变化率与导数、导数的计算
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一、选择题
1．下列求导运算正确的是( ) A.? ????
x ＋1x ′＝1＋1x 2
B ．(log 2x )′＝
1
x ln 2
C ．(3x )′＝3x log 3e
D ．(x 2cos x )′＝－2sin x
B [? ????x ＋1x ′＝x ′＋? ????
1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝
2x cos x －x 2sin x ，故选项B 正确．]
2．(2019·成都模拟)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (其中e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝( )
A ．1
B ．－1
C ．－e
D ．－e －
1
D [由已知得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，则f ′(e)＝－1e .故选D.]
3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝1
3t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( )
A ．1秒末
B ．1秒末和2秒末
C ．4秒末
D ．2秒末和4秒末
D [∵s ′(t )＝t 2－6t ＋8，由导数的定义可知v ＝s ′(t )，令s ′(t )＝0，得t ＝2或4， 即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.]
4．(2019·贵阳模拟)曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x －e
B ．y ＝－2x －e
C．y＝2x＋e D．y＝－x－1
A[对y＝x ln x求导可得y′＝ln x＋1，则曲线在点(e，e)处的切线斜率为ln e ＋1＝2，因此切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e.故选A.]
5．已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a＝()
A.1
2 B.
1
2e
C.1
e D.
1
e2
C[设切点坐标为(x0，ln x0)，由y＝ln x的导函数为y′＝1
x知切线方程为y－ln
x0＝1
x0(x－x0)，即y＝x
x0＋ln x0－1.由题意可知
??
?
??a＝
1
x0，
ln x0－1＝0，
解得a＝
1
e.故选C.]
二、填空题
6.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则曲线y＝f(x)在点P 处的切线方程是________．
x－y－2＝0[根据导数的几何意义及图像可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.] 7．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
(－∞，0)[由题意，可知f′(x)＝3ax2＋1
x，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax
2
＋1
x＝0，即a＝－
1
3x3(x＞0)，故a∈(－∞，0)．]
8．设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y
＝0，则点P的坐标为________．
(1，－1)或(－1,1)[由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3x20＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且
??? 3x 2
0＋2ax 0＝－1，x 0＋x 30＋ax 20＝0，
解得??? x 0＝－1，a ＝2或???
x 0＝1，a ＝－2， 所以当???
x 0＝1，
a ＝－2时，点P 的坐标为(1，－1)；
当???
x 0＝－1，a ＝2时，点P 的坐标为(－1,1)．] 三、解答题
9．已知点M 是曲线y ＝1
3x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：
(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． [解](1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53， ∴斜率最小时的切点为? ?
???2，53，斜率k ＝－1，
∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈???
???0，π2∪??????3π4，π.
故α的取值范围为???
???0，π2∪????
??3π4，π.
10．已知函数f (x )＝13x 3
－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．
[解](1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，
即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由已知(2)中条件并结合(1)中结论
可知，
??
?
??
k≥－1，
－
1
k≥－1，
解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．
1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y ＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
D[因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.]
2．曲线y＝e
1
2x
在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为() A.
9
2e
2B．4e2
C．2e2D．e2
D[易知曲线y＝e
1
2x
在点(4，e2)处的切线斜率存在，设其为k.∵y′＝
1
2e
1
2x
，∴k ＝
1
2e
1
2×4
＝
1
2e
2，∴切线方程为y－e2＝
1
2e
2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面积为S＝
1
2×2×|－e
2|＝e2.]
3．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝e x的切线，则b ＝________.
0或1[设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2的切点为(x1，y1)，与曲线y＝e x
的切点为(x 2，y 2)，y
＝ln x ＋2的导数为y ′＝1
x ，y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，可得k ＝e x 2＝1x 1.又由k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝e x 2－ln x 1－2x 2－x 1，消去x 2，可得(1＋ln x 1)·(x 1－1)＝0，则x 1＝1
e 或
x 1＝1，则直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2的切点为1
e ，1或(1,2)，与曲线y ＝e x 的切点为(1，e)或(0,1)，所以k ＝
e －11－1e ＝e 或k ＝1－2
0－1＝1，则切线方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1，可得b ＝0或1.]
4．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．
(1)若函数f (x )的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． [解] f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意，得???
f (0)＝b ＝0，
f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，
解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.
(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，
所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－1
2.
所以a 的取值范围为? ????－∞，－12∪? ??
??
－12，＋∞.
1．定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′.
定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )＞0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数．已知函数f (x )＝x 3－3
2x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________．
? ??
??
12，＋∞ [因为f (x )＝x 3－32x 2＋1，所以f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，
令f ″(x )＞0得x ＞12，故x 的取值范围是? ??
??
12，＋∞.]
2．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，且在x ＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f (x )的解析式；
(2)若过点A (2，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围． [解](1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，
依题意??? f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0????
b ＝0，
3a ＋c ＝0又f ′(0)＝－3，所以c ＝－3，所
以a ＝1，
所以f (x )＝x 3－3x .
(2)设切点为(x 0，x 30－3x 0)， 因为f ′(x )＝3x 2－3，
所以f ′(x 0)＝3x 2
0－3，
所以切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)．
又切线过点A (2，m )，
所以m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(2－x 0)， 所以m ＝－2x 30＋6x 20－6，
令g (x )＝－2x 3＋6x 2－6，
则g ′(x )＝－6x 2＋12x ＝－6x (x －2)，
由g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，g (x )极小值＝g (0)＝－6，g (x )极大值＝g (2)＝2， 画出草图知，当－6＜m ＜2时，g (x )＝－2x 3＋6x 2－6有三个解，所以m 的取值范围是(－6,2)．
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