《高等代数(上)》：学习笔记
这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正
差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。
第一章 行列式
§1.1 定义
D =|
2314|=2×4?3×1=5 A =[2314]≡(23
14
) 这是行列式（或写为|D|）
这是矩阵，注意区别
{a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1
a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=
b 2a 31x 1+a 32x 2+a 33x 3=b 3
这是三元线性方程组
=|a 11
a 12a 13
a 22a 23a 32a 33
|
=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32
?a 11a 23a 32?a 12a 21a 33?a 13a 22a 31
§1.2 逆序数
τ
§1.3 n 阶行列式的代数和
D =|
a 11a 12?a 1n a 21a 22
?a 2n
????a n1a n2nn
=τ(j 1,j 2,?,j n )(j 1,j 2,?,j n )a 1j 1a 2j 2?a nj n
§1.4 行列式性质
1、行列式转置值不变： D T =D
2、k 可以乘上某行(列)： kD row i
3、加法：某行之和 展开为两行列式之和： D row (a +b )=D row (a )+D row (b )
4、互换两行(列)：负号
D row i ?row k =?D
3阶行列式
右下斜线为正 左下斜线为负
代数和
n 阶排列，有n!个
逆序数 偶排列，正号
奇排列，负号
阶排列
5、两行相同(成比例)：零值D row
i =k×row k
=0
6、某行乘以k加到另一行：值不变D k×row
i +row k
=D
§1.5 代数余子式
(?1)i +j M ij
|D |=a k1A k1+a k2A k2+?+a kn A kn (k =1,2,?,n )即展开第k 行(列)
§1.6 范德蒙行列式
|D |=
|
1
1
1
?
1a 1a 2a 3?a n a 1
2a 22a 32?a 2??a 1
n ?1a 2n ?1a 3
n ?1n
=
∏(a i ?≤j
第二章 线性方程组
§2.1 克莱姆法则
D 1=|b 1
a 12a 13
b 2
a 22a 23
b 3a 32a 33
| D 2、D 3 类似左边 解集：x i =D i D
(D ≠0) 当D ≠0时，方程组有唯一解：x 1=
D 1D
,x 2=
D 2D
,x 3=
D 3D
.(D ≠0)
§2.2 消元法
初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。 如果线性方程组D ≠0，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。
§2.3 数域 P：包含0、1且任意两个数的基本运算仍属于P。如实数R，有理数Q，复数C
§2.4 n 维向量
余子式：删去i, j 所在的行与列后得到的n-1阶行列式
所在行列的和(同等于逆序数τ)
表示所有可能的差 i>j 如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)
只有当常数项b 不全为零时，且s=n 时才可用克莱姆法则
系数行列式 (b 在1列)
该解法适用于n 阶
n 维基本向量组
n 阶行列式
α=(a1,a2,a3,?,a n )(ε1,ε2,ε3,ε4,)=1000 0100 0010 0001
数量乘积：kα零向量：0负向量：?α行向量与列向量：αrow(column)
§2.5 线性相关
=k
线性相关充要
? k 有解充要
?
可线性表出充要
? 系数矩阵r =增广矩阵r
向量组等价：(α1
,α2,?,αn )互相线性表出
? (β1,β2,?,βn )
k 1α1+k 2α2+?+k s αs =0
极大线性无关组：每个向量αi 都不能被前面某些向量线性表出
例
§2.6 秩
rank=极大线性无关组的向量个数
行秩＝列秩＝行列式秩(D 最高阶子式≠0)
§2.7 求全部解和基础解系的步骤
第一步：求梯阵 增广矩阵A 初等变换
→ 梯阵 第二步：求一般解 求x 1,x 2,?,x r 的一般解
由向量组
rank=n ，有唯一解 rank 3≠k 1α1+k 2α2 详见书P154-155页 例6 注：如果是求矩阵化和求特征值， 常数项为0 第四步：求齐次的一般解使常数b=0，求一般解x1,x2,?,x r 第五步：求基础解系将εi代入自由x，求基础解系η1,η2,?,ηn?r 第六步：答：得全部解 = +k1 εi即n维基本向量组即x r+1,x r+2,?,x n?r 第三章 矩阵 附1：矩阵名词汇总： 方阵： s =n 系数矩阵： s ×n 增广矩阵： s ×(n +b ) 梯阵： 左下=0 约化梯阵： 左下0，元首1 三角矩阵： 左下0，s =n 对角矩阵： Λ除对角线，余为0 单位矩阵： E，对角1 零矩阵： O，全0 数量矩阵： kE 转置矩阵： A T 分块矩阵： [????? ] 满秩矩阵： rank =n 逆矩阵： A ?1 伴随矩阵： A ? 等价矩阵： A 初等变换 ? B 初等矩阵： E 初等变换一次 正交矩阵： AA T =E，|A |=±1 相似矩阵： A ~B ,B＝X ?1AX 约当形矩阵： 二次形矩阵：详看§5.1 实对称矩阵：实数，对角线对称 (半)正定矩阵：λ全(≥)>0 (半)负定矩阵：λ全(≤)<0 不定矩阵： λ不全>ii <0 标准形矩阵：对角线1 or 0 附2：一般n 维线性方程组、s ×n 维矩阵、n 维向量组的表示法 f (x 1,x 2,?,x n )={a 11x 1+a 12x 2+?+a 1n x n =b 1a 21x 1+a 22x 2+?+a 2n x n =b 2 ???????????a s1x 1+a s2x 2+?+a sn x n =b s Rank 即矩阵的秩 b 即系数 左下：对角线左三角形 对角线上的元素 λ即特征值 注：b i 全为0时，称齐次线性方程组 b i 不全为0时，称非齐次线性方程组 AX=B? [a11a12?a1n a21a22?a2n ?????? a s1a s2?a sn][ x1 x2 ? x n] = [ b1 b2 ? b s] β=k1α1+k2α2+?+k nαn α1=(a11,a21,?,a s1) α2=(a12,a22,?,a s2) ????????? αn=(a1n,a2n,?,a sn) β=(b1,b2,?,b s) 注：s为行数，n为列数(未知数个数) 附：有的书行数用m表示 注：这个k i既可理解为：基础解系ηi的系数k i 也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素λ1 还可以理解为：二次型|λE?A|的特征值λ1(同上句) 附：本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量，但王老师 或某书中用“α?”表示，我认为不错，不易混淆。 §3.1 矩阵运算 1、加(减)法： A ±B 性质： 交换律：A ±B =B ±A 结合律：A +(B +C )=(A +B )+C 2、乘法： C =A ×B 性质： AB 不一定=BA （当AB =BA，称可交换） AE =EA =A 结合律：A (BC )=(AB )C k 次幂：A k ?A l =A k +l (A k )l =A kl 非交换律：(AB )k ≠A k B k §3.2 分块 分块后矩阵的基本运算依然等价 A ? B =[A 1 A 2A 3 A 4][ B 1B 2 B 3 B 4]=[A 1B 1+A 2B 3A 1B 2+A 2B 4 A 3 B 1+A 4B 3A 3B 2+A 4B 4 ] §3.3 逆矩阵 伴随矩阵：A ?=[ A 11A 21?A n1A 12A 22?A n2 ???????A 1n A 2n ?A nn ] 求逆公式：A ?1 = 1|A | A ? §3.4 等价矩阵 等价矩阵：A 初等变换 → B 初等矩阵：由E 做1次初等变换 各个元素对应相加（减），即a ij ±b ij 注：A 的|row|=B 的|column| 例：AB = 0?25?5 0?544?1 ] 1、求a ij 的代数余子式A ij 2、对应的元素要转置 c ij =a i1b 1j +a i2b 2j +?+a in b nj 详见书P183页 AB 标准形：同时做行、列变换，对角线为1的个数＝r 用单位矩阵求逆：[AE]行变换 →[EA?1]附：这是一个求逆的简便方法，但易出错， 3阶矩阵建议用求逆公式。 §3.5 正交矩阵 性质: AA T =A T A =E |D |=±1 =a b +a b +?+a b =0 内积性质： 正交化： 单位化： = βi |βi | 第四章 矩阵的对角化 §4.1 相似矩阵 A ~B 1、反身性：A ~A 2、对称性：A ~B →B ~A 3、传递性：A ~B ,B ~C →A ~C 4、行列式等值：|A |=|B | 5、同时可逆or 不可逆 6、B 1+B 2=X ?1(A 1+A 2)X 7、B 1B 2=X ?1(A 1A 2)X 向量组的内积 内积公式 又称正交向量组， α,β一定线性无关 α1,α2,?,αn 线性无关，求正交化的β1,β2,?,αn 的公式 详见书P219页 例1 注：|βi |=√(β1,β1) 正交向量组 B =X ?1AX 11、有相同的特征多项式 12、有相同的特征值 13、有相同的迹（即对角线元素个数） 这里我设ηi =(h 1i ,h 2i ,?,h si )，数学中并没有明确规定符号 例：[ 121 2√22012 12√22012?120√2 212?12 √22 ] 任意两行或列的内积必为0 （又称归一化） β2=α2?c 2，且有矩形0β2α2c 2 β3=α3?c 3，且有矩形0β3α3c 3 β2 α分配律：(α+β)?γ=(α,γ)+(β,γ) 结合律：(α,β)γ=α(β,γ) 交换律：αβ=βα 8、kB1=X?1(kA1)X 9、f(B)=X?1f(A)X 10、kE=X?1(kE)X 对角矩阵：[a1,a2,a3,?,a n] 准对角矩阵：[A1,A2,A3,?,A n]注：这里的A i是指分块矩阵，不是代数余子式 §4.2 特征值和特征向量 求全部特征向量的步骤： 第一步：列出特证多项式 == |λ?a 11a 12??a 1n ?a 21λ?a 22 ? ?a 2n ?????? ?a n1 ?a n2?λ?a nn | =(λ 1?d 1)(λ2?d 2)?(λ3?d n ) 第二步：求λ的解 注：考虑是在Q 、R 、C 数域范围内，特征根的个数不同 将λi 代入|λE ?A |，求基础解系 见§2.7第五步 第四步：答：得特征向量 §4.3 对角化条件 B =X ?1 AX §4.4 实对称矩的对角化 求正交矩阵T 的步骤 第一步：求特征值 即|λE ?A |，求λ 见§4.2 第二步：求λ1的特征向量 λ1代|λE ?A |，求基础解系α1 见§2.7第五步 第三步：求特征向量α1的正交化β1,β2,?,βn 见§3.5 n 特征值 ) 特征矩阵 属于λ1的特证向量：k 1α1+k 2α2+? 属于λ2的特证向量：l 1β1+l 2β2+? 详见书P241页 例1 等价于基础解系，只是表示方法略不同 A 与对角矩阵相似，称A 对角化 充要：有n 充要：有n 个线性无关的特征向量， 即n 个不同的特特征值 X 即A 的特征向量构成的矩阵 任何实对称矩阵都可以对角化 详见书P257页 例1 d i 是系数 条件 即 注：X ，即A 的特征向量构成的矩阵，X 不是唯一的。 第四步：求单位化η1,η2,?,ηn见§3.5 第五步：重复第二、三、四步，with λ2,λ3,?,λn 第六步：得正交矩阵T=[η1η2?ηn]=[h11h12?h1n h21h22?h2n ???? h n1h n2?h nn ]注：有时候会有重复个相同的特征值的特征向量 第五章二次型 §5.1 二次型及矩阵表示 合同矩阵：A?B即B=C T AC 性质： 1、反身性：A?A 2、对称性：A?B→B?A 3、传递性：A?B,B?C→A?C 4、|B|=|C|2|A| §5.2 正交替换化为标准形步骤 第一步：化为二次形矩阵将二次齐次多项式写成二次形矩阵 第二步：求特征值λ1求|λE?A|的特征值λ1见§4.2 第三步：求基础解系λ1代入|λE?A|求基础解系见§2.7第四步：求正交化和单位化见§3.5 第五步：重复三、四步，with λ2,λ3,?,λn 第六步：将全部单位化向量表示为正交矩阵T 第七步：答：得X=TY→ {x1=a11y 1 +a12y 2 +?+a1n y n x2=a21y 1 +a22y 2 +?+a2n y n ??????????? x n=a n1y 1 +a n2y 2 +?+a nn y n 详见书P275-277页例1 注：合同的不一定相似 注：数学中没有明确规定单位化 向量中元素的符号，如将a ij改h ij 将便于与§4.2理解 第八步：答：得标准形：λ1y12+λ2y22+?+λn y n2这是标准形，是平方和形式 §5.3 非退化线性为标准形（略） [A E ]→[Λ T ] [A |E ]→[Λ|T ] §5.4 规范形 任意二次型都可替换为 → 标准形 任意二次型都可替换为 → 规范形 2 2222 §5.5 正定二次型 充要条件： 1、其标准形的系数 λi >0 2、其规范形的正惯性指数 p =r 3、有可逆矩阵C ，使二次型 A =C T C 4、二次型的特征值 λi >0 注：这和第1点是同一个概念 5、所有的主子式 |M |>0 注： 有的书称为顺序主子式，即从a 11→a ii 所构成的行列式值 正定矩阵：即 λi >0 所有的主子式|M |>0 负定矩阵：即 λi <0 所有的奇阶主子式|M |<0且偶阶主子式|M |>0 半正定矩阵：即 λi ≥0 半负定矩阵：即 λi ≤0 不定矩阵：即 λi >ii <0 第八章 线性空间 §8.1 定义与性质 线性空间条件 α?β=γ δ=k °α 性质： 详见书P278页整节 一定是对角矩阵，且不是唯一的，原二次型r=对角非零元素个数 一定是对角矩阵，是唯一的，原二次型r=对角非零元素个数 这是规范形，是平方和形式 ：即p ：即r-p 符号差：即两个相减，正惯性指数－负惯性指数 注：规范形由z i =√λi y i 得来，去掉0元素 方法：先做列变换，后做对称的行变换（先列后先，这称一个变换周期），直到使A 为对角矩阵，则T 即使X=TY 方法：方法同上，但是先行后列，且最后得到的T 要转置 注意：用非退化线性求出来的矩阵与原矩阵是合同关系，非相似！！！ α,β,γ,δ∈V k,l ∈P 称V 为数域P 上的线性空间 1、交换律：α?β=β?α5、壹律：1°α=α 2、结合律：(α?β)?γ=α?(β?γ)6、结合律：k(l°α)=(kl)°α 3、零律：α?Ο=α注：Ο元素不一定是07、向量分配律：(k+l)°α=k°α?l°α 4、负律：α?β=Ο注：β即?α8、数量分配律：k°(α?β)=k°α?k°β 注：”?”即向量加法，”°”即向量乘法，但这只是为了区别通常加(乘)法，所以有时用普通符号”+”, ”×” ,”?”表示也可以的。 求V是否为线性空间的方法： 1、根据题目给定的向量加法和数乘的定义 2、证明在该定义下V都符合以上8个性质§8.2 向量组的线性关系 =k 性质： （即总结上册所有知识） 1、任一αi都可由α1,α2,…,αs线性表出，则线性相关 2、k i不全为0，使k1α1+k2α2+?+k sαs=0成立，线性相关；反之k i为0时等式才成立，线性无关 3、向量组有Ο零向量，则线性相关 4、部分向量组线性相关，则向量组也线性相关 5、至少有一α1可由其余向量线性表出，则线性相关（注意区分第1点） 6、α1,α2,…,αs线性无关，但β可由其线性表出，则α1,α2,…,αs,β线性相关 7、|D|=0，则线性相关；|D|≠0，则线性无关 8、α1,α2,…,αs互相线性表出 ? β1,β2,…,βs，称等价的 9、α1,α2,…,αs可由β1,β2,…,βt线性表出，且s>t，则α1,α2,…,αs线性相关 如果α1,α2,…,αs是线性无关，那么s≤t 10、在α1,α2,…,αs中，部分向量组线性无关，但添加其余向量后线性相关，称极大线性无关组 11、α1,α2,…,αs都可由部分向量组(线性无关)线性表出，后者称极大线性无关组 12、β1,β2,…,βs中，每个βi不能被β1,β2,…,βi?1(即βi前面向量组)线性表出，线性无关(βi≠0且i≥2) 13、向量组中，任一极大线性无关组 等价 ?原向量组等价 ?另一个极大线性无关组 14、线性无关组，其秩r=s 15、α1,α2,…,αs可由β1,β2,…,βt线性表出，则秩r(α)≤r(β)相等； 向量组等价，则秩r相等； 秩r相等且αi可由β1,β2,…,βt线性表出，则向量组等价。 §8.3 维数、基、坐标 n维线性空间：V中有n个向量线性无关，但当n+1个向量时线性相关 无限维线性空间：V中有任意多个线性无关的向量 由α1,α2,…,n αi∈V k i∈P 系数 重述一些符号定义： 0、a, b, c,…表元素 1、k, l, m,…表系数 2、α, β, γ,…表向量 3、x, y, x,…表未知数 4、下标1, 2, 3,…表第几个数 5、下标i, j ,k, ,…表任一个数 6、下标s, m ,n,…表总个数 性质推广： 1、α?β?…?η，其加法不计先后 2、Ο是唯一的 3、?α由α唯一确定 4、α?β=α?γ则β=γ 5、k=0或α=Ο时，充要kα=Ο 6、(?k)α=?kα △这个证明需要多做题练习掌握 注：此定义雷似极大线性无关组 零空间：维数n=0 V是n维的条件：V中任意向量都可由α1,α2,…,αn线性表出 = a V 为书写简便，定义符号：（自创, 考试勿用） [ x? ]表示[ x1 x2 ? x n ]，[x?]表示[x1x2?x n] 附加说明：对于这种常见的线性表出，已出 现多次，它们的性质意义是一样的，只是叫 法不同，应该提升到一个规律性的认识。 εx= ′ ′ V 矩阵表示 →换个字母 →
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