高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质学业分层测评4直角三角形的射影定理新人教A
版选修4-精品 2020-12-12
【关键字】建议、情况、计划、提升、能力
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1-3-32，D ，E ，F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为1
4，△ABC 的周长为9，
则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )
图1-3-32
A.9
2，1 B ．9,4 C.92
，8 D.9
4
，16 【解析】 ∵D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点， ∴EF 綊12BC ，DE 綊12AC ，DF 綊1
2
AB.
∴△DFE ∽△ABC ，且EF BC ＝12，∴l △DEF l △ABC ＝EF BC ＝1
2
.
又∵l △ABC ＝9，∴l △DEF ＝9
2
.
又∵S △DEF S △ABC ＝EF 2BC 2＝14，S △DEF ＝14
，
∴S △ABC ＝1，故选A. 【答案】 A
2．如图1-3-33，在?ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长是( )
图1-3-33
A ．5
B ．8.2
C ．6.4
D ．1.8
【解析】 由△CBF ∽△CDE ，得BF DE ＝CB CD
， 又点E 是AD 的中点，AB ＝CD ＝10，AD ＝BC ＝6，
∴DE ＝3，即BF 3＝6
10
，∴BF ＝1.8.
【答案】 D
3．如图1-3-34所示，D 是△ABC 的AB 边上一点，过D 作DE ∥BC 交AC 于E .已知AD ∶
DB ＝1∶3，则△ADE 与四边形BCED 的面积比为( )
图1-3-34
A ．1∶3
B ．1∶9
C ．1∶15
D ．1∶16
【解析】 因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC . 又因为AD ∶DB ＝1∶3.
所以AD ∶AB ＝1∶4，其面积比为1∶16， 则所求两部分面积比为1∶15. 【答案】 C
4．某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1-3-35所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm ，则屏幕上小树的高度是( ) 【导学号：07370017】
图1-3-35
A ．50 cm
B ．500 cm
C ．60 cm
D ．600 cm
【解析】 设屏幕上小树的高度为x cm ，则10x ＝30
30＋150，解得x ＝60(cm)．
【答案】 C
5．如图1-3-36，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于D ，E ，S △ADE ＝2S △DCE ，则S △ADE
S △ABC
＝( )
图1-3-36
A.14
B.12
C.23
D.49
【解析】 ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，
由S △ADE ＝2S △DCE ，得AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝4
9
.
【答案】 D 二、填空题
6．如图1-3-37，在△ABC 中，D 为AC 边上的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝10，则AE 的长为________．
图1-3-37
【解析】 ∵AE ∥BC ，∴△BGF ∽△AGE ，∴BF AE ＝BG GA ＝3
1
， ∵D 为AC 中点，∴AE CF ＝AD DC
＝1，∴AE ＝CF ， ∴BC ∶AE ＝2∶1，∵BC ＝10，∴AE ＝5. 【答案】 5
7．如图1-3-38，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已
知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.
图1-3-38
【解析】 因为PE ∥BC ，所以∠C ＝∠PED .又因为∠C ＝∠A ，所以∠A ＝∠PED .又∠P ＝∠P ，所以△PDE ∽△PEA ，则
PD PE ＝PE PA
，即PE 2
＝PD ·PA ＝2×3＝6，故PE ＝ 6. 【答案】
6
8．(2016·湛江高三调研)如图1-3-39，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，△ADE 的面积是a 2
，梯形DBCE 的面积是8a 2
，则
AD
AB
＝________.
图1-3-39
【解析】 ∵S △ADE ＝a 2
，S DBCE ＝8a 2
，∴S △ABC ＝S △ADE ＋S BDCE ＝a 2
＋8a 2
＝9a 2
，
∴? ????AD AB 2＝
S △ADE S △ABC ＝a 2
9a 2＝19
，∴AD AB ＝13. 【答案】 1
3
三、解答题
9．如图1-3-40，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与 AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .
图1-3-40
(1)求证：△ABC ∽△FCD ；
(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．
【解】 (1)证明：∵DE ⊥BC ，D 是BC 的中点， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠1， 又∵AD ＝AC ， ∴∠2＝∠ACB.
∴△ABC∽△FCD.
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M. ∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴S△ABC
S△FCD
＝
?
?
??
?
BC
CD
2＝4.
又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.
∵S△ABC＝
1
2
BC·AM，BC＝10，
∴20＝
1
2
×10×AM，∴AM＝4.
又∵DE∥AM，∴
DE
AM
＝
BD
BM
.
∵DM＝
1
2
DC＝
1
4
BC＝
5
2
，
BM＝BD＋DM，
BD＝
1
2
BC＝5，∴
DE
4
＝
5
5＋
5
2
，
∴DE＝
8
3
.
10．如图1-3-41，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个矩形零件的边长．
图1-3-41
【解】设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E，H分别在AB，AC 上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为x mm.
∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，
∴
AP
AD
＝
EH
BC
，∴
300－2x
300
＝
x
200
，
解得x＝
600
7
(mm)，2x＝
1 200
7
(mm)．
答：加工成的矩形零件的边长分别为
600
7
mm和
1 200
7
mm.
1．如图1-3-42所示，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，正方形DEFG 内接于△ABC ，DE ∥
AC ，EF ∥BC ，AC ＝1，BC ＝2，则AF ∶FC 等于( )
图1-3-42
A ．1∶3
B ．1∶4
C ．1∶2
D ．2∶3
【解析】 设正方形边长为x ，则由△AFE ∽△ACB ，
可得AF ∶AC ＝FE ∶CB ，即x 2＝1－x
1
，
所以x ＝23，于是AF FC ＝1
2.
【答案】 C
2．如图1-3-43，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，DC ＝80，那么EF 的值是( )
图1-3-43
A ．10
B ．12
C ．16
D ．18
【解析】 ∵AB ∥EF ∥CD ， ∴AE EC ＝AB DC ＝
2080＝1
4
，
∴EF AB ＝EC AC ＝45
， ∴EF ＝45AB ＝4
5×20＝16.
【答案】 C
3．在△ABC 中，如图1-3-44所示，BC ＝m ，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于E ，D 两点，且S △ADE ＝S 四边形BCDE ，则DE ＝________. 【导学号：07370018】
【解析】 ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ACB.
又∵S △ADE ＋S 四边形BCDE ＝S △ABC ；S △ADE ＝S 四边形BCDE ， ∴S △ADE ＝1
2
S △ABC ，
∴? ????DE BC 2＝12，∴? ????DE m 2＝12
， ∴DE ＝
2
2
m . 【答案】
22
m 4．某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 cm 、20 cm 的梯形空地上种植花木．
(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2
，当△AMD 地带种满花后(如图1-3-45阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；
图1-3-45
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2
和10元/m 2
，应选择种哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？
【解】 (1)∵四边形ABCD 是梯形，∴AD ∥BC ， ∴△AMD ∽△CMB ，∴
S △AMD S △CMB ＝? ????AD BC 2＝1
4
. ∵种植△AMD 地带花费160元，
∴S △AMD ＝1608＝20 (m 2)，∴S △CMB ＝80 (m 2
)．
∴△BMC 地带的花费为80×8＝640(元)．
(2)设△AMD ，△BMC 的高分别为h 1，h 2，梯形ABCD 的高为h ， ∵S △AMD ＝1
2
×10h 1＝20，∴h 1＝4(m)．
又∵h 1h 2＝1
2
，∴h 2＝8(m)．
∴h ＝h 1＋h 2＝12(m)．
∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )h ＝1
2×30×12
＝180 (m 2
)，
∴S △AMB ＋S △DMC ＝180－20－80＝80 (m 2
)． ∴160＋640＋80×12＝1 760(元)， 160＋640＋80×10＝1 600(元)． ∴应种植茉莉花刚好用完所筹资金．
九年级数学下册相似三角形的性质同步测试（新版）新人教 版 1. 已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( D ) A ．4∶3 B ．3∶4 C ．16∶9 D ．9∶16 2. 如图27－2－41，AB ∥CD ，AO OD ＝23 ，则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是 ( D ) 图27－2－41 A.25 B.32 C.49 D.23 3．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为( A ) A ．48 cm B ．54 cm C ．56 cm D ．64 cm 4．如图27－2－42，在△ABC 中，点D ， E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( D ) A ．BC ＝2DE B ．△ADE ∽△ABC C.AD AE ＝AB AC D ．S △ABC ＝3S △ADE 【解析】 ∵在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12 BC ，∴BC ＝2DE ，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故B 正确；∴AD AE ＝AB AC ，故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∶BC ＝1∶2，∴S △ABC ＝4S △ADE ，故D 错误． 图27－2－42 图27－2－43 5．如图27－2－43，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为( B )
A ．23 B ．33 C ．43 D ．63 【解析】 作DF ⊥BC 于F ， ∵边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线， ∴DE ＝2，BD ＝2，∠B ＝60°， ∴BF ＝1，DF ＝BD2－BF2＝22－12＝3， ∴四边形BCED 的面积为12DF ·(DE ＋BC )＝12 ×3×(2＋4)＝33.故选B. 6．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长﹨面积依次为( A ) A ．8，3 B ．8，6 C ．4，3 D ．4，6 【解析】 ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∴ AB DE ＝AC DF ＝2，又∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，且相似比为2，∴△ABC 与△DEF 的周长比为2，面积比为4，又∵△ABC 的周长为16，面积为12，∴△DEF 的周长为16×12 ＝8，△DEF 的面积为12×14 ＝3. 7. 如图27－2－44，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12 ，则S △ADE ∶S 四 边形BCED 的值为( C ) 图27－2－44 A ．1∶3 B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4 8．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，若△ABC 的周长为6，则△A ′B ′C ′的周长为__8__. 【解析】 ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴△ABC 的周长∶△A ′B ′C ′的周长＝3∶4，∵△ABC 的周长为6，∴△A ′B ′C ′的周长＝6×43 ＝8. 9．已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则△ABC 与△DEF 的面积之比为__9∶1__． 【解析】 ∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，∴△ABC 与△DEF 的相似比是3∶1，∴△ABC 与△DEF 的面积之比为9∶1. 图27－2－45 10．如图27－2－45，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB ，AC 于D ，E 两点，若AD ∶AB ＝1∶3，则△ADE 与△ABC 的面积比为__1∶9__．
新编人教版精品教学资料 学业分层测评(一) 集合的含义 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．下列对象能构成集合的是() ①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员，②所有的钝角三角形，③2015年诺贝尔经济学奖得主，④大于等于0的整数，⑤莘县第一中学所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤ C．③④⑤D．②③④ 【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合． 【答案】 D 2．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边，则△ABC一定不是() A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．等腰三角形 【解析】因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D. 【答案】 D 3．下面有三个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a?N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2. 其中正确命题的个数是() A．0个B．1个 C．2个D．3个 【解析】因为自然数集中最小的数是0，而不是1，所以①错；对于②，取a＝2，则－2?N，2?N，所以②错；对于③，a＝0，b＝0时，a＋b取得最小
值是0，而不是2，所以③错． 【答案】 A 4．下列正确的命题的个数有( ) ①1∈N ；②2∈N *；③12∈Q ；④2＋2?R ；⑤42?Z . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【解析】 ∵1是自然数，∴1∈N ，故①正确；∵2不是正整数，∴2?N *，故②不正确； ∵12是有理数，∴12∈Q ，故③正确；∵2＋2是实数，∴2＋2∈R ，所以④不正确； ∵42＝2是整数，∴42∈Z ，故⑤不正确． 【答案】 B 5．给出下列说法，其中正确的个数为( ) (1)由1，32，64，??????－12，12 这些数组成的集合有5个元素； (2)方程(x －3)(x －2)2＝0的解组成的集合有3个元素； (3)由一条边为2，一个内角为30°的等腰三角形组成的集合中含有4个元素． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【解析】 (1)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集 合中的任意两个元素都是不同的，而32与64相同，???? ??－12与12相同，故这些数组成的集合只有3个元素． (2)不正确．方程(x －3)(x －2)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝2，因此写入集合时只有3和2两个元素． (3)正确．若2为底边长，则30°角可以是顶角或底角；若2为腰长，则30°角也可以是顶角或底角，故集合中有4个元素．
4.7相似三角形的性质(2) 1.判断题： (1)如果把一个三角形各边同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍。 (2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍。 2. (1)已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对应边上中线之比，周长比为 ，面积之比为。 (2)已知ΔABC∽ΔA′B′C′，且面积之比为9：4，则相似比，周长之比为 ，对应边上的高线之比。 3.把一个三角形变成和它相似的三角形，如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的______倍。 4.两个相似三角形的一对对应边分别是3厘米和2 厘米， (1)它们的周长之差是6厘米，这两个三角形的周长分别是。 (2)它们的面积之和是26平方厘米，这两个三角形的面积分别是_____________。 例2：如图：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半。已知BC=2，求△ABC平移的距离。 C F E
5.如图1,在△ABC 中,D 是AB 的中点，DE//BC ， 则(1)S △ADE ﹕S △ABC = ; (2)S △ADE ﹕S 梯形DBCE = . 6.如图2,在△ABC 中,D 、F 是AB 的三 等分点，DE//FG//BC ， 则(1)S △ADE ﹕S △AFG ﹕S △ABC = ; (2)S △ADE ﹕S 梯形DFGE ﹕S 梯形FBCG= . 7.在△ABC 中，DE//BC ，且△ADE 的面积等于梯形BCED 的面积，则△ADE 与△ABC 的相似比是_______。 8.在△ABC 中， DE// FG// BC ，且△ADE 的面积,梯形FBCG 的面积,梯形DFGE 的面积均相等，则△ADE 与△ABC 的相似比是_______；△AFG 与△ABC 的相似比是_______. 9.已知：如图，在△ABC 中，DE//BC ，EF//AB ，△ADE 和△EFC 的面积分别为4和9。 求：△ABC 的面积。 10.如图，平行四边形ABCD 中，AE ：EB=1：2， (1)求△AEF 与△CDF 周长的比； (2)如果S △AEF=6 cm 2,求S △CDF 。 图2
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
相似三角形的性质与判 定讲义) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
相似三角形的性质与判定讲义 【知识点拨】 一、相似三角形性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方． (5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． (2)对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?． (3)传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽ C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''?． 三、三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ，（2）（AB ）2=BD ·BC ，（3）（AC ）2=CD ·BC 。 【例题精讲】： E D C B A
高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 学业分层测评（五） (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．已知方程x2sin A＋2x sin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c 的关系满足() A．b＝ac B．b2＝ac C．a＝b＝c D．c＝ab 【解析】由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin A sin C＝0，即sin2B＝sin A sin C，∴b2＝ac. 【答案】 B 2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则角A的对边的长为() A.57 B.37 C.21 D．13 【解析】∵S △ABC ＝ 1 2bc sin A＝ 1 2×1×c×sin 60°＝3，∴c＝4.由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝1＋16－2×1×4×1 2＝13. ∴a＝13. 【答案】 D 3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R ＝() A.1 2B．1
C ．2 2 D ．522 【解析】 S △ABC ＝12ac sin B ＝2 4c ＝2，∴c ＝4 2. b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×2 2＝25， ∴b ＝5.∴R ＝b 2sin B ＝5 2×22＝522. 【答案】 D 4．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C. 3＋62 D ． 3 ＋39 4 【解析】 在△ABC 中，由余弦定理可知： AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， 即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12. 整理得AB 2－2AB －3＝0. 解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3. 故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3×sin 60°＝33 2 . 【答案】 B 5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( ) A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4
一、基础训练 １、如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，满足条件 时，△ADC ∽△ACB 。 E D C B A 第１题 第３题 第４题 第５题 10，则后一个三角形的面积2），如果点C 在X 轴上（C 与A 不重合）， B ，O ， C 组成的三角形与△ABC 相似。 ,CP:DP=3:4,则三角形APB 的面积:平行四边 ： ： ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值 是 二、例题精讲 1、如图，AB ∥EF ∥CD ，若AB=6cm ，CD=9cm ，求EF 的长。 ２、如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ， （1）△ABE 与△ECD 相似吗？为什么？ （2）设△ABE 的边BE 上的高为h 1，△ECD 的边CD 上的高为h 2，△ABE 的面积为3，△ECD 的面积为1，求2 1 h h 的值及△BCE 的面积。 E F D C B A P D C B A O D C B A E D C B A
3、如图，已知直角三角形的铁片ABC 的两条直角边BC 、AC 的长分别为3、4，按图示所采用两种方法，各剪一块正方形的铁片，试比较哪一种方法剪出的正方形的面积较大； 4、如图，在△PAB 中，点C 、D 在边AB 上，PC=PD=CD ，∠APB=120°。 （1）△APC 与△PBD 相似吗？为什么？ （2）CD 是AC 与BD 的比例中项吗？ 5、如图，在ABC △中，1AB AC ==，点D ，E 在直线BC 上运动，设BD x =，CE y =． （1）如果30BAC ∠= ，105DAE ∠= ，试确定y 与x 之间的函数关系式； （2）如果BAC ∠的度数为α，DAE ∠的度数为β，当αβ，满足怎样的关系式时，（1）中y 与x 之间的函数关系式还成立，试说明理由． Ｂ Ｃ Ｅ Ａ Ｄ P D C B A
§18.3.3 相似三角形的性质 一、教学目标 1.利用前面几节的相关结论经过简单的推导得出相似三角形的各条性质； 2.运用相似三角形性质解决简单的问题。 二、教学重难点 教学重点：相似三角形的各条性质的掌握 教学难点：相似三角形性质中面积比的结论的得出。 三、教学过程设计 1、创设情境，设疑激趣 两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果．例如，在图18.3.9中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？ 2、探索研究，形成新知 △ABD和△A′B′D′都是直角三角形，而∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么 由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比． （通过研究讨论，让学生借助已有的知识对新问题进行研究，培养学生的思考探索能力，同时让他们自己得出结论，感受成功的喜悦。） 思考 图18.3.11中，△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上 的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
可以得到的结论是_________________________________________． 想一想：两个相似三角形的周长比是什么？ 可以得到的结论是_________________________________________．（让学生用类似于“相似三角形对应高的比等于相似比”的方法进行研究，培养学生的推理能力。） 3、深入探究，得出结论 图18.3.10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似． （2）与（1）的相似比＝________________， （2）与（1）的面积比＝________________; （3）与（1）的相似比＝________________， （3）与（1）的面积比＝________________. 从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝k2．数学上可以说明，对于一般的相似三角形也具有这种关系． 由此可以得出结论：相似三角形的面积比等于________________________．（通过形象的图形比较，使学生直观地感知相似图形面积比与相似比之间的关系，便于被学生所接受。） 4、反馈练习，思维拓展 练习 （1）如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应角的角平分线的比等于多少? （2）相似三角形对应边的比为0.4,那么相似比为___________,对应角的角平分线的比为__________,周长的比为___________,面积的比为_____________. （3）如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比. （4）若两个相似三角形的最大边长为35cm和14cm，它们的周长差为60cm，则教大三角形的周长是多少？
比例线段 知识要点： 一、比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例 的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或，那么线段ｂ叫 做线段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质 (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 三、黄金分割 黄金分割的定义： 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ）. 如果 AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的 比叫做黄金比，其中 618.0≈AB AC . 四、平行线分三角形两边成比例 平行线分三角形两边成比例的性质：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例。
1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或 基本图形(2): 若DE//BC，则或或或 基本图形(3): 若AC//BD，则或或或 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC。 基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB。 例1、已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。 例2、若, 求的值。 例3、如图,在□ABCD中,E为AB中点,,EF,AC相交于G,求。
学业分层测评 （建议用时：45分钟） ［学业达标］ 一、选择题 1 ?以下四个命题，属于组合问题的是（） A ?从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ?老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C .在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D .从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 【解析】 从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题. 【答案】 C 2. 某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直 线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为 （ ） A . 4 B . 8 C . 28 D . 64 【解析】 由于“村村通”公路的修建，是组合问题.故共需要建 C 8 = 28条公路. 【答案】 C 3. 组合数 c n （n>r > 1，n , r € N ）恒等于（ ） 【答案】 D 4 .满足方程Cx 2 —X 16= C 6— 5的x 值为（） C . 1,3,5 D . 3,5 【解析】 依题意，有 x — x = 5x — 5 或 x 2 — x + 5x — 5= 16，解得 x = 1 或 x = 5; x = — 7 或 A . 1,3,5，— 7 B . 1,3 A. r + 1 r — 1 B . (n + 1)(r + 1)c n — C . n rC n —11 n r —1 D F —1 【解析】 ?C n —1 n (n — 1)! r 'r — 1 ! n — r ! n !
x= 3，经检验知，只有x= 1或x= 3符合题意. 【答案】B
《相似三角形》判定与性质测试卷 一、细心填一填（共30分） 1．已知：如图，在ABC △中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于D 、E ，:1:3AD AB =．若2DE =，则BC =_________． 第１题图 第2题图 第6题图 第7题图 2.在□ABCD 中,E 为CD 上一点,连接AE 、BD,且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：AB=_________． 3.已知789x y z ==，则x y z x z +++的值为 . 4.在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形图案的一条边由原来的1cm 变成2cm ，那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的 . 5.已知,,,a b c d 是成比例线段，且3,6,15,a cm b cm c cm d ===则= . 6.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O ）20米的A 处，则小明的影子AM 长为 米． 7.如图,∠DAB=∠CAE,请你再补充一个条件___ （写一个即可）使得△ABC ∽△ADE. 8.在ΔABC 中，AB ＝4，BC ＝9，AC ＝8，在AC 上取一点M ，当AM 的长为 时，ΔAMB∽ΔABC． 9.如图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式中不成立的是 . (填序号及可) ① BC CE DF AD = ②AF BC BE AD = ③CE AD DF BC = ④CE BE DF AF = 第9题图 第11题图 第13题图 10.已知AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，且AB=15cm ，BD=9cm ，则AD= ，CD= . 二、选择题 (每题3分,共30分) 11.如图，在Rt △ABC 中，AD ⊥BC 与D ，DE ⊥AB 与E ，若AD=3，DE=2，则AC=（ ） A 、2 21 B 、215 C 、29 D 、15 12.下列三角形中，一定相似的是（ ） A ．两个等腰三角形 B ．两个直角三角形 C ．两个等边三角形 D ．两个钝角三角形
相似三角形的判定和性质 知识讲解 1. 比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等， 即a c b d =（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项． 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项． 比例的性质 （1）基本性质 ①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c （2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： （4）合比性质： （5）等比性质： b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( 黄金分割 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= AB 0．618AB c b b a =?a c b =?2 d b c a =?= d c b a a c b d =a b c d =c d a b d c b a =?=d d c b b a d c b a ±=±?=2 1 5- ≈
如图，若AB PB PA ?=2 ，则点P 为线段AB 的黄金分割点． 2. 平行线分线段成比例定理： ① 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3． AB BC =DE EF ;AB AC =DE DF ; BC AC =EF DF . ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 4. 相似三角形的概念：对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形． 5. 相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边的比相等； （2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方． 6. 相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似． 7. 相似三角形的判定定理： (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
学业分层测评(十六) Ⅰ.单句语法填空 1.The audience applauded loudly because the dancers had danced so (graceful)． 2. The young man was praised for his (brave) of saving the boy from the big fire. 3．It is very (move) to see how much strangers can care for each other. 4.－It is four years since Jack (fall) in love with Mary. －But they are not (marry) yet. 5.－Why does Lily have few friends? －Because she thinks only of herself and doesn't care other people. 6.It is Yang Liwei circled the earth more than 21 hours in the capsule. 7.The car (belong) to Mr Smith was seriously broken in a traffic accident last night. 8.He is very popular among his students as he always tries to make them (interest) in his lecture. 9．Although the main (character)in this movie are so true to life, they are imaginary. 10. After five days of the fantastic space trip, the two astronauts walked out of the spaceship, (tire) but happy. 【答案】 1.gracefully 2.bravery 3.moving 4．fell；married 5.about 6.hat/who7.belonging8.interested9.characters 10tired Ⅱ.单句改错 1．The first attempt may fail，but we don't care for that. 2．Much to us surprise，the old man survived the big fire.
相似三角形的性质与判定 副标题 题号一二总分 得分 一、选择题（本大题共7小题，共分） 1.如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：； ；；，能满足与相似的条件是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对 进行判断． 【解答】 解：当，， 所以∽； 当，， 所以∽； 当， 即AC：：AC， 所以∽； 当，即PC：：AB， 而， 所以不能判断和相似． 故选D． 2.如图，在矩形ABCD中，，，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到 折痕AE，那么BE的长度为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】 根据对称性可知：，，又，所以 ∽，根据相似的性质可得出：，，在 中，由勾股定理可求得AC的值，，，将这些值代入该式求出BE的值．【解答】
解：设BE的长为x，则、 在中， ， ∽两对对应角相等的两三角形相似 ，， ， 故选：C． 3.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测 得一根长为1m的竹竿的影长是，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上如图，他先测得留在墙壁上的影高为，又测得地面的影长为，请你帮她算一下，树高是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x， 根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而， ， 树在地面的实际影子长是， 再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得， ， 树高是． 故选C． 此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高． 解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同． 4.如图，是在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若 的面积与的面积比是16：9，则OA：为( ) A. 4：3 B. 3：4 C. 9：16 D. 16：9 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了位似变换、位似图形和相似三角形的性质的知识点，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可 【解答】
学业分层测评(十) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．函数y ＝3＋2x －x 2(0≤x ≤3)的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．4 【解析】 y ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4，∵0≤x ≤3， ∴当x ＝3时，y min ＝3＋6－9＝0. 【答案】 B 2．若抛物线y ＝x 2－(m －2)x ＋m ＋3的顶点在y 轴上，则m 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－2 D ．2 【解析】 由题意知其对称轴为x ＝－－(m －2)2 ＝m －2 2＝0，即m ＝2. 【答案】 D 3．设函数f (x )＝??? 1，x ＞0， 0，x ＝0， －1，x ＜0， g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是 ( ) A ．(－∞，0] B ．[0,1) C ．[1，＋∞) D ．[－1,0] 【解析】 g (x )＝??? x 2，x ＞1， 0，x ＝1， －x 2，x ＜1. 如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.
【答案】 B 4．若f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，则( ) A ．f (4)＜f (1)＜f (2) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 【解析】 f (x )的对称轴为x ＝2，所以f (2)最小．又x ＝4比x ＝1距对称轴远，故f (4)＞f (1)，即f (2)＜f (1)＜f (4)． 【答案】 B 5．(2016·资阳高一检测)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1,2] B ．(0,1] C ．(0,2] D ．[1，＋∞) 【解析】 f (x )＝(x －1)2＋3， f (x )的对称轴为x ＝1，f (x )在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． 当x ＝1时，f (x )取到最小值3， 当x ＝0或2时，f (x )取到最大值4， 所以m ∈[1,2]． 【答案】 A 二、填空题 6．(2016·丹东高一检测)函数y ＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图像与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集合为________． 【解析】 当m ＝1时，f (x )＝4x －1，其图像和x 轴只有一个交点? ????14，0， 当m ≠1时，依题意，有Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0， 即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0， 所以m 的取值集合为{－3,0,1}．
F E A C 相似三角形的性质和判定测试 姓名 得分? ? 一、 填空题 （每题3分,共３0分) 1、相似三角形对应 、 、 的比都等于相似比. ２、相似多边形的周长比等于 ,面积比等于 ． 3、如图,要使ΔABC ∽ΔACD ，从角的角度,需补充的条件是 . 4、已知ΔＡBC ∽ΔA′Ｂ′C′，若ＡC ＝1，Ａ′C′＝2，则ΔA′Ｂ′C′与ΔＡBC 的相似比是 . 5、已知ΔA ＢC ∽ΔA′B′C′，ΔABC 的周长是20ｃｍ,ΔA′B′C′的周长是12cm,ΔＡB Ｃ的最长边为8cm ，则ΔＡ′B′C′的最长边是 cm ． 6、如图，P 是ΔABC 的边AB 上一点，若ΔＡPC ∽ΔA CB ，，则∠1＝∠ ． 7、在ΔA ＢC 中，AB ＝4，BC=9，A Ｃ＝８，在AC 上取一点M,当A Ｍ的长为 时， ΔAM Ｂ∽ΔABC . （第1１题) (第13题) 8、已知AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高,且AB=15ｃm,BD=9cm ，则AD ＝ ，C Ｄ＝ 。 9、若△AB Ｃ∽△A ′B ′Ｃ′,且4 3 =''B A AB ,△ＡBC 的周长为1２ｃm ，则△A ′ B ′ C ′的周长为 ;若△ABC 的面积为1８cm 2 ，则△A ′B ′C ′的面积为 c ｍ2。 10、两个相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别是40°和30°，则另一个三角形的最大内角的度数是 ． 二、选择题 （每题３分,共３０分) 11、如图，在Rt △ＡBC 中，AD ⊥B Ｃ与Ｄ，ＤE ⊥AB 与E,若AD ＝3，ＤE=２，则ＡC ＝（ ） D （第2题） 1 C P （第5题）
相似三角形复习 【知识要点】 1、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2、相似三角形的判定方法 1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一： 2. 两个角对应相等的两个三角形__________． 3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 4. 三边对应成比例的两个三角形___________． 性质： ? ? ? ? ? ? ? 比的平方 、对应面积比等于相似 比 、对应周长比等于相似 、对应边成比例 、对应角相等 4 3 2 1 判定： ? ? ? ? ? 、三边对应成比例 夹角相等 、两边对应成比例，且 、两角对应相等 3 2 1 1.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且 大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。全等三角形是相似三角形的特例。 2.相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。 ②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。 ③三边对应成比例，两三角形相似。 3.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。 ②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。 ③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
F E D C B A 【典型例题】 1、如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？ 2、如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________， 使得△ADE ∽△ABC ．并证明 3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ． （1）求证： BC AB EF DE =．(2)证明：BDE ?与EFC ?相似。 4、已知，如图，CD 是Rt ABC ?斜边上的中线，DE AB ⊥交BC 于F ，交AC 的延长线于E ， 说明：⑴ ADE ?∽FDB ?； ⑵DF DE CD ?=2． 5、已知：如图，□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。求：AM ：AC 。 A D B F
学业分层测评(十二) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→ 上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN → | 为( ) A. 21 6a B ． 66a C.156 a D ． 153a 【解析】 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，C 1(0，a ，a )， N ? ?? ??a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )． ∵点M 在AC 1→ 上且AM →＝12 MC 1→. ∴(x －a ，y ，z )＝1 2(－x ，a －y ，a －z )， ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ? ????2a 3，a 3，a 3. ∴|MN →| ＝? ????a －23a 2＋? ????a －a 32＋? ?? ??a 2－a 32 ＝ 216 a . 【答案】 A 2．已知平面α的法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (x,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为10 3 ，则x ＝( ) 【导学号：32550053】 A ．－1 B ．－11
C ．－1或－11 D ．－21 【解析】 PA →＝(x ＋2,2，－4)，而d ＝??????? ?PA →·n |n |＝10 3， 即 |－2x ＋2－4－4|4＋4＋1 ＝10 3，解得x ＝－1或－11. 【答案】 C 3．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长是1，则直线DA 1与AC 间的距离为( ) A.1 3 B ．23 C.33 D ． 34 【解析】 建系如图A (1,0,0)，A 1(1，0,1)，C (0,1,0)，AC →＝(－1,1,0)，DA 1→ ＝(1,0,1)， 设n ＝(x ，y ，z )，令??? n ·AC →＝0n ·DA 1 → ＝0 ， ∴? ?? ?? －x ＋y ＝0x ＋z ＝0令x ＝1则n ＝(1,1，－1) DA → ＝(1,0,0)，DA 1→ 与AC 的距离d ＝????? ???DA →·n |n|＝33. 【答案】 C 4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( ) A ．5 B ．41 C ．4 D ．2 5 【解析】 设AD →＝λAC → ，D (x ，y ，z )． 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ，