2020年秋北师大版九年级数学上册第四章图形的相似培优测试卷
一、选择题（共10题；共30分）
1.下列各组线段中，能成比例的是（）
A. 1 cm，3 cm，4 cm，6 cm
B. 2 cm，1 cm，4 cm，1.5 cm
C. 0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cm
D. 3 cm，4 cm，6 cm，8 cm
2.已知两数x ，y ，且3x＝2y ，则下列结论一定正确的是（）
A. x＝2，y＝3
B. x
3＝y
2
C. x+y
y
＝5
3
D. x+2
y+3
＝2
3
3.如图，直线a //b //c，AB＝4
5
BC，若DF＝9，则EF的长度为( )
A. 9
B. 5
C. 4
D. 3
4.如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )
A. 2 cm2
B. 4 cm2
C. 8 cm2
D. 16 cm2
5.如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.8米的小明同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m, BC=8m,则旗杆的高度是( )
A. 6.4m
B. 7m
C. 8m.
D. 9m
6.已知△ABC∽△DEF ，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（）
A. 60
B. 70
C. 80
D. 90
7.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩
形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1
4
，那么点B′的坐标是（）
A. （－2，3）
B. （2，－3）
C. （3，－2）或（－2，3）
D. （－2，3）或（2，－3） 8.如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ， 点G 在线段AD 上，GE//BD ， 且交AB 于点E ， GF//AC ， 且交CD 于点F ， 则下列结论一定正确的是（ ）
A.
AB
AE
=AG AD B. DF CF =DG AD C. FG AC =EG BD D. AE BE =CF
DF 9.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， AB =6 ， BC =8 ，过点 O 作 OE ⊥AC ，交 AD 于点 E ，过点 E 作 EF ⊥BD ，垂足为 F ，则 OE +EF 的值为（ ）
A. 485
B. 325
C. 245
D. 12
5
10.在正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，把△ABE 沿直线AE 折叠，B 点落在点B ′处，B ′B 与AE 交于点F ，连接AB ′，DB ′，FC.下列结论：①AB ′=AD ；②△FCB ′为等腰直角三角形；③∠CB ′D=135°；④BB ′=BC ；⑤ AB 2=AE ?AF .其中正确的个数为（ ）.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题（共8题；共24分）
11.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE 不行于BC ，添加一条件能使△ABC ∽△ADE 的是________.
12.如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为________．
13.若x∶y∶z=2∶3∶4，则2x+3y?z
的值为________.
x?y+2z
14.如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，
点O是线段AG的中点，若AD：DB=3：1，则AO：OH=________.
15.如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，则电线杆AB的高为________米．
16.如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是________．
17.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2，点E和点F分别为AD,CD上的点，将△DEF沿EF翻折，使点D落在BC上的点M处，过点E作EH//AB交BC于点H，过点F作FG//BC交AB于点G .若四边形ABHE与四边形BCFG的面积相等，则CF的长为________.
18.如图，在矩形ABCD中，E,F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M ，N ．已知AB=4，BC=6，则MN的长为________．
三、解答题（共8题；共66分）
19.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD ，CD⊥BD ，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD ．
20.为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.
21.图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点为格点，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法．
（1）在图①中画出△ABC边BC上的中线AD，则S△ABD=________．
（2）在图②中画出△BEF，点E、F分别在边AB、BC上，满足△BEF~△BAC，且S△BEF:S△BAC= 1:4；
（3）在图③中画出△BMN，点MN分别在边AB、BC上，使得△BMN与△BAC是位似图形，且
（保留作图痕迹）
点B为位似中心，位似比为1
3
22.如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD ，∠CBD＝∠A ，过D作DH∥AB ，交BC的延长线于点H ．
（1）求证：△HCD∽△HDB ．
（2）求DH长度．
23.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C 移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A 移动，设它们的运动时间为t．
（1）根据题意知：CQ=________，CP=________；（用含t 的代数式表示）；
（2）t为何值时，△CPQ 的面积等于1？
（3）运动几秒时，△CPQ 与△CBA 相似？
24.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且AD?OC=AB?OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G.
（1）求证：CE⊥AB．
（2）求证：AF?DE=AG?BC .
25.如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD+CD．
图1 图2
（1）过点A作AE//DC交BD于点E，求证：AE=BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD′．
①求证：BD′//CD；
②若AD′//BC，求证：CD2=2OD?BD．
26.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发，沿线段AB以每秒
5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB，交折线AC?CB 于点Q，过点P、Q分别平行于BC、BA的直线相交于点R．设点P运动的时间为t秒，△PQR与△ABC 重叠部分的面积为S．
（1）直接写出线段PQ的长．（用含t的代数式表示）
（2）当点R落在边AC上时，求t的值．
（3）当△PQR与△ABC重叠部分图形为三角形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）直接写出AQ或PC平分△PQR面积时t的值．
答案
一、选择题
1.解：A、1×6≠3×4，故不符合题意；
B、1×4≠2×1.5，故不符合题意；
C、0.1×0.4≠0.2×0.3，故不符合题意；
D、3×8=4×6，故符合题意．
故答案为：D．
2.解：A、当x=2时，y=3，但不是x一定等于2，y一定等于3，故A不符合题意；
B、3x=2y，则x
3=y
2
，故B不符合题意；
C、由3x=2y，得x
y =2
3
，则x+y
y
=5
3
，故C符合题意；
D、由3x=2y，得x
y =2
3
，不能得到x+2
y+3
=2
3
，故D不符合题意.
故答案为：C.
3.解：∵l1//l2//l3，根据平行线分线段成比例可知，
AB BC =DE
EF
=
4
5
，设DE=4t，EF=5t，
又∵DF=9，其中DF=DE+EF=9t=9，解得：t=1，∴EF=5t=5，
故答案为：B.
4.解：设留下矩形的宽为xcm，
∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴x
4=4
8
，
解得x=2
则留下矩形的面积为2×4=8(cm2) . 故答案为：C.
5.解：设旗杆高度为h，
由题意得 1.8
h =2
2+8
，
解得：h=9米．
故答案为：D．
6.解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴面积比为4：9，
∵△ABC的面积为40，
∴△DEF的面积为90，
故答案为：D ．
7.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换。∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC。
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1
4，∴位似比为：1
2
。
∵点B的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）。故答案为：D。
8.解：∵GE//BD
∴?AEG~?ABD
∴AE
AB =AG
AD
∴?DFG~?DCA ∴A不符合题意，∵GF//AC，
∴DF
CF =DG
AG
，
∴B不符合题意，
∵?DFG~?DCA，?AEG~?ABD，
∴FG
AC =DG
DA
，EG
BD
=AG
AD
，
∴FG
AC ?EG
BD
=1，
∴C不符合题意，
∵GE//BD，GF//AC，
∴AE
BE =AG
GD
=CF
DF
，
∴D符合题意，
故答案为：D．
9.∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°∵AB=6，BC=8
∴AD=BC=8，DC=AB=6
∴AC=√AB2+BC2=10，BD=10，
∴OA=1
2
AC=5，
∵OE⊥AC，∴∠AOE=90°
∴∠AOE=∠ADC，
又∠CAD=∠DAC，
∴△AOE～△ADC，
∴AO
AD =AE
AC
=EO
CD
，
∴5
8=AE
10
=EO
6
，
∴AE=25
4，OE=15
4
，
∴DE=7
4
，
同理可证，△DEF～△DBA，
∴DE
BD =EF
BA
，
∴
7
4
10
=FF
6
，
∴EF=21
20
，
∴OE+EF=15
4+21
20
=24
5
，
故答案为：C．
10.解：①∵点B′与点B关于AE对称
∴△ABF与△AB′F关于AE对称∴AB=AB′∵AB=AD∴AB′=AD
故①项正确；
②如图，连接EB′
则BE=B′E=EC, ∠FBE=∠FB′E, ∠EB′C=∠ECB′∴∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°
即△BB′C为直角三角形
∵FE为△BCB′的中位线∴B′C=2FE∵△B′EF～△AB′F∴FE
FB′=EB
AB
=1
2
故FB′=2FE∴
B′C=FB′
∴△FCB′为等腰直角三角形
故②项正确；
③设∠ABB′=∠AB′B=x°，∠AB′D=∠ADB′=y°
则在四边形ABB′D中，2x+2y+90°=360°
即x+y=135°
又∵∠FB′C=90°∴∠DB′C=360°?135°?90°=135°
故③正确；
④∵∠BB′C=90°∴BB′ ⑤∵∠ABE=90°，BF⊥AE∴∠ABE=∠AFB=90°∵∠BAF=∠BAF∴△ABF～△AEB∴AB AE = AF AB ∴AB2=AE?AF 故⑤正确. 故答案为：C. 二、填空题 11.解：∵∠A＝∠A， ∴添加∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C或AD AE =AC AB ， ∴△ABC∽△ADE， 故答案为：∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C或AD AE =AC AB . 12.解：∵AE∥BC ∴△AEG∽△BFG ∴BG：GA=3：1=BF：AE ∵D为AC边上的中点 ∴AE：CF=1：1 ∴AE=CF ∴BF：AE=（CF+BC）：AE=3：1 ∴（AE+10）：AE=3：1 解得：AE=5． 故答案为：5． 13.解：因为y：z=2：3：4，可设x=2k，y=3k，z=4k， 所以2x+3y?z x?y+2z =2×2k+3×3k?4k 2k?3k+2×4k =9 7 . 故答案为：9 7 . 14.解：∵AD：DB=3：1 ∴AD=3DB ∴AB=AD+BD=4DB ∵DE∥BC ∴AH AG =AD AB =AD AD+BD =3DB 4DB =3 4 ∴AH=3 4 AG 又∵AO=1 2 AG ∴OH=AH-AO=1 4 AG ∴AO：OH=2:1. 15.解：过C点作CG⊥AB于点G， ∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米，∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，∴∠NFM＝∠ACG， ∴△NMF∽△AGC， ∴MN AG =MF GC ， ∴AG＝MN?GC MF =1×3 0.5 ＝6， ∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8(米)， 故电线杆AB的高为8米 故答案为8． 16.解：如图，过点A作AM⊥BC于M， ∵△ABC的BC边上的高是3， ∴AM=3， ∵四边形DEFG是正方形， ∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM， ∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM， ∴AG AB =GF BC ，BG AB =DG AM ． ∴AG AB +BG AB =GF 4 +GF 3 =1． ∴GF= 12 7 ． 故答案为：12 7 ． 17.解：∵四边形ABCD为矩形 ∴CD=AB=1,AD=BC=2,AD//BC,AB//CD,∠A=∠D=∠B=∠C=90° 设CF=x，则DF=1?x， 又∵EH//AB，AE//BH,∠A=90° ∴四边形ABHE是矩形，同理可得四边形BCFG是矩形 ∴矩形BCFG的面积=BC?CF=2x，矩形ABHE的面积=AB?AE=AE，且EH=AB=1,∠EHM= 90° ∵四边形ABHE与四边形BCFG的面积相等∴AE=2x∴DE=2?2x 由翻折得ME=DE=2?2x，MF=DF=1?x，∠EMF=90° 在Rt△MCF中，由勾股定理得MC=√(1?x)2?x2=√1?2x ∵∠HEM+∠HME=90°，∠HME+∠FMC=90°∴∠HEM=∠FMC 又∵∠EHM=∠C=90°∴△EHM～△MCF ∴EH MC =EM MF ，即 √1?2x =2?2x 1?x ，化简得1?2x=1 4 解得x=3 8 所以CF的长为3 8 . 故答案为：3 8 . 18.解：过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H， 由题意可知：EH∥BC， ∴△BEG∽△BAF， ∴BE AB =EG AF =BG GF ， ∵AB=4，BC=6，点E为AB中点，F为AD中点，∴BE=2，AF=3， ∴2 4=EG 3 ， ∴EG= 3 2 ， ∵EH∥BC， ∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM， ∴EG DF =NG NF =EN DN ，EG BC =MG MB =EM CM , ∴32 3=NG NF ，32 6 =MG MB ， 即NG NF =1 2 ，MG MB =1 4 ， ∴2NG=NF，4MG=MB，∵E为AB中点，EH∥BC，∴G为BF中点， ∴BG=GF= 1 2BF= 1 2 √AB2+AF2=5 2 ， ∴NG= 1 3GF= 5 6 ，MG= 1 5 BG= 1 2 ， ∴MN=NG+MG= 4 3 ， 故答案为：4 3 . 三、解答题 19. 解：由题意知：∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，∴△ABP∽△CDP， ∴AB CD = BP DP ， 得：2 CD = 3 12 ， 解得：CD=8． 答：该古城墙CD的高度为8米．故答案为CD=8米． 20.解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，∴SO∥AB， ∴△ABC∽△SOC， ∴BC BC+OB ＝AB OS ，即1 1+OB =1.5 h ， 解得OB ＝ 2 3 h ﹣1①， 同理，∵A ′B ′⊥OC ′， ∴△A ′B ′C ′∽△SOC ′， ∴ B ′ C ′B ′C ′+BB ′+OB = A ′ B ′OS ， 1.81.8+4+OB = 1.5h ②， 把①代入②得， 1.8 5.8+23 h?1=1.5h ， 解得：h ＝9（米）. 答：路灯离地面的高度是9米. 21. （1）解：如图所示， AD 即为所求， S ΔABD =1 2×3×4=6 ； （2）解：由 △BEF~△BAC ，且 S △BEF :S △ BAC =1:4 可知， 点E 、F 分别是BA 、BC 的中点， 如图所示， ΔBEF 即为所求； （3）解：如图所示， ΔBMN 即为所求． ． 22.（1）证明：∵DH ∥AB ， ∴∠A=∠HDC ， ∵∠CBD=∠A ， ∴∠HDC=∠CBD ，又∠H=∠H ， ∴△HCD ∽△HDB ； （2）解：∵DH ∥AB ， ∴ CD AC =CH BC ， ∵AC=3CD ， ∴1 3=CH 3 ， ∴CH=1， ∴BH=BC+CH=3+1=4， 由（1）知△HCD∽△HDB， ∴DH BH =CH DH ， ∴DH2=4×1=4， ∴DH=2（负值舍去）． 答：DH的长度为2． 23. （1）t；4?2t （2）解：∵S△CPQ=1 ∴1 2 (4?2t)?t=1 (2?t)?t=1 t2?2t+1=0 t1=t2=1 （3）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解， ①若Rt△ABC∽Rt△QPC则CP CQ =CB CA ，即4?2t t =4 3 ，解得t=1.2； ②若Rt△ABC∽Rt△PQC则CP CQ =CA CB ，即4?2t t =3 4 ，解得t= 16 11 ； 由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2， 验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件． 答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或16 11 秒． 解：（1）经过t秒后，PC=4-2t，CQ=t； 24. （1）证明：∵AD?OC=AB?OD， ∴AD OD =AB OC . ∵BD是AC边上的高， ∴∠BDC = 90°，△ADB和△ODC是直角三角形. ∴Rt△ADB∽Rt△ODC. ∴∠ABD =∠OCD. 又∵∠EOB=∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC=180°，∠EOB +∠ABD+∠OEB =180°. ∴∠OEB = 90°. ∴CE⊥AB. （2）证明：在△ADB和△AEC中，∵∠BAD=∠CAE，∠ABD =∠OCD，∴△ADB∽△AEC. ∴AD AE =AB AC ，即AD AB =AE AC . 在△DAE和△BAC中 ∵∠DAE =∠BAC，AD AB =AE AC . ∴△DAE∽△BAC. ∵AF是∠BAC的平分线， ∴AG AF =DE BC ，即AF?DE=AG?BC . 25. （1）解：连接CE， ∵AE//DC， ∴∠OAE=∠OCD， ∵∠OAE=∠OCD，OA=OC，∠AOE=∠COD， ∴△OAE≌△OCD， ∴AE=CD， ∴四边形AECD为平行四边形， ∴AE=CD，OE=OD， ∵OB=OD+CD=OE+BE， ∴CD=BE， ∴AE=BE （2）解：①过A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，连接CE， 由（1）得，AE=BE， ∴∠ABE=∠BAE， 由翻折的性质得∠D′BA=∠ABE， ∴∠D′BA=∠BAE， ∴BD′//AF， ∴BD′//CD； ②∵AD′//BC，BD′//AF， ∴四边形AFBD′为平行四边形， ∴∠D′=∠AFB，BD′=AF， ∴AF=BD， ∵AE=BE， ∴EF=DE， ∵四边形AECD是平行四边形， ∴CD=AE=BE， ∵AF∥CD， ∴∠BEF=∠CDE， ∵EF=DE，CD=BE，∠BEF=∠CDE，∴△BEF≌△CDE（SAS）， ∴∠BFE=∠CED， ∵∠BFE=∠BCD， ∴∠CED=∠BCD， 又∵∠BDC=∠CDE， ∴△BCD∽△CDE， ∴CD BD =DE CD ，即CD2=BD×DE， ∵DE=2OD， ∴CD2=2OD?BD． 26. （1）PQ={20 3 t(0 25 ) 15 2?15 4 t(18 25 （2）解：当R落在边AC上时，得到下图 ∵PQ⊥AB，∠ACB=90°，且∠PBQ=∠CBA， ∴△BPQ～△BCA， 又PQ∥AB， ∴∠PQR=90°， ∴△CQR∽△CBA， ∵PR∥BC， ∴△ARP∽△ABC， ∵AP=5t， ∴PR=4t， 又PQ∥AB， ∴∠PQR=90°， ∴△CQR∽△CBA， ∴PQ= 12 5 t， 又PQ= 15 2?15 4 t， ∴15 2?15 4 t=12 5 t， 解得：t=50 41 ； 故答案为：t=50 41 ． （3）解：当△PQR与△ABC重叠部分图形为三角形时， 由（2）可知，当50 41 ≤t<2时满足要求， 故此时QR= 4 3 PQ； ∴S= 1 2×QR×PQ=1 2 ×4 3 PQ×PQ=2 3 PQ2=2 3 ×(15 2 ?15 4 t)2=75 2 t2?75 2 t+75 2 ， 故答案为：S= 75 2t2?75 2 t+75 2 ． （4）t= 9 4或t= 34 25 解：（1）作CD⊥AB交AB于D点， 在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=10 ∵S△ABC=1 2AC·BC=1 2 AB·CD ∴CD=24 5，AD=√AC2?CD2=18 5 ∴当P和D重合时，t=18 5÷5=18 25 ①当0 25 时，AP=5t，如下图所示 ∵PQ⊥AB ∴PQ//CD ∴△APQ～△ACD ∴AP AD =PQ CD ∴PQ=20 3 t ②当18 25
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