线性二次型最优控制的MATLAB实现
摘要
线性二次型最优控制是一种普遍采用的最优控制系统设计方法。使用MATLAB 软件设计的GUI控制界面实现最优控制，有较好的人机交互界面，便于使用。线性二次型最优控制又叫做LQ最优控制或者称为无限长时间定常系统的状态调节控制器。本文分别从连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现，离散系统相形二次型最优控制的MATLAB实现，最优观测器的MATLAB实现，线性二次性Guass 最优控制的MATLAB实现四个研究方案。本论文就是从这四个方面分别以不同的性能指标设计不同的GUI界面以及不同的程序实现其功能并说明其各自的应用范围。
关键词：线性二次型，最优控制, GUI控制界面，最优观测器，Guass最优控制
The Linear Quadratic Optimal Control of MATLAB
Abstract
Linear quadratic optimal control is a widely used to optimal control system design method. Use of MATLAB software design GUI interface control to realize the optimal control, Have good man-machine interface, easy to use. The linear quadratic optimal control and called LQ optimal control or an infinite long time of the system state regulation and constant controller.
This paper respectively from the continuous system linear quadratic optimal control MATLAB, Discrete system in quadratic optimal control MATLAB, The optimal observer MATLAB, sexual Guass linear quadratic optimal control MATLAB four research plan. This paper is from the four aspects of the performance index respectively in different design different GUI interface and Different programs that realize its function and their application scope.
Keywords：Linear quadratic, The optimal control, GUI control interface, The best Guass observer, the optimal control
目录
1 引言 (1)
1.1 概述 (1)
1.2课题研究的背景、意义及研究概况 (1)
1.3本文研究的主要内容 (2)
2 最优控制的基本概念 (3)
2.1最优控制基本思想 (3)
2.2最优控制的性能指标 (3)
2.2.1 积分型性能指标 (3)
2.2.2 末值型性能指标 (5)
2.3最优控制问题的求解方法 (5)
3 最连续系统最优控制的MATLAB实现 (7)
3.1连续系统线性二次型最优控制 (7)
3.2连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (8)
3.3连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现示例 (8)
4 离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (17)
4.1离散系统稳态线性二次型最优控制 (17)
4.2离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现与示例 (18)
5 最优观测器的MATLAB实现 (23)
5.1 连续时不变系统的KALMAN滤波 (23)
5.2K ALMAN滤波的MATLAB实现 (24)
5.3K ALMAN滤波的MATLAB实现示例 (25)
6 线性二次型GUASS最优控制的MATLAB实现 (31)
6.1LQG最优控制的求解 (31)
6.2LQG最优控制的MATLAB实现与示例 (32)
7 结论 (37)
参考文献： (38)
致谢 (39)
1 引言
1.1 概述
随着计算机技术的飞速发展，控制系统的计算机辅助设计与分析得到了广泛的应用，目前已达到了相当高的水平。MATLAB是国际控制界应用最广泛的计算机辅助设计与分析工具，它集矩阵运算、数值分析、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、良好的用户环境，其强大的科学计算与可视化功能，简单易用的开放式可编程环境，使得MATLAB在控制领域的各个方面都得到了广泛应用。线性二次型最优控制可以使系统的某些性能达到最优，在工程上用得较为广泛，也是现代控制理论课程学习的重点和难点。所谓最优控制，就是根据建立在系统数学模型，选择一个容许的控制规律，在一定的条件下，使得控制系统在完成所要求的控制任务时使给定的某一性能指标达到最优值、极小值或极大值。图形用户界面GUI(Graphical User Interface)作为用户与软件交互的一种主要手段,已经成为现代软件的重要组成部分。
目前大部分软件的功能主要是通过图形用户界面调用,在软件产品的测试过程中,尤其是功能测试过程中,GUI功能测试占有非常大的比例,GUI测试是现代软件测试的关键环节。GUI系统质量是整个软件产品质量提升和成本降低的关键。由于GUI软件的独特性,使得原有传统软件的测试方法不大适用于GUI软件的测试,现有关于GUI测试的研究相对较少,资源也相对贫乏,并且GUI手工测试已经无法满足测试要求,因而对GUI测试自动化进行研究具有重要的现实意义。
1.2 课题研究的背景、意义及研究概况
最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。美国学者R.贝尔曼1957年提出的动态规划和前苏联学者L.S.庞特里亚金1958年提出的极大值原理，两者的创立仅相差一年左右。对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。
对于线性系统，若性能指标是二次型函数，这样实现的控制叫做线性二次型最优控制，线性二次型最优控制方法是20世纪60年代发展起来的一种普遍采用的最优控制系统设计方法。这种方法的对象是以状态空间表达式给出的线性系统，而性能指标（或目标函数）为对象状态与控制输入的二次型函数。二次型问题就是在线性系统的约束条件
下，选择控制输入使得二次型目标函数达到最小。
到目前为止，这种二次型最优控制在理论上比较成熟，为解决这类控制问题而开发的MATLAB函数也比较多，而且这种控制应用非常广泛。
目前GUI自动化测试工具普遍采用的是捕获/回放(C/P,Capture/Playback)机制,并没有对GUI测试的自动化提供很好的支持。只能被动捕获被测试系统的执行信息,而不能和被测试系统进行交互,有选择地捕获被测系统的执行信息,且相对于国内软件测试市场,价格较高,国内没有充分得到应用。因而,研究与设计图形用户界面的自动化测试工具,对促进国内GUI应用系统测试自动化具有较深远的意义。
1.3 本文研究的主要内容
本论文将以线性二次型为性能指标，分别从连续系统线性二次型最优控制的MATLAB 实现，离散系统相形二次型最优控制的MATLAB实现，最优观测器的MATLAB实现，线性二次性Guass最优控制的MATLAB实现这四个研究方案入手加以深入，力求在做到实现最优控制的前提下，控制界面的灵敏性能够有进一步的提高。同时江不同最优控制的设计进行比较，探讨各种方法的优缺点。
针对上述研究内容，本论文内容具体安排如下：
第1章：引言。介绍了线性二次型最优控制以及MATLAB下图形界面GUI的研究背景、意义和发展概况，并介绍了本文的主要研究内容。
第2章：阐述最优控制的基本概念，性能指标以及求解方法。
第3章：阐述连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现过程。
第4章：阐述离散系统相形二次型最优控制的MATLAB实现过程。
第5章：阐述最优观测器的MATLAB实现过程。
第6章：阐述线性二次型Guass最优控制的MATLAB实现过程。
2 最优控制的基本概念
2.1 最优控制基本思想
设系统状态方程为
00)(],,(u ,([)(x t x t t t x f t x ==）） （2-1）
式中，)(t x 是n 维状态向量；）t u (是p 维控制向量；n 维向量函数],(u ,([t t t x f ））是））t t x (u ,(与t 的连续函数，且对）t x (与t 连续可微；）t (u 在[f t t ,0]上分段连续。所谓最优控制问题，就是要求寻找最优控制函数，使得系统状态）t x (从以知初态0x 转移到要求的终端状态)(f t x ，在满足如下约束条件下：
（1）控制与状态的不等式约束
0]),(),([≥t t u t x g （2-2）
（2）终端状态的等式约束
0]),t ([f =f t x M （2-3） 使性能指标
?+Θ=f
t t f f dt t t u t x F t t x J 0
]),(),([]),([ （2-4）
达到极值。式中]),(),([t t u t x g 是m 维连续可微的向量函数，t t x t t u t x n q q t t x M p m f f 与都是，维连续可微的向量函数是)(]),(),([;]),([;Θ≤≤的连续可微纯量函数。
2.2 最优控制的性能指标
自动控制的性能指标是衡量系统性能好坏的尺度，其内容与形式取决于最优控制问题所要完成的任务，不同的控制问题应取不同的性能指标，其基本类型如下。
2.2.1 积分型性能指标
?=f
t t dt t t u t x F J 0
]),(),([ （2-5）
表示整个控制过程中，系统的状态）t x (与施加给系统的控制作用)(t u 应当达到某些要求。例如：
（1）最小时间控制
当选取 1]),(),([=t t u t x F
则
00
t t dt J f
t t f -==? （2-6）
这种控制要求设计一个快速控制规律，使系统在最短时间内从以知的初态)(0t x 转移到要求的末态)(f t x 。例如，导弹拦截器的轨道转移就是属于此类问题。
（2）最小燃料消耗控制
当选取 ∑==m
j j t u t t u t x F 1)(]),(),([
则 ?∑==
f t t m
j j dt t u J 01)( （2-7）
是航天工程中常遇到的重要问题之一。例如，宇宙飞船这种航天器具所携带的燃料有限，希望在轨道转移时，所消耗的燃料尽可能的少，就是属于此类问题。
（3）最小能量控制
当选取 )()(]),(),([t u t u t t u t x F T =
则
?=f
t t T dt t u t u J 0
)()( （2-8）
对于一个能量有限的物理系统，例如，通信卫星的太阳能电池，为了使系统在有限的能源条件下载尽可能长的时间内保证正常工作，需要对控制过程中的能量消耗进行约束，就是属于此类问题。
（4）无线时间线性调节器
取∞→f t ，且
)]()()()([2
1),,(t Ru t u t Qx t x t u x F T T += 其中，,0,0 R Q ≥均为加权矩阵，则
?∞
+=0)]()()()([21t T T dt t Ru t u t Qx t x J （2-9） （5）无限时间线性跟踪器
取∞→f t ，且
)]}()()()([)]()([{),,(t Ru t u t z t y Q t z t y t u x F T T +--= ?∞
+--=0)}()()]()([)]()({[21t T T dt t Ru t u t z t y Q t z t y J （2-10）
其中，)(t y 为系统输出向量，)(t z 为系统希望输出向量。
在性能指标式（2-8）、式（2-9）、式（2-10）中，被积函数都是由)()()()(t u t z t y t x 或、-的平方项所组成，这种形式的性能指标叫做二次型性能指标。
2.2.2 末值型性能指标
]),([f f t t x J Θ= （2-11） 表示系统在控制过程结束后，要求系统的终端状态)(f t x 应达到某些要求，在实际工程中，例如要求导弹的脱靶量最小、机床工作台移动准确停止等。终端时刻f t 可以固定，也可以自由，视最优控制问题的性质而定。
复合型性能指标
?+Θ=f
t t f f dt t t u t x F t t x J 0
]),(),([]),([ （2-12）
表示对整个控制过程及控制过程结束后的终端状态均有要求，是最一般的性能指标形式。
2.3 最优控制问题的求解方法
1. 解析法
当性能指标与约束条件为显示解析表达式时，适合用解析法。通常是用求导方法或
变分方法解出最优控制的必要条件，从而得到一组方程式或不等式，然后求解这组方程或不等式，最后得到最优控制的解析解。
2. 数值计算法
当性能指标比较复杂或不能用变量的显函数表示时，可以采用试探法，即直接搜索逐步逼近，经过若干次迭代，逐步逼近到最优点。
3．梯度型法
这是一种解析与数值计算相结合的方法。
3 最连续系统最优控制的MATLAB 实现
3.1连续系统线性二次型最优控制
设线性连续定常系统的状态方程为：
0.)0(),()()(x x t Bu t Ax t x =+=? （3-1） 式中，n t x 为)(维状态向量；p t u 为)(维控制向量，且不受约束；n n A ?为维常数矩阵，p n B ?为维常数矩阵。
系统的性能指标为： ?∞
+=021Rudt u Qx x J T T （3-2） 式中，终端时间无限；为Q 维数适当的常数矩阵（常取n n ?维常数矩阵）；R 为维数适当的常数矩阵，T R R R =,0 。若下列条件之一满足：
（1）],[,,0B A Q Q Q T 阵对= 完全可控；
（2）D Q DD D A B A Q Q Q T T ,],[],[,,0==≥完全可观，完全可控，阵对阵对为任意矩阵。
则有最优反馈矩阵：
P B R K T 1-= (3-3) 与唯一的最优控制：
)()()(*1t Px B R t Kx t u T --=-= （3-4） 以及最优性能指标： )0()0(2
1*Px x J = （3-5） 式中，P 为常值正定矩阵，它是以下黎卡提代数方程的唯一解：
01=+-+-Q P B PBR P A PA T T (3-6) 闭环系统：
01)0(),()()(x x t x P B BR A t x T =-=-? （3-7）
是渐近稳定的，其解为最优轨线)(t x ?
。
3.2 连续系统线性二次型最优控制的MATLAB 实现
在MATLAB 系统里，有特别提供的函数来求解连续系统线性二次型状态调节器问题。其函数有lqr()、lqr2()与lqry()。函数的调用格式为：
[K,S,E]=lqr(A,B,Q,R,N)
[K,S]=lqr2(A,B,Q,R,N)
[K,S,E]=lqry(sys,Q,R,N)
其中，输入参量sys 为系统的模型；A 为系统的状态矩阵；B 为系统的输入矩阵；Q 为给定的半正定实对称矩阵；R 为给定的正定实对称矩阵；N 代表更一般化性能指标中交叉乘积项的加权矩阵；输出参量K 为最优反馈增益矩阵；S 为对应Riccati 方程的唯一正定解P （若矩阵A-BK 是稳定矩阵，则总有P 的正定解存在）；E 为A-BK 的特征值。
函数lqry()用来求解二次型状态调节器的特例，是用输出反馈替代状态反馈，即有：
)()(t Ky t u -= （3-8） 其性能指标则为： dt Ru u Qy y J T T ?∞
+=0
)(21 （3-9） 这种二次型输出反馈控制称为次优（或准最优）控制。
3.3 连续系统线性二次型最优控制的MATLAB 实现示例 【例18-1】已知连续系统状态方程与初始条件为11212
()()(0)0,,()()(1)1x t u t x x t x t x ==????==??性能指标：22201=()(),4J x t u t dt ∞
??+???
??设计要求:设计一GUI 界面，界面有五个按钮，分别实现的功能是：最优反馈增益矩阵K 、最优控制u*(t)、最优性能指标J*、特征方程的特征值和Riccati 方程的正定解P 。
解：
由系统状态方程直接写出状态矩阵、输入矩阵与初始条件： 12(0)0010=(0)100(0)1x A B x x ????????===??????????????
??，， 选择矩阵
001,022Q R ??==????
由题目要求，
第一步：打开MATLAB,输入guide 回车后将弹出GUIDE 快速启动对话框，如图3.1所示。
图3.1 GUIDE 快速启动对话框
从上面的对话框可以看到，MATLAB 提供了4种GUIDE 模板，其中本次设计需要用到的是第一个，空白GUI 模板。单击OK 按钮，打开GUI 编辑界面，如图3.2所示。
图3.2 新建的GUI 界面
线性规划 线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。 8.2.1 基本数学原理 线性规划问题的标准形式是： ????? ??????≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112 121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z 或 ???? ?????=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j j j ,,2,1,0,,2,1,min 1 1 写成矩阵形式为： ?? ???≥==O X b AX CX z min 线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。 MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。 8.2.2 有关函数介绍 在MATLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。 linprog 函数的调用格式如下： ●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：用options 指定的优化参数进行最小化。 ●[x,fval]=linprog(…)：返回解x 处的目标函数值fval 。 ●[x,lambda,exitflag]=linprog(…)：返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。 ●[x,lambda,exitflag,output]=linprog(…)：返回包含优化信息的输出参数output 。 ●[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)：将解x 处的拉格朗日乘子返回到lambda 参数中。
一、主动控制简介 概念：结构主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，采用现代控制理论的主动控制算法在精确的结构模型基础上运算和决策最优控制力，最后作动器在很大的外部能量输入下实现最优控制力。 特点：主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，是一种需要额外能量的控制技术，它与被动控制的根本区别是有无额外能量的消耗。 优缺点：主动控制具有提高建筑物的抵抗不确定性地面运动，减少输入的干扰力，以及在地震时候自动地调整结构动力特征等能力，特别是在处理结构的风振反应具有良好的控制效果，与被动控制相比，主动控制具有更好的控制效果。但是，主动控制实际应用价格昂贵，在实际应用过程中也会存与其它控制理论相同的问题，控制技术复杂、造价昂贵、维护要求高。 组成：传感器、控制器、作动器 工作方式：开环、闭环、开闭环。 二、简单回顾主动控制的应用与MATLAB应用 1.主动变刚度A VS控制装置 工作原理：首先将结构的反应反馈至控制器，控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构的响应，判断装置的刚度状态，然后将控制信号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态，实现不同的变刚度状态。 锁定状态（ON）：电液伺服阀阀门关闭，双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移，斜撑的相对变形与结构层变形相同，此时结构附加一个刚度； 打开状态（OFF）：电液伺服阀阀门打开，双出杆活塞与液压缸之间有相对位移，液压缸的压力差使得液体发生流动，此过程中产生粘滞阻尼，此时结构附加一个阻尼。 示意图如下： 2. 主动变阻尼A VD控制装置 工作原理：变孔径阻尼器以传统的液压流体阻尼器为基础，利用控制阀的开孔率调整粘性油对活塞的运动阻力，并将这种阻力通过活塞传递给结构，从而实现为结构提供阻尼的目的。 关闭状态（ON）：开孔率一定，液体的流动速度受限，流动速度越小，产生的粘滞阻尼力越大，开孔率最小时，提供最大阻尼力，此时成为ON状态； 打开状态（OFF）：控制阀完全打开，由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。 示意图如下：
一、上机目的 1、培养学生运用线性代数的知识解决实际问题的意识、兴趣和能力； 2、掌握常用计算方法和处理问题的方法; 二、上机内容 1、求向量组的最大无关组； 2、解线性方程组； 三、上机作业 1、设A=[2 1 2 4; 1 2 0 2; 4 5 2 0; 0 1 1 7]； 求矩阵A列向量组的一个最大无关组. >> A=[2 1 2 4;1 2 0 2;4 5 2 0;0 1 1 7] A = 2 1 2 4 1 2 0 2 4 5 2 0 0 1 1 7 >> rref(A) ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 所以矩阵A的列向量组的一个最大无关组就是它本身； 2、用Matlab解线性方程组 （1） >> A=[2 4 -6;1 5 3;1 3 2] A = 2 4 -6 1 5 3 1 3 2 >> b=[-4;10;5]
b = -4 10 5 >> x=inv(A)*b x = -3.0000 2.0000 1.0000 >> B=[3 41 -62;4 50 3;11 38 25] B = 3 41 -62 4 50 3 11 38 25 >> c=[-41;100;50] c = -41 100 50 >> x=inv(B)*c x = -8.8221 2.5890 1.9465 3、（选作）减肥配方的实现 设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了20世纪80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求？ 四、上机心得体会
线性二次型最优控制 一、最优控制概述 最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。 一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。 二、线性二次型最优控制 2.1 线性二次型问题概述 线性二次型最优控制问题，也叫LQ 问题。它是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题。线性二次型问题所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。它能兼顾系统性能指标的多方面因素。例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。线性二次型最优控制目标是使性能指标J 取得极小值, 其实质是用不大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的。 2.2 线性二次型问题的提法 给定线性时变系统的状态方程和输出方程如下： ()()()()()()()() X t A t X t B t U t Y t C t X t ?=+? =? （2.1）
第11次课 （1） 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为 4000 元与 3000 元 。 生产甲机床需用A 、B 机器加工，加工时间分别为每台 2 小时和 1 小时； 生产乙机床 需用A 、B 、C 三种机器加工，加工时间为每台各一小时。 若每天可用于加工的机器 时数分别为A 机器 10 小时、 B 机器 8 小时和 C 机器 7 小时，问该厂应生产甲、乙机床 各 几台，才能使总利润最大？ （2）有两种农作物（大米和小麦），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果 如下:在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨小麦和1500吨大米的任务？ （3）设422+-=x y z ，式中变量y x ,满足条件?????≥-≤≤≤≤12201 0x y y x ，求z 的最小值和最大值． （4）某家俱公司生产甲、乙两种型号的 组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下： 问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润，并且最大利润是多少？ （5） 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t 的A 型 卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型 卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元.请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只调配A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？
（6）一家玩具公司制造三种桌上高尔夫玩具，每一种要求不同的制造技术。高级的一种需要17小时加工装配劳动力，8小时检验，每台利润300元。中级的需要10小时劳动力，4小时检验，利润200元。低级的需要2小时劳动力，2小时检验，利润100元。可供利用的加工劳动力为1000小时，检验500小时。其次，有市场预测表明，对高级的需求量不超过50台，中级的不超过80台，低级的不超过150台。 问制造商如何决策才能得出使总利润为最大的最优生产计划。 （7）（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。 假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低 （8）
Matlab线性代数实验指导书 理学院线性代数课程组 二零零七年十月
目录 一、基础知识 (1) 1.1、常见数学函数 (1) 1.2、系统在线帮助 (1) 1.3、常量与变量 (2) 1.4、数组（矩阵）的点运算 (3) 1.5、矩阵的运算 (3) 二、编程 (4) 2.1、无条件循环 (4) 2.2、条件循环 (5) 2.3、分支结构 (5) 2.4、建立M文件 (6) 2.5、建立函数文件 (6) 三、矩阵及其运算 (7) 3.1、矩阵的创建 (7) 3.2、符号矩阵的运算 (11) 四、秩与线性相关性 (14) 4.1、矩阵和向量组的秩以及向量组的线性相关性 (14) 4.2、向量组的最大无关组 (14) 五、线性方程的组的求解 (16) 5.1、求线性方程组的唯一解或特解（第一类问题） (16) 5.2、求线性齐次方程组的通解 (18) 5.3、求非齐次线性方程组的通解 (19) 六、特征值与二次型 (22) 6.1、方阵的特征值特征向量 (22) 6.2、正交矩阵及二次型 (23)
一、基础知识 1.1常见数学函数 函数数学计算功能函数数学计算功能 abs(x) 实数的绝对值或复数的幅值floor(x) 对x朝-∞方向取整acos(x) 反余弦arcsinx gcd(m,n) 求正整数m和n的最大公约数acosh(x) 反双曲余弦arccoshx imag(x) 求复数x的虚部angle(x) 在四象限内求复数x的相角lcm(m,n)求正整数m和n的最小公倍 自然对数(以e为底数) asin(x) 反正弦arcsinx log(x) 常用对数(以 10 为底数) asinh(x) 反双曲正弦arcsinhx log10(x) atan(x) 反正切arctanx real(x) 求复数 x 的实部atan2(x,y) 在四象限内求反正切rem(m,n) 求正整数m和n的m/n之余数atanh(x) 反双曲正切arctanhx round(x) 对x四舍五入到最接近的整数 符号函数：求出 x 的符号ceil(x) 对x朝+∞方向取整 sign(x) conj(x) 求复数x的共轭复数 sin(x) 正弦sinx 反双曲正弦sinhx cos(x) 余弦cosx sinh(x) cosh(x) 双曲余弦coshx sqrt(x) 求实数x的平方根exp(x) 指数函数e x tan(x) 正切tanx fix(x) 对 x 朝原点方向取整 tanh(x) 双曲正切tanhx 如：输入 x=[-4.85 -2.3 -0.2 1.3 4.56 6.75]，则： ceil(x)= -4 -2 0 2 5 7 fix(x) = -4 -2 0 1 4 6 floor(x) =-5 -3 -1 1 4 6 round(x) = -5 -2 0 1 5 7 1.2 系统的在线帮助 1.2.1 help 命令： 1.当不知系统有何帮助内容时，可直接输入 help以寻求帮助: >> help(回车) 2.当想了解某一主题的内容时，如输入： >> help syntax (了解Matlab的语法规定) 3.当想了解某一具体的函数或命令的帮助信息时，如输入： >> help sqrt (了解函数sqrt的相关信息) 1.2.2 lookfor 命令 现需要完成某一具体操作，不知有何命令或函数可以完成，如输入： >> lookfor line (查找与直线、线性问题有关的函数) 1.3 常量与变量
⒈ 优化问题及其数学模型 假设有一个问题，它有几个因素来决定，当这些因素处于某个状态时，可以使问题得到我们最想要的结果。优化问题就是寻求这个状态的过程。例如： 某工厂生产A ，B 两种产品，所用原料均为甲、乙、丙三种；生产一件产品所需原料和 问题：在该厂只有库存原料甲380单位，原料乙300单位，原料丙220单位的情况下如何安排A ，B 两种产品的生产数量可以获得最大的利润？ 设生产A 中产品1x 件，生产B 中产品2x 件，z 为所获得的利润，于是有关系式： 我们称它为目标函数。生产的条件我们可以表示为： 我们把上面的不等式称为约束条件。 产品A 的产量1x 和B 的产量2x 是优化问题的变量。在满足约束条件的前提下使目标函数得到最优的值成为最优解。根据以上定义，也可以说优化运算是通过某种计算寻求最优解的过程。 以上这个用等式或不等式来表达我们要解决的问题的过程就是优化问题的建模过程。我们平时遇到的问题常常不是上面的这几个数学表达式就能表达得清清楚楚的，但是建立像上面类似的数学模型却是优化求解的第一步。优化问题常常表现为在多约束条件下求某一函数的极值问题，例如上面的这个例子。 Matlab 有一个优化工具箱，可以帮助我们方便的解决好这类问题。 ⒉ 优化工具箱 Matlab 的优化工具箱有一些对普通非线性函数求解最小化或最大化（求极值）的函数组成，另外还包括一些解决诸如线性规划等标准矩阵问题的函数。所有的优化函数都是用Matlab 语言编写的m 文件，我们可以通过在命令窗口里输入type function_name 来查看这些函数。 优化工具箱的优化功能包括： ⑴ 求无约束非线性最小化； ⑵ 求有约束非线性最小化； ⑶ 二次和线性规划问题； ⑷ 非线性最小二乘法和曲线拟合问题； ⑸ 非线性等式的求解； ⑹ 约束线性最小二乘法； ⑺ 稀疏和结构化大尺度问题。 工具箱中求非线性函数极小值的命令函数如下表所示：
线性二次型最优控制的MATLAB实现 一理论依据 应用经典控制理论设计控制系统，能够解决很多简单、确定系统的实际设计问题。但对于多输入多输出系统与阶次较高的系统，往往得不到满意的结果，这时就需要有在状态空间模型下建立的最优控制策略。 最优控制是现代控制理论的核心。最优控制理论的实现，离不开一系列的最优化方法，主要包括两个方面就是如何将最优化问题表示为数学模型，如何根据数学模型尽快求出其最优解。线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来设计一个优化的动态控制器，其目标函数是状态和控制输入的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。由于线性二次型最优控制问题的性能指标具有鲜明的物理意义，其最优解具有统一的解析表达式，且可导致一个简单的线性状态反馈控制律，易于构成闭环最优反馈控制，便于工程实现，因而在实际工程问题中得到了广泛的应用。 二MATLAB程序 >> clear >> syms x1 x2 x3; >> x=[x1;x2;x3]; >> A=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3]; >> B=[0;0;1]; >> R=1; >> Q=[1000 0 0;0 1 0;0 0 1]; >> N=0; >> [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R) >> u=-inv(R)*B'*P*x
K = 31.6228 19.0661 3.9377 P = 666.1690 219.3906 31.6228 219.3906 108.5284 19.0661 31.6228 19.0661 3.9377 u = -(5366634056803559*x2)/281474976710656 - (4433500461210591*x3)/1125899906842624 - 10*10^(1/2)*x1 三Simulink仿真图及其响应曲线 利用simulink仿真，画出系统反馈前后的仿真图、输出图像和性能指标图。分析分析反馈前后关系曲线。 图1 反馈前系统的仿真图
连续线性二次型最优控制的MATLAB 实现 1.绪 论 最优控制问题就是在一切可能的控制方案中寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的目标。随着航海、航天、导航和控制技术不断深入研究，系统的最优化问题已成为一个重要的问题。 本文介绍了最优控制的基本原理，并给定了一个具体的连续线性二次型控制系统，利用MATLAB 软件对其最优控制矩阵进行了求解，通过仿真实验，设计得到最优控制效果比较好，达到了设计的目的。 2.最优控制理论介绍 2.1最优控制问题 设系统状态方程为： ]00)(,),(),()(x t x t t u t x f t x ==? （2—1） 式中，x(t)是n 维状态向量；u(t)是r 维控制向量；n 维向量函数[]t t u t x f ),(),(是x(t)、u(t)和t 的连续函数，且对x(t)与t 连续可微；u(t)在[]f t t ,0上分段连续。所谓最优控制问题，就是要寻求最优控制函数，使得系统状态x(t)从已知初态0 x 转移到要求的终态)(f t x ，在满足如下约束条件下： （1）控制与状态的不等式约束 []0),(),(≥t t u t x g （2—2） （2）终端状态的等式约束 []0),(=f f t t x M （2—3） 使性能指标 [][]?+Θ=f f t t t t t u t x F t t x J f 0 d ),(),(),( （2—4） 达到极值。式中[]t t u t x g ),(),(是m 维连续可微的向量函数，r m ≤；[]f f t t x M ),(是s 维连续可微的向量函数，n s ≤；[]f t t x f ),(Θ和[]t t u t x F ),(),(都是x(t)与t 的连续可
合肥学院 2018—2019学年第2学期 线性代数及应用 (模块) 实验报告 实验名称：线性代数MATLAB实验 实验类别：综合性 设计性□验证性 专业班级： 17通信工程（2）班 实验时间： 9-12周 组别：第组人数 3人 指导教师：牛欣成绩： 完成时间： 2019年 5 月9日
一. 小组成员 姓名学号具体分工 汪蔚蔚(组长) 1705022025 A报告最后的整合，编写，案例四的计算与应用 以及案例一的计算与证明 陶乐 1 1705022009 C案例二，化学方程式配平问题 程赢妹1505022036 A案例三，应用题灰度值的计算问题 二. 实验目的 1、案例一利用MATLAB进行线性代数计算，求出矩阵B 2、案例二利用MATLAB计算出每一个网格数据的值，然后每一个网格数据的值乘以256以后进行归一化处理，根据每个网格中的灰度值，绘制出灰度图像。 3、案例三利用MATLAB完成对化学方程式进行配平的应用 4、案例四利用MATLAB求极大线性无关组，并表示出其余向量 三. 实验内容 1、案例一： 0,1,0 ,=1,0,0, 0,0,0 A B AB BA A B ?? ?? =?? ?? ?? 已知矩阵和矩阵满足乘法交换律，即且求矩阵。 2、案例二 配平下列化学方程式： 3、案例三： 3*32 0.81.21.70.20.3 0.6021.61.20.6. 1MATLAB 2256MATLAB 给定一个图像的个方向上的灰度叠加值：沿左上方到右 下方的灰度叠加值依次为，，，，；沿右上方到左下 方的灰度叠加值依次为，。，，， ）建立可以确定网络数据的线性方程组，并用求解 ）将网络数据乘以，再取整，用绘制该灰度图像
一元线性回归： x 含碳量 y合金强度建立y与x函数关系并检验可信度，检查数据有无异常点 clc close all x1=[0.1:0.01:0.18,0.20,0.21,0.23]'; x=[ones(size(x1)),x1]; y=[42 41.5 45 45.5 45 47.5 49 55 50 55 55.5 60.5]'; % 作数据的散点图 figure(1) plot(x1,y,'*') %回归分析 [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) %alpha 缺省表示取值为0.05 %做残差图 figure(2) rcoplot(r,rint); %预测与回归图 figure(3) z=b(1)+b(2)*x1; plot(x1,y,'*',x1,z,'k-') legend('原始数据','回归曲线') 运行结果如下： b = 27.0269 140.6194 bint = 22.3226 31.7313 111.7842 169.4546 r = 0.9111 -0.9951
1.0987 0.1925 -1.7136 -0.6198 -0.5260 4.0678 -2.3384 -0.1508 -1.0570 1.1306 rint = -2.5705 4.3928 -4.6033 2.6131 -2.6026 4.8001 -3.6754 4.0605 -5.4276 2.0003 -4.5502 3.3105 -4.4717 3.4196 1.5241 6.6114 -5.8418 1.1649 -3.9067 3.6051 -4.6124 2.4984 -2.0746 4.3358 stats = 0.9219 118.0670 0.0000 3.1095 α= 27.0269 β= 140.6194 即y=α+βx
线性代数MATLAB 实验指导书 MATLAB 是Matrix Laboratory 的缩写，是一个集数值计算、图形处理、符号运算、文字处理、数学建模、实时控制、动态仿真和信号处理等功能为一体的数学应用软件，而且该系统的基本数据结构是矩阵，又具有数量巨大的内部函数和多个工具箱，使得该系统迅速普及到各个领域，尤其在大学校园里，许多学生借助它来学习大学数学和计算方法等课程，并用它做数值计算和图形处理等工作。我们在这里介绍它的基本功能，并用它做与线性代数相关的数学实验。 在正确完成安装MATLAB 软件之后，直接双击系统桌面上的MATLAB 图标，启动MATLAB ，进入MATLAB 默认的用户主界面，界面有三个主要的窗口：命令窗口（Commend Window ）, 当前目录窗口（Current Directory ）,工作间管理窗口（Workspace ）。 命令窗口是和Matlab 编译器连接的主要窗口，“>>”为运算提示符，表示Matlab 处于准备状态，当在提示符后输入一段正确的运算式时，只需按Enter 键，命令窗口中就会直接显示运算结果。 实验1 矩阵的运算，行列式 实验名称：矩阵的运算，行列式 实验目的：学习在matlab 中矩阵的输入方法以及矩阵的相关运算，行列式。 实验原理：介绍相关的实验命令和原理 (1)一般矩阵的输入 (2)特殊矩阵的生成 (3)矩阵的代数运算 (4)矩阵的特征参数运算 (5)数字行列式和符号行列式的计算 实验命令 1 矩阵的输入 Matlab 是以矩阵为基本变量单元的，因此矩阵的输入非常方便。输入时，矩阵的元素用方括号括起来，行内元素用逗号分隔或空格分隔，各行之间用分号分隔或直接回车。 例1 输入矩阵 ???? ? ??--=654301211A ，可以在命令窗口中输入 >>A=[1 1 2;-1 0 3;4 -5 6] A = 1 1 2 -1 0 3 4 - 5 6 2 特殊矩阵的生成 某些特殊矩阵可以直接调用相应的函数得到，例如： zeros(m,n) 生成一个m 行n 列的零矩阵
Optimal control for stochastic linear quadratic singular system using neural networks N. Kumaresan *, P. Balasubramaniam Journal of Process Control 19 (2009) ：Page482–488 使用神经网络对随机线性二次型奇异系统的最优控制N.库玛瑞森博士，P.巴拉苏布拉马尼亚姆过程控制杂志19期(2009年)：引用482—488页
摘要 在本文中,最优控制随机线性奇异系统与二次型已经在神经网络领域获得使用。其目的是提供最优控制和努力通过比较矩阵Riccati微分方程(MRDE)的解减少微积分获得了从众所周知的传统Runge-Kutta(RK)方法和传统神经网络 方法。为了获得最优控制,MRDE的解可以通过前向神经网络(FFNN)计算得到。更接近神经网络方法得到的精确解来解决这一问题性能更好。该方法的优点是,一旦网络运行起来,它可以瞬时计算出评估方案在任意点和任意少量的时间和记忆的支出，其计算时间的方法比传统RK方法更快、耗时更短。下面一个数值算例给出了该方法。 关键词：矩阵微分方程；神经网络；最优控制；龙格库塔法；随机奇异线性系统
1 简介 众多学者一直在研究随机线性二次型调节器(LQR)问题[文献2、6、8、15、34]。陈等人[文献12]的研究表明对于随机LQR问题是如果Riccati方程有解，那么可以得到最优反馈控制。关于LQR方面的问题，相关的研究Riccati方程，这是很自然的。然而，对于Riccati方程解的存在性和唯一性，一般来说，由于存在复杂的非线性项，这似乎成为一个很困难的问题。朱和李[文献36]采用迭代方法求解随机LQR问题中Riccati方程的随机性。常规Riccati方程有几种数值方法解，这些可能发生非线性过程基本误差积累。为了使误差最小，最近传统的Riccati方程分析了利用神经网络方法[文献3-5]。本文阐述了扩展的神经网络方法求解随机Riccati方程。 神经网络或简单的神经网络都是计算机系统，它可以通过训练学习两个或多个变量的某种复杂关系或数据集。具有类似于他们的生物学配对物的结构，经过神经网络处理信息和并行分布式简单处理节点连接的计算模型的组成形式[文献33]。神经网络技术已被成功地应用于许多领域，如函数逼近、信号处理和自适应或非线性系统的学习控制。利用神经网络，各式各样的对非线性系统离线学习控制算法已经开发出来[文献21，25]。为求解代数Riccati方程，各种数值算法[文献11]也已经随之开发出来。近年来，神经网络问题已经引起了越来越多的重视，许多研究人员进行了数值代数Riccati方程等方面的研究，见[文献16，17，32]。 奇异系统包含一个混合代数和微分方程组。从这个意义上说，代数方程组代表代数方程限定解的微分部分。这些系统也被称为退化、描述或半状态和广义状态空间系统。奇异系统的复杂本质导致在分析及数值处理这样的系统会遇到许多困难，尤其是在需要对它们的控制时。该系统自然演变成一个线性系统模型或者在许多领域应用的线性系统模型，如：电网、飞机动力学、中立型时滞系统、化学、热扩散过程、大型系统、机器人学、生物等。见[文献9，10，23]。 许多实际过程可以被建成为描述系统模型，如约束控制问题模型，电路模型，某些人口增长模型和奇异扰动模型。由于这样的事实，在过去的几年中，描述系统的稳定性问题以及控制问题已被广泛地研究，即描述系统能够比状态空间系统更好的描述某个物理系统。与状态空间系统相比，描述系统结构更复杂更完善。此外，由于描述系统通常有三种模式，即有限的动态模式、脉冲模式和非动态模式[文献13]，研究描述系统的动态性能比对状态空间系统研究困难，而后者两个不出现在状态空间系统。 由于标准二次型性能线性系统的最优控制理论发展迅速，其结果在许多实际设计问题中是最完整、最接近使用。该理论的二次成本控制问题被视为一个更有趣的问题，最小成本最优反馈控制一直是用于求解Riccati方程。Da Prato 和
8.2 线性规划 线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。 8.2.1 基本数学原理 线性规划问题的标准形式是： ????? ??????≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112 121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z 或 ???? ?????=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j j j ,,2,1,0,,2,1,min 1 1 写成矩阵形式为： ?? ???≥==O X b AX CX z min 线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。 MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。 8.2.2 有关函数介绍 在MA TLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。 linprog 函数的调用格式如下： ●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：用options 指定的优化参数进行最小化。 ●[x,fval]=linprog(…)：返回解x 处的目标函数值fval 。 ●[x,lambda,exitflag]=li nprog(…)：返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。 ●[x,lambda,exitflag,output]=linprog(…)：返回包含优化信息的输出参数output 。 ●[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)：将解x 处的拉格朗日乘子返回到lambda 参数中。
线性代数方程组数值解法及MATLAB 实现综述 廖淑芳 20122090 数计学院 12计算机科学与技术1班（职教本科） 一、分析课题 随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。其数值计算中线性代数方程的求解问题就广泛应用于各种工程技术方面。因此在各种数据处理中，线性代数方程组的求解是最常见的问题之一。关于线性代数方程组的数值解法一般分为两大类：直接法和迭代法。 直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。 迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。迭代法包括Jacobi 法SOR 法、SSOR 法等多种方法。 二、研究课题-线性代数方程组数值解法 一、 直接法 1、 Gauss 消元法 通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，以使A 对角线以下的元素化为零，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。 1.1消元过程 1. 高斯消元法(加减消元)：首先将A 化为上三角阵，再回代求解。 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ???L L M M O M M L (1)(1)(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333()()000000n n n n n nn n a a a a b a a a b a a b a b ?? ? ? ? ? ? ???L L L M M M O M M L 步骤如下：
一、用MATLAB 求解线性规划问题 （1） 编写的M 文件为： f=[-1;-1] A=[1 -2;1 2] b=[4,8] [x,feval]=linprog(f,A,b,[],[],zeros(2,1)) 所求解为：x 1=6,x 2=1;min f=-7 （2） 编写的M 文件为： f=[-4;-3] A=[3 4;3 3;4 2] b=[12;10;8] [x,feval]=linprog(f,A,b,[],[],zeros(1,2)) 所求得的解为：x 1=0.8,x 2=2.4;max f=10.4 （3） （4） 编写的M 文件为： f=[-1;-3;3] Aeq=[1 1 2;-1 2 1] beq=[4;4] [x,feval]=linprog(f,[],[],Aeq,beq,zeros(3,1)) 所求得的结果为：x 1=4/3,x 2=8/3,x 3=0;max f=28/3。 12121212min 24s.t.28,0f x x x x x x x x ì=--????-?镲í?+????3??121212121243max 3412..3310428,0f x x x x s t x x x x x x ì=+????+????+?í???+????3?? 12312312313min 3s.t.211423210(1,2,3)j f x x x x x x x x x x x x j =--ì????-+?????-++?í??-+=????????123123123max 3s.t.24240(1,2,3) j f x x x x x x x x x x j =+-ì????++=??í-++=????????min s.t.1f x y z x y ì?=++???+?í
Matlab部分函数名的义源 rand(m,n) random 随机 inv(a) inverse 逆矩阵 root 平方根sqrt(a) squared abs(a) absolute value 绝对值 det(a) determinant 行列式 rank(a) rank 秩 trace(a) trace 迹 rref(a) reduced row echelon form 最简行阶梯形 space 零核空间null(a) null sym(a) symbol 符号 orth(a) orthogonal 正交 norm norm 模 poly(a) polynomial 多项式 roots(p) root 根 eig(a) eigen- 特征的eigensys(a) eigen- system 特征的 线性代数部分词汇英汉对照 adjoint matrix 伴随矩阵 algebraic cofactor 代数余子式 augmented matrix 增广矩阵 block matrix 分块矩阵 basic solution set 基础解系 characteristic equation 特征方程 characteristic polynomial 特征多项式 coefficient matrix 系数矩阵 cofactor 余子式 column vector 列向量 canonical form [二次型的]标准形 cramer’s rule 克莱姆法则 determinant of order n n阶行列式 diagonal matrix 对角矩阵 dimension 维数 echelon form 阶梯形 eigenvalue 特征值 eigenvector 特征向量 elementary matrix 初等矩阵 elementary row operation 行初等变换 full rank 满秩 general solution 通解 gram-schmidt process 施密特正交化过程 identity matrix 单位矩阵 index of inertia 惯性指数
Chapter7 线性二次型最优控制 稳定性是控制系统的一个重要指标，还要考虑诸如调节时间、超调、振荡等动态特性以及控制器所消耗的能量等因素。通过极点配置可使系统具有期望的稳定性和动态性能，然而并没有考虑控制的能量代价。用Lyapunov 稳定性理论解决“参数优化问题”，通过选取一个适当的参数，可以在保证系统稳定的前提下，使二次型性能指标最小化，从而使系统的过渡过程具有较好的性能，有必要将这种方法推广到控制器设计。 7.1 二次型最优控制 在控制系统中，为了达到同一个控制目的，可以有多种方案（如多输入系统的极点配置状态反馈控制器是不唯一的），具有最小能量的控制方式更具实际意义。对于 Bu Ax x += Cx y = （7-1） 系统性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指标来描述： ?∞ +=0d ][t Ru u Qx x J T T （7-2） Q 是对称正定（半正定）加权矩阵，R 是对称正定加权矩阵，他们反映了设 计者对状态x 和控制u 中各分量重要性的关注程度。第一项反映控制性能，这一项越小，状态衰减到0的速度越快，振荡越小，控制性能越好；第二项反映对控制能量的限制。通常状态x 衰减速度越快，控制能量越大，这是一个矛盾，最优控制的目的就是寻找Q 、R ，调和上述矛盾，问题归结为，对给定系统（7-1）和保证一定性能指标（7-2）的前提下，,设计一个控制器u ，使J 最小。 若系统的状态是可以直接测量的，且考虑的控制器是状态反馈控制器，则可以证明，使性能指标（7-2）最小化的最优控制器具有以下线性状态反馈形式： Kx u -= （7-3） 将控制器（7-3）代入系统方程（7-1）可得 x BK A x )(-= （7-4） 若系统是渐近稳定的，矩阵BK A -所有特征值均具有负实部，根据线性时不变系统的Lyapunov 稳定性定理，（7-4）一定存在一个正定对称矩阵P 的二次
用MATLAB 优化工具箱解线性规划 命令：x=linprog （c ，A ，b ） 2、模型： beq AeqX b AX ..min =≤=t s cX z 命令：x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq ） 注意：若没有不等式：b AX ≤存在，则令A=[ ]，b=[ ]. 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. 3、模型： VUB X VLB beq AeqX b AX ..min ≤≤=≤=t s cX z 命令：[1] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB ） [2] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB, X0） 注意：[1] 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval. 例1 max 6543216.064.072.032.028.04.0x x x x x x z +++++= 85003.003.003.001.001.001.0..654321≤+++++x x x x x x t s 70005.002.041≤+x x 10005.002.052≤+x x 90008.003.063≤+x x 6,2,10 =≥j x j 解 编写M 文件小xxgh1.m 如下： c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) min z=cX b AX t s ≤..1、模型：