3
.
2．经过原点且与直线x ＋y －2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2 B ．(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2 C ．(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝4 D ．(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝4
解析：选A.设圆心的坐标为(a ，b )，则a 2
＋b 2
＝r 2
①，(a －2)2
＋b 2
＝r 2
②，
b
a －2
＝1③，
联立①②③解得a ＝1，b ＝－1，r 2
＝2.故所求圆的标准方程是(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2.故选A.
3．(2019·山东青岛模拟)已知圆M ：x 2
＋y 2
－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →
＝－6(其中O 为坐标原点)，则圆M 的半径为( )
A ． 5
B ． 6
C ．7
D ．2 2
解析：选C.圆M 的标准方程为(x －1)2
＋y 2
＝1－a (a <1)，圆心M (1，0)，则|OM |＝1，因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →
＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2＝－6，所以r 2
＝7，得r ＝7，所以圆的半径为7，故选C.
直线与圆、圆与圆的综合问题
[典型例题]
命题角度一 切线问题
已知圆O ：x 2
＋y 2
＝1，点P 为直线x 4＋y
2
＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，
PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )
A ．? ??
??12，14 B ．? ??
??14，12 C ．?
??
??
34，0 D ．? ?
?
??0，
34 【解析】 因为点P 是直线x 4＋y
2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是
圆x 2
＋y 2
＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．所以圆心C 的坐标是? ?
???
2－m ，m 2，且半径的平
方r 2
＝（4－2m ）2
＋m
2
4
，
所以圆C 的方程为(x －2＋m )2
＋? ??
??y －m 22
＝
（4－2m ）2＋m 2
4，①
又x 2＋y 2
＝1，②
所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，
即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由?
???
?－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得
?????x ＝1
4，y ＝12
，所以直线AB 过定点? ????14，12.故选B.
【答案】 B
过一点求圆的切线方程的方法
(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法
若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k (k ≠0)，由垂直关系知切线斜率为－1
k
，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程x ＝x 0.
(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法
当切线斜率存在时，设切线斜率为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0
＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当切线斜率不存在时要加以验证．
命题角度二 弦长问题
已知圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx
＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．
(1)求圆C 的方程；
(2)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积
的最大值．
【解】 (1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，
即（a ＋2）2
＋（a －0）2
＝（a －0）2
＋（a －2）2
＝r ，解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C 的方程为x 2
＋y 2
＝4.
(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S . 因为直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l 1⊥l ，根据勾股定理，有d 2
1＋d 2
＝1. 又|PQ |＝2×4－d 2
，|MN |＝2×4－d 2
1， 所以S ＝1
2|PQ |·|MN |
＝12×2×4－d 2×2×4－d 21 ＝216－4（d 2
1＋d 2
）＋d 21d 2
＝212＋d 21
d 2≤212＋? ??
?
?d 21＋d 2
22
＝2
12＋1
4
＝7，
当且仅当d 1＝d 时，等号成立， 所以四边形PMQN 面积的最大值为7.
求解圆的弦长的3种方法
关系法
根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系
r 2＝d 2
＋l 2
4
(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)
公式法
根据公式l ＝1＋k 2
|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)
距离法 联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解
命题角度三 直线与圆的综合问题
已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2
＋y 2
＝2的内部，且直线3x
＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .
(1)求圆C 的方程；
(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1→·BA 2→
； (3)求证：|AN |·|BM |为定值．
【解】 (1)易知圆心C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上， 故可设C (a ，a )，圆C 的半径为r .
因为直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为23，且r ＝a 2
＋（a －2）2
， 所以C (a ，a )到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|7a ＋5|5＝r 2－3＝2a 2
－4a ＋1，
所以a ＝0或a ＝170.
又圆C 的圆心在圆x 2
＋y 2
＝2的内部，
所以a ＝0，此时r ＝2，所以圆C 的方程为x 2
＋y 2
＝4. (2)将y ＝x ＋1代入x 2
＋y 2
＝4得2x 2
＋2x －3＝0. 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－3
2
.
所以BA 1→·BA 2→
＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2－(x 1＋
x 2)＋5＝－3＋1＋5＝3.
(3)证明：当直线PA 的斜率不存在时，|AN |·|BM |＝8. 当直线PA 与直线PB 的斜率都存在时，设P (x 0，y 0)， 直线PA 的方程为y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0得M ? ??
??2x 02－y 0，0.
直线PB 的方程为y ＝
y 0
x 0－2(x －2)，令x ＝0得N ? ??
??0，2y 02－x 0. 所以|AN |·|BM |＝? ????2－2y 02－x 0? ????2－2x 02－y 0 ＝4＋4??
??
?
?y 0x 0－2＋x 0y 0－2＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）
＝4＋4×y 20－2y 0＋x 2
0－2x 0＋x 0y 0
（x 0－2）（y 0－2）
＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 0
（x 0－2）（y 0－2）
＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 0
4－2y 0－2x 0＋x 0y 0＝8，
综上，|AN |·|BM |为定值8.
讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
[对点训练]
1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．
因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.
2．(2019·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为________________，圆C被x轴截得的弦长为________________．
解析：将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，圆心连线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×（42）2－42＝8.
答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0 8
3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点M(1，3)，N(1，－3)．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为－2.求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标．
解：(1)因为圆C过点M(1，3)，N(1，－3)，
所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线上，即在x 轴上， 故设圆心为C (a ，0)，易知a >0， 又圆C 与y 轴相切， 所以圆C 的半径r ＝a ，
所以圆C 的方程为(x －a )2
＋y 2
＝a 2
. 因为点M (1，3)在圆C 上， 所以(1－a )2
＋(3)2
＝a 2，解得a ＝2. 所以圆C 的方程为(x
－2)2
＋y 2
＝4. (2)记直线OA 的斜率为k (k ≠0)， 则其方程为y ＝kx .
联立?
????（x －2）2
＋y 2
＝4，y ＝kx ，消去y ，得(k 2＋1)x 2
－4x ＝0，
解得x 1＝0，x 2＝4
k 2
＋1
. 所以A ?
??
?
?4k 2＋1，4k k 2＋1.
由k ·k OB ＝－2，得k OB ＝－2k
，直线OB 的方程为y ＝－2
k
x ， 在点A 的坐标中用－2k 代替k ，得B ? ??
??4k
2
k 2＋4，－8k k 2＋4.
当直线l 的斜率不存在时，4k 2＋1＝4k 2k 2＋4，得k 2
＝2，此时直线l 的方程为x ＝43.
当直线l 的斜率存在时，4k 2＋1≠4k 2
k 2＋4，即k 2
≠2.
则直线l 的斜率为4k k 2
＋1－－8k
k 2
＋4
4k 2＋1－
4k 2k 2＋4
＝
4k （k 2＋4）＋8k （k 2＋1）4（k 2＋4）－4k 2（k 2＋1）＝3k （k 2
＋2）4－k 4＝3k
2－k 2.
故直线l 的方程为y －
4k k 2
＋1＝3k 2－k 2? ?
?
??x －4k 2
＋1. 即y ＝3k 2－k 2? ????x －43，所以直线l 过定点? ??
??43，0. 综上，直线l 恒过定点，定点坐标为? ??
??43，0.
一、选择题
1．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )
A ．(3，3)
B ．(2，3)
C ．(1，3)
D ．? ??
??1，
32 解析：选C.直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝
3
3
，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝3
3(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －
2)，联立?????
y ＝33（x ＋2），y ＝－3（x －2），
解得???x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．
2．圆C 与x 轴相切于T (1，0)，与y 轴正半轴交于A 、B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )
A ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝2 B ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝2 C ．(x ＋1)2
＋(y ＋2)2
＝4 D ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝4
解析：选A.由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2
＋(y －2)2
＝2，故选A.
3．已知圆M ：x 2
＋y 2
－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆
N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
解析：选B.圆M ：x 2
＋y 2
－2ay ＝0(a >0)可化为x 2
＋(y －a )2
＝a 2
，由题意，M (0，a )到直线
x ＋y ＝0的距离d ＝
a
2
，所以a 2
＝a 2
2＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2
＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．
4．(多选)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2
＋y 2
－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )
A ．0B ．m <1
C ．－2D ．－3解析：选AC.圆x 2
＋y 2
－2x －1＝0的圆心为(1，0)，半径为 2.因为直线x －y ＋m ＝0与
圆x 2＋y 2
－2x －1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d ＝
|1＋m |1＋1<2，所以|1＋m |<2，解得－35．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2
＋|MQ |2
＝( )
A ．
102
B ．10
C ．5
D ．10
解析：选D.由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点
Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.
6．(一题多解)(2019·潍坊模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2
＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
解析：选C.法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由?
????x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2
－2ky －3＝0，
则Δ＝4k 2＋12(k 2
＋1)>0，y 1＋y 2＝
2k k 2
＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1
，因为OM →＝OA →＋OB →
，故M ? ??
??－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4（k 2＋1）2＋4k 2
（k 2＋1）2＝4，解得k ＝0.
法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →
，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝
11＋k
2
＝1，解得k ＝0.
二、填空题
7．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2
相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．
解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1， 所以S △AOB ＝1
2|OA |·|OB |·sin ∠AOB
＝12sin ∠AOB ≤12
， 当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝
2
2
，
于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝22
2＝1
2，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，
则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33
. 答案：－
33
8．已知圆O ：x 2
＋y 2
＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．
解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d ＋1
2
＝|a |
2
<3，解得a ∈(－32，32)．
答案：(－32，32)
9．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．
解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2
＋（－1＋2）2
＝ 5.
法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以
m ＋1
0－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2
＝ 5. 答案：－2 5
三、解答题
10．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．
(1)求曲线E 的方程；
(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．
解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意得（x ＋1）2
＋y 2
＝3·（x －1）2
＋y 2
， 整理得x 2
＋y 2
－4x ＋1＝0，即(x －2)2
＋y 2
＝3为所求．
(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.
设直线CD ：y ＝－x ＋t ，
由?
????y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ? ????t ＋22，t －22， 由圆的几何性质，知|NP |＝12
|CD |＝|ED |2－|EP |2
，
而|NP |2
＝? ????t ＋22－12＋? ??
?
?t －222
，|ED |2＝3，
|EP |2
＝? ??
??|2－t |22
，
所以? ????t 22＋? ??
??t －222
＝3－（t －2）2
2，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3， 所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.
11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2
＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；
(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：
设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.
又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC
的情况．
(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 2
2
)．
由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m
2
.
联立?????x ＝－m 2，y －12＝x 2
（x －x 2
2），
又x 2
2
＋mx 2
－2＝0，
可得?????x ＝－m 2，y ＝－1
2.
所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m
2，－12)，半径r ＝m 2
＋92.
故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－（m
2
）2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的
弦长为定值．
12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组?
??
??y ＝2x －4，
y ＝x －1，得圆心C (3，2)，
又因为圆C 的半径为1，
所以圆C 的方程为(x －3)2
＋(y －2)2
＝1，
又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，
所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－3
4，
所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－3
4x ＋3，
即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.
(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， 所以设圆心C 为(a ，2a －4)， 又因为圆C 的半径为1，
则圆C 的方程为(x －a )2
＋(y －2a ＋4)2
＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有
x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，
整理得x 2
＋(y ＋1)2
＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，
所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2
＋（2a －4＋1）2
≤2＋1，
解得0≤a ≤125
，
所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为?
?????0，125.
(完整word版)高中数学解析几何大题精选
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．
高三数学解析几何专题
专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线
2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练
冲刺高考 复习必备 2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 倾斜角与斜率 例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ） A. 0150 B. 0120 C. 060 D. 030 【答案】 A 【解析】由直线l 310y +-=，可得直线的斜率为3 3 - =k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则3 3 tan -=α，∴?=150α． 故选：A ． 【易错点】基础求解问题注意不要算错 【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2 π ，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练 例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或9 2=a 【解析】5 97,35a k a k CB AB += -= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即 59735a a += -，解得2=a 或9 2 =a ． 题型二 直线方程 例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）． A. 2x y += B. 1x y += C. 1x =或1y = D. 2x y +=或x y =
【答案】D 【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m +=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ． 【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。故做题时应考虑此情形 【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。不要漏解。 题型三 直线位置关系的判断 例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（ ） A. 2-或1- B. 2或1- C. 2-或1 D. 2或1 【答案】D 【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+= 化简为2 3201k k k -+=?= 或2 故选择D 【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。首先求斜率变形时分母不为0，分母为零，实际上上是一条竖线（k 不存在）；其次垂直时应为：121-=k k （斜率均存在）或21k k ，中一为0，一不存在 若用0:1=++c by ax l ，0:2=++t ny mx l 垂直的充要条件：0=+bn am ，则避免上述问题 【思维点拨】 直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k 不存在的情况）。在做题时应该考虑全面，避免少解 题型四 对称与直线恒过定点问题 例1 点()2,4关于直线230x y +-=的对称点的坐标为_________． 【答案】()2,2- 【解析】设对称点坐标为()00,x y ，则对称点与已知点连线的中点为0024,22x y ++?? ??? ，
高考数学解析几何专题练习及答案解析版
高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )
2020高考数学专题复习-解析几何专题
《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23
2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ）
解析几何复习—直线和圆的方程综合
解析几何复习（4）—直线和圆的方程综合 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若直线1=x 的倾斜角为α，则α （ ） A ．等于0 B ．等于4 π C ．等于2π D ．不存在 2．点P(2,3)到直线：ax +(a －1)y+3=0的距离d 为最大时，d 与a 的值依次为 （ ） A ．3,-3 B ．5,1 C ．5,2 D ．7,1 3．圆42 2=+y x 截直线0323=-+y x 所得的弦长是 （ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．32 4．若直线013=--y x 到直线0=-ay x 的角为6 π，则实数a 的值等于 （ ） A ．0 B ．3 C ．0或3 D ．3 3- 5．若圆)0(02222 2 >=++-+k y kx y x 与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．20<k 6．若直线)2(-=x k y 与曲线21x y -=有交点，则 （ ） A ．k 有最大值33，最小值33- B ．k 有最大值21，最小值21- C ．k 有最大值0，最小值 33- D ．k 有最大值0，最小值1- 7．如图，设点C(1,0)，长为2的线段AB 在y 轴上滑动，则直线AB 、AC 所成的最大夹角是（A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 8．如果直线(2a +5)x +(a －2)y+4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ） A ． 2 B ．－2 C ．2,－2 D ．2,0,－2 9．已知x ,y 满足约束条件 0 ,0424 ≥≥≤+≤+y x y x y x ，则y x z +=的最大值是 （ ） A ．3 4 B ．3 8 C ．2 D ．4 10．直线0323=-+y x 与圆 θ θsin 23cos 21+=+=y x （θ为参数）的位置关系是 ( ) A ． 相离 B ．相切 C ． 相交但不过圆心 D ． 相交且过圆心 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．直线l 的倾角α满足4sin α=3cos α，而且它在x 轴上的截距为3，则直线l 的方程是_____________________. 12．若实数x ,y 满足x y y x 则,3)2(22=+-的最大值是 ． 13．点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4，且在不等式32<+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标是_______________. 14．已知直线13 4=+y x l ：，M 是l 上一动点，过M 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，则在A 、B 连线上，且满足2=的点P 的轨迹方程是____________________. 三、解答题（本大题共6小题，共76分） 15．已知直线l 满足下列两个条件：（1）过直线y = –x + 1和y = 2x + 4的交点; （2）与直线x –3y + 2 = 0 垂直， 求直线l 的方程．（12分） 16．求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程．（12分）
(完整版)高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,)2π θ∈时，0k ≥； （2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0?增加到90?时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90?增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式：1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++= 的距离：d = （3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++= 的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠
垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：222 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d = R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）；
第11讲 解析几何之直线与圆的方程(教师版)
第11讲 解析几何之直线与圆的方程 一．基础知识回顾 （一）直线与直线的方程 1．直线的倾斜角与斜率：(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．②倾斜角的范围为__________．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝____________. 2．直线的方向向量：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的一个方向向量为P 1P 2→，其坐标 为________________，当斜率k 存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)． 3 4.12112212M 的坐标为(x ，y)，则????? x ＝ ，y ＝ ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 二．直线与直线的位置关系 1．两直线的位置关系：平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两直线平行：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2?_________________.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2B 2C 2≠0)，l 1∥l 2?________________________. (2)两直线垂直：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2?k 12k 2＝____.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝____. 2．两条直线的交点：两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l 1和l 2的________，因此，l 1、l 2是否有交点，就看l 1、l 2构成的方程组是否有________． 3.常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0 (m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0 (m ∈R)； (3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R)，但不包括l 4．平面中的相关距离：(1)两点间的距离平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝____________________.(2)点到直线的距离：平面上一点P (x 0，y 0)到一条直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝_______________.(3)两平行线间的距离已知l 1、l 2是平行线，求l 1、l 2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________________. 三．圆与圆的方程 1．圆的定义：在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是________和________． 3．圆的标准方程；(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，其中________为圆心，____为半径． 4．圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是__________________，其中 圆心为___________________，半径r ＝____________________________. 四．点线圆之间的位置关系 1．点与圆的位置关系：点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点
高考数学专题直线和圆练习题
专题七：直线与圆 例1：不等式063<-+ay x )0(>a 表示的平面区域是在直线063=-+ay x （ ） 的点的集合。 （A ）左上方 （B ）右上方 （C ）左下方 （D ）右下方 [思路分析] 作出直线063=-+ay x ，又因为06003<-?+?a ，所以原点在区域内侧表示直线的左下方，故选取C 。 [简要评述] 用特殊值法解选择题是常用的方法。 例2：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，则k 的取值范围是 ( ) （A ）2±=k （B ）[)(]2,,2-∞-+∞ （C ）() 2,2- （D ）2-=k 或(-1,1] [思路分析] 数形结合的思想，k x y += 表示一组斜率为1的平行直线，21y x -= 表示y 轴的右半圆。如图可知，选（D ） [简要评述] 数形结合思想的灵活运用，此题 可以进一步拓展，21y x --=，21x y -±=等。 例3：如果实数x 、y 满足()322=+-y x ，那么x y 的最大值是 。 [思路分析] 解法一：设直线l ：kx y =，则x y 表示直线l 的斜率，直线l 与圆 ()322=+-y x 距离为半径即可。 解法二：设圆的参数方程：?????=+=θ θsin 3cos 32y x 则 θ θcos 32sin 3+=x y 据三角知识求解。 解法三：设x y =t ，则???==+-tx y y x 3)2(22 只要解方程组，利用0=?可得解。
解法四：如图，联结圆心C 与切点M ，则由OM ⊥CM ，又Rt △OMC 中，OC=2，CM=3 所以，OM=1，得3==OM MC x y [简要评述] 小题小做，选方法四最为简单，数形结合的数学思想的灵活运用。 例4：已知两点)2,(m A ，)1,3(B ，求直线AB 的斜率与倾斜角。 [思路分析] 注意斜率存在的条件。当3=m 时，k 不存在。α= 2π，当3≠m 时， 31312tan -=--==m m k α；当3>m 时,3 1arctan -=m α，当30,b>0） ∴)0,(a A 、),0(b B 。 ∵⊥ ∴b a b a 2100)4()4()2()2(-=?=-?-+-?- ∵a>0 0人教版高考数学专题复习：解析几何专题
高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.
解析几何直线与圆练习题及答案之令狐文艳创作
解析几何 直线与圆检测题及答案 令狐文艳 一、选择题： 1. 已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为（ ） A.-10 B.2 C.5 D.17 2. 设直线0=++n my x 的倾角为θ，则它关于x 轴对称的直线的倾角是（ ） Ａ.θB.θπ+2 C.θπ- D.θπ -2 3. 已知过)4,(),,2(m B m A -两点的直线与直线x y 2 1=垂直，则m 的值（ ） A.4 B.-8 C.2 D.-1 4. 若点(,0)P m 到点(3,2)A -及(2,8)B 的距离之和最小，则m 的值 为（ ） A. 2- B. 1 C. 2 D. 1- 5. 不论k 为何值，直线0)4()2()12(=+----k y k x k 恒过的一个定点是（ ） A.(0,0) B.(2,3) C.(3,2) D.(-2,3) 6. 圆8)2()1(22=+++y x 上与直线01=++y x 的距离等于2的点共 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个 7. 在Rt △ABC 中, ∠A ＝90°, ∠B ＝60°, AB=1, 若圆O 的
圆心在直角边AC 上, 且与AB 和BC 所在的直线都相切, 则圆O 的半径是（ ） A. 3 2 B.21 C. 23D.3 3 8. 圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是（ ） A. 2B. 1．22 + D. 1+9. 过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的圆的切线方程为（ ） A.032=-+y x B.012=--y x C.012=--y x D.012=+-y x 10. 已知点),(b a P )0(≠ab 是圆O ：2 2 2 r y x =+内一点，直线m 是以 P 为中点的弦所在的直线，若直线n 的方程为2r by ax =+，则 （ ） A ．m ∥n 且n 与圆O 相离 B ．m ∥n 且n 与圆O 相交 C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离 D ．m ⊥n 且n 与圆O 相离 二、填空题： 11. 若直线l 沿 x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移 1个单位，又回到原来的位置，则直线l 的斜率 k =_________ ． 12. 斜率为 1的直线l 被圆422=+y x 截得的弦长为２，则直线l 的方程为． 13. 已知直线l 过点 P(5,10),且原点到它的距离为5,则直线l 的
最新高中数学解析几何大题精选
解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17
将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34
解析几何(直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线)
2012届数学二轮复习专题十 考试范围：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线） 一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07 tan =+y x π 的倾斜角是 （ ） A ．7 π - B ． 7π C ．75π D ．7 6π 2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为 （ ） A ．012=--y x B ．072=-+y x C ．042=--y x D ．05=-+y x 3．“2-=a ”是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 （ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切 5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．2 6．若椭圆122=+my x 的离心率??? ? ??∈22, 33e ，则m 的取值范围是 （ ） A ．?? ? ??32,21 B ．()2,1 C ．()2,132,21 ?? ? ?? D ．??? ??2,21 7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为 （ ） A ． 3 3 2 B ． 3 C ．2或3 3 2 D ． 3 3 2或3 8．M 是抛物线x y 42 =上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最 小的角为60°，则=FM （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 9．设抛物线x y 82 =的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为 2 1 的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为 （ ） A ．1161222=+y x 或112 1622=+y x B ．1644822=+y x 或1486422=+y x C ．112 162 2=+y x 或 143 1622=+x y D ．13 422=+y x 或143 1622=+x y 10．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 满足1=ON （O 为坐标原点），NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=?PN M F ， 则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上） 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是 ． 12．圆06442 2=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于 2 2 的点有 个． 13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:2 2=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ．
高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0, )2 π θ∈时，0k ≥； （2）2 πθ=时，k 不存在；（3）( ,)2 π θπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0? 增加到90? 时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90? 增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式： 1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式： 1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点 00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = （3）平行线间的距离： 10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠
垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所 有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：2 2 2 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：2 2 0x y Dx Ey F ++++=（22 40D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θ θ =+?? =+?（θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆2 2 2 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d =R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆可判断直线与圆相交．
高中数学解析几何大题专项练习
解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [
3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、
