承诺书
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日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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备
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全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
关于输油管布置问题的讨论
一、摘要
管道是石油生产过程中的重要环节，是石油工业的动脉。在石油的生产过程中，自始至终都离不开管道。本文综合考虑炼油厂的能力及建立管线所需费用等因素的影响，对某油田计划的输油管布置问题进行了研究讨论。
针对问题一我们运用三角形的两边之差小于第三边的几何定理，采取非线性规划的方法来分别讨论共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形，对部分油管采用共用管线,列出了两种类型。
在问题一的基础上，对问题二中的实际复杂情形进行考虑，特别对城区管线的附加费用，通过国家对甲级资质和乙级资质的规范性进行分析，选择了公司一完成城区管线的拆迁工程，对问题二中的三种不同的情况，分别设计了管线布置的方案，并根据最优化的方法得出最佳方案。用lingo软件运行求出完成此种输油管的布置所需的费用是280.18万元，铺设管道的总长是24.21千米。
针对问题三，我们在问题一中最优方案和分析问题二的基础上，同样通过最优化处理，得出管线布置所需的费用是249.44万元，铺设管道的总长是24.42千米。
关键词：管道共用管线最优化lingo软件
二、问题重述
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，希望建立管线建设费用最省的模型及方法。
针对问题一中两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出一种方案，若选用有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用的相同或不同情形。
针对问题二中图所示的A、B两厂具体位置，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域）两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=20
在所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元的基础上，还需增加铺设城区管线拆迁和工程补偿等费用，下表是三家公司对此项附加费用的的评估（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）。
工程咨询公司公司一公司二公司三
附加费用（万元/千米）21 24 20
通过分析，给出管线铺设布置方案及相应的费用。
针对问题三中的实际问题，为进一步节省费用，根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
考虑输油管的铺设线路和合理安排站点为达到建立管线建设所需费用最省的问题，并对炼油厂的生产能力和选用相适应的油管问题进行分析，这样使问题变的具有实际操作性，因此，研究此种模型对输油管的布置具有重要的实际意义。
三、模型假设
1.假设输油管道所经路线没有通过城市水源区、工厂、军事设施、国家重点文物保护
单位和国家自然保护区。
2.假设输油管线所铺设地方没有滑坡、崩塌、沉陷、泥石流等不良地质区。
3.假设输油管所铺设地方与城镇居民点或独立的人群密集的房屋有一定的距离。
4.针对问题一假设铺设过程中不考虑拆迁和工程补偿等附加费用。
四、符号说明
u A厂非共用管线每千米的铺设费用（单位：万元）
v B厂非共用管线每千米的铺设费用（单位：万元）
w A、B两厂共用管线每千米的铺设费用（单位：万元）
e A厂到A、B两厂非共用管线的交点处的距离（单位：千米）
1
e B厂到A、B两厂非共用管线的交点处的距离（单位：千米）
2
e A、B两厂非共用管线的交点处到所设车站的距离（单位：千米）
3
e A厂到所设车站的距离（单位：千米）
4
e B厂到所设车站的距离（单位：千米）
5
l A、B两厂的水平方向距离（单位：千米）
a A厂与铁路的距离（单位：千米）
b B厂与铁路的距离（单位：千米）
x A厂与车站的水平方向距离（单位：千米）
1
x模型二中方案1和方案2与两个区域的分界线交点的距离（单位：千米）2
y A、B两厂到非共用管线的交点处到车站的纵向距离（单位：千米）
1
q城区管线增加拆迁和工程补偿等附加费用（单位：万元/千米）
p所有管线每千米的铺设费用（单位：万元）
五、 分析与建立模型
本题要解决的主要问题是输油管线建设的费用最省。而决定这一问题的关键点有两个，一是是否采用共用管线，二是合理安排车站的站点，尽量使站点靠近炼油厂。 对于是否采用共用管线，其实就是针对问题一中两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间的距离，我们可以借助几何定理进行分析。
定理1：在同一三角形中，两边之差小于第三边。
定理2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
如图1所示，我们运用两厂单独铺设管线的费用45e u e v +与两厂共用管线的费用123e u e v e w ++之差与零进行比较。
假设：45123e u e v e u e v e w +>++
整理得：41523()()0e e u e e v e w -+-->
由定理1得：413
523
e e e e e e -
所以u v w +>
根据实际情况，A 、B 两厂共用管线的费用比两厂单独铺设管线费用要省。
所以假设合理，得出结论：在方案设计时，应尽量优先考虑采用共用管线进行铺设。如图1所示。
图1
但我们通过对问题再加以分析，还有存在一种情况是A 、B 两厂输油管线可按图2所示的铺设方法，但题目要求是使管线建设费用最省，因而此种情况不太切合实际也就是说A 、B 两厂所铺输油管线不能经过A 、B 两点连线之上也不能在铁路线以下。车站的位置最好在A 、B 两点与铁路线垂直交点之间的区域内。
图2 B
A
e2
e4
e3 e5 e1
铁路线
厂址 车站
B
铁路线
厂址 车站
从上面可以看出，在给输油管线铺设时，A 、B 两厂共用管线的费用比两厂单独铺设管线费用要省，而且车站的站点应该在两个炼油厂与铁路线垂直交点之间的区域内。
对于问题一得出结论：A 、B 两厂共用管线的费用比两厂单独铺设管线费用要省，在这个结论的前提下，还应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形，因而在问题一中分析出两种类型。
问题二中给出两炼油厂具体位置，并给出郊区与城区铺设管线的区别，于是在利用问题一中所得出最优方案的基础上，还需对铺设城区管线需增加拆迁和工程补偿等附加费用进行综合分析，由于题中已经给出了三家工程咨询公司对此项附加费用进行估计，并给出了相应的资质，而对问题二中的所示的图加以分析及查阅相关的资料，得出在城区为铺设管线而拆迁的工程不少于5千米，属于大型土木工程（甲级资质承担建筑工程设计项目的范围不受限制，且一般大型土木工程的施工单位必须是甲级，而乙级资质的作业范围相对有限，承担范围小，不能承担大型土木工程），于是选用甲级资质的公司，而且公司一对此项附加费用的估计也是相当合理，我们优中择优就把城区需拆迁的工程交给公司一完成。
对于问题三我们在问题一中的类型2和问题二求解的基础上能够快速、合理的给出最佳布置方案及相应的费用。
六、 模型求解
1. 问题一：
针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，我们通过模型的分析中推论可以得出：采用共用管线的费用比不采用共用管线的费用低。因此若采用共用管线，还应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形，从而我们分析出了以下两种类型。
类型1：共用管线费用与非共用管线费用相同
当共用管线费用与非共用管线费用相同时，我们可以把问题转换为最短路问题。 如图3所示
图3 a
l
A
B
1
x 1
y x
y
b
厂址 车站
通过对图3的分析，管道所铺设的长度最短，我们建立下列非线性函数与约束条件
2222min 11111()()()s x a y b y l x y =+-+-+-+ 约束条件：
111000x l s t y a y b
≤≤??
?≤≤??≤≤?
从函数式中我们可以看出，当油田设计院中遇到管线的铺设费用均相同时，就可
以把问题转换为最短路问题，使得模型的求解更简单，条理更清晰。当需要求解相应的费用时，只需乘以铺设费用的单价即：总费用=总路程*单价
类型2：共用管线费用与非共用管线费用不同
当共用管线费用与非共用管线费用不同时，通过对问题的最优化处理，为达到铺设管线费用最低，建立了目标函数。
2222min 11111()()()z u x a y v b y l x y w =?+-+?-+-+?
约束条件：
111000x l s t y a y b
≤≤??
?≤≤??≤≤?
从类型2反映出两家炼油厂的生产能力不一定一样，为了进一步节省费用，选用
相适应的油管降低管线铺设的费用。 2. 问题二：
由于题中给出所有铺设管线费用均相同，因此我们可以提出类型1进行求解。并在类型1的基础上，得出下列几种情况。根据所用的费用最少，写出目标函数，并建立坐标系，来说明铺设管线布置及相应的费用。如图4所示。
图4
a
A
B
1
x 1
y
x
y
b
c
l
厂址 车站
第一种情况： 目标函数：
22
112
2
2
2
min 1
11111
()()()()()()q l c l x b y z p x a y p c x b y p y l x ?-?-+-=?+-+?-+-+?+
- 约束条件：
111000x l s t y a y b
≤≤??
?≤≤??≤≤?
并用lingo 软件进行求解（具体见附录中的程序1），得出A 、B 两厂到非共用管线的交点处的坐标（3.54,3.14）（单位：千米），管线布置所需的费用是284.45万元。铺设管道的总长是24.30千米。
但由于题中考虑到城区的管线附加费用问题，而此项附加费用将近是管线铺设费用的3倍，因而我们考虑到了一个极端问题，由定理2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。我们提出了第二种情况。如图5所示。
图5
第二种情况： 目标函数：
2222min 11111()()()()()z p x a y p c x b y p y l c p q =?+-+?-+-+?+-?+ 约束条件：
a
A
B
1
x 1
y
x
y
b
c
l
厂址 车站
111000x l s t y a y b
≤≤??
?≤≤??≤≤?
用lingo 软件进行求解（具体见附录中的程序2），得出A 、B 两厂到非共用管线的交点处的坐标（4.90,2.17）（单位：千米），管线布置所需的费用是281.33万元。铺设管道的总长是24.49千米。
从上述两种情况下我们得出第二种情况所需的管线铺设费用更少，从而我们推测
在第一种情况和第二种情况与两个区域分界线交点之间的距离即2x （如图6所示）是否存在更优解，在此基础上我们得出第三种情况。
图6
第三种情况： 目标函数：
222222
min 1111212()()()()()z p x a y p c x b y x p y p q l c x =?+-+?-+--+?++?-+
约束条件：
11
120000x l
y a s t y b x b
≤≤??≤≤???
≤≤??≤≤? 用lingo 软件进行求解（具体见附录中的程序3），得出A 、B 两厂到非共用管线的交点处的坐标（5.46,1.85），2x 的长度为0.64（单位：千米），管线布置所需的费用是280.18万元。
从上面的3种情况中我们可以看出第三种情况所需管线的铺设费用最少，费用为280.18万元。铺设管道的总长是24.21千米。
a
A
B
1
x 1
y
x
y
b
c
l
2
x 厂址
车站
3.问题三
由于题中给出所有铺设管线费用均不相同，所以运用问题一中的类型2进行求解并结合问题二中的第三种情况得出最佳方案及相应的费用。 目标函数：
222222
min 1111212()()()()()z u x a y w c x b y x v y w q l c x =?+-+?-+--+?++?-+
约束条件：
11
120000x c
y a s t y b x b
≤≤??≤≤???
≤≤??≤≤? 用lingo 软件进行求解（具体见附录中的程序4），得出A 、B 两厂到非共用管线的交点处的坐标（6.74,0.13），2x 的长度为0.73（单位：千米），管线布置所需的费用是249.44万元。铺设管道的总长是24.42千米。
七、模型的推广与评价
模型假设使得论文的求解过于简单化，根据实际情况，应该考虑城郊区拆迁和工程补偿等附加费用，所以对此问题进行了改进。
情形1：A 、B 两厂与铁路路线距离所围成的区域内是郊区。如图7所示。
图7
通过分析，为达到铺设管线费用最低，建立了目标函数：
2222min 11111()()()z u x a y v l x b y w y =?+-+?-+-+? 约束条件：
11
120000x l y a s t y b x b
≤≤??≤≤???
≤≤??≤≤? a
A
B
1
x 1
x 1
y
x
y
b
l
厂址 车站
情形2：A 、B 两厂与铁路路线距离所围成的区域内是城区。如图7所示。 目标函数：
2222min 11111()()()z q u x a y q v l x b y q w y =??+-+??-+-+?? 约束条件：
11
120000x l y a s t y b x b
≤≤??≤≤???
≤≤??≤≤?
情形3：A 、B 两厂与铁路路线垂直距离所围成的区域内有城郊区的分界线，且城区在b 那一边。如图8所示。
图8
目标函数：
222222
min 1111212()()()()()z u x a y v c x b y x w y v q l c x =?+-+?-+--+?++?-+
约束条件：
11
120000x c
y a s t y b x b
≤≤??≤≤???
≤≤??≤≤? 情形4: 铁路路线与铁路线垂直距离所围成的区域内有城郊区的分界线，且城区在a 那一边。如图9所示。
a
A
B
1
x
1
y
x
y
b c
l
2
x
厂址
车站
图9
目标函数：
222222
min 1211112()()()()()z u x c a x y v l x b y w y u q c x =?-+--+?-+-+?++?+
约束条件：
11
120000x l
y a s t y b x a
≤≤??≤≤???
≤≤??≤≤? 若10y =，则A,B 两厂无共用管。若10y ≠，则A,B 两厂共用管的长度为1y 。 优点：
1、本文根据问题要求利用优化的思想，一步一步地讨论了模型的建立情况，使所建立的模型最大限度的接近实际问题。
2、本文建立的模型具有一般性，而且简单易懂可操作性强，同时还可以推广到其他的问题上如输气管道问题、公交车站的选址问题等。 缺点：
由于模型中考虑的因素少，得到的结论可能不是很精确。
a
A
B
1
x 1
y
x
y
b
c
l
2
x
厂址 车站
八、参考文献
[1]赵静、但琦，数学建模与数学实验（第三版），北京：高等教育出版社，2008
[2]姜启源、谢金星、叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003
[3]冯杰、黄力伟、王勤、尹成义，数学建模原理与案例
[4]中国天然气总公司，输油管道工程设计规范，
，2010-9-11
九、附录
程序1
min=7.2*(x1^2+(5-y1)^2)^(1/2)+7.2*y1+7.2*((20-x1)^2+(8-
y1)^2)^(1/2)+21*(25+(5*(8-y1)/(20-x1))^2)^(1/2);
x1<20;
y1<5;
end
Objective value: 284.4513
Variable Value Reduced Cost
X1 3.538417 -0.3212929E-07 Y1 3.137591 -0.3623379E-07 Row Slack or Surplus Dual Price
1 284.4513 -1.000000
2 16.46158 0.000000
3 1.862409 0.000000
程序2
min=7.2*(x1^2+(5-y1)^2)^(1/2)+7.2*y1+7.2*((15-x1)^2+(8-y1)^2)^(1/2)+141; x1<20;
y1<5;
end
Objective value: 281.3307
Variable Value Reduced Cost
X1 4.901922 -0.1623461E-06 Y1 2.169873 0.1571800E-06 Row Slack or Surplus Dual Price
1 281.3307 -1.000000
2 15.09808 0.000000
3 2.830127 0.000000
程序3
min=7.2*(x1^2+(5-y1)^2)^(1/2)+7.2*y1+7.2*((15-x1)^2+(8-y1-
x2)^2)^(1/2)+(x2^2+25)^(1/2)*7.2+21*(x2^2+25)^(1/2);
x1<15;
y1<5;
x2<8;
end
Objective value: 280.1771
Variable Value Reduced Cost
Y1 1.848091 -0.6151582E-07 X1 5.459265 -0.2082457E-07 X2 0.6435633 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 280.1771 -1.000000
2 3.151909 0.000000
3 9.540735 0.000000
4 7.356437 0.000000
程序4
min=5.6*(x1^2+(5-y1)^2)^(1/2)+7.2*y1+6*((15-x1)^2+(8-y1-x2)^2)^(1/2)+ (6+21)*(x2^2+25)^(1/2);
x1<15;
y1<5;
x2<8;
end
Objective value: 249.4422
Variable Value Reduced Cost
X1 6.742376 0.000000
Y1 0.1326951 0.000000
X2 0.7341245 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 249.442
2 -1.000000
2 8.257624 0.000000
3 4.867305 0.000000
4 7.265876 0.000000