应用MATLAB实现抽样定理探讨及仿真
课程设计的目的
利用MATLAB仿模信号抽样与恢复系统的实际实现，探讨过抽样和欠抽样的信号以及抽样与恢复系统的性能。
二.课程设计的原理
模拟信号经过（A/D）变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率
fs，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，
这称之为采样定
理。时域采样定理从采样信号_.. ：1 i恢复原信号「［I
必需满足两个条件：
（1）；必须是带限信号，其频谱函数在
才能适用采样定理。）
叫〉2 %（或￡> 2几）。（对取样频率的要求，即取样频率要
即.—id （in为连续信号GL的有限频谱），则采样离散信号''能无失真地恢复到原
来的连续信号心。一个频谱在区间（-三乙，口二）以外为零的频带有限信号Ji ，可唯一地由域采样定理直接推出频域采样定理。
f o
（t）
恢复信号
由| > % 各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号
（2）取样频率不能过低，必须
足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率—-大于或等于
二）上的样点值八：所确定。
根据时域与频域的对称性，可以由时
其在均匀间隔
2
其傅立叶变换为
s ( n s ),其中s ——。设F(j )，F s (j )分别为f(t)，f s (t)的 n T s
傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得
1 1
F s (j ) —F(j )* s (
n s ) - F[j( n s )]
2
n
I s n
若设f (t)是带限信号，带宽为
m
, f(t)经过采样后的频谱 F s (j )就是将F(j )在频率轴
1/T s
A/\ A
(c)
b) 高抽样频率时的抽样信号及频谱 c)
低抽样频率时的抽样信号及频谱
(不混叠) (不混叠) (混叠)
2.1信号采样
如图1所示，给出了信号采样原理图
相乘
—:
- >
0)
r
(a )
由图1可见，f s (t) f (t)
Ts
(t)，其中，冲激采样信号
T
s (t)的表达式为:
(t)
n
(t nT s )
等抽样频率时的抽样信号及频谱 a)
上搬移至0, s, 2s, , ns,处(幅度为原频谱的1 T s倍)。因此，当s 2 m时，频谱不发生
2.1.3信号重构
设信号f(t)被采样后形成的采样信号为f s(t)，信号的重构是指由f s(t)经过内插处理后，恢复出原来信号f (t)的过程。又称为信号恢复。
若设f(t)是带限信号，带宽为m，经采样后的频谱为F s(j )。设采样频率s 2 m，则由式
(9) 知F s(j)是以s为周期的谱线。现选取一个频率特性H(j T s )
c
(其中截止
c
频率c满足m c 丁)的理想低通滤波器与F s(j)相乘，得到的频谱即为原信号的频谱
F(j)。
显然，F(j ) F s(j )H(j )，与之对应的时域表达式为
f (t) h(t)* f s(t) ( 10)而
f s(t) f(t) (t nT s) f(nT s) (t nT s)
n n
h(t) F 1[H(j )] T s」Sa(対
将h(t)及f s(t)代入式(10)得
f(t) f s(t)*T s—Sa(」) J f(nT s)Sa[ c(t nT s)] (11)
n
式(11)即为用f( nT s)求解f(t)的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数
Sa( c t)在此起着内插函数的作用。
三、抽样定理的仿真和探讨
3.1.1 Sa(t)的临界采样及重构图
当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即s 2 m时，称为临界采样.修改门
信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。
混叠；而当 2 m时，频谱发生混叠。
程序运行结果： 3.1.2 Sa(t) 的过采样及重构
当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的
2 倍，即
在不同采样频率的条件下， 观察对应采样信号的时域和频域特性， 程序运行结
果：
3.1.3 Sa(t) 的欠采样及重构 当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的 2
倍，即
波的方法修改实验中的部分程序，完成对采样信号的重构。
程序运行结果：
误差分析：绝对误差error 已大为增加，其原因是因采样信号的频谱混叠，使得在 c 区域内的
频谱相互“干扰”所致。
2 m 时，称为过采样 .
以及重构信号与误差信号的变化。
2 m 时，称为过采样。利用频域滤
四、课题研讨的小结
该课程设计使我们对采样定理的一些基本公式得到了进一步巩固。在整个实验过程中，我们查
阅了很多相关知识，从这些书籍中我们受益良多。虽然学习过采样过程和恢复过程，但是认识不深，实践能力也有所欠缺，通过这次实验对采样过程和恢复过程有了进一步掌握。
通过实验的设计使我们对采样定理和信号的重构有了深一步的掌握，也让我们在实践的过程中
了解到团队合作的重要性。虽然在实验过程中出现很多错误，但是在老师的帮助和团队成员的齐心协力下，不断的修正错误，同时也学会了MATLAB^信号表示的基本方法及绘图函数的调用。虽然刚
开始我们对MATLAB勺基本使用方法没有太深刻的认识，但是该实验使我们对MATLAB函数程序的基
本结构有所了解，也提高了我们独立完成实验的能力和理论联系实际的应用能力。
通过这次课程设计，我们不仅学到了学科知识，锻炼了实践能力，更重要的是学到了学习的方
法和团队合作的重要性。我们团队分工有序，每个人都能按时完成各自的任务。在遇到问题时，大
家都能够互相理解，互相帮助，最后圆满完成课题！
附录：
一、Sa(t)的临界采样及重构
1.Sa(t)的临界采样及重构程序代码；
wm=1;
wc=wm;
Ts=pi/wm;
ws=2.4*pi/Ts;
n=-100:100;
nTs=n*Ts;
f=sinc(nTs/pi);
Dt=0.005;t=-20:Dt:20;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
grid;
2. 程序运行运行结果图与分析
图3.1.1 Sa(t) 的临界采样及重构图 运行结果分析：为了比较由
采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以计算出两信号的绝对误差。当 数据越大，起止的宽度越大。 二、 Sa(t) 的过采样及重构 1.Sa(t) 的过采样及重构程序代码；
wm=1; wc=1.1*wm; Ts=1.1*pi/wm; ws=2*pi/Ts;
subplot(311); plot(t,fa) xlabel('t'); ylabel('fa(t)');
title('sa(t)=sinc(t/pi) grid; t1=-20:0.5:20; f1=sinc(t1/pi); subplot(312); stem(t1,f1); xlabel('kTs'); ylabel('f(kTs)');
title('sa(t)=sinc(t/pi) grid; subplot(313); plot(t,fa) xlabel('t'); ylabel('fa(t)');
title(' 由 sa(t)=sinc(t/pi)
的原信号 ');
的临界采样信号 '); 的临界采样信号重构 sa(t)');
t 选取的