欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解
第15章Fourier级数
15.1复习笔记
一、Fourier级数
1.相关概念
(1)三角级数的定义
形如
一类的函数项级数,称为三角级数.
(2)三角多项式
上述三角级数前n项和
称为(n次)三角多项式.
(3)Fourier级数
假定周期为2π的函数f(x)能展开成上一致收敛的三角级数:
其中
称系数由上式所确定的三角级数
为f(x)的Fourier级数,系数称为f(x)的Fourier系数,并记
2.正弦级数和余弦级数
(1)设周期为2π的函数f(x)于上绝对可积,如果f(x)是奇函数,则
从而
这就是正弦级数.
(2)当f(x)为偶函数时,必有,这时可得余弦级数
3.一般周期函数的Fourier级数
设f(x)是周期为T且在[0,T]上绝对可积的函数,f(x)在[0,T]上的Fourier级数:
其中
4.复数形式下的Fourier级数
f(x)在复数形式下的Fourier级数
复的Fourier系数
二、Fourier级数的收敛性
1.Riemann引理
(1)Riemann引理
设f(x)在(有界或无界)区间〈a,b〉上绝对可积,则
(2)推论
在[0,T]上绝对可积函数的Fourier系数
2.Fourier级数收敛的充要条件(局部性定理)
周期为2π的局部绝对可积函数f(x)的Fourier级数在点x的敛散情况及收敛时的极限值仅与f在该点任意指定小的邻域上的值有关,与此邻域外的值无关.3.Dini判别法
(1)Dini判别法
若于上绝对可积,则,即f的Fourier级数在点x收敛到S:
(2)推论
f是2π周期的局部绝对可积函数,若于x点存在左右极限f(x±)及
所示的有限单侧导数,则Fourier级数于x点成立
4.Jordan判别法
设f在上单调(或有界变差),
(1)若,则
(2)若则
三、Fourier级数的性质
1.逐项积分定理
设周期为2π的函数f(x)局部绝对可积且
则收敛,且逐项积分公式成立:
.
2.Fourier级数逐项求导问题
假定f(x)是周期为2π的连续可微函数,且
的Fourier级数:
其中表示的Fourier系数.
由此可得
故周期为2π的连续可微函数f的Fourier级数必可逐项求导,求导后得的Fourier级数.3.最佳平方逼近
(1)定理
设为f的Fourier系数,并设
是f的Fourier级数前n项和,当且仅当时,平方误差最小,且最小值为
(2)Besse1不等式
(3)Parseva1等式
四、用多项式逼近连续函数
1.引理
为2π周期、分段线性的连续函数,则的Fourier级数必一致收敛到
2.Weierstrass定理
(a,b有限)多项式p(x),使得
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