人教版高一数学必修一知识点与习题讲解

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必修1第一章集合与函数基础知识点整理

第1讲 § 集合的含义与表示

¤知识要点：

1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.

2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.

3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .

4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈，2N -?.

¤例题精讲：

【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数.

解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.

（2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.

【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：

17 A ； －5 A ； 17 B . 解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；

由325k +=-，解得73

k Z =?，所以5A -?；

由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.

【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4）

（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；

（3）反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合.

解：（1）3

{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+?=?

=-+?

. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2

{|}{|0}x y x x x

==≠.

点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函

A B

B

A A

B A

B 数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.

*【例4】已知集合2{|1}2

x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．

解：化方程212

x a x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况：

⑴方程有等根且不是2±：由 △=0，得94

a =-，此时的解为12x =，合．

⑵方程有一解为2，而另一解不是2-：将2x =代入得2a =-，此时另

一解12x =-，合．

⑶方程有一解为2-，而另一解不是2：将2x =-代入得2a =，此时另一解为21x =+，合．

综上可知，9{,2,2}4

A =--．

点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.

第2讲 § 集合间的基本关系

¤知识要点：

1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集

（subset ），记作A B ?（或B A ?），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.

2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ?），且集合B 是集合A 的子集

（B A ?），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.

3. 如果集合A B ?，但存在元素x B ∈，且x A ?，则称集合A 是集合B 的真

子集（proper subset ），记作A ≠?

B （或B ≠?A ）. 4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作?，并规定空集是任何集合的子集.

5. 性质：A A ?；若A B ?，B C ?，则A C ?；

若A B A =，则A B ?；若A B A =，则B A ?. ¤例题精讲：

【例1】用适当的符号填空：

（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.

（2）? 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ? {0}； N {0}.

解：（1）， ；

（2）=， ∈， ，.

【例2】设集合1,,}22

{|,{|n

n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的

是

（ ）.

解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222

A =???---???，

3113

{,,,,,}2222

B =???--???，

易知B ≠

?A ，故答案选

A ．

另解：由21,}2

{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠?

A ，故答案选A ． 【例

3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ?，求实数a 的值.

解：由26023x x x +-=?=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =?，此时，N M ?；

（ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ?,满足1123a a

==-或，解得1123a a ==-或.

故所求实数a 的值为0或12或13

-.

点评：在考察“A B ?”这一关系时，不要忘记“?” ，因为A =?时存在

A B ?. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.

【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.

解：若2

2a b ax a b ax

+=??

+=??a +ax

2

-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1.

当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.

若22a b ax a b ax

?+=?

+=??2ax 2

-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有

12

x =-

. 经检验，此时A =B 成立. 综上所述12

x =-.

点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.

第3讲 § 集合的基本运算（一）

¤知识要点：

集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本集”）

符

号

图形表

示

¤例题精讲：

,{|15},{|39},,()U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示：

{|35}A B x x =<≤， (){|1,9}U C A B x x x =<-≥或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C . 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------. （1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C =， 得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------.

∴ ()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------.

【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.

解：由A B A =，可得A B ?.

在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知，4m ≥.

点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.

【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.

解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C A B =. 由{5,8}A B =，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C A B = 由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 则()(){6,7,9}U U C A C B =， ()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.

由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B =， ()()()U U U C A C B C A B =.

另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.

点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =与()()()U U U C A C B C A B = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.

第4讲 § 集合的基本运算（二）

¤知识要点：

U

A -2 4 m

B A

B -1 3 5 9 x

1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.

2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.

3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.

¤例题精讲：

【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =，求实数a 的值.

解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9A B =，则有：

当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去；

当29a ＝时，解得33a ＝或－.

3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，

不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意.

所以，3a ＝－.

【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B , A B .（教材P 14 B 组题2）

解：{1,4}B =.

当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =?； 当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =； 当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =，{4}A B =；

当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =，A B =?.

点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.

【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的值．

解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ?A ，可知集合B 可为?，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.

(i )若B =?，则224(1)4(1)0a a ?=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0?a =1或a =1-， 当a =1时，B =A ，符合题意；

当a =1-时，B ={0}?A ，也符合题意．

(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=?a =7或a =1， 当a =1时，已经讨论，符合题意；

当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．

点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现

的错误是遗漏了A =B 和B =?的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.

【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈?且，当集合

*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈?且”而拓展）

解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈?且，则 {1,3,4,7,8}A B -=.

点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U A C B .

第5讲 § 函数的概念

¤知识要点：

1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.

2. 设a 、b 是两个实数，且a

{x |a ≤x

符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则

{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.

3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.

¤例题精讲：

【例1】求下列函数的定义域： （1）1

21

y x =

+-；（2）y =

.

解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. （2）由

3020

x -≥??≠，解得3x ≥且9x ≠，

所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.

【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）32

54x y x +=

-； （2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得5

4

x ≠. 所以原函数的定义域

是5{|}4

x x ≠.

32112813(45)2332333

05445445445444x x x y x x x x ++-+=

=?=?=-+≠-+=-----，所以值域为3

{|}4

y y ≠-.

（2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4

-∞.

【例3】已知函数1()1x f x x

-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式

解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3

f =-.

（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1x f x x

-=+.

点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给

出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.

【例4】已知函数

2

2

(),1x f x x R x =∈+.

（1）求1()()f x f x

+的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()2

3

4

f f f f f f f ++++++.

解：（1）由2

22

2

2222

2

1

111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++.

（2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422

f f f f f f f =++++++=+=

点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.

第6讲 § 函数的表示法

¤知识要点：

1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.

2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.

3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.

判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . ¤例题精讲：

【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．

解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.

又由20a x >－，解得2

a x <.

所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2

a x x <<.

【例2】已知f (x )=333322

x x x x

-?++??+?? (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求

f [f (0)]的值.

解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴ f (0)=32.

又 ∵ 32>1，

∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12

=52

，即f [f (0)]=52

.

【例3】画出下列函数的图象：

（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3） （2）|1||24|y x x =-++.

解：（1）由绝对值的概念，有2,2

|2|2,2x x y x x x -≥?=-=?-

.

所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.

（2）33,1

|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>??=-++=+-≤≤??--<-?

，

所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.

点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.

【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.

解：

3, 2.522,211,10()0,01

1,122,233,3

x x x f x x x x x --<<-??--≤<-?--≤

=≤

=?. 函数图象如右： 点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.

第7讲 § 函数的单调性

¤知识要点：

1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.

3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1

¤例题精讲：

【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1

x f x x =-在区间（0，1）上的单

调性.

解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()

()()11(1)(1)

x x x x f x f x x x x x --=

-=

----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.

所以，函数2()1

x f x x =-在（0，1）上是减函数. 【例

2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.

解：设任意12,x x R ∈，且12x x <. 则

22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.

若0a <，当122b x x a <≤-时，有120x x -<，12b x x a

+<-，即12()0a x x b ++>，从而

12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b

a

-∞-上单调递增. 同理可得()

f x 在[,)2b a

-+∞上单调递减.

【例3】求下列函数的单调区间：

（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.

解：（1）33,1

|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>??=-++=+-≤≤??--<-?

，其图象如右.

由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.

（2）22

223,0

2||323,0

x x x y x x x x x ?-++≥?=-++=?--+

由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上

是减函数.

点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.

第8讲 § 函数最大（小）值

¤知识要点：

1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.

2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成

2

24()24b ac b y a x a a

-=++

后，当0a >时，函数取最小值为

2

44ac b a

-；当0a <时，函数

取最大值2

44ac b

a

-.

3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.

4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.

¤例题精讲：

【例1】求函数2

6

1y x x =

++的最大值. 解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得26

0813()24

x <

≤++. 所以函数的最大值为8.

【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大并求出最大利润.

解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -件，所赚得的利润为

(8)[10010(10)]y x x =---.

即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =.

所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.

【例3】求函数21y x x =+-的最小值.

解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2. 点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.

【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以

22115

222()48

y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，

故函数的最小值为2.

【例4】求下列函数的最大值和最小值：

（1）25332,[,]22

y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--. 解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2b x a

=-，即1x =-.

画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32

x =时，

min 94

y =-

.

所以函数25332,[,]22

y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94

-.

（2） 3 (2)

|1||2|2 1 (12)3 (1)

x y x x x x x ≥??=+--=--<

作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.

点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的

关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.

第9讲 § 函数的奇偶性

¤知识要点：

1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有

()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.

2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.

3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.

¤例题精讲：

【例1】判别下列函数的奇偶性：

（1）31()f x x x

=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.

解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有 3311()()()()f x x x f x x

x

-=--=--=--， 所以为奇函数.

（2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有 ()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数. （3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数.

【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1

f x

g x x -=+，求()f x 、

()g x .

解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=.

则1()()11()()1f x g x x f x g x x ?-=??+??---=?-+?，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ?

-=??+?

?--=

?-+?

. 两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21

()1

g x x =-.