第3课 函数的单调性
【考点导读】
1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；
2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性． 【基础练习】 1.下列函数中： ①1
()f x x
=
； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-． 其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___． 2.函数y x x =的递增区间是___ R ___． 3.
函数y =
的递减区间是__________
． 4.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．
5.已知下列命题：
①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数； ②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；
③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；
④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．
其中正确命题的序号有_____②______． 【范例解析】
例1. 求证：（1）函数2
()231f x x x =-+-在区间3
(,]4
-∞上是单调递增函数；
（2） 函数3
()2f x x x =--在R 上是单调递减函数； （3）函数21
()1
x f x x -=
+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（1）对于区间3(,]4
-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，
因为2
2
121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-
1212()[32()]x x x x =--+，
(,1]-∞- (1,)+∞
又1234x x <≤
，则120x x -<，123
2
x x +<，得1232()0x x -+>， 故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3
(,]4
-∞上是单调增函数． （2）对于R 上的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，
因为33121122()()2(2)f x f x x x x x -=-----33212122x x x x =-+-
22
2121113()[2()1]22
x x x x x =-+
++， 又12x x <，则210x x ->，22
211132()1022
x x x +++>，
得22
2121113()[2()1]022x x x x x -+++>，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >．
所以，函数3()2f x x x =--在R 上是单调减函数．
（3）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=
-++12123()
(1)(1)
x x x x -=
++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故
12123()
0(1)(1)
x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．
所以，函数21
()1
x f x x -=
+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21
()1
x f x x -=+是单调增函数；
所以，函数21
()1
x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．
点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论． 例2.
确定函数()f x =
分析：作差后，符号的确定是关键．
解：由120x ->，得定义域为1(,)2
-∞．对于区间1(,)2
-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则
12()()f x f x -=
=
=
又120x x -<
0>，
12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．
所以，()f x 在区间1
(,)2
-∞上是增函数．
点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定． 例3.已知函数1
()f x x x
=+
(0)x ≠． （1）讨论函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并证明； （2）求函数()f x 在区间1[,2]2
上的最大值与最小值； （3
）试求函数1y =
+的最小值． 分析：本题先研究函数()f x 的单调性，再利用单调性解决最值问题． 解：（1）对于区间(0,)+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211
()()f x f x x x x x -=+
--211212x x x x x x -=-+12
1212
1()x x x x x x -=-?， 当1201x x <<≤，则120x x -<，1210x x ?-<，120x x ?> 故121212
1
()0x x x x x x --?
>，即12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >． 所以，函数()f x 在区间(0,1]上是单调减函数；
当121x x ≤<，则120x x -<，1210x x ?->，120x x ?> 故121212
1
()0x x x x x x --?
<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 所以，函数()f x 在区间[1,)+∞上是单调增函数；
综上所述，函数()f x 在区间(0,1]上是单调减函数，在区间[1,)+∞上是单调增函数． （2）由（1）知，函数()f x 在1[,1]2
上是单调递减，[1,2]上是单调递增； 所以，()f x 的最小值为(1)2f =，此时1x =；
又1
5()(2)2
2f f ==
，所以()f x 的最大值为52，此时1
2
x =或2． （3
3(3)t t =≥，则1
2y t t
=+-，
由（1）知，12y t t =+-在[3,)+∞上单调递增，所以，y 的最小值为4
3
．
例4. 已知函数()()()21211f x x x λλ=-++-+在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 分析：由函数在[－1，1]上是增函数，建立不等关系． 解：()()()21211f x x x λλ=-++-+
①当1λ=-时，()41f x x =+在[－1，1]上是增函数，1λ∴=- ②当1λ≠-时，对称轴方程为11x λ
λ
-=+， ⅰ）当1λ<-时，
111λ
λ-≤-+，解得1λ<-； ⅱ）当1λ<-时， 111λ
λ
-≥-+，解得10λ-<≤；
0λ≤综上，．
点评：由单调性求参数的范围，应注意分类讨论． 【反馈演练】
1．已知函数1
()21
x
f x =
+，则该函数在R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________． 2．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =__25___.
3.
函数y =1[2,]2
--.
4. 函数2
()1f x x x =-+的单调递减区间为1(,1],[,1]2
-∞-．
5． “a =1”是“函数()||f x x a =-在区间[1，+∞)上为增函数”的___充分不必要___条件． 6．在下列四个函数中，①1
()f x x
=
； ②()||f x x =； ③()2x f x =； ④2()f x x =．满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的函数的序号有____①____． 7．已知(31)4,1()log ,1
a a x a x f x x x -+
≥?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是11
[,)73．
8．设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：
①若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；
②若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数()f x 的最大值； ③若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数()f x 的最大值．
(0,1)
这些命题中，真命题的序号有___②③___．
9. 若函数)(x f 为R 上的减函数，且)(x f 的图象经过点A （0，3）和B （3，－1），则不等式21)1(<-+x f
的解集为____________________.
10. 已知函数1
()2
ax f x x +=
+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=
-++2112(12)()
0(2)(2)
a x x x x --=<++， 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即1
2
a >
． 11. 设函数f (x )=12+x －ax ，其中a >0．证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[)∞+，0上是单调函数． 证明：在区间[)∞+，0上任取x 1、x 2，使得x 1 则f (x 1)－f (x 2)=1122 21 +- +x x －a (x 1－x 2)= 1 122 212 2 21+++-x x x x －a (x 1－x 2) =(x 1－x 2)( 1 122 21 21++++x x x x －a )． ∵ 1 122 21 21++++x x x x <1，且a ≥1，∴ 1 122 21 21++++x x x x －a <0， 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)> f (x 2)． 所以，当a ≥1时，函数f (x )在区间[)∞+，0上是单调递减函数． 12. 已知函数()f x ＝x ＋x a 有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ， ＋∞)上是增函数． （1）如果函数()f x ＝x ＋x b 2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值； （2）求函数()f x ＝x ＋c x (c ＞0)在区间[1,2]上的最小值； （3）研究函数()f x ＝2 x ＋2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （4）对函数()f x ＝x ＋x a 和()f x ＝2 x ＋2x a （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特 例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）． 解：（1）函数()f x ＝x ＋x b 2（x ＞0 ）的最小值是 ，则6=，2log 9b ∴=． (1,2)- （2）函数()f x ＝x ＋ c x 在(0 ]上是减函数，在 [)上是增函数 当4c ≥时，()f x ＝x ＋c x 在[1,2]上是减函数，则()f x 的最小值为22c +； 当01c <≤时，()f x ＝x ＋c x 在[1,2]上是增函数，则y 的最小值为1c +； 当14c ≤≤时，()f x ＝x ＋c x 在[1 上是减函数，在上时增函数，则()f x 的最小值为1c +； 综上所述，()f x 的最小值2,4241,01c c c c c ?+≥??? =≤≤??+<≤??? ． （3）对于区间(0,)+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则22121 2221211()()f x f x x x x x -=+--2222 211222 12x x x x x x -=-+221212122212 1()()x x x x x x x x -=-?+?， 当120x x <<≤12()()f x f x >． 所以，函数()f x 在区间上是单调减函数； 12x x ≤<，则12()()f x f x <． 所以，函数()f x 在区间)+∞上是单调增函数； 综上所述，函数()f x 在区间] 上是单调减函数，在区间[)+∞ 上是单调增函数；在区间(,-∞ 上是单调减函数，在区间[上是单调增函数． ． 又()f x 是偶函数，则函数()f x 在区间(-∞ 上是单调减函数，在区间上是单调增函数． （4）可以把函数推广为()f x ＝n x ＋n a x （常数a ＞0），其中n 为正整数． 当n 为奇数时，()f x ＝n x ＋ n a x 在区间(0, 上是单调减函数，在区间)+∞上是单调增函数；在 区间(,-∞ 上是单调增函数，在区间[-上是单调减函数． 当n 为偶数时，()f x ＝n x ＋ n a x 在区间(0, 上是单调减函数，在区间)+∞上是单调增函数；在 区间(,-∞ 上是单调减函数，在区间[-上是单调增函数． 函数单调性的判定方法 学生： 日期; 课时： 教师： 1.判断具体函数单调性的方法 定义法 一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； . （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3 R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 ).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212 221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 22 11221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。 ~ 例2.用定义证明函数x k x x f + =)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。 函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 ).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直 接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我 复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log （4x-x 2）的单调区间. 2、 求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________； （2）函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ） （A ）)(1 x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 2 1x f y = （D ）2 )]([x f y = 7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ） （A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）1 2+- =x y （D ）x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2] 21.函数y= 在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2 )的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数，则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_______。 分析如下： 令u=x 2-ax+3a ，y= u 。 因为y= u 在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u ＞0。 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； (一)判断函数单调性的基本方法 Ⅰ、定义法： 定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明 Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）： 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性 Ⅲ、图像法： 说明：⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x 1、x 2 的任意性 ⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数 自变量与函数相对→单调减函数 例3：y＝|x2＋2x－3| 练习： (二) 函数单调性的应用 Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论： （1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。 （2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。 例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题： 1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在 [a,b]上的最小值是 ( ) 2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是 ( ) 3、( )有函数13+--=x x y 存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4 -44 -00 4 4、](()()的值域为 时，函数当1435,02+-=∈x x x f x ()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、????? ? ??????????? ?? 5、求函数y=-x-6+ 的值域 x -1 复合函数单调性的判定方法 定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同． 证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b， 则有m＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x 1 )] ＞f[g(x 2 )]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数． (2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b，则有m ＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x 1 )]＜ f[g(x 2 )]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数． 由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性． 例1讨论函数f(x)＝log 0.5 (x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为 y＝log 0.5 u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋ ∞)上为增函数．又y＝log 0.5 u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间． 解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数． 推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数． 2.1定义判别法 使用函数单调性定义进行解题是一个重点，也是一个难点。关键在于对函数单调性定义的理解。掌握这一方法有利于形成解题思路。函数的单调性定义： 一般的，设函数)(x f 的定义域为I ： 1）、如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时都有)()(21x f x f <.那么就说)(x f 为D 上的增函数； 2）、如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时都有)()(21x f x f >，那么就说D x f 为)(上的减函数。 例1：已知βα、是方程)(01442R k kx x ∈=--的两个不等实根，函数1 2)(2+-=x k x x f 的定义域为[]βα，，判断函数)(x f 在定义域内的单调性，并证明。 证：令144)(2--=kx x x g ，则函数图象为开口向上的抛物线。 设βα≤<≤21x x ，则01440144222121≤--≤--kx x kx x ， ； 将上述两个式子相加得： 02)(4)(4212221≤-+-+x x k x x ， 由均值不等式，可得 2221212x x x x +≤； 02 1)(22121<-+-∴x x k x x ， 则[]) 1)(1(22)()(1212)()(222121211221122212+++-+-=+--+-=-x x x x x x k x x x k x x k x x f x f 又02 12)(22)(21212121>+-+>+-+x x x x k x x x x k ， 所以0)()(12>-x f x f ，故)(x f 在区间[]βα,上是增函数。 例2、求证x x x f -+=2)(在??? ? ?∞-47,上为增函数。 解：取2121212122)()()(4 7x x x x x f x f x x ---+-=-≤<，则， 分子、分母同时乘以2122x x -+-，得 2121212122) 122)(()()(x x x x x x x f x f -+---+--=-， 由2 12,212,02121≥->-<-x x x x ，所以0)()(21<-x f x f ， 函数在??? ? ?∞-47，为单调递增函数。 从上面两个例子可以看出，在应用定义判别法的时候，首先取定定义域中不等两点，对其函数值作差，判断其大小。但是，在做题过程中，不乏对不等式的灵活应用，因此，需熟练掌握一些常用的不等式。 知识链接： 常用的基本不等式 （1）、设R b a ∈、 ，则0)(022≥-≥b a a ，（当且仅当b a a ==,0时取等号）。 （2）、设R b a ∈、，则2 222222,2??? ??+≥+≥+b a b a ab b a （当且仅当b a =时取等号）。 （3）、设R c b a ∈、、，则ca bc ab c b a ++≥++222； ()32222c b a c b a ++≥++ （当且仅当c b a ==时取等号）。 （4）、均值不等式： a 、设)0(∞+∈，、 b a ，则ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取等号）。 1.4. 2.2正、余弦函数的单调性与最值 基础知识和技能训练(九) 1．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.???? ??－π4，π4 B.?????? π4，3π4 C.? ?? ???0，π2 D.???? ??π2，π 解析 ∵y ＝cos2x ， ∴2k π≤2x ≤π＋2k π(k ∈Z )， 即k π≤x ≤π 2＋k π(k ∈Z )． ∴? ?? ???k π，k π＋π2(k ∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减区间． 而? ?? ? ??0，π2显然是上述区间中的一个． 答案 C 2．函数y ＝cos ? ????x ＋π6，x ∈??????0，π2的值域是( ) A.? ???? －32，12 B.?????? －12，32 C.???? ?? 32，1 D.? ??? ?? 12，1 解析 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π 3， ∴－12≤cos ? ????x ＋π6≤3 2，选B. 答案 B 3．设M 和m 分别表示函数y ＝1 3cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( ) A.23 B ．－23 C ．－43 D ．－2 解析 依题意得M ＝13－1＝－23，m ＝－1 3－1 ＝－4 3，∴M ＋m ＝－2. 答案 D 4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 解析 cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°. sin80°＞sin12°＞sin11°， 即cos10°＞sin168°＞sin11°. 答案 C 5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间??? ? ??0，π3上单调递增，在区间???? ?? π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32 判断函数单调性的常用方法一、定义法 设x 1，x 2 是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x 1 ＜x 2 ，若f(x 1 )＜f(x 2 )，则此函数为增函数； 反知，若f(x 1)＞f(x 2 )，则此函数为减函数. 【例1】证明：当1≤X时，f(x)=x2-2x是增函数。 二、性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C（C为常数）具有相同的单调性； ⑵ f(x)与c?f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性； ⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 三、同增异减法(适用于复合函数) 这是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t＝g(x)，则三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数. 注：奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性； 设单调函数y=f(x)为外层函数，y=g(x)为内层函数 (1) 若y=f(x)增，y=g(x)增，则y=f﹝g(x)﹞增. (2) 若y=f(x)增，y=g(x)减，则y=f ﹝g(x)﹞减. (3) 若y=f(x)减，y=g(x)减，则y=f﹝g(x)﹞增. (4) 若y=f(x)减，y=g(x)增，则y=f ﹝g(x)﹞减. 例1. 求函数 2 2 2 ) (-+ =x x x f的单调区间. 四、图像法 §4.8正弦、余弦函数的单调性（一） 班级 学号 姓名 一、 课堂目标： 能正确地求出正弦、余弦函数及一些简单复合函数的单调区间 二、 要点回顾： 1增函数定义回顾：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x 1, x 2，当x 1 函数单调性的判定方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 由于04 3)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(2122 211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f +=)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x << 所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f +=)( )0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 判定函数单调性的几种方法 函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质。从高中接触函数单调性开始。我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法。:函数,单调性,判定函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质,从高中接触函数单调性开始,我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法,本文将判定函 数单调性的多种方法给出,由于通过抽象函数来考察函数单调性的题目常常出现在各级数学试题中,这种题型比较抽象,综合性较强,对学生的能力要求较高,学生往往难解其意,不能沟通数学符号及数学语言之间的内在联系,本文也将给出几种判定抽象函数单调性的方法。 ⒈判定函数单调性的几种方法 1.1利用函数单调性的定义 一般地,设函数的定义域为:如果对于属于定义域内某个区 间上的任意两个自变量的值,当时,都有(或),那么就说在这个区间上是增(或减)函数。给出定义后,我们就可利用定义判定函数的单调性。 例1讨论函数的单调性。 解:函数的定义域为,任取两个实数 故在上是增函数。参考。 例2讨论函数的单调性。 解:指数函数的定义域为,任取两个实数,= 当时,,此时函数为增函数。 当时,此时函数为减函数。 1.2利用反函数的单调性 我们知道,一个函数若为严格增(或减)函数,则其反函数也为严格增(或减)函数。那么我们就可利用这一性质判定函数的单调性。 例3讨论反余弦函数的单调性 解:因为是余弦函数在的反函数,已知在上为严格减函数,故在定义域上为严格减函数 1.3利用基本初等函数的性质 幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数是五种基本初等函数,它们各有增减区间。那么我们就借助基本初等函数的性质来判定函数的单调性。 例4判断函数的增减性 解:依据指数函数单调性可知:在上是增函数 例5判断函数在上的单调性 解:依据幂函数单调性知:在上是减函数 1.4利用复合函数的单调性 定理1设有复合函数,当与同时为增(或减)函数时,函数为增函数,否则为减函数。参考。 例6讨论函数的单调性。参考。 判断函数单调性的常见方法 一、函数单调性的定义： 一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I∈A，如对于区间内任意两个值X1、X2， 1）、当X1 f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=(x13+x1)- (x23+x2)=(x1-x2)+(x13-x23) =(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1) =(x1-x2)[﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22] ∵x1、x2∈(-∞，+∞)，x1 函数单调性的判定方法 学生： 日期; 课时： 教师： 1.判断具体函数单调性的方法 定义法 一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3 R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 ).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212 221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 22 11221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。 函数单调性的常用判断方法及应用 湖北麻城：阮 晓 锋 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常利用它求函数的值域，进而求题中字母或参数的取值范围。那么，有哪些常用的判断函数单调性方法呢？ 判断函数单调性的常用方法有： ⑴利yizhi 用增（减）函数的定义进行判断； ⑵利用导数进行判断(本文暂不举例)； ⑶利用图象进行判断； ⑷利用简单初等函数的单调性结论直接进行判断（含一次函数，二次函数，指数函数， 对数函数，幂函数，三角函数）； ⑸利用一些重要结论进行判断： ①若f(x)在区间D 上是增（或减）函数，则它在D 的任意子区间上也是增(减)函数； ②f(x)+C 与f(x)具有相同的单调性（C 为常数）； ③当C>0（或C<0）时，Cf(x)与f(x)具有相同（或相反）的单调性（C 为常数）； ④若f(x)与g(x)的单调性相同，则f(x)+g(x)也有相同的单调性；若f(x)与g(x) 的单调性相反，则f(x)-g(x)与f(x)的单调性相同,与g(x)的单调性相反。 ⑤由两个函数组成的复合函数的单调性的判断规律为“同增异减”； ⑥奇函数在关于原点对称的区间上的单调性完全相同，而偶函数则在关于原点对称 的区间上的单调性正好相反。 例1 ⑴若函数f(x)=x x +2 a 在（0，+∞）上单调递增，则a 的取值范围为_____; ⑵已知函数f(x)?????<≥+=0 , 1 ,0,1x 2x x ,则不等式f(1-x 2 )>f(2x)的取值范围为_____。 解：⑴填[0，+∞），理由如下 ①当a=0时显然符合题设要求； ②当a<0时，由二次函数单调性知它在[2a 1-，+∞上单调递减，不可能符合题意； ③当a>0时，由二次函数单调性知它在[2a 1-，+∞）上单调递增 则得（0，+∞）?[2a 1-，+∞） ∴得2a 1-≤0且a>0解之得a>0 综上知：a 的取值范围为[0，+∞）。 ⑵先画出f(x)的图象，由图象知f(x)在[0，+∞）上单调递增，且当x ≤0时f(x)=0er 从而得?????>>?????≤>0 22-1020-1x x 2 2x x x 或解之得<-1x ≤0或0 正弦函数、余弦函数的单调性教学设计 教学目标： 知识目标：能够根据正弦函数和余弦函数的单调性比较函数值的大小；能求出求形如 的单调区间及)cos()sin(?ω?ω+=+=x y x y 。 情感目标： 通过经历新知识的探索，培养学生善观察、勤思考、爱探究良好的学习品质。 能力目标： 培养学生能够灵活运用正，余弦函数图像写出单调区间，会利用单调性解决相关问题 教学重点、难点： 教学重点：用数形结合法探索正、余弦函数的单调性。 教学难点：求形如情形的单调区间当及0)cos()sin(>+=+=ω?ω?ωx y x y 。 学情分析：学生在前节课已经学习了正余弦函数的一些性质，因此在学习其单调性的时候不会太 难，考虑到本班学生的基础参差不齐，对问题的理解能力有不同，所以在教学中要照 顾全局，仔细分析，耐心讲解 教学方法：讲授法，探究法，讲练结合法 教学过程: 一、复习引入: 前面已学过正弦函数和余弦函数的图象以及它们的性质现在我们要通过正弦、余弦函数图象去研究它的另一个重要的性质——单调性。 1. 正弦函数、余弦函数的图像 2．函数的单调性定义在某区间上单调增（或单调减）的图象特征。 二、新课: （一）、正弦函数的单调性 1、探究正弦函数]23,2[sin π π-=在x y 上的单调性 (1) 让学生观察正弦函数y=sinx 的图象 启发学生思考：它有多段图象自左到右是呈现上升状态，也有多段呈下降状态，根据函数单调性知识可知它分段具有单调性，那么这里面有什么规律呢，先要找一个周期区间上的函数图象来分析研究。 引导学生分析所选用的那一个区间段的图是否最佳选择，最适合的是只有一个单调增区间和单调减区间的用这两段上的图象。（选择区间]23,2[ππ- ） (2)让学生再观察正弦函数在区间]23,2[π π-上的图象的升降情况. 提问：从图形中你发现了什么样的现象？ 3.2利用导数判断函数的单调性 知识要点梳理 1. 函数的导数与函数的单调性的关系： （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 （2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/ y ≥0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 那么在这个区间内/ y ≤0。 2. ①确定函数()f x 的定义域； ②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间； ④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减函数。） 疑难点、易错点剖析： 1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立，且f ’(x)在（a,b ） 的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令 '()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x)恒 等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由 '()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。 2.用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0，解不等式得x 的范围就是递增区间；③令f ′(x )＜0，解不等式得x 的范围，就是递减区间。 3.讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论。 直击考点 函数的单调性知识点及例题解析 知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值） 知识点二：函数单调性的判定方法（常用的） （1） 定义法（基本法）； ①取值：任取D x x ∈21,，且21x x <；②作差：()()21x f x f -； ③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差()()21x f x f -的正负； ⑤下结论：即指出函数()x f 在给定区间D 上的单调性. （2） 利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数） （3） 利用函数的图像；x y =，2-=x y ，2 12-+=x y . （4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法； ①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数； 如果)()(x g u u f y ==和单调性相同，那么)]([x g f y =是增函数；如果)()(x g u u f y ==和单调性相反，那么)]([x g f y =是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆. 上述规律可概括为“同增，异减” 知识点三：函数单调性的应用 利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围； 附加：①()0≠+=a b ax y 的单调性：0>a 增函数，0k 减区间()()+∞∞-,0,0,；0 函数单调性的判定方法 摘要：单调性是函数的一个重要性质，其在数学、经济学等诸多学科中均有广泛的应用。本文介绍了判断函数单调性的若干方法及一些结论，首先对于具体函数，由函数单调性的定义出发，依次给出了定义法、函数性质法、图像法、复合函数单调性判断法、导数法；其次对于没有给出具体函数表达式的抽象函数，给出了定义法和列表法，并且对于每种方法本文都给出了应用该方法的例子。对于同一个函数判定其单调性的方法可以有多种，而每种方法都有优缺点，在解题中应灵活选择方法，方可使解题过程更加简单。 关键词：复合函数抽象函数函数单调性导数 Several methods of judging functional monotonicity Abstract:Monotonicity is an important property of the function, and its in mathematics,economics, and so in many disciplines are widely used. This article describes a number of monotone functions to determine methods and some conclusions.For the specific function, by functional monotonicity definition ,it gives gives the definition method, function, properties, image method, the method of composite functional monotonicity judgment method, derivative method in turn .Did not give a specific function for the expression of abstract function, given the definition of law, and a list of law.Solving the flexibility to choose the appropriate method of problem solving can be more simple and convenient. Keywords:Composite function Abstraction function Monotonicity Derivative. 函数的单调性是函数的重要性质，反应了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在比较大小、解决函数图像、值域、最值以及在经济等诸多领域中均有广泛的应用，如：证券市场分析、财务管理等。在高中数学中我们已经学习和掌握了函数单调性的有关知识以及判断函数单调性的方法。学习函数单调性不仅仅是为了判断、证明函数单调性，更多是运用函数单调性解决相关的数学问题。 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法函数单调性的判定方法(高中数学)
函数单调性的判定方法
复合函数单调性的判断
高中数学函数单调性的判断方法
函数单调性方法和各种题型
(完整版)复合函数单调性的判定方法
定义法判断函数的单调性
人教版高中数学必修4试题 1.4.2.2正、余弦函数的单调性与最值
判断函数单调性知识点及练习题
正弦、余弦函数的单调性
函数单调性的判定方法
判定函数单调性的几种方法
判断函数单调性的常见方法
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