcm，?那么x满足的方程是（）． （A）x2+130x-1 400=0 （B）x2+65x-350=0 （C）x2-130x-1 400=0 （D）x2-65x-350=0 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项 系数是________，?常数项是________． 12．若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，则a-b+c=_______． 13．已知x2-2x-3与x+7的值相等，则x的值是________． 14．请写出两根分别为-2，3的一个一元二次方程_________． 15．如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b的值是________．
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 九年级上第一章一元二次方程单元测试试卷含答案第 1 章一元二次方程单元测试一、选择题（每题 3 分，共 24 分） 1．下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（） C. ax 2 ? bx ? c ? 0 D. x 2 ? 2 x ? x 2 ? 11 1 ? ?2?0 2 x x 2 2．方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为( ) A． 6 和-1 B．-6 和 1 3．下列方程中，有两个不等实数根的是（A. 3?x ? 1? ? 2?x ? 1?2B.C．-2 和-3 ）B． x 2 ? 5 x ? ?102 D． x ? 7 x ? ?5x ? 3D．2 和 3A． x 2 ? 3 x ? 82 C． 7 x ? 1 4 x ? 7 ? 04．一元二次方程 x2+kx-3=0 的一个根是 x=1,则另一个根是（ A.3 B.-1 C.-32 2） D.-25．若关于x 的一元二次方程 (m ? 1) x ? 5x ? m ? 3m ? 2 ? 0 的常数项为 0，则 m 的值等于（ A．1 ） B．2 C．1 或 24 x ? 6 的值为（ 3D．0 ）6．已知代数式 3x 2 ? 4 x ? 6 的值为 9，则 x 2 ?A．18 B．12 C．9 D ．7 7．某农机厂四月份生产零件 50 万个，第二季度共生产零件182 万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（） 2 A、50(1+x) =182 B．50+50(1+x)+50(1+x)2=182 C、50(1+2x)＝182 D．50+50(1+x)+50(1+2x)=182 8．如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根分别为 x1=2，x2=1，那么 p，q 的值分别是( ) （C）2，－3 （D）2，3（A）－3，2 （B）3，-2 二、填空题（每题 3 分，共 24 分）2 9．方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的解是． . ．．．10．已知x = 1 是关于x 的一元二次方程2x2 + kx – 1 = 0 的一个根，则实数k 的值是2 11．关于 x 的一元二次方 1/ 7
一元二次方程经典考题难题 用适当的方法解下列方程 16)5(42=-x 0)12(532=++x x 04222=-+x x 22)3(4)12(+=-x x 9)32(4)32(122++=+x x 11.02.02=+x x 0)2(2)2)(1(3)1(222=---+++x x x x 6)53)(43(22=++++x x x x x x x 9)1(22=- 20)7)(5)(3)(1(=++++x x x x
1、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2 -=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（） A △=M B △＞M C △＜M D 大小关系不能确定 2、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______ 3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______ 4、在实数范围内因式分解：=--742x x __________________ 5、已知03442=+--x x ，则=-+31232x x __________________ 6、m mx x ++24是一个完全平方式，则m=________________________ 7、已知,)2 1(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 8、当k=_________时，方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程？ 9、关于x 的方程032)4()16(2 2=++++-m x m x m 当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。 10、已知012=--x x ，则2009223++-x x 的值为__________ 11、已知012)()(22222=-+++y x y x ，则22y x +=_______ 12、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a ，无论a 取何值，该方程都是一元二次方程