——小学数学六年级下册
数学思维培训资料
（方法篇）
编撰：夏凡
2014.2.
目录
三、方法篇
1.归纳法 (3)
2.枚举法 (7)
3.分类法 (11)
4.调整法 (15)
5.代换法 (19)
6.赋值法 (23)
7.函数法 (27)
8.构造法 (31)
9.整体法 (35)
10.极值法 (39)
1.归纳法
什么是归纳法？
意义：由部分到整体，个别到一般的推理
定义：①分类；②逐类找出相同点；③归纳相同点；
【准备】
在一个正方形纸片中划一条直线将把这张纸片分成两份，划两条直线将把这张纸片分成多少份？划三条直线呢？画四条直线呢？······划100条直线呢？
例1.3个孩子分20个苹果，每人至少1个，分得的苹果个数整数，则分配方法共有多少种？
【理解题意】
（1）20= （2）甲≥乙≥丙≥
【猜想可能】
则分配方法共有多少种？可以采取“枚举”的方法，不重复，不遗漏地例举出来，但是这样计算量大，于是可以考虑用“归纳的思想”。
【解决过程】
【反思结果】
一般说来，有省略号的地方，以及计算量大的地方可以考虑运用“归纳方法”
【延伸思考】
例2.数列ΛΛ6
3,72,81,16,25,34,43,52,61,14,23,32,41,12,21中第1141个数是多少？
【理解题意】
（1） 分子分别为：
（2） 分母分别为：
（3） 分子、分母的和为：
（4） 和相同的个数为：
（5） 2+4是第（ ）个数，2+4+6是第（ ）个数，2+4+6+···+？是第1141个数
【猜想可能】
要求问题，只要求出：第1141个数在某一组和范围即可
【解决过程】
【反思结果】
关键是归纳发现“分子与分母的和相同的个数”并推出“和的个数之和与和的末位序数之间的规律”
【延伸思考】
例3.小王和小张网拼图游戏，他们各用若干个边长为1的等边三角形拼成一个尽可能大的等边三角形，小王有1000个边上为1的等边三角形，但是无论怎么样努力，小王拼成的大等边三角形的边长都比小张拼的等边三角形的边长小，那么。小张用的边长为1的等边三角形至少有多少个？
【理解题意】
（1） 画图：
（2） 小张的等边三角形个数
【猜想可能】
则要求问题，既要能，满足（）又要恰好能拼成一个（），且尽量最少的（）个数。
【解决过程】
【反思结果】
自然的逻辑“贴着题意走”，从而随水推舟。
【延伸思考】
【练习题目】1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？
2. 某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，3+3/4天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，2+6/7天可以完成，需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？
3. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比.
4. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套，甲原来购进这种时装多少套？
5. 有甲、乙两根水管，分别同时给A，B两个大小相同的水池注水，在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5.经过2+1/3小时，A，B两池中注入的水之和恰好是一池.这时，甲管注水速度提高25%，乙管的注水速度不变，那么，当甲管注满A池时，乙管再经过多少小时注满B池？
2.枚举法
什么是枚举法？
意义：将所有的可能一一列举出来
定义：①分类；②赋值；③列举结果；
【准备】有小明有面值为5角角的邮票各两枚。他用这些邮票能付多少种不同的邮资？
例1.某人射击8枪，命中4枪，命中4枪恰好有3枪连在一起的情况的中数是多少？【理解题意】
把射击的八枪依次编号，找出三枪连在一起的有那些？
【猜想可能】
现在的依次三枪连在一起后有六种情况，分别再“搭配”一枪就能计算出结果。
比如：排列1，2，3，4，5，6，7，8，
组合123，234，345，456，567，678六种情况
其中123——5，6，7，8 234——？
【解决过程】
【反思结果】
题目怎么说，我就怎么做——“贴着题意”走
【延伸思考】
例2.在自然数中，恰好有4个因数的两位数共有多少个？
【理解题意】
※一个数的因数个数怎么求出来的呢？自己举个例子试一试
※反过来，一个数的因数个数知道了，怎么去确定这个数呢？
【猜想可能】
a或3的形式
满足条件的数应该有一下质因数形式：ab
如10=2×5=21×51，即（1+1）×（1+1）=4
······
【解决过程】
【反思结果】
这些数如果分解质因数的话，有什么特点？
【延伸思考】
例3.某商店甲、乙、丙三种商品的单价分别是2元、3元、5元，某人买了这三种商品每种若干件，共用去20元，此人发现其中有一种商品买多了，退还两件这种商品，但是营业员只有10元一张的钱，没有零钱退，此人只得将其它两种商品购买的数量调整，使总价保持不变，这时，此人所购三种商品中，乙种商品的件数是多少？
【理解题意】
（1）2元×（？件）+3元×（？件）+5元×（？件）=20元
（2）退回两件商品不是5元的
【猜想可能】
要求乙种商品的件数，可考虑各种商品的可能性，“枚举”出来，“逐步调整”
【解决过程】
【反思结果】
边读边表达（用图形，用符号表示题目中的数量关系）
【延伸思考】
【练习题目】
1. 小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有3/10的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间？
2. 甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车.
3. 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时，乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米？
4. 今有重量为3吨的集装箱4个，重量为2.5吨的集装箱5个，重量为1.5吨的集装箱14个，重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱？
5. 师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的1/3比徒弟加工零件个数的1/4还多10个，那么徒弟一共加工了几个零件？
6. 一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地.大轿车的速度是小轿车速度的80%.已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地.又知大轿车是上午10时从甲地出发的.那么小轿车是在上午什么时候追上大轿车的.
3.分类法
什么是分类法：
意义：对各种情况进行列举
定义：①划定范围；②分组；③边读边表达
【准备】22+30=50，100﹥80，80﹤100, 80+X=100，80+X﹥100，80﹤2X 3X=180， 100+Y=3×50仔细观察这些式子，你能将它们分分类？并说说，你是按什么标准来分的。
例1.各个数位上数码之和是15的三位数共有多少个？
【理解题意】
（百位数字）+（十位数字）+（各位数字）=15
【猜想可能】
当百位数字是1，那么十位数字是5，6，7，8，9，个位数字是9，8，7，6，5；当百位数字是2，······
【解决过程】
【反思结果】
“符号表达”是解决数学问题的一种很好的技巧；
【延伸思考】
例2.如右图，方格纸上放了二十枚棋子，以棋子为顶点的正方形有多少个？
【理解题意】
以这些点中的两点为边长，连接的正方形；正方形的边长相等；
【猜想可能】
要求问题：可以考虑各种可能的边长；也可以基本边长到对角线逐步讨论；还可以从正方形的倾斜程度逐步讨论。
【解决过程】
【反思结果】
“分类讨论，逐步调整”是一个很好的思维策略
【延伸思考】
例3.一辆汽车和一辆大卡车在一段9千米的狭路上相逢，必须倒车才能继续前进。已知
小汽车的速度是大卡车的3倍，两车倒车速度是各自的5
1；小汽车需要倒车的时间是大卡车的4倍。如果小汽车的速度是每小时50千米，那么要通过这条狭路最少要多少个小时？
【理解题意】
（1）“小汽车的速度是每小时50千米”，“是大卡车的3倍”可以求出什么？
（2）“小汽车的速度是每小时50千米”，可以求出小汽车倒车速度是多少？
（3）小汽车倒车路程（4分）+大卡车倒车路程（1分）=9千米
【猜想可能】
逐步讨论各种情况所需时间；小汽车倒车所需时间与大卡车倒车后再通过狭路的总时间来分析。
【解决过程】
【反思结果】
找出范围，分类讨论，逐步调整
【延伸思考】
【练习题目】1. 一部书稿，甲单独打字要14小时完成，，乙单独打字要20小时完成.如果甲先打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时.......两人如此交替工作.那么打完这部书稿时，甲乙两人共用多少小时？
2. 黄气球2元3个，花气球3元2个，学校共买了32个气球，其中花气球比黄气球少4个，学校买哪种气球用的钱多？
3. 一只帆船的速度是60米/分，船在水流速度为20米/分的河中，从上游的一个港口到下游的某一地，再返回到原地，共用3小时30分，这条船从上游港口到下游某地共走了多少米？
4. 甲粮仓装43吨面粉，乙粮仓装37吨面粉，如果把乙粮仓的面粉装入甲粮仓，那么甲粮仓装满后，乙粮仓里剩下的面粉占乙粮仓容量的1/2；如果把甲粮仓的面粉装入乙粮仓，那么乙粮仓装满后，甲粮仓里剩下的面粉占甲粮仓容量的1/3，每个粮仓各可以装面粉多少吨？
5. 甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2，甲、乙两数之和是478.那么甲、乙丙三数之和是几？
6.一辆车从甲地开往乙地.如果把车速减少10%，那么要比原定时间迟1小时到达，如果以原速行驶180千米，再把车速提高20%，那么可比原定时间早1小时到达.甲、乙两地之间的距离是多少千米？
4.调整法
什么是调整法?
意义：依顺序列举，逐步尝试调整
定义：①确定顺序；②逐步尝试；③逐步调整；
【准备】把14分成一些自然数的和，再求这些自然数的积，积最大是多少？
例1.整数8可以写成1，1，2，4这4个整数的和，也可以分成4个整数的积。那么最少有多少个不等于2008的整数，使得它们的和等于2008，它们的积也等于2008？
【理解题意】
（1）2008分解质因数，抓住本质；
（2）2008分解成如干个自然数的和，要“最少”，怎么办？
【猜想可能】
题目要求这组整数“最少”，只能使这组整数中“1”的个数尽量少，其它因数尽可能大；可以是那些，只好逐步调整。
【解决过程】
【反思结果】
此题得充分利用自然数“1”在“积”和“和”中的特点；另外，“最多”与“最小”也是解决这类题的关键。
【延伸思考】
例2.两个瓶子A、B各装有6升盐水溶液，它们的含盐浓度分别是5%，10%。我们将A的溶液倒1升到B中，又将B中摇匀后的溶液倒1升到A中。我们把这样的操作称为一次勾兑。如果想A瓶的含盐度增加到6.5%以上，那么，我们至少需要勾兑多少次？【理解题意】
（原有溶质+增加溶质）÷（原有溶液+增加溶液）=增加后的含盐浓度
【猜想可能】
按照题意勾兑，逐步调整，直至A瓶的含盐浓度增加到6.5%为止。
【解决过程】
【反思结果】
清楚概念“浓度”的意义和计算方法；依次勾兑；
【延伸思考】
例3.绕湖一周是22千米，甲、乙二人从湖边某地同时出发方向而行。甲以4千米/小时的速度每走1小时后休息5分钟，乙以6千米/.小时的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？
【理解题意】
（1）1小时50分=（）分钟
（2）50分+10分=（）分钟
（3）在65分钟里，两人共走多少千米？
【猜想可能】
由于两人休息时间不一致，所以就只能逐步调整来解决
【解决过程】
【反思结果】
以某一个为标准（以甲的65分钟为标准）；然后逐步调整；到最后余下的3千米，就常规处理了。
【延伸思考】
【练习题目】1. 某校参加军训队列表演比赛，组织一个方阵队伍.如果每班60人，这个方阵至少要有4个班的同学参加，如果每班70人，这个方阵至少要有3个班的同学参加.那么组成这个方阵的人数应为几人？
2. 甲、乙、丙三台车床加工方形和圆形的两种零件，已知甲车床每加工3个零件中有2个是圆形的；乙车床每加工4个零件中有3个是圆形的；丙车床每加工5个零件中有4个是圆形的.这天三台车床共加工了58个圆形零件，而加工的方形零件个数的比为4：3：3，那么这天三台车床共加工零件几个？
4. 圈金属线长30米，截取长度为A的金属线3根，长度为B的金属线5根，剩下的金属线如果再截取2根长度为B的金属线还差0.4米，如果再截取2根长度为A的金属线则还差2米，长度为A的等于几米？
5. 某公司要往工地运送甲、乙两种建筑材料.甲种建筑材料每件重700千克，共有120件，乙种建筑材料每件重900千克，共有80件，已知一辆汽车每次最多能运载4吨，那么5辆相同的汽车同时运送，至少要几次？
6. 从王力家到学校的路程比到体育馆的路程长1/4，一天王力在体育馆看完球赛后用17分钟的时间走到家，稍稍休息后，他又用了25分钟走到学校，其速度比从体育馆回来时每分钟慢15米，王力家到学校的距离是多少米？
5..代换法
什么是代换法？
意义：将一个数量用另一个数量代替
定义：①找出数量关系句；②逐步转化，用一个数量代换另一个数量；③调整统一；【准备】十个相同的小矩形拼成一个面积为30cm2的大矩形（如图），求大矩形的周长。
例1.在一个梯形内有两个面积分别是6、8平方厘米的三角形（如图），这个梯形的下底长是上底的2倍，则图中阴影部分面积是多少平方厘米？
【理解题意】
（1）6=上底×高上÷2 8=下底×高下÷2 梯形=（上底+下底）×高÷2
（2）高上+高下=高下底=上底×2
【猜想可能】
直接求梯形面积缺少条件，可以间接求，利用等量代换和恒等变形等策略
【解决过程】
【反思结果】
“利用等量关系建立等量关系式，然后做等量代换运算”这是一个很重要的解题策略【延伸思考】
例2.已知A、B、C、D、E、F、G、H、I、K代表十个互不相等的大于0的自然数，要使下列等式都成立，A的最小值是多少？
B+C=A D+E=B E+F=C G+H=D H+I=E I+K=F
【理解题意】
A=B+C=（D+E）+（E+F）=D+2E+F=（G+H）+2（H+I）+（I+K）
=G+3H+3I+K
【猜想可能】
第一，用尽可能多的其它数的运算来代替A；第二，按照A要尽可能小，分析出其它数的大小。
【解决过程】
【反思结果】
通过代换A与最小的字母直接联系起来，是这题的最巧妙之处。
【延伸思考】
例3.如图，在三角形ABC中，BD：DC=1：2，E为AD的中点，若三角形ABC的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？