![等腰三角形三线合一典型题 型[1]](https://img.doczj.com/imge7/1r284x6p25558r8aii6313c3i675fxgs-71.webp)
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等腰三角形三线合一专题训练
姓名
例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。
变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.
（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求
证：AD+BC=AB.
B
C
E
A
D
变3：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：（1）DM＝DN。
⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有何数量关系。
(1) 已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且
BE=CF，EF交BC于点D．
求证：DE=DF．
(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点． 求证：BE=CF．
利用面积法证明线段之间的和差关系
1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？
变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF 的关系又怎样，请你作图，证明。
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（
）
A 17
B 22
C 17或22
D 13
根据等腰三角形的性质寻求规律
例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？
若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
会用等腰三角形的判定和性质计算与证明
例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
利用等腰三角形的性质证线段相等
例3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ）
A、2cm
B、8cm
C、2cm或8cm
D、不能确定
例2、已知AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ADC的周长为14cm，求AD的长。
A
B
C
例3、如图，已知BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，
OF∥AC，求△OEF 的周长。
A
B
F
C
O
E
例4、如图，已知等边△ABC中，D为AC上中点，延长BC到E，使CE=CD，
连接DE，试说明DB=DE。
A
B
C
D
E
例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（ ）
A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、等边三角形
D、等腰直
角三角形
例6、（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 。
（2）直角三角形的周长为12cm，斜边的长为5cm，则其面积为 ；
（3）若直角三角形三边为1，2，c，则c= 。
例7、下列说法：①若在△ABC中a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；
②若△ABC是直角三角形，∠C=900，则a2+b2=c2；
③若在△ABC中，a2+b2=c2，则∠C=900；
④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直
角三角形。
正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）。
例8、正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
（A）1个（B）4个（C）7个（D）10个
例9. 四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四
边形ABCD的面积为8，则BE=（ ）
A．2 B．3 C． D．
例10. 已知△ABC为正三角形，P为其内一点，且AP=4，BP=，CP=2，则△ABC 的边长为 （ ）
（A） （B） （C）4 （D）
三．巩固练习
1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。
2、在△ABC中，AB=AC，∠B=400，则∠A= 。
3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为 。
4、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140°呢
5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝105o，直线BD交AC于D，
D
C
B
A
把直角三角形沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上，
如果△ABD是等腰三角形，那么∠A等于 （ ）
(A)40o (B) 30o (C)25o (D )15o
6、若△ABC三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则
△ABC的形状为（ ）
（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形
（D）等边三角形
7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是…………………… （ ）。
A、有一腰和一角对应相等
B、有两边对应相等
C、有顶角和一个底角对应相等
D、有两角对应相等
8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）
A、顶角
B、底角
C、顶角的一半
D、底角的一半
9、在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（ ）
A、100°
B、75°
C、150°
D、75°或100°
10、如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则
∠BAC＝…（ ）
A、1250
B、1300
C、900
D、1200
11、如图，△ABC中，AB＝AC，BD、CE为中线，图中共有等腰三角形（ ）个。
A、4个
B、6个
C、3个
D、5个
10题图
11题图
12题图
12、如图，AB＝AC，AE＝EC，∠ACE＝280，则∠B的度数是…………（
）
A、600
B、700
C、760
D、450
13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点A、C除外），
设甲虫P到
另外两边距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，
则d与h的大小关系是（ ）
【解题方法指导】
例1. 已知，如图，AB＝AC＝CD，求证：∠B＝2∠D
例2. 已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，AD⊥BD，BC＝6，求AD的长。
【考点指要】
等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的
图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常
把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善
于分析，找出图形中有关的性质。
【典型例题分析】
例1. （2005年苏州）
如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD
＝________。
例2. 已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，
交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。
例3. 已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。
【综合测试】
1. 已知，如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：DB＝DC
2. 已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝
CE
3. 已知，如图，△ABC中，DE//BC，AB＝AC，求证：AD＝AE
4. 已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：DF＝EF
5. 已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：AD＝CE
6. 已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝10，求AB的长。
例6、如图11，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边中点，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：AE＋AF是一个定值.
证明：连接AD，
∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAD＝45°，∠CAD＝45°，∴AD＝BD＝CD，
∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠ADF＝90°，
又由AD⊥BC得∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，∠B＝∠DAF，BD＝AD，∠BDE＝∠ADF，
∴△BDE≌△ADF，
∴BE＝AF，∴AE＋AF＝AE＋BE＝AB（定值）.
思考：四边形AEDF的面积是否也是定值呢？为什么？
例4、如图9，已知AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，你认为BE与AC之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？
证明：线段BE⊥AC，理由如下：
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠FBD＋∠BFD＝90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF＝AC，FD＝CD，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC，
∴∠BFD＝∠C，∴∠FBD＋∠C＝90°，
∴∠BEC＝180°－（∠FBD＋∠C）＝180°－90°＝90°，即BE⊥AC.例5、如图10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M是AB上一点，求证：.
证明：过C作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝45°，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∴AD＝BD，BD＝CD，即AD＝BD＝CD，
∵CD⊥AB，∴，
∴.
思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题.
例1、如图5，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，OB＝OC，求证：AO⊥BC.
证明：延长AO交BC于点D，
∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO，
∴∠BAO＝∠CAO，即∠BAD＝∠CAD，
∴AD⊥BC，即AO⊥BC.
例2、如图6，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AE＝BD，求证：CE＝DE.
证明：过E作EF⊥CD于点F，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BEF＝30°，
∴BE＝2BF，即BA＋AE＝BC＋BD＝2BC＋CD＝2（BC＋CF），
∴CD＝2CF，∴CF＝DF，
在△CEF和△DEF中，CF＝DF，∠CFE＝∠DFE＝90°，EF＝EF，
∴△CEF≌△DEF，∴CE＝DE.
例3、如图7，已知在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：PD＋PE是一个定值.
解：连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，
由，，
，，
得：，
即，（定值）.
说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.
拓展：如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系呢？
解：连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，（如图8）
由，，
，
，
得：，
即,（定值）.
即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为一定值.
基础训练：1、填空题：
（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是。（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是
；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是。（3）等腰三角形的对称轴最多有条。
2、填空题：
（1）如果△ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（）
A、三条边长分别是5，5，11
B、三条边长分别是4，4，8
C、周长为14，其中两边长分别是4，5
D、周长为24，其中两边长分别是6，12
（2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（）
A、3
B、2
C、1.5
D、2或1.5
3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长。
4、已知：如图，AD平分∠BAC，AB=AC，请你说明△DBC是等腰三角形。
A
B
C
D
x+2y=4
3x+y=7
{
5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组的解，
求这个三角形的各边长。
（1）等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。
（2）等腰三角形有一个角是120°，那么其他两个角的度数是和
。
（3）△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么∠C= 。
（4）在等腰三角形中，设底角为x°，顶角为y°，则用含x的代数式表示y，得y= ；用含y的代数式表示x，得x= 。
2、选择题：
（1）等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（）
A、40°
B、100°
C、70°
D、40°或70°
（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）
A、顶角
B、底角
C、顶角的一半
D、底角的一半
（3）在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（）
A、100°
B、75°
C、150°
D、75°或100°
（4）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，
③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（）
A、4
B、3
C、2
D、1
3、如图，已知△ABC中，D在BC上，AB=AD=DC，∠C=20°，求
∠BAD。
A
B
C
D
4、如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，
A
B
C
D
E
AB=AC，AD=AE。请说明BD=CE的理由。
1、填空题：
（1）在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B= 。
（2）在一个三角形中，等角对；等边对。
（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是。
（4）如图，AB=AC，BD平分∠ABC，且∠C=2∠A，
A
B
C
D
则图中等腰三角形共有个。
2、选择题：
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°，
DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（）
B
C
D
E
A、3
B、4
C、5
D、6
3、如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC的理由。
A
B
C
O
4、如图，已知∠EAC是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC，请说明AB=AC的理由。
A
B
C
D
E
1
2
5、如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，请你说明AD是BC的中垂线。
A
B
C
D
等腰三角形和直角三角形专项练习题 一、选择题 1.等腰三角形一底角为30°,底边上的高为9cm,则腰长为（ ）cm ． A.3 B.18 C.9 D.39 2.已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 3.如图，△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 于M ，连接CD ．下列结论：①AC+CE=AB ；②CD ＝21 AE ；③∠CDA=45°；④AM AB AC =定值．其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于:（ ） A.20°、140° B.20°、140°或80°、80° C.80°、80° D.20°、80° 5.如图，BE 和AD 是△ABC 的高，F 是AB 的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6.下列命题正确的是（ ） A.等腰三角形只有一条对称轴 B.直线不是轴对称图形 C.直角三角形都不是轴对称图形 D.任何一角都是轴对称图形 7.等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米,则它的第三边长为( ) A.35cm B.22cm C.35cm 或22cm D.15cm 8.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ) A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等 C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等 9.等腰三角形中,AB 长是BC 长2倍,三角形的周长是40,则AB 的长为( ) A.20 B.16 C.20或16 D.18 10.如图已知:AB ＝AC ＝BD,那么∠1与∠2之间的关系满足( ) A.∠1＝2∠2 B.2∠1＋∠2＝180° C.∠1＋3∠2＝180° D.3∠1－∠2＝180° 二、填空题 1. 等腰三角形的腰长是底边的4 3，底边等于12cm ，则三角形的周长为______ cm. 2. 等腰三角形的底角是65°,顶角为________. 3. 等腰三角形的一个内角为100°,则它的其余各角的度数分别为_______. 4. 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为_________度． 5. 已知如图，A 、D 、C 在一条直线上AB ＝BD ＝CD, ∠C ＝40°,则∠ABD ＝_______ 6. 如图, ∠P ＝25°, 又PA ＝AB ＝BC ＝CD, 则∠DCM ＝_______度. 第7题 第5题 第6题
等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 A B C D F E F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x A x
设∠A 为x ∠A= 7 180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=2 1,DE+BC=1, A B C D E x x 180°－2x 30° x －15° x －15° A
求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于 点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA C B A D E P A B C D E
等腰三角形测试题（2002-11-27） 一、填空题 1、等腰三角形的一内角是40°，则其他两角的度数分别是 2、等腰三角形顶角的外教是138°，它的一个底教是 3、已知一等腰三角形两边为2，4，则它的周长为 4、等腰三角形中，和顶角相邻的外角的平分线和底边的位置关系是 5、线段AB = 4cm ，M 是AB 垂直平分线上一点，MA = 4cm ，则∠MAB = 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高为 7、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm 和18cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是 8、已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，且02 2 2 =---++ca bc ab c b a ，则三角形为 三角形 9、如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，若AC = BC = 1，则BE = 二、判断题 A 1、“等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直 于底边”的逆命题是真命题（ ） 2、等腰三角形的判定定理与它的性质定理是互逆 C 定理（ ） 3、在两个等腰三角形中，如果各有一个角是70°， B D 且这个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全 E 等。（ ） 三、选择题 1、下列判断正确的是（ ） A 、 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。 B 、 有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等。 C 、 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等。 D 、 有两角和一边对应相等的两个三角形全等。 2、下列命题中的假命题是（ ） A 、等腰三角形的底角一定是锐角。 B 、等腰三角形至少有两个角全等。 C 、等腰三角形的顶角一定是锐角。 D 、等腰三角形顶角的外角是底角的2倍。 3、下列命题中假命题是（ ） A 、等腰三角形一定是锐角三角形。 B 、等腰直角三角形一定是直角三角形。 C 、等边三角形一定是等腰三角形。 D 、等边三角形一定锐角三角形。 4、两个等腰三角形全等的条件是（ ） A 、有两条边对应相等。 B 、有两个角对应相等。 C 、有一腰和一底角对应相等。 D 、有一腰和一角对应相等。 5、下列作图语句中，正确的是（ ） A 、 作等腰三角形底边上的高，使它平分底边。 B 、 作等腰三角形底边上的高，使它平分顶角。 C 、 作等腰三角形底边上的高，使它平分底边且平分顶角。 D 、 作等腰三角形底边上的高，则高平分底边且平分顶角。 四、作图题 如图，A 、B 、C 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置。 C A B 五、证明题 1、已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥ BC 于D ，BE ⊥ AC 于E ，AD 和BE 交于H ，且BE = AE ，求证：AH = 2BD 。 A H E B C 2、如图已知：在△ABC 中，AB = AC ，∠BAC = 120°，P 为BC 边的中点，PD ⊥AC 。求证：CD = 3AD 。 A D B P C
G F E D C A 第2章 三角形期中复习 【课前复习】 1、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为 。 2、等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为 3、在等腰三角形中，设底角为0x ，顶角为0y ，用含x 的代数式表示y ，得y= ； 用含y 的代数式表示x ，则x= 。 4、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠GEF= 5、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数 为 .若一个角为140°呢，则另外两个角是 6、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm ，那么它的 三边长为 7、如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在 点G 处，若∠CFE=60o ，且DE=1，则边BC 的长为 ． 8、判定两个等腰三角形全等的条件可以是（ ）。 A 、有一腰和一角对应相等 B 、有两边对应相等 C 、有顶角和一个底角对应相等 D 、有两角对应相等 9、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ） A 、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半 D 、底角的一半 10、在△ABC 中，AB=AC ，下列推理中错误的是（ ） A 、如果AD 是中线，那么AD ⊥BC ，∠BAD=∠DAC B 、如果BD 是高，那么BD 是角平分线 C 、如果AD 是高，那么∠BAD=∠DAC 、BD=DC D 、如果AD 是角平分线，那么AD 也是BC 边的垂直平分线 11如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 为中线，图中共有等腰三角形（ ）个 A 、4个 B 、6个 C 、3个 D 、5 12、如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ，∠ACE ＝280 ，则∠B 的度数是（ ） A 、600 B 、700 C 、760 D 、450 13、三角形的三边长c b a ,,满足式子0)()(22=-+-+-a c c b b a ，那么这个三角形是（ ） A 、钝角三角形 B 、等边三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、以上都不对 14、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样 的P 点有（ ） A 1个 B 4个 C 7个 D 10个 E C A E D A Q A 15题图 16题图 17题图
等腰三角形 1．如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、CM交于点P，BM、CN交于点Q． （1）求证：． （2）求的度数． （3）求证：． 【分析】（1）欲证，只需证明它所在的两个三角形全等．（2）的度数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用．（3）要，则，应该为一个等边三角形，可证明≌，从而得到． （1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即． 在和中， ≌， ．
（2）由（1）知，≌，． ， 即 ．（3）在和中， ≌， ， ． 又， ， 即， ． 【点拨】 （1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等． （2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等． 2．如图，在中,，，的平分线AM的长15，求BC的长． 【分析】由AM平分，，可得，，
则，所以．在中，，可得，由，可求出BC的长． 解：在中，，， ． AM平分， ， ， ． 在中，， ． 【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法． 3．如图，，，，．求证：．【分析】根据已知“，”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明． 证明：延长CE、BA交于点F． ， ． 在和中， ≌，
，即． ， ． 在和中， ≌， ， ． 【点拨】 （1）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系． （2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线． 4．如图，△ABC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE，连结DE交BC于G． 求证：DG=GE． 【分析】由于△ABC是等腰三角形，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论． 证法1：过D作DF∥AC，交BC于F（如图）． ∴∠DFB=∠ACB． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB． ∴∠B=∠DFB． ∴DB=DF．
等腰三角形及三线合一经典试题 难题 1．等腰三角形的对称轴是（ ） 2． 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40°C ．40°D ．80° 4．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108° 5．等腰三角形的一个内角为 80 ，则另两个内角的度数为 6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为 7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若 ∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 10. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( ) 11. 已知：如图：CA=CB, DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ． A B C D F E C B A D E P E C A H F G
E D C A B H F 12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ； ③判断△CFH 的形状并说明理由． 13．如图， 中， ，试说明： ． 14.如图3，在?ABC 中，∠=A 90ο ，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ A E F B D P C 图3 15.已知，如图1，AD 是?ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。 求证：AD 垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1
三角形证明题练习 1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 与D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是（ ） 2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ） 3．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=8cm ，AC=6cm ，则 S △ABD ：S △ACD =（ ） 4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠CBE 的度数 为（ ） 5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，且D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ，则∠B 的度数为（ ） 6．如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠AOD ，若∠AOC=35°，则∠BOD 等于（ ） 7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交BC 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（ ） 8．如图，已知BD 是△ABC 的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（ ） 9．在Rt △ABC 中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE=3.8cm ，则BC 等于（ ） A ． 13 B ． 10 C ． 12 D ． 5 A ． 5个 B ． 4个 C ． 3个 D ． 2个 A ． 4：3 B ． 3：4 C ． 16：9 D ． 9：16 A ． 70° B ． 80° C ． 40° D ． 30° A ． 30° B ． 36° C ． 40° D ． 45° A ． 145° B ． 110° C ． 70° D ． 35° A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 A ． 2 B ． 3 C ． 6 D ． 不能确定
等腰三角形经典试题(有难度)
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等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如 图 ， △ ABC 中 ， AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x
EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 设∠A 为x ∠A=7180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° A B C D E x x 2x 2x 3x 3x x A 180°－2x 30°
6. 如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC,BD= 2 1,DE+BC=1, 求∠ABC的度数 延长DE到点F,使EF=BC 可证得:△ABC≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt△DBF中, BD= 2 1,DF=1 所以∠F =∠1=30°E A C B D F 1 2
E D C A F 八年级上册第12.3等腰三角形水平测试题 一.选择题(每小题3分,共24分) 1. 小明将两个全等且有一个角为60的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1 2、已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为 （ ）． A 、42 ° B 、69° C 、69°或84° D 、42°或69° 3、如图，ABC △中，AB AC =，30A ∠=，DE 垂直平分AC ，则BCD ∠的度数为（ ） Ａ．80 Ｂ．75 Ｃ．65 Ｄ．45 4、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 5、如图，已知等边三角形 ABC 中，BD CE =，AD 与BE 交于点P ，则 APE ∠的度数是（ ） A ．45 B ．55 C ．60 D ．75 （ A ， 6、如图是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框AC 上爬行 C 端点除外） ，设甲虫P 到另外两边的距离之和为d ，等边三角 形ABC 的高为h ，则d 与h 的大小关系是（ ） Ａ．d h > Ｂ．d h < Ｃ．d h = Ｄ．无法确定 7. 如图，15A =∠，AB BC CD DE EF ====，则 D E F ∠等于（ ） A ．90 B ．75 C ．70 D ．60 8、如图，△MNP 中， ∠P=60°，MN=NP ，MQ ⊥PN ，垂足为 Q ，延长MN 至G ，取NG=NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ=a ，则△MGQ 周长是（ ） A ．8+2a B ．8+a C ．6+a D ．6+2a 二.选择题(每小题3分,共24分) 1. 在△ABC 中，AB=AC ，若∠B=56o，则∠C=__________． 2.等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______． 3.如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，AE ∥DC 交BC 的延长线于点E ，已知∠E=36°，则∠B= ． 4.如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=° ，AB AD DC ==，则C ∠= ． 5. 等腰三角形至少对有a 条称轴，至多有 b 条 A F C D H B M E G
等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1．已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为________． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，则BD＝________cm. 第2题图第3题图 3．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为() A．35° B．45° C．55° D．60° 4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为() A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65° 5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠C的度数． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF. 求证：DE＝DF.
第2课时等腰三角形的判定 1．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则△ABC为() A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．钝角三角形 2．已知△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝________． 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，使其可以确定△ABC为等腰三角形，则添加的条件是________． 第3题图第4题图 4．如图，已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有________个等腰三角形． 5．如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：AB＝AC. 6．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G. 求证：△EFG是等腰三角形．
等腰三角形练习题 一、计算题 1、如图， ABC 中，AB=AC ，BC=BD ，AD=DE=EB ，求∠A 的度数。 2、如图，CA=CB ，DF=DB ，AE=AD ，求∠A 的度数。 3、如图， ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=070，求∠AFD 的度数。 4、如图， ABC 中，AB=AC ，BC=BD=DE=EA ，求∠A 的度数。 5、如图， ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，∠BAD=030，在AC 上取点E ，使AE=AD ，求∠EDC 的度数。 6、如图， ABC 中，∠C=090，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC ，BD=1 2 ，DE+BC=1，求∠ABC 的度数。 7、如图， ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD ，求∠B ：∠C 的值。 二、证明题
8、如图， ABC中，∠ABC、∠CAB的平分线交于点P，过点P作D E∥AB，分别交BC、AC于点D、E。求证：DE=BD+AE。 9、如图， DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE之间有什么样的大小关系。 60，角平分线AD、CE交于点O。求证：AE+CD=AC 10、如图， ABC中，∠B=0 100，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD。 11、如图， ABC中，AB=AC，∠A=0 13、如图， ABC中，∠1=∠2，∠EDF=∠BAC，求证：BD=ED。 15、如图， ABC中，AB=AC，BE=CF，EF交BC于点G。求证：EG=FG。 16、如图， ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD，求证：AF=FC。 17、如图， ABC中，AB=AC，AD和BE两条高，交于点H，且AE=BE，求证：AH=2BD。
等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（） A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证 DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．
6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF． 10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E， 求证：BD=2CE．
《等腰三角形》单元测试题 (测试时间45分钟满分100分) 班级姓名学号得分 一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分．下列各题都有代号为A，B，C，D的四个结论供选择，其中 只有一个结论是正确的) 1．在△ABC中，AB＝AC，∠A=36度，BD平分∠ABC交AC于D，则图中共有等腰三角形的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法中，正确的有 ( ) ①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等； ④等腰三角形是轴对称图形． A．1个B．2个 C.3个D．4个 3．如果△ABC的∠A，∠B的外角平分线分别平行于BC，AC，则△ABC是 ( ) A．等边三角形B．等腰三角形 C. 直角三角形D．等腰直角三角形 4．把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分是 ( ) A. 等边三角形B．等腰三角形 C. 直角三角形D．无法确定 5．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部．P′与P关于OB对称，P″与P关于OA 对称，则O，P′P″三点所构成的三角形是 ( ) A. 直角三角形 B．钝角三角形 C. 等腰三角形 D．等边三角形 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB于E，交AC于D，AD＝2BC，则∠A 等于( ) A．15° B．25° C． 30° D． 35° 7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，－2)，在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点有 ( ) A．2个 D．3个 C．4个 D．5个 8．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( ) A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D．(1)(3)(4) 二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分．把最后结果填在题中横线上) 9．已知等腰三角形的两边长是1cm和2cm，则这个等腰三角形的周长为_______cm． 10．三角形三内角的度数之比为1∶2∶3，最大边的长是8cm，则最小边的长是_______cm． 11．如图，∠A＝15°，AB＝BC=CD=DE＝EF，则∠GEF=_______． 12．等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，那么这个等腰三角形的腰长是_______． 13．如图，已知在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于_______．14．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)______ ________；(2)_______ _______；(3)_____ _________ 15．正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，请你用不同的分割方法，把下图中的两个正三角形分别分割成四个等腰三角形．(标出必要角度) 16．如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里／时的速度向正北 航行，10时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC=84°， 则从B处到灯塔C的距离_______． 三、解答题(本题共5小题，17～20题，每小题10分，21题 12分，共52分) 17．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB、BC 于D，E，AE平分∠BAC，若∠B=30°，求∠C的度数． 18．如图，点D、E在△ADC的边BC上，AD=AE，BD＝EC，求证：AB=AC． 19．如图，AB＝AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点， (1)求证：AF垂直于CD． (2)在你连接BE后，还能得出什么新的结论?请写出三个．(不要求证明 ) 20．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受影响? 请说明理由．
1 等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° A B C D F E F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x
2 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 设∠A 为x ∠A=7180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° A B C D E x x 2x 2x 3x 3x x A B C D E x x 180°－2x 30° x －15° x －15°
3 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于 C D E P E A C B D F 1 2 A B C D E
等腰三角形三线合一专题训练 例1：如图，四边形ABCD中， AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。 变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。 变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. C E A D
变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90° ,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。 ⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ． D B C F A E M N D C B A M N D C B A
(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，?CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？
变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。 Ｆ Ｆ 1、已知等腰三角形的两边长分别为 4、9，则它的周长为（） A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=1 2 ∠ABC，∠2= 1 2 ∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小 与∠A的大小有什么关系？ 若∠1=1 3 ∠ABC，∠2= 1 3 ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？ 若∠1=1 n ∠ABC，∠2= 1 n ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
等腰三角形专项训练 一、选择与填空 1、一个等腰三角形的一个角是50°,它的一腰上的高与底边的夹角是( ) A．25°B．40°C．25°或40°D．不确定. 2、.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,则顶角的度数为（） 0 B.12000或15000或1200 3、有一个等腰三角形的周长为25,一边长为11,那么腰长为( ) A．11 B．7 C．14 D．7或11 4、等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是( ) A．105°B．120°C．135°D．150° 5、下列命题正确的个数是( ) ①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等, 那么过这点与顶点的直线必垂直于底边; ②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段, 那么延长线段的两个端点与顶点距离相等; ③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等; ④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等. 个个个个 6、下列图形中一定有4条对称轴的是（） A.长方形 B.正方形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 7、下列图形:①两个点;②线段;③角;④长方形;⑤两条相交直线;⑥三角形, 其中一定是轴对称图形的有（） 个个个个 8、等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴有（） 条条条条或3条 9、若点P为⊿ABC内部一点，且PA=PB=PC，则点P是⊿ABC的（） （A）三边中线的交点（B）三内角平分线的交点 （C）三条高的交点（D）三边垂直平分线的交点 10若△ABC两边的垂直平分线的交点在三角形的外部，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．都有可能 11、等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于___________． 12、在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,由以上两个条件可得_________________.(写出一个结论即可)
. 等腰三角形和等边三角形练习题 1．如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP＝1，D 为AC 上一点，若∠APD＝60°，则CD 的长为（） A． 3 2 B． 2 3 C． 1 2 D． 3 4 A D 60° C B P 2．如图，△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点，BF 平分∠ABC，交 DE 于点 F，若 BC＝6，则DF 的长是 （A）2 （B）3 （C）5 2 （D）4 3．如图，点A 的坐标是(2,2) ，若点 P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不．可．能．是（） A．(4，0) B．（1．0）C．（-2 2 ，0）D．（2，0） y B y A 2 1 -1 0 1 2 3 4 x A D C 4．如图， AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD 的度数是（） A．20 B．30 C．35 D．40 5．如图，△ABC 中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE 平分么 BAC 交BC 于点E，点D 为 AB 的中点，连结DE，则△BDE 的周长是( )
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. 6.在等腰△ABC中，AB AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15 和12 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（） A．7 B．11 C．7 或11 D．7 或10 7 ．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30 o，腰长为 4 cm ，则其腰上的高为cm ． 8．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是． 9.在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于__________度_ ． 10．如图，在△ABC 中，AB= AC，∠A =36 °，BD、CE分别是△ABC、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有(A)5 个(B)4 个(C)3 个(D)2 个A D E B C (第 10 题) 11.（2010 黄冈）如图，过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于E，Q 为 1 BC 延长线上一点，当PA＝CQ 时，连 PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）A． 3 1 B． 2 C．2 3 D．不能确定 12．如图，等腰△ ABC 中，AB=AC ，∠A=20 °。线段AB 的垂直平分线交AB 于D，交 AC
等腰三角形 一、选择题 1．如图1，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD=3cm ，则CD 等于（ ） A ．3cm B ．4cm C ．1.5cm D ．2cm D C A B （1） (3) 2．△ABC 中AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ） E D A B F (2) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；?③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ） E D C A B H A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．① 4．如图3，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（ ） A ．∠ACD=∠ B B ．CH=CE=EF C ．CH=H D D ．AC=AF 二、填空题 5．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．
6．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD?∥BC ，?则△ABC?的边一定满足________． 7．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，?AE=?2cm ，?且DE?∥BC ，?则AD=________． 三、解答题 9．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，?且∠ABD=?∠ACE ， 求证：BF=CF ． 10．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，? 求证：△DBE 是等腰三角形． E D C A B F 答案: 1．A 2．C 3．A 4．C 5．1 6．AB=AC 7．2cm 9．连接BC ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，又∵∠ABD=∠ACE ，∴∠FBC=∠FCB ，∴FB=FC 10．证明∠D=∠BED
等腰三角形计算和证明题集锦 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC C
等腰三角形计算和证明题集锦 11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH