Darcy's law
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In fluid dynamics and hydrology, Darcy's law is a phenomenologically derived constitutive equation that describes the flow of a fluid through a porous medium. The law was formulated by Henry Darcy based on the results of experiments (published 1856)[1] on the flow of water through beds of sand. It also forms the scientific basis of fluid permeability used in the earth sciences.
Contents
1 Background
2 Description
2.1 In 3D
2.2 Assumptions
3 Derivation
4 Additional forms of Darcy's law
4.1 Time derivative of flux
4.2 Brinkman term
4.3 Multiphase flow
4.4 Dupuit-Forchheimer equation for non-Darcy flow
4.5 In membrane operations
5 See also
6 References
7 External links
Background
Although Darcy's law (an expression of conservation of momentum) was originally determined experimentally by Henry Darcy (during 1855–1856),[1] it has since been derived from the Navier-Stokes equations via homogenization. It is analogous to Fourier's law in the field of heat conduction, Ohm's law in the field of electrical networks, or Fick's law in diffusion theory.
One application of Darcy's law is to water flow through an aquifer. Darcy's law along with the equation of conservation of mass are equivalent to the groundwater flow equation, one of the basic relationships of hydrogeology. Darcy's law is also used to describe oil, water, and gas flows through petroleum reservoirs. Description
Darcy's law is a simple proportional relationship between
the instantaneous discharge rate through a porous
medium, the viscosity of the fluid and the pressure drop
over a given distance.
Diagram showing definitions and directions for Darcy's law.
The total discharge, Q (units of volume per time, e.g.,
ft 3/s or m 3/s) is equal to the product of the permeability
(κ units of area, e.g. m 2) of the medium, the cross-sectional area (A ) to flow, and the pressure drop (P b ? P a ), all divided by the dynamic viscosity μ (in SI units e.g. kg/(m ·s) or Pa ·s), and the length L the pressure drop is taking place over. The negative sign is needed because fluids flow from high pressure to low pressure. So if the change in pressure is negative (in the x -
direction) then the flow will be positive (in the x -direction). Dividing both sides of the equation by the area and using more general notation leads to
where q is the filtration velocity or Darcy flux (discharge per unit area, with units of length per time, m/s) and
is the pressure gradient vector. This value of the filtration velocity (Darcy flux), is not the velocity which the water traveling through the pores is experiencing [2].
The pore (interstitial) velocity (v ) is related to the Darcy flux (q ) by the porosity (φ). The flux is divided by porosity to account for the fact that only a fraction of the total formation volume is available for flow. The pore velocity would be the velocity a conservative tracer would experience if carried by the fluid through the formation.
In 3D
In three dimensions, gravity must be accounted for, as the flow is not affected by the vertical pressure drop caused by gravity when assuming hydrostatic conditions. The solution is to subtract the gravitational pressure drop from the existing pressure drop in order to express the resulting flow,
where the flux is now a vector quantity, is a tensor of permeability,
is the gradient operator in 3D, g is the acceleration due to gravity,
is the unit vector in the vertical direction, pointing downwards and ρ is the
density.Effects of anisotropy in three dimensions are addressed using a symmetric second-order tensor of permeability:
where the magnitudes of permeability in the x, y, and z component directions are specified. Since this a symmetric matrix, there are at most six unique values. If the permeability is isotropic (equal magnitude in all directions), then the diagonal values are equal, , while all other components are 0. The permeability tensor can be interpreted through an evaluation of the relative magnitudes of each component. For example, rock with highly permeable vertical fractures aligned in the x-direction will have higher values for than other component values.
Assumptions
Darcy's law is a simple mathematical statement which neatly summarizes several familiar properties that groundwater flowing in aquifers exhibits, including:
if there is no pressure gradient over a distance, no flow occurs (this of course, is the hydro static
condition),
if there is a pressure gradient, flow will occur from high pressure towards low pressure (opposite the
direction of increasing gradient—hence the negative sign in Darcy's law),
the greater the pressure gradient (through the same formation material), the greater the discharge rate, and the discharge rate of fluid will often be different — through different formation materials (or even through the same material, in a different direction) — even if the same pressure gradient exists in both cases.
A graphical illustration of the use of the steady-state groundwater flow equation (based on Darcy's law and the conservation of mass) is in the construction of flownets, to quantify the amount of groundwater flowing under a dam.
Darcy's law is only valid for slow, viscous flow; fortunately, most groundwater flow cases fall in this category. Typically any flow with a Reynolds number (based on a pore size length scale) less than one is clearly laminar, and it would be valid to apply Darcy's law. Experimental tests have shown that flow regimes with values of Reynolds number up to 10 may still be Darcian. Reynolds number (a dimensionless parameter) for porous media flow is typically expressed as
where ρ is the density of the fluid (units of mass per volume), v is the specific discharge (not the pore velocity — with units of length per time), d30 is a representative grain diameter for the porous medium (often taken as the 30% passing size from a grain size analysis using sieves), and μ is the dynamic viscosity of the fluid.
Derivation
Assuming stationary, creeping, incompressible flow, the Navier-Stokes equation simplify to the Stokes equation:
,
where μ is the viscosity, u i is the velocity in the i direction, g i is the gravity component in the i direction and p is the pressure. Assuming the viscous resisting force is linear with the velocity we may write:
,
where φ is the porosity; ? (k ij) ? 1 is a proportionality factor (a second order tensor). This gives the velocity:
,
which gives Darcy's law:
.
Additional forms of Darcy's law
Time derivative of flux
For very short time scales or high frequency oscillations, a time derivative of flux may be added to Darcy's law, which results in valid solutions at very small times (in heat transfer, this is called the modified form of Fourier's law),
where τ is a very small time constant which causes this equation to reduce to the normal form of Darcy's law at "normal" times (> nanoseconds). The main reason for doing this is that the regular groundwater flow equation (diffusion equation) leads to singularities at constant head boundaries at very small times. This form is more mathematically rigorous, but leads to a hyperbolic groundwater flow equation, which is more difficult to solve and is only useful at very small times, typically out of the realm of practical use.
Brinkman term
Another extension to the traditional form of Darcy's law is the Brinkman term, which is used to account for transitional flow between boundaries (introduced by Brinkman in 1947),
where β is an effective viscosity term. This correction term accounts for flow through medium where the grains of the media are porous themselves, but is difficult to use, and is typically neglected.
Multiphase flow
For multiphase flow, an approximation is to use Darcy's law for each phase, with permeability replaced by phase permeability, which is the permeability of the rock multiplied with relative permeability. This approximation is valid if the interfaces between the fluids remain static, which is not true in general, but it is still a reasonable model under steady-state conditions.
Assuming that the flow of a phase in the presence of another phase can be viewed as single phase flow through a reduced pore network, we can add the subscript i for each phase to Darcy's law above written for Darcy flux, and obtain for each phase in multiphase flow
where κi is the phase permeability for phase i. From this we also define relative permeability κri for phase i as
κri = κi / κ
where κ is the permeability for the porous medium, as in Darcy's law.
Dupuit-Forchheimer equation for non-Darcy flow
For a sufficiently high flow velocity, the flow is nonlinear, and Dupuit and Forchheimer have proposed to generalize the flow equation to
where V is the flow velocity and β is a factor to be experimentally deduced.
In membrane operations
In pressure-driven membrane operations, Darcy's law is often used in the form,
where,
J is the volumetric flux (m.s? 1),
ΔP is the hydraulic pressure difference between the feed and permeate sides of the membrane (Pa),ΔΠ is the osmotic pressure difference between the feed and permeate sides of the membrane (Pa),
μ is the dynamic viscosity (Pa.s),
R f is the fouling resistance (m? 1), and
R m is the membrane resistance (m? 1).
See also
The darcy unit of fluid permeability
Hydrogeology
Groundwater discharge
Groundwater flow equation
Groundwater energy balance
Richards equation
Darcy friction factor
References
1. ^ a b Henry Darcy, Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon ("The Public Fountains of the Town
of Dijon"), Dalmont, Paris (1856).
2. ^ See Stauffer, Philip H. (2006). "Flux Flummoxed: A Proposal for Consistent Usage". Ground Water
44 (2): 125–128. doi:10.1111/j.1745-6584.2006.00197.x (https://www.doczj.com/doc/e117398670.html,/10.1111%2Fj.1745-
6584.2006.00197.x) . for a discussion of the many, sometimes confusing names given to (q) in the
ground water literature.
External links
Browser-based numerical calculator of permeability using Darcy's law.
(https://www.doczj.com/doc/e117398670.html,/CALC/eng/fluid/darcy)
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中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 柯西不等式的变形公式的妙用 柯西不等式晌丝形公式的她用 湖北省襄阳市第一中学王勇龚俊峰441000 柯西不等式具有对称和谐的结构,应用的关键在 于抓住问题的结构特征,找准解题的正确方向,合理 地变形,巧妙地构造.作为新课程的选修内容,柯西不 等式(简记为"方和积不小于积和方")在数学的多个 领域都有着广泛的应用.课堂教学中,笔者与学生共 同探究了柯西不等式的一个变形公式的应用,方便快 捷,妙不可言,达到了化难为易,化繁为简,化陌生为 熟悉的目的. 柯西不等式的变形公式:设a,n,…,a为实 数,b,bz,…,为正数,则等+薏十…+筹≥ b1+62+…+ 等号. , 当且仅当一薏一?一时取 址明:田tⅡJ四个寺瓦,侍 ((22十~t2+…+等)(64.b24.…+) ()+(老)+..?+(老).][c,z +()4-…+()!] ≥(.+老'+...+老.) 一(口l十以2+…+甜). . . .bl,b2,…～b为正数,...bl4"b24-…+>O, . ? . 鲁+譬+…+譬≥. 当且仅当一-...一卿一… 时取等号. 下面分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题方法. 1在代数中的妙用 例1设n,b,C均为正数,且不全相等,求证: ++>. 证明:由柯西不等式的变形公式,得 ++一:一 04.b6+f.f+n2(a+6).2(bq-一c) l2 .2(c+a) ,(2+2+2)0 2(n+6)+2(64-c)+2(f+0) 4(a+6+f) 一 —— a4"b4"c' 当且仅当一一,即6 —6+f:f+n,亦即a~b=c时,上述不等式取等号. 因题设a,b,c不全相等,于是9l_+赢9+?) >? ._..I◆ 点评:将十+变形为+ §2 柯西中值定理和不等式极限 一柯西中值定理 定理(6.5) 设、满足 (i) 在区间上连续， (ii) 在内可导 (iii) 不同时为零; (iv) 则至少存在一点使得 柯西中值定理的几何意义 曲线由参数方程 给出，除端点外处处有不垂直于轴的切线， 则上存在一点 P处的切线平行于割线.。 注意曲线 AB在点处的切线的斜率为 ， 而弦的斜率为 . 受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下： 由于， 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 容易验证满足罗尔定理的条件且 根据罗尔定理，至少有一点使得，即 由此得 注2：在柯西中值定理中，取，则公式（3）可写成 这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，则 . 这恰恰是罗尔定理. 注3:设在区间I上连续，则在区间I上为常数，. 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性 1、利用其几何意义 要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。 可以用这种几何解释进行思考解题： 例1：设在（a ，b）可导，且在 [a，b] 上严格递增，若，则对一切 有。 证明：记A（），，对任意的x，记C（），作弦线AB，BC，应用拉格 朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，所以 ＜，从而 ＜ 注意到，移项即得＜， 2、利用其有限增量公式 要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式 进行思考解题： 例2：设上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在使得 证：上式左端 作辅助函数 则上式 =， = ，其中 3、作为函数的变形 要点：若在[a，b]上连续，（a，b）内可微，则在[a，b]上 （介于与 之间） 此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。 例3 设在上可导，，并设有实数A＞0，使得 ≤在上 成立，试证 证明：在[0，]上连续，故存在] 使得 ==M 于是 M=≤A≤≤ 。 故 M=0，在[0，] 上恒为0。用数学归纳法，可证在一切[]（ i=1,2,…）上恒有 =0, 所以=0, 。 理学院 School of Sciences 微积分基本定理的证明 Proof of the fundamental theorem of calculus 学生姓名：张智 学生学号：201001164 所在班级：数学101 所在专业：数学与应用数学 指导老师：杨志林 摘要 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，自十七世纪以来，微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理，它的建立标志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明，建立了微分中值定理与积分中值定理的联系，在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。 关键词：微积分基本定理，发展史，定理的应用，定理的证明 ABSTRACT Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem. Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof 二八定律 二八定律又名80/20定律、帕累托法则（定律）、最省力的法则、不平衡原则等，被广泛应用于社会学及企业管理学等，EMBA、MBA等主流商管教育均对二八定律对企业管理的启示及对管理者组织决策的影响有所介绍。 1、理论来源 1897年，意大利经济学者帕累托偶然注意到19世纪英国人的财富和收益模式。在调查取样中，发现大部份的财富流向了少数人手里。同时，他还从早期的资料中发现，在其他的国家。都发现有这种微妙关系一再出现，而且在数学上呈现出一种稳定的关系。于是，帕累托从大量具体的事实中发现：社会上20%的人占有80%的社会财富，即：财富在人口中的分配是不平衡的。同时，人们还发现生活中存在许多不平衡的现象。因此，二八定律成了这种不平等关系的简称，不管结果是不是恰好为80%和20%（从统计学上来说，精确的80%和20%出现的概率很小）。习惯上，二八定律讨论的是顶端的20%。而非底部的80%。人们所采用的二八定律，是一种量化的实证法，用以计量投入和产出之间可能存在的关系。 2、二八现象 1.管理学：通常一个企业80%的利润来自它20%的项目；这个80/20定律被一再推而广之--经济学家说，20%的人手里掌握着80%的财富。有这样两种人，第一种占了80%，拥有20%的财富；第二种只占20%，却掌握80%的财富。 2.心理学：20%的人身上集中了人类80%的智慧，他们一出生就鹤立鸡群。 3.日常生活中的“二八法则”：以下是二八定律在生活中的体现： 20%的人成功------------------80%的人不成功 20%的人用脖子以上赚钱--------80%的人脖子以下赚钱 20%的人正面思考--------------80%的人负面思考 20%的人买时间----------------80%的人卖时间 20%的人找一个好员工----------80%的人找一份好工作 20%的人支配别人--------------80%的人受人支配 20%的人做事业----------------80%的人做事情 20%的人重视经验--------------80%的人重视学历 20%的人认为行动才有结果------80%的人认为知识就是力量 20%的人我要怎么做才有钱------80%的人我要有钱我就怎么做 20%的人爱投资----------------80%的人爱购物 20%的人有目标----------------80%的人爱瞎想 20%的人在问题中找答案--------80%的人在答案中找问题 20%的人在放眼长远------------80%的人只顾眼前 20%的人把握机会--------------80%的人错失机会 20%的人计划未来--------------80%的人早上起来才想今天干 嘛 20%的人按成功经验行事--------80%的人按自己的意愿行事 20%的人做简单的事情----------80%的人不愿意做简单的事情 20%的人明天的事情今天做------80%的人今天的事情明天做 20%的人如何能办到------------80%的人不可能办到 20%的人记笔记----------------80%的人忘性好 20%的人受成功人的影响--------80%的人受失败人的影响 20%的人状态很好--------------80%的人态度不好 戴维南定理典型例子_戴维南定理解题方法 什么是戴维南定理戴维南定理（又译为戴维宁定理）又称等效电压源定律，是由法国科学家L·C·戴维南于1883年提出的一个电学定理。由于早在1853年，亥姆霍兹也提出过本定理，所以又称亥姆霍兹-戴维南定理。其内容是：一个含有独立电压源、独立电流源及电阻的线性网络的两端，就其外部型态而言，在电性上可以用一个独立电压源V和一个松弛二端网络的串联电阻组合来等效。在单频交流系统中，此定理不仅只适用于电阻，也适用于广义的阻抗。戴维南定理在多电源多回路的复杂直流电路分析中有重要应用。 戴维南定理（Thevenin‘stheorem）：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络。电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc；电阻R0是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络N0的等效电阻。戴维南定理典型例子戴维南定理指出，等效二端网络的电动势E等于二端网络开路时的电压，它的串联内阻抗等于网络内部各独立源和电容电压、电感电流都为零时，从这二端看向网络的阻抗Zi。设二端网络N中含有独立电源和线性时不变二端元件（电阻器、电感器、电容器），这些元件之间可以有耦合，即可以有受控源及互感耦合；网络N的两端ɑ、b接有负载阻抗Z（s），但负载与网络N内部诸元件之间没有耦合，U（s）=I（s）/Z（s）。当网络N中所有独立电源都不工作（例如将独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替），所有电容电压和电感电流的初始值都为零的时候，可把这二端网络记作N0。这样，负载阻抗Z（s）中的电流I（s）一般就可以按下式1计算（图2）式中E（s）是图1二端网络N的开路电压，亦即Z（s）是无穷大时的电压U（s）；Zi（s）是二端网络N0呈现的阻抗；s是由单边拉普拉斯变换引进的复变量。 和戴维南定理类似，有诺顿定理或亥姆霍兹－诺顿定理。按照这一定理，任何含源线性时不变二端网络均可等效为二端电流源，它的电流J等于在网络二端短路线中流过的电流，并联内阻抗同样等于看向网络的阻抗。这样，图1中的电流I（s）一般可按下式2计算（图 柯西中值定理的证明及应用 马玉莲 （西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070） 摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式. 关键词：柯西中值定理; 证明; 应用 1.引言 微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下： 柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足 (1) 在[,]a b 上都连续; (2) 在(,)a b 内都可导; (3) '()f x 和'()g x 不同时为零; (4) ()()g a g b ≠, 则存在(,)a b ξ∈，使得 ()()() ()()() f f b f a g g b g a ξξ''-=- . （1） 本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用. 2.柯西中值定理的证明 2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理 罗尔定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，且 ()()f a f b =则至少存在一点,(,)a b ξ∈ , 使得 因为()0g ξ'≠（若()g ξ'为0则()f ξ'同时为0, 不符条件）故可将（2）式改写为(1)式. 便得所证. 第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 证法一：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =u r ，(,)n c d =r ，则22||m a b =+u r 22||n c d +r . ∵ m n ac bd ?=+u r r ，且||||cos ,m n m n m n =<>u r r u r r u r r g g g ，则||||||m n m n ≤u r r u r r g g . ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： 2222||a b c d ac bd +++g 或 2222||||a b c d ac bd +++g 2222a b c d ac bd ++≥+g . ④ 提出定理2：设,αβu r u r 是两个向量，则||||||αβαβ≤u r u r u r u r g . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 讨论：上面时候等号成立？（βu r 是零向量，或者,αβu r u r 共线） ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 222222()()a b c d a c b d ++≥-+- 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈22222211221212()()x y x y x x y y ++≥-+-分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程： 22222()()()a b c d ac bd ++≥+22222211221212()()x y x y x x y y ++≥-+- 3. 如何利用二维柯西不等式求函数12y x x =--? 要点：利用变式2222||ac bd a b c d +++g . 二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值： ① 出示例1：求函数31102y x x =-- 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：31102y x x =-- → 推广：,(,,,,,)y bx c e fx a b c d e f R +=+-∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313 x y x y x y += ++≥+=. 2. 教学不等式的证明： ① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证： 112x y +≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 要点：2222111111()()[()()][()]22x y x y x y x y x y +=++=++≥… 第三章复杂直流电路 ------戴维宁定理 一．填空 1.任何具有两个引出端的电路都称为网络,其中若包含电源的,称为网络。 2.运用戴维宁定理就能将任一个线性含源的简化为电源。这个电源的电 动势E O 等于，电源的内阻R O 等于。 3.任何具有的电路都可称为二端网络。若在这部分电路中含有，就可以称为有源二端网络。 4.戴维南定理指出：任何有源二端网络都可以用一个等效电压源来代替，电源的电动势等于二端网络的，其内阻等于有源两端网络内 二．选择 1.若某电源开路电压为120V，短路电流为2A，则负载从该电源获得的最大功率是（） A.240 W B.60 W C.600 W 2.一有源二端网络，测得其开路电压为100V，短路电流为10A，当外接10Ω负载时，负载电流为（）A。 A.5 B.10 C.20 3.用戴维南定理分析电路“输入电阻”时，应将内部的电动势（）处理。 A．作开路 B．作短路 C．不进行 D．以上答案都不正确 三．是非判断 1．利用戴维南定理解题时有源二端网络必须是线性的，待求支路可以是非线性的。 四．求下列二端网络的开路电压E O 及等效电阻R O （求出电源的E O 和R O 并画出电源） 1. 2. 3. 五．计算 1.图示电路中，已知：U S =4V，I S =3A，R 1 =R 2 =1，R 3 =3，用戴维宁定理求电流I。 2.图示电路中，已知：U S =24V，I S =4A，R 1 =6，R 2 =3，R 3 =4，R 4 =2，用戴维宁定理求电流 I 3.用戴维南定理计算图中的支路电流I 3 4.用戴维南定理求下图所示电路中的电流I 5.电路如图 2－52所示，已知电源电动势E 1 ＝12V，E 2 ＝2V，电源内阻不计，电阻R 1 ＝R 2 ＝R 6 ＝5Ω，R 3 ＝1Ω，R 4 ＝10Ω，R 5 ＝5Ω。试用戴维宁定理求通过电阻R3的电流。 第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ① 提出定理 1：若 a 、 b 、 c 、 d 为实数，则 (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) (ac bd )2 . 证法一：（比较法） (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2 = .= ( ad bc) 2 0 证法二：（综合法） (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) a 2c 2 a 2 d 2 b 2c 2 b 2d 2 ( ac bd ) 2 ( ad bc) 2 ( ac bd) 2 . （要点：展开→配方） ur (a,b) ， r ur a 2 b 2 r c 2 d 2 . 证法三：（向量法）设向量 m n (c,d ) ，则 | m | ， | n | ur r ur r ur r ur r ur r ur r ∴.. ∵ m ? n ac bd ，且 mgn | m |g| n |gcos m,n ，则 | mgn | | m |g| n | . 证法四：（函数法）设 f ( x) ( a 2 b 2 ) x 2 2( ac bd ) x c 2 d 2 ，则 f ( x) ( ax c)2 (bx d )2 ≥ 0 恒成立 . ∴ [ 2(ac bd)] 2 4(a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ≤ 0，即 .. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac | | bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 ac bd . 2：设 ur ur ur ur | | ur ur ④ 提出定理 , 是两个向量，则 | g || | . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） ur ur ur , → 讨论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 共线） ⑤ 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 a 2 b 2 c 2 d 2 (a c)2 (b d) 2 . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理 3：设 x , y , x , y R ，则 2 2 2 2 2 2 . 1 12 2 x 1 y 1 x 2 y 2 ( x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 ) 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 R ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结： 二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程 ： (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ； x 12 y 1 2 x 2 2 y 2 2 ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 )2 3. 如何利用二维柯西不等式求函数 y x 1 2 x 的最大值 ? 要点：利用变式 | ac bd | a 2 b 2 g c 2 d 2 . 二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值： ① 出示例 1：求函数 y 3 x 1 10 2x 的最大值？ 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式： y 3x 1 10 2x → 推广： y a bx c d e fx,( a,b,c,d ,e, f R ) ② 练习：已知 3x 2 y 1，求 x 2 y 2 的最小值 . 解答要点：（凑配法） x 2 y 2 1 ( x 2 y 2 )(3 2 22 ) 1 (3 x 2 y) 2 1 . 13 13 13 2. 教学不等式的证明： ① 出示例 2：若 x, y R ， x y 2 ，求证： 1 1 2 . x y 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 要点： 1 1 1 ( x y)( 1 1 ) 1 [( x )2 ( y )2 ][( 1 ) 2 (1)2 ] x y 2 x y 2 x y 二八定律及其应用 二八定律名词解释：二八定律又名帕累托定律，也叫巴莱多定律、80/20定律、最省力的法则、不平衡原则等，是19世纪末20世纪初意大利经济学家帕累托发明的。他认为：在任何一组东西中，最重要的只占其中一小部分，约20%，其余80%的尽管是多数，却是次要的，因此又称二八法则。 来由：1897年，意大利经济学者帕累托偶然注意到19世纪英国人的财富和收益模式。在调查取样中，他发现大部份的财富流向了少数人手里。同时，他还发现了一件非常重要的事情，在其他的国家，从早期的资料中，都发现有这种微妙关系一再出现，而且在数学上呈现出一种稳定的关系。 于是，帕累托从大量具体的事实中发现：社会上20%的人占有80%的社会财富，即：财富在人口中的分配是不平衡的。同时，人们还发现生活中存在许多不平衡的现象。因此，二八定律[1]成了这种不平等关系的简称，不管结果是不是恰好为80%和20%（从统计学上来说，精确的80%和20%不太可能出现）。习惯上，二八定律讨论的是顶端的20%，而非底部的80%。后人对于帕累托的这项发现给予了不同的命名，例如，巴莱多定律、80/20定律、最省力的法则、不平衡原则等。以上这些名称，在本词条中统称为二八定律。今天人们所采用的二八定律，是一种量化的实证法，用以计量投入和产出之间可能存在的关系。 定律模式：80/20定律，是20世纪初意大利统计学家、经济学家维尔弗雷多·帕累托提出的，他指出：在任何特定群体中，重要的因子通常只占少数，而不重要的因子则占多数，因此只要能控制具有重要性的少数因子即能控制全局，这个原理经过多年的演化，已变成当今管理学界所熟知的二八法则——即80%的公司利润来自20%的重要客户，其余20%的利润则来自80%的普通客户。 有人说：“美国人的金钱装在犹太人的口袋里。”为什么？犹太人认为，存在一条78∶22宇宙法则，世界上许多事物，都是按78∶22这样的比率存在的。比如空气中，氮气占78%，氧气及其他气体占22%。人体中的水分占78%，其他为22%等等（注：现代医学认为成年人人体中的水分占65%，其他为35%）。而自己则把精力集中到最有希望的客户上。不久，他一个月就赚到了1000美元。穆尔学会了犹太人经商的二八法则，连续九年从不放弃这一法则，这使他最终成为凯利—穆尔油漆公司的董事长。 不仅犹太人是这样，许多世界著名的大公司也非常注重二八法则。比如，通用电气公司永远把奖励放在第一，它的薪金和奖励制度使员工们工作得更快、也更出色，但只奖励那些完成了高难度工作指标的员工。摩托罗拉公司认为，在100名员工中，前面25名是好的，后面25名差一些，应该做好两头人的工作。对于后25 人，要给他们提供发展的机会；对于表现好的，要设法保持他们的激情。诺基亚公司也信奉二八法则，为最优秀的20%的员工设计出一条梯形的奖励曲线。 应用广泛：巴莱多定律(也叫二八定律)是19世纪末20世纪初意大利经济学家巴莱多发现的。他认为，在任何一组东西中，最重要的只占其中一小部分，约20%，其余80%尽管是多数，却是次要的，因此又称二八定律。 生活中普遍存在“二八定律”。商家80%的销售额来自20%的商品，80%的业务收入是由20%的客户创造的；在销售公司里，20%的推销员带回80%的新生意，等等；“二八现象”竟如“黄金分割”一样普遍。 二八定律：你开发客户的分类，也就是说：你花8成精力去开发大客户，花2成精力去开发小客户，这样大小客户兼得，你的业务就会省时间省精力，二八定律是销售行业的潜规律。 大多数人只是为了求生存,而没有把工作作为自己的事业来做,并且有的尽力了不一定能成功,最终只有百分之二十的人创造百分之八十的销售业绩。. 企业80%的利润来源于20%的大客户或者忠实客户 80/20法则不仅在经济学、管理学领域应用广泛，它对我们的自身发展也有重要启示。让我们学会避免将时间和精力花费在琐事上，要学会抓主要矛盾。一个人的时间和精力都是非常有限的，要想真正“做好每一件事情”几乎是不可能的，要学会合理分配我们的时间和精力。要想面面俱到还不如重点突破。把80%的资源花在能出关键效益的20%的方面，这20%的方面又能带动其余80%的发展。 应对策略： 目标：进入20%。 计划：要遵守下列事项：鼓励特殊表现，而非赞美全面的平均努力；寻求捷径，而非全程参与；选择性寻找，而非巨细无遗的观察；在几件事情上追求卓越，不必事事都有好表现；不必苦苦追求所有机会。当我们处于创造力巅峰，幸运女神眷顾的时候，务必善用这少有的“二八定律”。 行动：行动开始行动，注意坚持。 管理学定律特点：定律的特点，是可证，而且已经被不断证明。 管理学范畴有一个著名的80/20定律，它说，通常一个企业80%的利润来自它20%的项目；这个80/20定二八定律图示：律被一再推而广之--经济学家说，20%的人手里掌握着80%的财富。有这样两种人，第一种占了80%，拥有20%的财富；第二种只占20%，却掌握80%的财富。为什么呢？原来，第一种人每天只会盯着 第一课时 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 证法一：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a b =+，2||n c d =+ ∵ m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. } ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： 222||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+ 222c d ac bd +≥+. ④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 讨论：上面时候等号成立（β是零向量，或者,αβ共线） ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈ ? 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程： 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 3. 如何利用二维柯西不等式求函数y = 要点：利用变式222||ac bd c d ++. 二、讲授新课： % 1. 教学最大（小）值： ① 出示例1：求函数y = 分析：如何变形 → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：y = → 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313 x y x y x y += ++≥+=. 2. 教学不等式的证明： ① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证： 112x y +≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式 （注意对比 → 构造） 浅谈二八法则原理与应用 二八法则又称“马特莱法则”，是国际上公认的一种企业法则。经过实践的检验，二八法则是企业提高效率、实现科学系统管理制胜的法宝。二八法则在企业的实际应用中，主要体现在如下几个环节： 一、“二八管理法则”。企业主要抓好20％的骨干力量的管理，再以20％的少数带动80％的多数员工，以提高企业效率。 二、“二八决策法则”。抓住企业普遍问题中的最关键性的问题进行决策，以达到纲举目张的效应。 三、“二八融资法则”。管理者要将有限的资金投入到经营的重点项目，以此不断优化资金投向，提高资金使用效率。 四、“二八营销法则”。经营者要抓住20％的重点商品与重点用户，渗透营销，牵一发而动全身。 从企业管理的角度讲，二八法则实际侧重的是“榜样的力量”。做企业的都知道，企业80%的效益是由20%的核心员工来完成的。这20%的骨干员工在企业中是顶梁柱，也是“鳗鱼效应”的主题，通过他们积极主动的工作与活动，来带动整个团队的活力，从而为为整个企业创造价值。 从企业决策的角度来讲，二八法则主要侧重与抓典型、抓关键问题进行有效、正确的决策，企业的运行过程中，几乎每天都有很多问题需要决策，但是能够左右企业的发展方向和企业成败关键问题只有关键的几个，能够善于认清“关键问题”，进行正确的“关键决策”无疑会影响整个企业的发展。我们经常会说这样一句话：人生之路遥远漫长，但是关键的也就是几步，能够影响你一生的命运。因此，抓住企业的关键问题进行正确的决策就象走好人生关键的几步一样重要。 二八法则在企业资金运作中主要体现在：将有限的资金和资源，投放到关键的项目， 也就是优化投资结构、加快企业资金的周转和利用率。现代化企业拼的是速度，“以速度冲击规模”是现代企业所倡导的全新理念。当你在一味的抱怨自己企业资金不足的时候，早已经有很多企业家把眼光放在了提高资金周转速度、提高资金利用率上了。国内曾经涌现出一大批“以速度冲击规模”的典范，当年的TCL，曾经创造了用10亿流动资金，创造出年销售收入150亿的经营奇迹。可见，优化资金投向、提高资金使用效率，“以速度冲击规模”，是企业健康、良性发展的关键。 二八法则在营销环节中，主要体现为两个方面，一是重点产品，二是重点客户。即企业80%的销售是由20%的重点商品完成的；企业80%的销量是由20%的核心客户完成的。无论是厂家或者商家，都要明白这个道理。比如，我们的冰箱产品线规划，几十款冰箱产品，产品线很长、很丰富，但是丰富的产品线是为了满足不同区域、不同消费者的需求，但是经过每个月的销售结构统计你会发现，一定是有20%的产品占到总体销量的80%.而我们的客户也是一样，展台上摆放20多款冰箱产品，其实每个月主要销售的也就是那么几款。明白了二八法则在营销中的应用原理至关重要，作为经销商来讲，要根据自己区域的特点，找准核心产品进行主推；作为厂家和代理商来讲，一定要将自己的客户进行A、B、C分类，认清哪些是完成你80%销售任务的核心客户，然后对核心客户进行重点的支持和关注。 关于二八法则的应用，可以说在生活中也无处不在：社会的80%的财富集中在20%的人手中；80%的有效工作是用20%的时间完成的；80%的大房子是被20%的人购买并居住等等……总之，“二八法则”要求管理者在工作中不能“胡子眉毛一把抓”，而是要抓关键人员、关键环节、关键用户、关键项目、关键岗位 中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 上海中学数学2014年第3期 柯西不等式常见题型解法例说315500浙江省奉化中学陈晴应向明 柯西不等式≥：d；≥：研≥f≥]ni．6。1‘是基本 百鬲、百7 而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且还具有非常重要的应用价值．它原先只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不等式选讲》里，已经加进了柯西不等式，也就是说它将成为选修学生的日常教学要求．用柯西不等式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了，但求解时灵活性较大，技巧性较强．其中一些常见的问题，其解决策略往往与其呈现方式直接相关．笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型进行分类，例析对应的解决策略．三维的柯西不等式(盘；+丑；+口；)(躇+6；+鹾)≥(n。6，+口：6：+a。63)2揭示了任意两组数组即(n。，n。，n。)、(6，，6。，63)的平方和之积与实数积之和的平方的大小关系．应用时要解决的核心问题就是如何通过变换不等式，向柯西不等式“逼近”，构造出不等式所需要的两组数组(乜，，乜。，以。)、(6。，6：，6。)，这也是运用柯西不等式解题的基本策略． 1一次与二次 例1(2013湖南高考)已知口、6、c∈R，盘+26 +3c一6，则n2+462+9c2的最小值为——．解：n+26+3c一6，由柯西不等式得(n2+462 +9c2)(12+12+12)≥(n+26+3c)2， 可知n。+462+9c。≥婺一12，即最小值为12． 例2设．r，y，z∈R，且满足T2+y2+z2—5，则Lr+2y+3z之最大值为——． 解：(．f r+2y+32)2≤(L z’2+y2+z2)(12+22+ 32)一70，．‘．Ir+2y+3z最大值为√而． 例3如啪2∈R且与≯+≮型+竖j翌一1，求T+y+z的最大值、最小值．解：与竽+≮型+半一，，由柯西不等式得 [4z+渺+22]『c孚)2+c警)2+c字，2]≥…孚)惭(害)+z．(字)]2 号25×1≥b+y+z一2)2≥5≥l L r+y+z一2 ≥一5≤z+y+z一2≤5． ．‘．一3≤T+y+z≤7． 故T+y+z之最大值为7，最小值为一3． 评注：这类题型的最大特征就是条件与结论中分别出现了一次式与两次式，而要实现一次与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的形态进行构造，让其中一个数组为常数组，这样问题往往可以奏效． 2整式与分式 2．1两组数组对应的数分别为倒数型 例4(2012福建高考)已知函数厂(T)一m—z一2I，m∈R且，(z+2)≥o的解集为[一1，1]． (1)求m的值； (2)若口，6，c∈R，且丢+去+去一m，求证：n+26+3c≥9． 解：(1)厂(．r+2)一m—f．r}，／(T+2)≥o等价于I T l≤m， 由I T l≤m有解，得m≥O，且其解集为{丁l —m≤z≤m1)， 又，(z+2)≥o的解集为[一1，1]，故m一1． (2)由(1)知丢+去+去一1，又＆，6，c∈R， 由柯西不等式得 Ⅱ+26+3c一(n+26+3c)f丢+去+去)≥F‘去+何‘去+厄’去)2姐 评注：这类题型从结构来讲，两组数组分别是整式类型(口，，n z，n。)与分式类型(署，昙，去)(其中夕，q，，一为常数)，其实属于对勾函数的范畴，运用均值不等式也能完成，但不如柯西不等式简洁、方便．2．2分式中分子的次数高于分母型 例5(2009浙江高考)已知正数T，y，2，z+y 忙1．掘彘+毫+彘≥专． V十Z Z z十Z．r．r十二V0证法1：利用柯西不等式 (惫+矗+南)№他川z+ 2．十r)+(z+2v)]≥(．r+v+z)2．柯西不等式的变形公式的妙用
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