好像目前还没有这方面题目的总结。这几天连续看到四个问这类题目的人，今天在这里简单写一下。这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。
不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。其中，结果的那个4等于2*2+0*1：
下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：
矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。为什么它又满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。
经典题目1 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转
这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。
经典题目2 给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。
由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里
的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。
经典题目3 POJ3233 (感谢rmq)
题目大意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 + ... + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。输出的数据mod m。k<=10^9。
这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如，当k=6时，有：
A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)
应用这个式子后，规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3，即可得到原问题的答案。
经典题目4 VOJ1049
题目大意：顺次给出m个置换，反复使用这m个置换对初始序列进行操作，问k次置换后的序列。m<=10, k<2^31。
首先将这m个置换“合并”起来（算出这m个置换的乘积），然后接下来我们需要执行这个置换k/m次（取整，若有余数则剩下几步模拟即可）。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如，将1 2 3 4置换为3 1 2 4，相当于下面的矩阵乘法：
置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方，再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴，得意之时就是你灭亡之日，别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。
经典题目5 《算法艺术与信息学竞赛》207页（2.1代数方法和模型，[例题5]细菌，版次不同可能页码有偏差）
大家自己去看看吧，书上讲得很详细。解题方法和上一题类似，都是用矩阵来表示操作，然后二分求最终状态。
经典题目6 给定n和p，求第n个Fibonacci数mod p的值，n不超过2^31根据前面的一些思路，现在我们需要构造一个2 x 2的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。每多乘一次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次。那么，我们把这个2 x 2的矩阵自乘n次，再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想，这个2 x 2的矩阵很容易构造出来：
经典题目7 VOJ1067
我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项，其对应矩阵的构造方法为：在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1，矩阵第n行填对应的系数，其它地方都填0。例如，我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n) = 4f(n-1) - 3f(n-2) + 2f(n-4)的第k项：
利用矩阵乘法求解线性递推关系的题目我能编出一卡车来。这里给出的例题是系数全为1的情况。
经典题目8 给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B点的方案数mod p的值
把给定的图转为邻接矩阵，即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。令C=A*A，那么
C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为中转点）。类似地，C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理，如果要求经过k步的路径数，我们只需要二分求出A^k即可。
经典题目9 用1 x 2的多米诺骨牌填满M x N的矩形有多少种方案，M<=5，N<2^31，输出答案mod p的结果
我们以M=3为例进行讲解。假设我们把这个矩形横着放在电脑屏幕上，从右往左一列一列地进行填充。其中前n-2列已经填满了，第n-1列参差不齐。现在我们要做的事情是把第n-1列也填满，将状态转移到第n列上去。由于第n-1列的状态不一样（有8种不同的状态），因此我们需要分情况进行讨论。在图中，我把转移前8种不同的状态放在左边，转移后8种不同的状态放在右边，左边的某种状态可以转移到右边的某种状态就在它们之间连一根线。注意为了保证方案不重复，状态转移时我们不允许在第n-1列竖着放一个多米诺骨牌（例如左边第2种状态不能转移到右边第4种状态），否则这将与另一种转移前的状态重复。把这8种状态的转移关系画成一个有向图，那么问题就变成了这样：从状态111出发，恰好经过n步回到这个状态有多少种方案。比如，n=2时有3种方案，111->011->111、111->110->111和111->000->111，这与用多米诺骨牌覆盖3x2矩形的方案一一对应。这样这个题目就转化为了我们前面的例题8。
后面我写了一份此题的源代码。你可以再次看到位运算的相关应用。
对小学英语考试常见题型的讲解及做题技巧，失分薄弱环节的讲解 1.针对四年级学生知识或能力系统和学生的认知规律确定易错题。 2.试题包括基础知识和能力题两大类。 3.每道题包括“典题呈现”“解题分析”“参考答案”“变式突破”四个方式 4.易错题型来源于平时的教学实践，注重所选易错题例的典型性和针对性，对 学生有启发和帮助。 5.注重所选易错题型应呈现的多样性。 小学英语考试的目的是什么？考的方式与内容与课程设置理念有无相悖？如果每个人能多思考这样的问题，我想无论从教学思想上还是评价体系上更上一层楼，即使是在应试教育的大气候下也能把握些许平衡 [学生要通过大量做卷子，过分钻研题型本身，那考试就失去意义了] 听力： 辨音： 这种题型考察的目的是什么？我一直很疑惑。（有同行说这些题目以后不考了，但总要思考下吧） 如果是考察学生对单词是否读准了，那告诉你，10个有8个是没问题的，exercise这个单词有点复杂，也许有很多学生对里面的单个音吃不准，但是要整体认读对，是不难的，但问题也就在这里，有很多学生会读整个单词，但不知道具体每个字母在这个单词里读什么音，这点也许那些高中，大学老师觉得很不可思议，但是小学老师绝对深有感触，我在训练直拼的时候就发现有几个很有这样问题的学生，我就问他big种的I到底发什么音，但是在他嘴里出来的是莫名其妙[e]；
如果这个不能说明问题的话，那举个th的例子是最能说明问题，几乎每个学生都能在单词里读对这个音，我就不相信有学生会把there种的th读成清音——词汇互译 这是一个基本功问题，即便是从过去侧重语言知识考察转变为知识技能、综合运用能力考察，这还是少不了的。如果一个学生连最起码的几个单词都不背或者没能力背的话，那谈什么素质教育？说到这个，我感觉应试教育虽然大行其道，千夫指，但是说实话，有些东西我们是绝对不能放弃的，难道素质教育的教学就是应该轻松的吗？不下苦功的学习永远是肤浅的 用单词的适当形式填空 有的题目是直接考词性变化比如sun (同音词) do (过去式), 也有的是放 在句子里让学生根据语境写适当的形式。前者这种形式慢慢被淘汰了，我觉得这是一个英明的举动。不放在语言环境里是没什么意义的，而且缺乏语境是还造成大量学生不会做的原因，比如你要学生默写“听见”，即使有点忘了的学生只要有I’m sorry to hear that的语感提醒，那还是会知道hear这个单词的，你要学生默写“来这里”的“这里”，也是不难的事情here. 但是你要猛的问here的同音词是什么？学生也许就怎么也想不出来了——here ( 同音词)________。这就是一件可悲的事情了，这被扣的一分又能说明什么呢？这得的一分除了表现这个学生的记忆好，根本没什么意义，因为那只是一个孤立的单词而已。 选择 选择题考些什么，大致分为两类，一类是语法题，第二类是运用性题目（包括语用题），其实大多数情况都是考前者，其实，至少说在小学里，我认为考语法应该以语感辅之分析为主，类似Does he…? Are you…? Is your father….?等都应该是在口语熟练下的水到渠成，也就是通常人常说的语感，有这样的语感铺垫，
2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
错误! 2０１2-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 一、(共3０分，每小题6分)完成下列各题: （1）设4R 空间中的向量????????????=23121α,????????????--=32232α,????????????=78013α，????????????--=43234α,???? ? ? ??????--=30475α Span V =1{}321,,ααα，Span V =2 {}54,αα,分别求21V V +和21V V 的维数. 解:=A {}54321,,,,ααααα? ? ??? ? ??? ???--→000004100030110 202 01 21V V +和21V V 的维数为３和１ （２） 设()T i i 11-=α,()T i i 11-=β是酉空间中两向量，求内积()βα, 及它们的长度（i =）. (0, 2， 2); （３）求矩阵?? ??? ?????----=137723521111A 的满秩分解. 解：?? ?? ? ?????----=137723521111A ??????? ? ??? ????? -- --→0000747510737201
??????????----=137723521111A ??????????--=775211??????? ? ?? ??? ??? ----747 510737201* (4)设-λ矩阵??? ? ? ??++=2)1(0000 00 )1()(λλλλλA ,求)(λA 的Sm ｉth 标准形及其行列式因子. 解:????? ??++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()??? ? ? ??++→2111λλλλ (5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α,定义 * H x x α=,验证x 是向量 范数． 二、(10分)设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为?? ?? ? ?????-=021110111A ， （1）（5分)求T 的值域)(T R 的维数及一组基； （2）（5分)求T 的核)(T N 的维数及一组基. 解：（１）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]?? ?? ? ?????-021110111,,321εεε 线性变换Ｔ的值域为T(V)= {}321312,span εεεεε+++ 所以A (V)的维数为2， 基为{}321312,εεεεε+++ （2)矩阵Ａ的核为AX=０的解空间。不难求得AX=0的基础解系是[2, -1， 1]T , 因此)(A N 的维数为1, 基为3212εεε+-.
华南理工大学研究生课程考试题（A） 《矩阵分析》2016年12月 姓名院（系）学号成绩 注意事项：1.考试形式：闭卷（√）开卷（） 2.考生类别：博士研究生（）硕士研究生（√）专业学位研究生（） 3.本试卷共四大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、单项选择题（每小题3分，共15分）： 1、设,,是的两个不相同的真子空间，则下列不能构成子空间的是。（A）；（B）；（C）；（D）。 2、设,为阶酉矩阵,则下列矩阵为酉矩阵的是。 （A）；（B）；（C）；（D）。 3、设矩阵的秩为,则下列说法正确的是。 （A）的所有阶子式不等于0；（B）的所有阶子式等于0； （C）的阶子式不全为0；（D）的阶子式不全为0。 4、下列命题不正确的是。 （A）行数相同的两个矩阵一定存在最大右公因子； （B）列数相同的两个矩阵一定存在最大右公因子。 （C）特征多项式的根一定是最小多项式的根； （D）最小多项式的根一定是特征多项式的根； 5、设,则。 （A）1；（B）；（C）；（D）。 二、填空题（每小题3分，共15分）： 1、设,,和,,是的
两个基,则从第一个基到第二个基的的过渡矩阵为 。 2、实线性空间的映射称为内积运算,如果满足下列条件: 。 3、奇异值分解定理内容为 。 4、设，则。 5、设，则。 三、计算题（每小题14分，共56分）： 1、设，，；，， ，。求和的一个基。
2、求欧氏空间的一个标准正交基（从基，，，出发），内积定义为 。
3、求的若当标准形和可逆矩阵， 并计算。
4、1）写出的求解公式。 2）已知，计算。
四、证明题（第一小题8分，第二小题6分，共14分）： 1、设，是维线性空间,证明都。 2、设方阵满足，且,证明。
不等式常见考试题型总结 Prepared on 22 November 2020
《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式 高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考查： ①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大； ②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题； ③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查． 二、常见考试题型 （1）求解不等式解集的题型 （分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法） （2）不等式的恒成立问题 （不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合 法） （3）不等式大小比较 常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法；
4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。 （4）不等式求函数最值 技巧一：凑项 例：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例. 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 技巧四：换元 例. 求2710 (1)1x x y x x ++= >-+的值域。 技巧五：函数的单调性 （注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。） 例：求函数22 4 y x = +的值域。 技巧六：整体代换 （多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。） 例：（1）已知0,0x y >>，且19 1x y +=，求x y +的最小值。 （2）若+ ∈R y x ,且12=+y x ，求y x 11+的最小值 (3)已知+ ∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值
“权力”矩阵论 后现代所推崇的物理化的场域概念为我们带来了对权力的吸噬性和复杂性的认识。然而场域的混沌性使我们无法明晰权力运作的真正机制，也难以找到遏制权力的有效途径。权力的矩阵原理开启了权力布控研究的新视角，矩阵的行列图式、运算和秩、逆性质解密了权力的布控、集发、繁殖和归位等多种形态与演变机要。各种力量在简约的纵横对峙中演绎了本性的多维关联，并展现了现代性病灶的多种症候。 标签：现代性；权力；矩阵；消解 何谓权力?弗洛姆在《逃避自由》中说：“‘权力’这个词包含两重意义：其一是指拥有统治他人的力量，即具有统治他人的权势；其二是具有干事情的力量，即干事情的能力。后者不含统治的意义。如果一定要说后者也含统治的意义那只是指能力意义而已。”正因为统治与潜力的双重意义，带来了权力运作图式的诡异。 一、矩阵的行与列：权力的类型与脉系 亚里士多德在《政治学》中说，权力作为一种统治，具有三种类型。一种是主人对奴仆的统治，主人总是尽量多地考虑自己的利益，即使考虑奴隶的利益，也是怕奴隶的死去带来自我利益的丧失；第二种是家长对于妻子和子女的统治，主要是考虑被统治者的利益，兼顾自己的利益；第三种是城邦宪政统治，这种统治是依据平等原则，轮流担任公共管理的职司。后者应该是一种合乎自然的制度，人们设想在自己担任这种义务的时候，既然同等地照顾他人利益，那么他人执政也一定会照顾我的利益。但是，亚里士多德已发现，实际情况不是这样，这些公职人员已被病魔所缠，“看到这些人对权力的狂热，不能不想起这些情况实际是病态”。 现代性使权力成为商品早已不是什么秘密，它不仅可以充当一般等价物，而且它的功能已经超出货币的范围。权力作为一种特殊商品的资本具有多种形式，不仅是传统意义上的经济资本和政治资本，更广泛地具有话语资本、社会资本、身体资本、荣誉资本和象征资本等，可以说一切社会资源化为一种权力资本在社会链中运行和发挥作用，其中最基本的运作形式就是进行交换和增值。 知识成为一种权力，在福柯看来是现代性引起的制度化的结果。“科学之被制度化为权力，是通过大学制度，通过实验室、科学试验这类抑制性的设施”。反过来，权力化为知识，在现代性社会里更是触目即是。福柯指出了现代性把权力和真理等同起来，权力赋予知识的合法性。事实上，马克思早在《黑格尔法哲学批判》中就说道：“考试——‘官职’和‘个人’之间的联系，市民社会的知识和国家的知识之间的客观联系，——无非是官僚政治对知识的洗礼，是官方对世俗知识变体为神圣知识的确认。”
二次函数的考试常见题型 题型一、二次函数图象的对称轴和顶点的求法- 1.已知二次函数y=x2+4x． (1)用配方法把函数化为y=a(x-h)2+k(其中a，h，k都是常数且a≠0)的形式， 并指出函数图象的对称轴和顶点坐标 (2)求函数图象与x轴的交点坐标． 2.二次函数y= 1 2 (x-4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是？ 3.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8)． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点坐标． 题型二、抛物线的平移 1.(甘肃兰州中考题)已知函数y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的 解析式是？ 2.(上海中考题)在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且 过点B(3，0) (1)求该二次函数的解析式． (2)将该二次函数图象向右平移几个单位长度，可使平移后所得图象经过 坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标． 3.抛物线y= 1 2 x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所 得的抛物线表达式是？ 4.函数y=-2(x-1)2-1的图象可以由函数y=-2(x+2)2+3的图象先向____平移 _____个单位长度，再向____平移_____个单位长度而得到. 5.已知二次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中, 它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线移动方向的描述中， 正确的是( ) A.先往左上方移动，再往左下方移动 B.先往左下方移动，再往左 上方移动 C.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右 上方移动 题型三、二次函数图象的画法 1.(广东梅州中考题)已知二次函数图象的顶点是(-1，2)，且过点（0， 3 2 ） (1)求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象； (2)求证：对任意实数m，点M(m，-m2)都不在这 个二次函数的图象上． 2. (安徽中考题)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点， (1)求出m的值并画出这条抛物线．。 (2)求它与x轴的交点和顶点的坐标 (3)x取什么值时，抛物线在x轴上方? (4)x取什么值时，y随x的增大而增大? 3.(江苏南通中考题)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点，当x≥0时， (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象； (3)利用抛物线y=ax2+bx+c的图象，写出x为何值时，y>0 题型四、二次函数的图象和性质 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)， (1，0)．下列结论正确的是（） A.当x>0时，函数值y随x的增大而增大、’ B.当x>0时，函数值y随x的增大而减小 C.存在一个负数x0，使得当x< x0时，函数值y随x的增大而减小；当 x>x0时，函数值y随x的增大而增大 D.存在一个正数x0，使得当x < x0时，函数值y随x的增大而减小；当 x> x0时，函数值y随x的增大而增大 2.已知二次函数y=- 1 2 x2-3x- 5 2 ，设自变量的值分别x1，x2，x3， 且-3
北京理工大学2017-2018学年第一学期 2017级硕士研究生〈矩阵分析〉终考试题 一、（10分）设线性变换f 在基123[1,1,1],[1,0,1],[0,1,1] ααα=-=-=下的矩阵表示为101110123A -????=????-?? （1）求f 在基123[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]εεε===下的矩阵表示。 （2）求f 的核与值域。 二、（10分）求矩阵20000i A ????=?????? 的奇异值分解。 三、（10分）求矩阵111222111A -????=-????--?? 的谱分解。 四、（15分）已知(1)n u R n ∈>为一个单位列向量，令T A I uu =-，证明 （1）21A =； （2）对任意的X R ∈，如果有AX X ≠，那么22AX X <。 五、（15分）已知矩阵1212a A a ??-??=????-???? ， （1）问当a 满足什么条件时，矩阵幂级数121()k k k A ∞ =+∑绝对收敛？ （2）取a = 0，求上述矩阵幂级数的和。
七、（20分）求下列矩阵的矩阵函数2,sin ,cos tA e A A π π 300030021 01300103123001013000301 00013()()()A A A ??????????? ???===?????? ???????????? 八、（5分）已知 sin 53sin 2sin 52sin sin 5sin sin sin 5sin 2sin 52sin sin 5sin sin 5sin 2sin 52sin sin 53sin t t t t t t tA t t t t t t t t t t t t +--????=-+-????--+?? 求矩阵A 。 九、（5分）已知不相容线性方程组 141223341 10 x x x x x x x x +=??+=??+=??+=? 求其最佳最小二乘解。 十、（10分）已知Hermite 二次型 12312132131(,,)f x x x ix x x x ix x x x =+-+ 求酉变换X UY =将123(,,)f x x x 化为标准型。
矩阵分析模拟试题及答案 一.填空题(每空3分,共15分) 1. 设A 为3阶方阵, 数2-=λ, 3=A , 则A λ= -24． 2. 设向量组T )4,3,2,1(1=α，T )5,4,3,2(2=α，T )6,5,4,3(3=α，T )7,6,5,4(4=α，则 ),,,(4321ααααR =2． 3. 已知??? ?? ??---=11332 223a A ，B 是3阶非零矩阵，且0=AB ，则=a 1/3． 4．设矩阵????? ??------=12422 421x A 与??? ? ? ??-=Λ40000005y 相似，则y x -=-1． 5. 若二次型()32212 3222132122, ,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值 范围是22< <-a ． 二.单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A 是3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵， 记????? ??=1000110011P ，??? ?? ??=010*******P ，在则=A （ D ） 21)(P P A 211)(P P B - 12)(P P C 112)(-P P D 2. 设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ C ） )(A 必有一列元素全为0 )(B 必有两列元素成比例 )(C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 )(D 任意列向量是其余列向量的线性组合 3． 设A 与B 均为3阶方阵, 且A 与B 相似, A 的特征值为1, 2, 3, 则1 )2(-B 的特 征值为（B ） )(A 2, 1, 32 )(B 12, 14, 16 )(C 1, 2, 3 )(D 2, 1, 2 3
语文1-6年级期末考试常见题型和考点 0 1 汉字类考题 汉字是阅读和写作的基础。学习汉字主要是能做到读准字音，认清字形，理解字义，学会查字典。 重点可以复习以下几个内容 1．读准字音 主要是对同音字、多音字和音近字的读音要能够辨别清楚，防止混淆。特别是多音字，我们要根据具体的语言环境和不同的词义确定读音。我们课文中有不少多音字，要注意积累，了解它们在什么样的情况下读什么音。有些汉字读音完全相同，我们称它们为同音字。同音字虽然音同，但字形和字义基本上都不同，要注意区分。 常见考试题型 ⑴多音字组词。 ⑵选择多音字的正确读音。 ⑶给一个音节写出3个（或若干个）以上的汉字。 2．认清字形 汉字的笔画比较复杂，要认清字的形体，掌握汉字的笔画、笔顺规则、偏旁部首以及间架结构，要注意区别形近字，做到书写正确。形近字是指形体相似、差别不大的字。有的是偏旁部首易混淆，如“日”和“目”；有的是个别部件易混淆，如“辩”和“辨”；有的是结构
单位相同，位置不同，如“陪”和“部”；有的是笔形易混，如“见”和“贝”；有的是笔画多少、长短易混，如“末”和“未”。 区别形近字，我们要养成一丝不苟的好习惯，从字音、字形、字义上仔细区别。 常见考试题型 ⑴写出汉字的笔画（或笔顺）。 ⑵按汉字的结构要求写字。 ⑶加（或换）偏旁组字再组词 ⑷选字填空。 ⑸区别形近字组词。 ⑹找出错别字并改正。 ⑺把下面繁体字的简化字写出来。 3．理解字义，会查字典 不同的汉字表达的意思不同，不少字是一字多义，同一个字在不同的语言环境中表达的意思也不同。我们要能够联系上下文来理解字义。我们还要能运用“音序查字法”、“部首查字法”和“数笔画查字法”来熟练地查字典，帮助我们更好地理解字义，正确用词，提高我们的识字能力。 常见题型 ⑴查字典，按要求填空。 ⑵读一读，给句子中的加点字选择正确的字义。 ⑶根据一个字的不同意思组词。
语文考试中常见题型及答题方法与技巧一、表
二、文本 语文考试中会有哪些常见题型？答题时又有哪些方法与技巧？ 一、汉字类考题 汉字就是阅读与写作的基础。学习汉字主要就是能做到读准字音,认清字形,理解字义,学会查字典。 重点可以复习以下几个内容: 1.读准字音:主要就是对同音字、多音字与音近字的读音要能够辨别清楚,防止混淆。特别就是多音字,我们要根据具体的语言环境与不同的词义确定读音。我们课文中有不少多音字,要注意积累,了解它们在什么样的情况下读什么音。有些汉字读音完全相同,我们称它们为同音字。同音字虽然音同,但字形与字义基本上都不同,要注意区分。 常见题型: ⑴多音字组词。 ⑵选择多音字的正确读音。 ⑶给一个音节写出3个(或若干个)以上的汉字。 2.认清字形:汉字的笔画比较复杂,要认清字的形体,掌握汉字的笔画、笔顺规则、偏旁部首以及间架结构,要注意区别形近字,做到书写正确。形近字就是指形体相似、差别不大的字。有的就是偏旁部首易混淆,如“日”与“目”;有的就是个别部件易混淆,如“辩”与“辨”;有的就是结构单位相同,位置不同,如“陪”与“部”;有的就是笔形易混,如“见”与“贝”;有的就是笔画多少、长短易混,如“末”与“未”。区别形近字,我们要养成一丝不苟的好习惯,从字音、字形、字义上仔细区别。 常见题型: ⑴写出汉字的笔画(或笔顺)。
⑵按汉字的结构要求写字。 ⑶加(或换)偏旁组字再组词 ⑷选字填空。 ⑸区别形近字组词。 ⑹找出错别字并改正。 ⑺把下面繁体字的简化字写出来。 3.理解字义,会查字典:不同的汉字表达的意思不同,不少字就是一字多义,同一个字在不同的语言环境中表达的意思也不同。我们要能够联系上下文来理解字义。我们还要能运用“音序查字法”、“部首查字法”与“数笔画查字法”来熟练地查字典,帮助我们更好地理解字义,正确用词,提高我们的识字能力。 常见题型: ⑴查字典,按要求填空。 ⑵读一读,给句子中的加点字选择正确的字义。 ⑶根据一个字的不同意思组词。 二、词语类考题 词语就是语言的建筑材料。正确地理解与运用词语,就是我们阅读与写作的基础。 (一)我们要正确地认读与书写学过的词语,懂得意思,注意积累词语并能在口头与书面表达中正确运用。作为五年级的学生,尤其要在理解词语的意思上多下功夫,要能理解每个词语的意思及同一词语的不同含义,才能准确地使用词语,也才能加深对文章的理解。理解词语不能靠死记硬背,要弄懂它的意思,除了查字典、词典得到确切的解释外,还可以采用下面的一些方法: 1.把词语中每个字的意思先弄清楚,再联系整个词语的意思来理解。如“一丝不苟”。“苟”就就是“马虎”,“一丝不苟”就就是“一点也不马虎”。 2.运用近义词或反义词来解释。如“富裕”就就是“富足”。还有的词可以用简洁的语言作解释。如“慷慨”就就是“情绪激昂的样子”。 3.联系上下文来理解词义。 4.注意词的褒贬义。要结合具体的语言环境分析、判断词的感情色彩。如,“果断”与“武断”的感情色彩截然不同;“骄傲”则在不同的句子中可能有不同的感情色彩。 常见题型: ⑴给带点字写出(或选择)正确的解释。⑵一词多义。⑶联系上下文解释词语的意思(或就是同一个词语的不同意思) ⑷判断词语的感情色彩。(或按词语的感情色彩分类。) (二)我们要能辨析近义词与反义词。汉语词汇丰富多彩,它的特点之一就就是近、反义词很多。近义词中,意义完全相同的叫等义词。辨析近义词,要注意: 1.分辨意义上的细微差别。有的就是词义范围大小不同,如“战斗”与“战争”;有的就是词义轻重不同,如“优秀”与“卓越”。 2.分辨色彩上的细微差别。有褒贬之分;书面语与口语之分。 3.分辨用法上的细微差别。有些通常固定地与某些词语搭配,如“简单”与“简朴”,“简朴”可以与“作风”搭配成“作风简朴”,而不大与“简单”搭配成“作风简单”;有些在适用的对象上有上、下之分,如“爱护”则多就是上对下,“关爱”则都可以用。辨析反义词时要注意: 1.词义就是同一范围。 2.词性要相同。 3.有的反义词有一个,有的反义词不只一个。
§9. 矩阵的分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。 这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。 一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。 将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。 定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112 1222000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。
定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 11212212000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a L a a a 称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。 定理1设,?∈n n n A C （下标表示秩）则A 可唯一地分解为 1=A U R 其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LU 其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。 推论1设,?∈n n n A R 则A 可唯一地分解为 1=A Q R 其中1Q 是正交矩阵，R 是正线上三角实矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LQ 其中2Q 是正交矩阵，L 是正线下三角实矩阵。 推论2 设A 是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵R ，使得 =T A R R 推论3设A 是正定Hermite 矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵R ，使得 =T A R R
矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。
第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2，∞范数 2. 矩阵的范数 计算：1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t),?? ???==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组
1. 矩阵的三角分解 计算：Crout 分解，Doolittle 分解，Choleskey 分解 2. 矩阵的QR 分解 计算：Householder 矩阵，Givens 矩阵， 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向 3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite 矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh 商的极值 4. 广义特征值问题 计算：BX AX λ=转化为一般特征值问题
【小学语文】小学语文考试常见题型及答题技巧 汉字类考题 汉字是阅读和写作的基础。学习汉字主要是能做到读准字音;认清字形;理解字义;学会查字典。 重点可以复习以下几个内容： 1、读准字音：主要是对同音字、多音字和音近字的读音要能够辨别清楚;防止混淆。特别是多音字;我们要根据具体的语言环境和不同的词义确定读音。我们课文中有不少多音字;要注意积累;了解它们在什么样的情况下读什么音。有些汉字读音完全相同;我们称它们为同音字。 同音字虽然音同;但字形和字义基本上都不同;要注意区分。 常见题型： ⑴多音字组词。 ⑵选择多音字的正确读音。 ⑶给一个音节写出3个（或若干个）以上的汉字。 2、认清字形：汉字的笔画比较复杂;要认清字的形体;掌握汉字的笔画、笔顺规则、偏旁部首以及间架结构;要注意区别形近字;做到书写正确。形近字是指形体相似、差别不大的字。有的是偏旁部首易混淆;如“日”和“目”;有的是个别部件易混淆;如“辩”和“辨”;有的是结构单位相同;位置不同;如“陪”和“部”;有的是笔形易混;如“见”和“贝”;有的是笔画多少、长短易混;如“末”和“未”。 区别形近字;我们要养成一丝不苟的好习惯;从字音、字形、字义上仔细区别。常见题型： ⑴写出汉字的笔画（或笔顺）。 ⑵按汉字的结构要求写字。 ⑶加（或换）偏旁组字再组词。 ⑷选字填空。 ⑸区别形近字组词。 ⑹找出错别字并改正。 ⑺把下面繁体字的简化字写出来。 3、理解字义;会查字典：不同的汉字表达的意思不同;不少字是一字多义;同一个字在不同的语言环境中表达的意思也不同。我们要能够联系上下文来理解字
义。我们还要能运用“音序查字法”、“部首查字法”和“数笔画查字法”来熟练地查字典;帮助我们更好地理解字义;正确用词;提高我们的识字能力。 常见题型： ⑴查字典;按要求填空。 ⑵读一读;给句子中的加点字选择正确的字义。 ⑶根据一个字的不同意思组词。 词语类考题 词语是语言的建筑材料。正确地理解和运用词语;是我们阅读和写作的基础。 （一）我们要正确地认读和书写学过的词语;懂得意思;注意积累词语并能在口头和书面表达中正确运用。 尤其要在理解词语的意思上多下功夫;要能理解每个词语的意思及同一词语的 不同含义;才能准确地使用词语;也才能加深对文章的理解。理解词语不能靠死记硬背;要弄懂它的意思;除了查字典、词典得到确切的解释外;还可以采用下 面的一些方法： 1、把词语中每个字的意思先弄清楚;再联系整个词语的意思来理解。如“一丝不苟”。“苟”就是“马虎”;“一丝不苟”就是“一点也不马虎”。 2、运用近义词或反义词来解释。如“富裕”就是“富足”。还有的词可以用 简洁的语言作解释。如“慷慨”就是“情绪激昂的样子”。 3、联系上下文来理解词义。 4、注意词的褒贬义。要结合具体的语言环境分析、判断词的感情色彩。 如;“果断”和“武断”的感情色彩截然不同;“骄傲”则在不同的句子中可能有不同的感情色彩。 常见题型： ⑴给带点字写出（或选择）正确的解释。 ⑵一词多义。 ⑶联系上下文解释词语的意思（或是同一个词语的不同意思） ⑷判断词语的感情色彩。（或按词语的感情色彩分类。） （二）我们要能辨析近义词和反义词。汉语词汇丰富多彩;它的特点之一就是近、反义词很多。近义词中;意义完全相同的叫等义词。辨析近义词;要注意：1．分辨意义上的细微差别。有的是词义范围大小不同;如“战斗”和“战争”;有的是词义轻重不同;如“优秀”和“卓越”。 2．分辨色彩上的细微差别。有褒贬之分;书面语和口语之分。
小学语文考试常见题型和答题技巧：句子类考题 句子是由词或词组构成的能表达一个完整的意思的语言单位。学习句子是进行阅读、写作的基础。我们要学会联系上下文和生活实际理解句子，对于含义深刻的句子，要体会所表达的意思和思想感情。我们要能正确地用词造句。 按照句子的作用，一般把句子分为四种类型：陈述句、疑问句、祈使句、感叹句；按照句子的结构，又可分为单句和复句等。在单句中，我们要知道区别什么是完整的句子；在复句中，我们要知道前后两个句子是什么关系，该用什么合适的关联词。 句子常见的练习有以下几种： 1、按要求造句。可以是给定的词语或关联词，也可以是一定的句式。 2、变换句式。通常要求变换的句式有："把"字句和"被"字句；肯定句和否定句；直接叙述和间接叙述；陈述句和反问句。 做这样的练习，一要看清要求（或例句），明确是要变换什么；二要注意变换后的句式不能改变句子的意思；三要掌握一定的方法，如改反问句时，可以用一些常用的词加强语气，"难道不"、"怎么会"等；四要改后认真读一读，看看是否通顺，是否符合我们的语言习惯，有没有漏写某些内容，写错别字等。 3、扩句和缩句。扩句的基本方法是：首先找出句子的主干词；其次，在主干词语前加
上合适的修饰词语，修饰词语可以添加一处或多处，只要合适就行；再者，把扩好的句子读一读，看是否通顺，是否比原句的意思更具体、充实。 缩句的基本方法是：首先，把句子分成"谁""做什么"或者"什么""怎么样"两部分；其次，找出每一部分的主干词；再次，去掉修饰的词语，把主干词语连成完整的句子。扩句和缩句都一定要注意不能改变原句的意思。 4、修改病句。首先要弄清句子的病因，再对症下药。常见的句子毛病主要有： ⑴句子不完整，缺少成分（如，缺主语，或缺谓语，或缺宾语）→添加缺少的成分 ⑵用词不当（如，近义词或关联词用错）→换合适的词语 ⑶搭配不当（如，句子中某些词语在意义上彼此不能搭配，或是搭配在一起不合事理；或是不符合语言习惯）→改成合适的搭配 ⑷语序混乱→调整语序 ⑸前后矛盾→改或删 ⑹重复罗嗦→删
inner product： vector norm： Matrix norm： operator norm
The l 2 norm is a matrix norm (Frobenius norm) Proof We just verify the submultiplicative. Using Cauchy-Schwarz inequality, we have: The l 1 norm is a matrix norm.Proof We just verify the submultiplicative. Thel ∞ norm is not a matrix norm.Proof Consider the matrix: The maximum column sum norm ||| · |||1 is deduced by the l1 norm. Proof ： The maximum row sum norm ||| · |||∞ is deduced by the l ∞ norm. Proof ： The spectral norm ||| · |||2 is deduced by the l 2 norm. Proof ∑ =i ij j a A ||max ||||||1∑=∞j ij i a A | |max ||||||{} A A of eigenvalue an is A *=λλ:max ||||||2
The matrix is called diagonalizable if A is similar to a diagonal matrix. A matrix is diagonalizable iff A has n linearly independent eigenvectors. If U is unitary, compute and |||U|||2 :solution n M A ∈n M A ∈) (U ρ1)}(|:max{|)(=∈=U U σλλρ{} 1 )(:max ||||||*2=∈=U U U σλλ