三角形的内角和定理（一）
泰宁县第二中学元功平设计理念
教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。它需要运用“对话式”的学习方式，采取多种教学策略，使学生在合作、探索、交流中发展能力，实现教者与学者感情上的融洽和情感上的共鸣；给学生体验成功的机会。.教师可以根据学生的提问或者活动中可能出现的某些情况，提供示范、建议和指导，引导学生大胆阐述并讨论他们的观点，让学生说明他们所获得的结论的有效性，并对结论进行评价。学生学习的过程是一个学生亲自参与,丰富、生动的思维活动,经历实践和创新的过程。
教学內容
《义务教育课程标准实验教科书数学》（北师大版）八年级下第207-211页
教学目标
1.知识与技能：
⑴掌握三角形内角和定理的证明。
⑵初步体会添加辅助线证题，培养学生观察、猜想和论证的能力
2.过程与方法：经历探索三角形内角和定理的过程，初步体会思维的多样性，给学生渗透化归的数学思想。
3.情感态度与价值观：
通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，进而激发学生的求知欲和学习的积极主动性。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。
学情与教材分析
1.“三角形内角和定理的证明”是八年级下初中数学教材继“相交线与平行线”之后的一个学习内容，应用这个定理可以得出三角形外角和，以及三角形内角与外角的关系，多边形内角和。也是学习“解直角三角形”的基础。因此本节课的内容在教材的编排顺序上起着承上启下的作用。根据新的课程标准，将三角形的内角和定理证明作为重点，教学难点是在三角形内角和定理的证明过程中如何添加辅助线，同时将自主探索、动手操作、协作交流意识的培养作为重点。在教学过程中循序渐进的设计“猜想”、“讨论”、“验证”、“应用”等环节以突破难点。
2．学生分析：八年级的学生，已具备一定的自主学习和协作交流能力，班级中学生
相互评价、相互提问、信息互享的互动氛围较浓；在学习了相交线与平行线的基础上，本节课的学习便是知识的延续和创新，学生会积极主动的投入实验、讨论、交流、建构。
教学准备
教师准备多媒体演示两幅,学生每人准备一个硬纸片三角板。
教学过程
一、引入新课
［师］同学们，我们做这样的实验：将三角形纸片的三个角剪下，随意将它们拼凑在一起，恰好得到一个什么角?
［生］平角。
从而大家得出三角形的三个内角和等于180°。[让学生自己动手探究,体会数学研究的乐趣.]
［师］现在，我们来看两个电脑的动画演示，验证这个结论是不是正确的。
1.动画演示一
［师］先将△ABC中的∠A通过平移和旋转到如上图所示的位置，再将图中的∠B通过平移到上图所示的位置。
拖动点A，改变△ABC的形状，三角形的三个内角和总等于180°
2.动画演示二
［师］先将三角形纸片(图(1))一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图(2))，
然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相重合(图(3) (4)。)
［师］由电脑的动画演示可知：∠A、∠B、∠C拼成的角总是一个平角，由此得到三角形的三个内角之和等于180°。[让学生直观感受,调动其研究兴趣]
我们通过观察与实验的方法猜想得到的结论不一定正确可靠，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理、证明。这就是我们这节课所要研究的内容。
二、定理证明
［师］接下来我们来证明这个命题：三角形的三个内角之和等于180°。这是一个文字命题，证明时需要先做什么呢?
［生］需要先画出图形、根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证。[有本章前面几节作为基础，学生有能力画图，写已知，求证。]
［师］很好!怎样证明呢?[ 联想前面撕角拼角的方法，学生能想到。让学生体会转化的数学思想方法，把新知识化为旧知识。]
［生］添加辅助线，延长BC到点D，过点C作CE∥AB，∠A=∠ACE，∠B=∠ECD，进而将三个内角拼成平角。[通过以上分析、研究，让学生讲解依据：根据平行线的性质，利用同位角,内错角把三角形三内角转化为一个平角。使学生亲身参与数学研究的过程，并在过程中体会数学研究的乐趣。] [实验法]
已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：延长BC到点D，过点C作CE∥AB
∵CE∥AB
∴∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等)
∵∠ACE+∠ECD+∠BCA=180°
∴∠A+∠B+∠BCA=180°(等量代换)
[教师引导，要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。]
上面我们证明了三角形三个内角和等于180°，这个结论是正确的，我们称它为三角
形内角和定理。证明思路是将三角形的三个角集中到点C处，拼成一个平角。根据这个思路，你们有没有其它的证法呢? [教师给出规范的证明过程的板书，可以起到示范的作用。也在向学生强调要重视数学的基本功。]
三、探究讨论
四个学生为一组，探索三角形内角和定理的其它证法分析、证明方法。
［师］给同学们一些时间，在独立思考的基础上合作交流积极探索，看哪个组的思路广，证法多。大家比一比，好吗?
［生］(齐声)好! [学生自主探索，教师巡视、诊断，]
给学生足够的时间
［师］同学们探索好了吗?
［生］(齐声)好了，我们有很多证法。
［师］现在，各组派一名代表说明证明的思路。[学生自己得出的猜想和证明会更让他们乐于接受，而方法也在此过程中渗透给了学生。]
1.［生1］过点A作直线PQ∥BC，使三个角凑到“A”处。[通过分析、研究，让不同做法的学生讲解依据。]根据平行线的性质，利用内错角，把三角形三内角转化为一个平角。
证明：过点A作直线PQ∥BC
∵PQ∥BC
∴∠B=∠PAB(两直线平行，内错角相等)
∠C=∠QAC(两直线平行，内错角相等)
∵∠PAB+∠QAC+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换)
2.［生2］在△ABC的一边BC上任取一点D，过点D
点作其它两边的平行线，把三个内角拼成以D为顶点的平
角。
证明：在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB，DF∥AC
∴∠B=∠EDC(两直线平行，同位角相等)
∠C=∠FDB(两直线平行，同位角相等)
∠A=∠FDE(平行四边形的对角相等)
∵∠BDF+∠FDE+∠EDC=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换)
［师］很好!这三位同学是将△ABC的三个角集中到一个顶点处或一条边上的任意一点上。其实，通过添加辅助线，是否可以将△ABC的三个角集中到三角形内部或外部的任意一点上拼成一个平角。
3.试一试
证明三角形内角和定理时，可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P,（如图6－47（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图6－47（2））“凑”到三角形外一点呢？（如图6－47（3）），你还能想出其他证法吗？
［教师对学生猜想适当点拨，作为课外研究课题，可以调动学生的研究兴趣。并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路。］
［师］同学们，你们由180°还可以联想到什么?
［生3］一对邻补角之和等于180°。
［生4］两直线平行，同旁内角互补。
［师］好!从这两个角度去思考，能想到其他的证明方法吗?
4.［生5］过点A作AD∥BC，有∠C=∠2，将三个内角拼成一对同旁内角。
证明：过点A作射线AQ∥BC
∴∠C=∠QAC(两直线平行，内错角相等)
∠QAC+∠BAC+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互
补)
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
5.生6］分别过△ABC各顶点，任作一组平行线a
∥b∥c，将三个内角拼成平行的一对同旁内角。[请一位同学上台讲述证明过程]
A B
C
D ［师］同学们讨论得真棒。我们由180°联想到一平角等于180°，一对邻补角之和等于180°，两直线平行，同旁内角互补。由此，大家提供了这么多的的证明方法，说明你们能学以致用。接下来，我们做练习以巩固三角形内角和定理。 [根据以上几种辅助线的作法，选择一种,师生合作，写出示范性证明过程。其余由学生自主完成证明过程。目的是培养学生的思维能力和推理能力。进一步搞清作辅助线的思路和合乎逻辑的分析方法，充分让学生表述自己的观点，这个过程对培养学生的能力极为重要，依据不充分时，学生可争论，师生共同小结。]
6.讨论:用橡皮筋构成△ABC ，其中顶点B 、C 为定点，A 为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A 自动收缩于BC 上，请同学们考察点A 变化时所形成的一系列的三角形：△A 1BC 、△A 2BC 、△A 3BC ……其内角会产生怎样的变化呢？
［生甲］当点A 离BC 越来越近时,∠A 越来越接近180°,而其他两角越来越接近于 0°.
［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.
［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？
［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°.
［师］很好.看实验：当点A 远离BC 时，∠A 越来越趋近于0°,而AB 与AC 逐渐趋向平行，这时，∠B 、∠C 逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B +∠C →180°.
请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？
［生齐声］180°
[通过图形变换，培养学生观察、分析、解决问题的能力。]
四、例题讲解
例：△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，如图，求∠DBC 的度数。
[学生自主探索，教师巡视、诊断，让学生上台板演，学生
辨析，教师小结。]
[使学生灵活应用三角形内角和定理。用代数方法解决几何
问题（方程思想）是重要的方法。]
五、练一练
1.填空。
在△ABC中，⑴∠A=60°，∠B=50°，则∠C=（）°
⑵∠C=90°，则∠A+∠B=（）°
⑶∠A=50°，∠B=∠C，则∠C=（）°
[小组测评、互改、对其中出现的问题，教师有针对性地讲解。]
2.已知：如图,在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°，∠C=70°
求证：∠ADE=50
证明：
∵DE∥BC（已知）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∵∠C=70°（已知）
∴∠AED=70°（等量代换）
∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）
∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）
∵∠A=60°（已知）
∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）
[进一步使学生灵活运用三角形内角和定理][小组讨论写法，由四名学生代表本组上台板演，进行对比，学生讨论,教师点评。]
3.如果△ABC是正三角形,求∠A
4.在△ABC中，若∠A+∠B=2∠C，求∠C
[3、4两题作为课堂小测，小组内部互改，点评订正。]
六、师生共同小结
1.三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于180°
2.三角形内角和定理的证明方法不止一种，视角不同，想法不同，证明的方法也不同，也可以说是一题多解。为了证明的需要，常常添作辅助线。过一点作某条直线的平行线是常用辅助线。此类辅助线的用途是：利用平行线的性质造成角的迁移、相等，设法将三个角合并成一个平角或者形成两条平行线间的同旁内角。
3.在解题的过程中，我们往往不是对问题正面直接攻破而是把问题进行变形转化，直到把它化为某个熟悉的或已经解决了的问题，这种解决问题的思想方法就是化归的思想方法。我们证明了一个很有用的三角形内角和定理，证明思想是，运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角。辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习[引导学生进行总结和概括，培养学生的归纳概括能力]。
七、课外作业
1.习题6.6 P210：1、2、3
2.复习本章内容。
板书设计
1.三角形内角和定理。
2.三角形内角和定理的几种证明方法。
3.例析
4.课堂练习
5.师生共同小结
6.作业布置
教学反思
本节课的教学设计经过实际的教学检验，成功之处有：创设问题情境好，两个电脑动画的演示吸引了学生，激起了他们的求知欲望；教师教学民主，使学生敢于发表自己的不同想法；教学效果好。教学设计的不足之处：学生提供的三角形内角和定理的证明方法很多超出教师的考虑范围，学生还有一些证明方法，由于时间所限，无法在课内――展示。
教师的体会：我感觉本套教材对几何内容的择取更加以人为本，更贴近学生生活现实，处理手法上更新颖，给老师和学生更大的活动空间，增进了学生对数学的理解，激发了他们的创造力。本节课的教学中，学生提供的三角形内角和定理的证明方法多种多样，虽然有一些不足之处，但都是他们自己探索得到的。有一些方法，超出我们的预料，带给我们无数的惊喜，我们感叹孩子们的创造力和想象力，这就是新课程带给我们的收获。
设计思路
1.提出疑问：前面的课程学习了三角形三条边的关系，那么三角形的三个内角又存在怎样的关系呢？
2.动手实践：引导学生做剪纸实验，并带领学生一起撕下三角形的任意两个角，拼在第三个角的顶点处。观察拼接结果，发现三个角拼在一起刚好是一个平角。
3.得出猜想：三角形的内角和为180°。
4.教师用多媒体动画展示三角形内角和为180的过程。
5.教师指出：任何实验都会有误差，即使全班同学都各自拼接了不同形状的三角形，但也不能就此说明所有的三角形都具有这一共性。启发学生运用所学的几何知识去证明这一结论。
6.⑴证明猜想，得出定理、分析命题:让学生结合图形说出已知和求证。已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°⑵教师重点分析证明思路，启发学生根据实验过程添加辅助线，鼓励学生独立思考，寻求证明方法。学生分组讨论何处能提供180°的结论？如何将三个角相加？如何利用平行线的性质构造同位角、内错角，同旁内角，将角的大小不变，而位置改变，从而将三角形的三个内角集中。各小组展示探究结果，归纳出以下几种证法：方法①过点C点，作CE∥BA，方法②过A点，作PQ∥BC，方法③在BC边上取任一点D，作DE∥AB、DF∥AC等。方法④过点A作射线AQ∥BC等。⑶分析定理的内容、作用。三角形的内角和定理是任意三角形都必须满足的条件，我们可以利用它找到三角形中角的关系、进行角度的计算。⑷巩固练习一:在△ABC中，①∠A=60°，∠B=50°，则∠C=（）°②∠C=90°，则∠A+∠B=（）° ③∠A=50°，∠B=∠C，则∠C=（）°⑸出示例题，应用例题巩固定理，完成教材208页练习1、 2题,布置210页习题做为作业, 归纳总结：明确知识三角形的内角有怎样的关系？三角形内角和定理的证明，如何添加辅助线是关键。辅助线是怎样添加的？为什么这样添加？⑹最后是教学反思。
《三角形的内角和》教学设计与说明 【教学内容】：“三角形的内角和”。例一，“试一试”和“练一练”。 【教材简析】： 本课教学先通过介绍数学家帕斯卡并讲述帕斯卡和三角形内角和的故事，激发学生的好奇心，进而引发“三角形内角和是180o”的猜想，再通过组织操作活动验证猜想，得出结论。最后让学生利用三角形内角和的知识求三角形中未知角的度数，并通过量角的度数的操作，进一步证实结论的正确性。因此本课教学需要引导学生度量、计算和实验，在活动中感知三角形内的三个角的度数之和是定数为180度，并能运用它解决有关实际问题，激发学生主动参与、自主探索的意识，锻炼学生的动手操作能力，发展学生初步的逻辑推理能力和空间观念。 【设计理念】： “三角形的内角和等于180°”是三角形的一个重要性质，教材通过多种方法的操作实验如：亲自动手测量、折叠、拼凑等，让学生确信这一个性质的正确性，根据学生已有的经验和教材的内容特点，本着学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解过程”的教学理念，利用多媒体课件、采用小组合作探究式教学设计让学生经历猜想、验证、归纳总结等数学活动，体验知识的形成过程。在这节课中引入了帕斯卡和三角形内角和的故事为本节课注入了数学文化，数学思想，丰富了本节课的内容，这也是我这节课想要达到的教学目标. 【教学目标】： 1、知识与技能：让学生通过猜想——验证——归纳结论，发现“三角形的内角和是180o”。 2、过程与方法：让学生学会根据“三角形的内角和是180 o”这一知识求三角形中一个未知角的度数。 3、情感态度与价值观：激发学生主动参与、自主探索的意识，锻炼动手能力，发展空间观念，向学生传递数学文化，数学思想。 【教学重难点】：学生用撕拼法，折叠法自主探索三角形内角和是180o。 【教学准备】：多媒体，三角板，量角器、自制的三种三角形纸片等。 【教学过程】： 一、提出猜想： 多媒体出示帕斯卡的图片，介绍帕斯卡，并讲帕斯卡和三角形内角和的故事。 揭示课题：三角形内角和。 让学生大胆猜想三角形内角和是多少？ 【设计说明：通过帕斯卡和三角形内角和的故事引入课题，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。同时也可以培养学生大胆猜想的数学思想。】 二、验证猜想： 我们既然提出了猜想，那下面我们该去研究验证了这个猜想是否正确了。 你们想用什么方法去验证呢？ 下面我们就进行小组合作，用你们刚才想到的方法去研究，互相交流你们发现了什么？ 1、画、量： 在点子图上，分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。画好后分别量出各个角的度数，再把三个角的度数相加。 老师注意巡视和指导。交流各自加得的结果，说说你的发现。 2、折、拼： 学生用自己事先剪好的图形，折一折。 指名介绍折的方法：比如折的是一个锐角三角形，可以先把它上面的一个角折下，顶点和下面的边重合，再分别把左边、右边的角往里折，三个角的顶点要重合。发现：三个角会正好在一直线上，说明它们合起来是一个平角，也就是180度。 继续用该方法折钝角三角形，得到同样的结果。 直角三角形的折法有不同吗？ 通过交流使学生明白：除了用刚才的方法之外，直角三角形还可以用更简便的方法折；可以直角不动，而把两个锐角折下，正好能拼成一个直角；两个直角的度数和也是180度。 3、撕、拼： 可能有个别学生对折的方法感到有困难。那么还可以用撕的方法。 在撕之前要分别在三个角上标好角1、角2和角3。然后撕下三个角，把三个角的一条边、顶点重合，也能清楚地看到三个角合起来就是一个平角——180度。 三．归纳总结 刚才我们小组通过研究得出了什么结论呢？ 学生齐说：三角形的内角和是180o。 同学们你们想知道12岁的帕斯卡是用什么方法去验证的呢？多媒体出示帕斯卡的论证方法，教师讲解。 如果你们感兴趣的话可以到网络上去搜索有关帕斯卡的信息，再详细的了解他的这个论证方法！ 你们觉得帕斯卡的这种方法怎么样？
八年级数学导学稿 第五章几何证明初步 5.5三角形内角和定理(2) 开发区初中八年级数学备课组 学习目标：1、掌握直角三角形的性质定理及其逆命题。 2、经历探索直角三角形的性质定理及其逆命题的推理的过程，进一步培 养学生的推理能力.从而使他们灵活应用所学知识。 重点：直角三角形的性质定理及其逆命题。 难点：灵活应用所学知识证明直角三角形的性质定理及其逆命题。 教学过程： 【温故知新】 1、三角形内角和定理的内容是什么？ 2、取一副三角尺，你能说出每个三角尺的两个锐角的度数吗？同一副三角尺的两个锐角的和是多少度？ 【探索新知】 1、已知：在直角△ABC中, ∠ACB=900，求证：∠A+∠B =900 2、合作探究：直角三角形的性质定理： ------------------ 3、你能说出直角三角形的性质定理的逆命题吗？ 它是真命题还是假命题？如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举一反例。 4、例1:已知：在直角△ABC中, ∠ACB=900， DC⊥AB,垂足是D求证：∠ACD =∠B
D C B A 【巩固提升】 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D, 则∠B=∠________,∠C=∠________. 【课堂小结】 【达标检测】 1、将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为 A ．75° B ．95° C ．105° D ．120° 2.已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，AB 为斜边，AC=BD,BC,AD 相交于点E （1） 求证：AE=BE; （2） 若∠AEC= 45，AC=1，求CE 的长。 A C 【我的反思】
八年级数学上册 三角形内角和定理(第一课时) 一、教学内容分析 1．教学主要内容 《三角形内角和定理》共两个课时,它分为三角形内角和定理以及三角形外角.三角形内角和定理在小学阶段学生已经学习过,七年级又通过活动再次验证了这一结论,本节课的主要内容则要严格地证明这一结论,进行简单的问题解决,并为下一课时利用这一结论推导有关三角形外角的定理做好铺垫. 2．教材编写特点 三角形内角和定理学生已经探究过,教材先引导学生回顾原来的探究与验证过程,力图从探究与验证活动中获取证明的思路.三角形内角和定理的证明思路都是将角“凑”到一起,而在七年级验证过程中,学生已经有了将三个角“凑”到一起的经验.因此,这样的回顾是十分有必要的. 3．我的思考 本节课的内容是学生已经非常熟悉的,而本节课的重点是让学生在原有基础上,利用添加辅助线的方式对定理进行严格的证明,这就要求学生有严谨的思维、清晰的表达能力以及灵活的思维.而教师在课堂中要充分发挥自己的引导启发能力,让学生从不同的角度、用不同的方式去思考问题,体会“条条大路通罗马”,从而训练学生的数学思维. 二、学生分析 1．学生已有知识基础 学生在小学、七年级已经学习并探索过三角形内角和定理,本节课由回顾原来探索方式的基础上展开,是一个很自然的过渡,应该不会有很大障碍. 2．学生学习该内容可能的困难 (1)一些学生可能在如何添加有效辅助线上产生困难. (2) 一些学生可能在写证明过程时思路不太清晰. (3) 一些学生可能在应用过程中产生困难,找不到问题之间的联系. 3．我的思考： 在教学过程中,对学生的引导要到位、有效,教学生如何进行严谨证明,规范书写格式,对学生出现的问题、困难及时发现、解决,所学知识及时强化. 三、学习目标 1.知识与技能: （1）理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程； （2）能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明；
7．5 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理 1．理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程；(重点) 2．能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入 星期天，小明和几位同学一起做作业时，其中一位同学不小心把三角板的两个角给压断了．小明将两个角和剩余的一个角放在一起，发现这三个角之和是一个平角．我们知道一个平角是180°，即这个三角形的三个内角之和为180°，那其他的三角形也是这样吗？如何证明呢？ 下面让我们一起进入本节的学习，一起探究如何证明三角形的内角和等于180°. 二、合作探究 探究点一：三角形内角和定理 在△ABC 中，如果∠A＝1 2∠B ＝1 2 ∠C ，求∠A、∠B、∠C 分别等于多少度？ 解析：这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题，由已知得∠B ＝∠C ＝2∠A.因此 可以先求∠A ，再求∠B 、∠C. 解：∵∠A＝12∠B ＝1 2∠C(已知)，∴∠B ＝∠C＝2∠A(等式的性质)．∵∠A＋∠B＋∠C ＝180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A ＋2∠A＋2∠A＝180°(等量代换)．∴∠A＝ 36°，∠B ＝72°，∠C ＝72°. 方法总结：求三角形内角度数时，要充分利用各角之间的关系，用其中一个角表示另外两个角，再借助三角形的内角和定理构建方程． 探究点二：三角形内角和定理的证明 已知：如图，在△ABC 中． 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 解析：要证明三角形的内角和是180°，需要从涉及180°角的知识去考虑，涉及180°角的知识有：①平角；②邻补角；③两直线平行下的同旁内角．可从这三个方面分别考虑，
七年级数学下册第九章《三角形》素材： 三角形的内角和问题 利用欧几里得的平行公理及其等价定理即可证明『三角形三内角之和为180o定理及其证明记载于欧氏《几何原本》第一卷的命题32，证明如下： 第一卷命题32 在任意三角形中，如果延长一边。则外角等于二内对角的和，而且三角形的三个内角的和等于二直角。 设ABC是一个三角形，延长其一边BC至D。则可证外角ACD等于两个内对角CAB，ABC的和且三角形的三个内角 ABC.BCA.CAB的和等于二直角。 事实上，过点C作平行于直线AB的直线CE。﹝I. 31﹞ 这样，由于AB平行于CD，且AC和它们同时相交，其错角BAC，ACE彼此相等﹝I. 29﹞ 又因为，AB平行于CE，且直线BD同时和它们相交，同位角ECD 与角ABC相等。﹝I. 29﹞ 但是已经证明了角ACE也等于角BAC； 故整体角ACD等于两内对角BAC.ABC的和。 给以上各角加上ACB。 于是角ACD.ACB的和等于三个角ABC.BCA.CAB的和。 但角ACD.ACB的和等于二直角。﹝I. 13﹞ 所以，角ABC.BCA.CAB的和也等于二直角。
证完 ﹝取材自蓝纪正，朱恩宽﹝1992﹞。《欧几里得?几何原本》，页27。台北：九章出版社﹞ 但若不用这条公理，又何以证明呢？ 法国著名数学家勒让德﹝1752─1833﹞为此作出研究，并于1794年出版了被世界各国广泛采用为初等几何教材的《几何原理》。书中他重新排列欧几里得的几何命题，把定理与一般命题分列，简化证明之余，仍保持逻辑上的严密性。书中亦提及『三角形三内角和不大于180°』这著名的命题，其证明步骤如下：于直线上取 AC=CC1=...=Cn-2Cn-1，作全等三角形△ABC≌△CB1C1≌...≌△ Cn-2Bn-1Cn-1，连BB1，B1B2，...，Bn-2Bn-1，得全等三角形△BCB1≌△B1C1B2≌... ≌△Bn-1Bn-2Cn-1 。拼作△B0AB≌△BCB1﹝此时认为B0，B，B1，...，Bn-1在一条直线上并无根据的﹞。 若△ABC的三内角和大于180°，必使角α大于角β，故AC>BB1，但AB0 + B0B +...+ Bn-1Cn-1>AC + CC1 +...+ Cn-2Cn-1，故2AB0 + nBB1>nAC，即n(AC-BB1)<2AB0=2BC，并一切自然数n都合符上式，这与阿基米德公理﹝对于任意二个正实数a与b，必存在正整数n，使na ≧ b成立﹞矛盾，故此，三角形三内角和不大于180°。
三角形的内角和(1) 一、教学目标 知识目标： 1、知道三角形内角之间的关系，直角三角形的两个内角互余 2、知道三角形外角的意义以及外角和内角之间的关系 3、能运用相关结论进行有关的推理和计算； 能力目标： 通过观察、操作、想象、推理等活动，经历三角形的内角和等于180度的过程。体会说理的必要性 二、教学重难点 1、探索三角形3个内角之间的关系以及三角形外角的性质 2、在使用有关结论的场合形成及时的反馈，理性思维的培养 三、设计思路 本课通过创设“剪一剪，拼一拼” 情境，让学生直观感受“三角形3个内角的和是1800；“议一议”的设计目的在于使学生对三角形内角和的感性认识提升到理性认识的阶段，培养学生的推理能力和有条理地表达能力，在此基础上进一步探索三角形的3个内角关系和三角形外角性质，进一步得到直角三角形的两个锐角互余这一重要性质。 四、教学过程 （一）创设情境，感悟三角形内角和等于180 step1：在小学里，学生就会用拼图的方法得出三角形内角和等于1800 【设计说明：通过操作，使学生直观地感受三角形的三个内角之间的关系】 step2：在△ABC 中，把∠A 撕下，然后把点A 与点C 重合在同一点，摆成如图所示的位置： 【设计说明：根据内错角相等，两直线平行，可知a ∥b ，又由两直线平行，同旁内角互补，就可以得到∠A+∠B+∠C=1800】 （二）探索规律，揭示三角形内角和等于1800 议一议：如图7-33，3根木条相交成∠1，∠2，若木条a 与木条b 平行，则∠1+∠2=1800 A B a b (2) 1 221(1) b a C B A 操作：把木条a 绕点A 转动，使它与木条b 相交于点C ，根据图（2），你能说明“三角形内角和等于1800”吗？
《三角形的内角和》教学设计 数学系09（2）班马颗颗 教学内容： 九年制义务教育七年级下册第七章第五节。 教学目标： （1）了解三角形的内角； （2）会运用平行线的性质与平角的定义证明三角形的内角和等于180. （3）学会解决与求角有关的实际问题； （4）初步培养学生的说理能力。 教学重点与难点 重点：了解三角形的内角和性质，学会解决简单的实际问题。 难点：证明三角形的内角和等于180。 学情分析: 学生在小学学习中，通过实验操作知道了三角形内角和的结论，在这节课中，要让学生自己回顾已学过的几何意义，定理，从中发现有180的结论。 教学过程 1.情境创设 （1）回顾：小学里用拼图的方法证明了“三角形内角和等于180”。 （2）证明：根据180角的性质。用平行线中同旁内角互补证明“三角形的内角和等于180”。（文字语言，图像语言和符号语言是几何说理的基础，为之后论证几何阶段的说理作准备这里不给出其他证法的详细过程，只是对说理思路进行数学交流） （3）延伸：用“三角形的内角和等于180”解决问题。 1．在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数。 2．已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。 2.探究活动 1．等边三角形的一个内角是多少度？ 2．直角三角形的两锐角之和是多少度？请证明你的结论. 3．（1）你能求出未知的三个角的度数吗？ （2）你所求出得三个角和已知的三个角有什么联系吗？
根据两道例题得出两个结论： “直角三角形的另个锐角互余”， “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”。 3.总结知识点 1．三角形的内角和为180； 2．直角三角形中得两个锐角互余； 3.．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 4.课后拓展布置作业 （1）练习册习题 （2）你还能用其他方法对三角形内角和的性质进行说理吗？ （3）你能猜想出五边形的内角和吗？请对你的猜想结论通过说理进行证实。 Ａ B C 100° 20° 60° γ α β
《三角形的内角和》教案 设计思路：教学过程不仅是知识传授的过程，更是学生掌握良好学习方法，锻炼思维能力、感受数学思想的过程。因此，本次课遵循由特殊到一般的规律进行探究活动是这节课设计的主要特点之一。先让学生思考直角三角形的另外两个角是什么角，再设疑让学生判断一个三角形中有两个角是直角，引出课题。接着让学生猜想是不是所有的三角形的内角和是180°。学生通过用量的方法得出三角形的内角和大约是180°（存在误差），再引导学生通过剪拼、折拼的方法发现：各类三角形的三个内角都可以拼成一个平角。再利用课件演示进一步验证，由此获得三角形的内角和是180°的结论。这一系列活动潜移默化地向学生渗透了“转化”数学思想，培养学生科学试验的态度，培养学生的统计观念。让学生体验数学学习的快乐。学生分析： 四年级的学生已经掌握了锐角、直角、钝角、平角的概念；知道直角或平角的度数、会用量角器度量角的度数。认识了三角形，知道了三角形根据角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。并且知道了等腰三角形和等边三角形。在量角时，已经对三角形内角和是180°进行了渗透。不少学生都已经知道了结论，但是很可能都知其然不知其所以然。教材分析： 三角形的内角和是三角形的一个重要特征。从教材的安排来看，是在学习了三角形的特性及分类之后，同时三角形的内角和又是学生以后学习多边形的内角和及解决实际问题的基础。在呈现教学内容时，我们要重视知识的形成过程，给学生提供动手操作的学具，留给学生充分进行自主探索和交流的空间，让学生通过量和拼的活动，在探索、实验、发现、讨论交流中，推理归纳出三角形的内角和是180°。 教学目标： 1.让同学亲自动手，通过量和拼的活动发现、证实三角形内角和是180°，并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题。 2.让同学在动手获取知识的过程中，培养同学的创新意识、探索精神和实践能力。并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动，向同学渗透“转化”数学思想。 3.使同学体验胜利的喜悦，激发同学主动学习数学的兴趣。 教学准备：多媒体课件、三角形、量角尺等 教学过程 一、激趣引入 （一）认识三角形内角 师：老师今天带了几个三角形来，请看屏幕，如果把它按照角来分类的话，有哪几种三角形？生1：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 师：无论是哪种三角形都有几个角？ 生：三个角。 师：我们把它的三个角叫做三角形的内角。 师：请看屏幕(课件演示三条线段围成三角形的过程)。 师：三条线段围成三角形后，在三角形内形成了三个角，（课件分别闪烁三个角和的弧线），我们把三角形里面的这三个角分别叫做三角形的内角。（这里，有必要向同学直观介绍“内角”。） 师：今天我们就一起来研究三角形的内角和三个内角的和（板书：三角形的内角和）（二）研究一般三角形内角和 1.猜一猜。 师：猜一猜其它三角形的内角和是多少度呢？同桌互相说说自身的看法。 生1：180°。
5.5三角形内角和定理（1） 一、教学目标 1.知识与技能目标：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于 ?180，能用三角形内角和等于?180进行角度计算和简单推 理，并初步学会利用辅助线解决问题，体会转化思想在解 决问题中的应用。 2.过程与方法目标：通过拼图实验、合作交流、推理论证的过程。体现“做中学” 发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力，初步获得科学研 究的体验。 3.情感态度价值观目标：通过操作、交流、探究、表述、推理等活动，培养学生 的合作精神，体会数学知识内在的联系与严谨性，鼓励学 生大胆提出疑问，培养学生良好的学习习惯。 二、重点、难点 重点：三角形内角和等于?180的证明及应用 难点：证明三角形内角和等于?180 三、教学过程 “三角形的三个内角之和是?180” 如何证明这个结论的正确性？ 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=?180 证法一 证明： 在△ABC 的外部以CA 为边 作∠ACE=∠A.延长BC 至D 则 C E ∥B A ﹙内错角相等，两直线平行﹚ ∴∠DCE=∠B ﹙两直线平行，同位角相等﹚ ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=?180 ﹙平角定义﹚ ∴∠BCA +∠A +∠B=?180 ﹙等量代换﹚ ∴∠BCA +∠A +∠B = ?180 2.同学想一想还有没有其他的方法证明这个结论的正确性？ 证法二 证明： 延长BC 至D ，过C 作CE ∥BA. 则∠A =∠ACE ﹙两直线平行，内错角相等﹚ ∠B =∠ECD ﹙两直线平行，同位角相等﹚ ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=?180 E. D . A E. D . A
7.2.1三角形的内角 教学目标 1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理 2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 重点：三角形内角和定理 难点：三角形内角和定理的推理的过程 课前准备 每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形，在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码 一、创设情境 1、上节课我们已经学习了三角形的边，研究了三角形的三条边之间的关系。今天我们学习三角形的内角，研究三角形的三个内角之间又有怎样的关系。（板书：7.2.1三角形的内角） 2、出示课件： 有一△ABC（如图），由于老师一不小心将墨水洒落到∠A处，现测得∠B=50°、∠C=60°，你能帮助老师计算出∠A的度数吗？ 问：（1）谁能回答这个问题？说明你的理由。（利用三角形的内角和为180°得到的）（2）你们同意他的结论吗？ 问：三角形的内角和为180°这个结论是正确的吗？你是什么时候知道这个结论的？又是怎样验证这个结论的呢？（小学时学习的，是通过测量的方法验证的） 问：（1）你当时测量了多少个三角形的内角和的180°的呢？ （2）你当时对这一结论的正确性产生过怀凝吗？为什么？ 课件出示 通过测量的方法可以验证三角形的内角和是180°,但是由于形状不同的三角形有无数多个,我们不可能通过测量的办法一一验证。测量总有特殊性，不可能说明全部三角形的内角和都是1800。为了能够准确的论证“三角形的三个内角的和等于180°”这一命题的正确性。我们需要寻找一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法。（你们同意这种看法吗？）出示课件 什么叫证明呢？就是由题设（已知）出发，经过推理论证得出结论。 下面我们就来研究这一命题的证明方法。 出示课件 三角形的三个内角的和等于180° 二、探究过程
练习5 三角形的内角和定理和外角性质 一、选择题 1.（2020-2021·四川·月考试卷）一个等腰三角形的一个角是50°，它的一腰上的高与底边的夹角是（） A.25° B.40° C.25°或40° D.不确定 【答案】C 【解答】解：当底角是50°时，则它一腰上的高与底边的夹角是90°?50°=40°； (180°?50°)=65°,则它一腰上的高与底边的夹角是90°?65°=25°.故选C． 当顶角是50°时，则它的底角就是1 2 2.（2020-2021·安徽·月考试卷）一副直角三角尺叠放在一起可以拼出多种图形，如图①?④，每幅图中所求角度正确的个数有() ①∠BFD=15°；②∠ACD+∠BCE=150°；③∠BGE=45°；④∠ACE=30°. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解答】解：如图①中，∠BFD=∠EDC?∠B=45°?30°=15°，故①正确； 如图②中，∠ACD+∠BCE=∠DCE+∠ACE+∠BCE=∠DCE+∠BCA=180°，故②错误；如图③中，∠BGE=∠B+ 45°=75°，故③错误；如图④中，∠ACE=90°?∠ECD=45°，故④错误．故选A． 3.（2020-2021·甘肃·月考试卷）下列关于三角形的说法错误的是() A.三角形的中线、高、角平分线都是线段 B.任意三角形内角和都是180° C.三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形 D.直角三角形两锐角互余 【答案】C
【解答】解：A，三角形的中线、高、角平分线都是线段，故本选项正确；B，根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，故本选项正确；C，因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项错误；D，直角三角形两锐角互余，故本选项正确.故选C． 4.（2020-2021·云南·月考试卷）如图，在△ABC中，∠C=58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为() A.119° B.120° C.121° D.122° 【答案】A 【解答】解：∵ 点O为△ABC的内心，∵ AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，∵ ∠BAO=1 2∠CAB，∠ABO=1 2 ∠CBA， ∵ ∠AOB=180°?1 2 (∠CAB+∠CBA).∵ ∠C=58°，∵ ∠CAB+∠CBA=122°，∵ ∠AOB=180°?61°=119°.故选A. 5.（2020-2021·吉林·月考试卷）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF?//?BC，∠B=∠EDF= 90°，∠A=45°，∠F=60°，则∠CED的度数是() A.15° B.20° C.25° D.30° 【答案】A 【解答】解：∵ ∠B=90°，∠A=45°，∵ ∠ACB=45°． ∵ ∠EDF=90°，∠F=60°，∵ ∠DEF=30°．∵ EF?//?BC，∵ ∠EDC=∠DEF=30°， ∵ ∠CED=∠ACB?∠EDC=45°?30°=15°．故选A. 6.（2020-2021·吉林·月考试卷）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DA=DE，DB=BE=EC．若∠ABC=130°，则∠C的度数为()
教学设计 一、学习目标 1.能根据三角形的内角和定理推出直角三角形的性质理 2.会写出“直角三角形的两锐角互余”这一性质定理的逆命题，即直角三角形的判定定理 3.会利用直角三角形的性质定理和判定定理解决有关问题。 二、重点 直角三角形的性质及判断方法 三、难点 直角三角形的性质及判断方法的应用 四、教学过程 （一）演练导学 1.说出下列命题的逆命题，并判断原命题和 逆命题的真假 （1）两直线平行，内错角相等（） 逆命题：________________ （） （2)对顶角相等（） 逆命题：________________（） （3）若x2=y2，则x=y （） 逆命题：________________ 2 在△ABC ,∠A+∠B+∠C =___度，若∠C=90°则∠A+∠B=____度，此时我们称∠A与∠B__ （二）得出结论 直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余 （三）解惑质疑 例1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D 求证：∠1=∠B （四）跟踪练习 1.如图，已知△ABC中，已知∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高， AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数。 （五）演练导学 你能说出直角三角形性质定理的逆命题吗? 逆命题_____________________ 它是真命题还是假命题？若是真命题，请写出证明过程 （六）解惑质疑 例2. 已知：如图，A,B,E三点在同一条直线 上DB⊥AE, AB=DB, BC=BE 求证：AF⊥DE （七）跟踪练习 如图，已知：AB∥CD, AE平分∠BAC, CE 平分∠ACD 求证：△AEC是直角三角形 （八）达标测试 （九）反馈总结这节课你有什么收获？与同学交流一下你的心得，请写下来吧
《三角形的内角和》案例分析 德清县乾元镇清溪小学沈琦琦 【案例】 教学目标： 1.知识与技能：通过小组合作，运用直观操作的方法，探究并发现三角形内 角和等于180度。能应用三角形内角和的性质解决一些简单问题。 2.过程与方法：经历亲自动手实践、探索三角形内角和的过程，体会运用“量 一量”“拼一拼”“折一折”“推算”进行验证的数学思想方法。 3.情感态度价值观：使孩子们在数学活动中获得成功的体验，增强自信心。 培养学生的创新意识、探索精神和实践能力，在学生亲自动手实践和归纳中，感受理性的美。 教学重点：让学生探究发现并验证三角形内角和等于180度。 教学难点：帮助学生建立空间观念。 教学准备：教学课件、不同类型的三角形纸片、正方形和长方形纸片 , 教学过程： 一、创设情境 1.认识内角，引出课题 （把三种三角形贴在黑板上）你们认识它们吗一起来叫叫他们的名字。 它们有哪些共同特征呢（它们都有三条边和三个角） 这三个角称为三角形的内角，我们为了更好的区分这三个内角，可以为每个内角标上序号。（给角标上序号）那你们知道什么是三角形的内角和吗也就是三角形三个内角的度数总和，对吗今天我们就来研究三角形的内角和（板书课题） 2.情境引入 猜想： 你们认为三角形的内角和会是多少度呢你是怎么知道的啊 师：同学们认为三角形的内角和是180度（板书：三角形的内角和是180度) ~ 那三角形的内角和真的是180度吗（在“180度”后面打上“”）想不想自己来验证一下呢
二、小组合作探究三角形的内角和 验证： 老师给大家准备了一些材料（展示材料时教师逐一举一举），请大家选择其中的一些材料想方法来验证。比一比哪个小组同学想到的方法又多又好。 1.学生操作教师巡视 预设： 生1：量出三角形的三个内角和度数，加起来是否是180度。 生2：把三角形的三个内角剪下来拼一拼是否能拼成一个平角。 生3：折一折 生4：用长方形或正方形的内角和度数推算出三角形的内角度数。 ` …… 2．学生汇报 （1）量一量，算一算 师：哪个小组先来汇报一下，你用了什么方法（板书：量一量）那你量的是什么三角形另两种三角形你量了吗（请学生自己汇报自己的测量结果）看了这些测量的结果，你有什么发现（三角形的内角和有些是180度，有些不是） 师：你们发现三角形的内角和有些等于180度，有些接近180度，所以认为通过测量我们只能说三角形的内角和大约是180度，是吗（板书：大约，并把问号改成句号） 师反问：为什么会出现这样的情况 师：你们的意思是在量的过程中会产生误差。所以得到的三角形的内角和只能大约是180度。 师：那除了量一量的方法，还有用其他的方法来验证的吗 （2）剪一剪，拼一拼 ， 生：我们组是用剪拼的方法（板书:剪一剪） 师：你们验证的是什么三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）师：请上来给大家展示下好吗 生：先把三个内角剪下来，然后拼起来了就是一个平角了，就是180度了。
《5、三角形内角和定理》（1）预习单 一、学习目的：1、学会三角形内角和定理的证明方法。 2、发展推理能力、积累解决几何问题的经验和能力。 二、预习课本P178—180。完成下列问题： 1、三角形内角和定理：。 2、课本是怎么证明三角形内角和定理的？和小学的证明方法有什么区别。 3、你掌握了几种证明方法?和同伴交流。简单书写证明的方法。（也可以查阅资料，看谁掌握的方法巧妙） 4、自己写出三角形内角和公式的几种不同的表现形式？ 5、快速解决问题（1）△ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？ （2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？ （3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？ （4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角． （5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角． （6）三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？ （7）三角形中最大的角不能小于？最小的角不能大于？ （8）已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A。 (a)求∠B的度数； (b)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？ 三、预习作业：p179随堂练习，习题7.6的解法交流 四、当堂练习：配套练习p141练习一 《5、三角形内角和定理》（1）预习单 一、学习目的：1、学会三角形内角和定理的证明方法。 2、发展推理能力、积累解决几何问题的经验和能力。 二、预习课本P178—180。完成下列问题： 1、三角形内角和定理：。 2、课本是怎么证明三角形内角和定理的？和小学的证明方法有什么区别。 3、你掌握了几种证明方法?和同伴交流。简单书写证明的方法。（也可以查阅资料，看谁掌握的方法巧妙） 4、自己写出三角形内角和公式的几种不同的表现形式？ 5、快速解决问题（1）△ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？ （2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？ （3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？ （4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角． （5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角． （6）三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？ （7）三角形中最大的角不能小于？最小的角不能大于？ （8）已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A。 (a)求∠B的度数； (b)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？ 三、预习作业：p179随堂练习，习题7.6的解法交流 四、当堂练习：习题7.6 配套练习p141练习一
7.5 三角形内角和定理 第1课时三角形内角和定理 1.填空： （1）如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______．（2）在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______． （3）在△ABC中，若∠C=90°,∠A=30°，则∠B=_______． （4）在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______． （5）在下两图中，∠1、∠2与∠B、∠C的关系是_______ （6）如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC的度数为_______． 2.在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于 ( ) A．65°B．115°C．80°D．50°
3.两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线( ) A．相互重合B．互相平行 C．相互垂直D．无法确定相互关系 4.如图，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于( ) A．35°B．45°C．55°D．75° 5.一块大型模板如图，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°的角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检查模板是否合格？ 6.小芳和小白在一起温习三角形内角和定理，小芳灵机一动，想考考小白对
知识掌握的程度，她给小白出了一道这样的题目： 如图，证明五边形的内角和等于540°．即：∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =540°． 7.4 平行线的性质 1.如图，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，求证： BC DE AC AE AB AD ==。 2 如图，△ABC 中，E 、G 、D 、F 分别是边AB 、CB 上的点，且GF ∥ED ∥AC ，EF ∥AD 。求证： BC BD BE BG =。 3 已知：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，过C 任作一直线交AD 于E ，交AB 于F 。 求证： FB AF ED AE 2=。
《三角形的内角和》教学设计 张建华 设计理念： 新课程非常强调“问题”的重要性。英国诺丁汉大学校长杨福家曾 说：“如果一个学生能够懂得去发现问题，懂得怎样去掌握知识，就等于给了他一把钥匙，就能去打开各式各样的大门。”基于以上的认识，在《三角形的内角和》一课教学中，我尝试着将设疑引题、自主探索、巩固应用等有机整合，在质疑、解疑、释疑中展开教学，培养学生的问题意识，收到了很好的效果。 教学内容 人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》四年级（下册）第 85页。 教学目标 1.通过"量一量","算一算"，"拼一拼","折一折"的小组活动的方法，探索、发现、验证三角形的内角和等于180° ,并能应用这一知识解决一些简单问题。 2.通过动手操作把三角形的内角和转化为平角的探究活动，向学生渗透"转化"的数学思想。 3.通过数学活动使学生获得成功的体验，增强自信心。培养学生的创新意识。 教学重点 经历三角形内角和是180°这一知识的形成、发展和应用的全过
教学难点 三角形内角和是180°的探索和验证。 教具准备 多媒体课件、各种类型的三角形教具。 学具准备 各种类型的三角形学具。 教学过程： 一、观察猜测，引入新课。 教师：“同学们，前几节课我们学习了关于三角形的一些知识, 这里老师也带来了几个三角形。”（课件出示不同的三角形） 提问：“如果按角来说你们知道它们的名字吗？”（生答） 教师：“这几个三角形天天和睦相处，可有一天他们却起了争执，是 什么原因呢？请看大屏幕。” 钝角三角形：我有一个钝角，我的内角和一定比你们大。 直角三角形：我的个头大，我的内角和才是最大的。 锐角三角形：真的是这样吗？ 请几个学生分别扮演这几种三角形，用他们的语气说一说争执。提出 问题：什么是内角？指名尝试回答。教师：原来我们所说的三角形有三个角就是指它的内角。内角和又指什么？能找出手中三角形的内角吗？用序号标出三角形的内角并指给大家看。
八年级数学上册《三角形内角和定理》教案 ★教学目标 知识与技能：三角形的内角和定理的证明.。 （二）过程与方法： 掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用；初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力。 （三）情感态度与价值观： 通过一题多解、一题多变，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。 ★教学重点 三角形内角和定理的证明。 ★教学难点 三角形内角和定理的证明方法。 ★教学过程 Ⅰ.设现实情境，引入新课 ［师］大家来看这张三角形纸片。三个角分别是A、B、C，现在我们把三个角折叠到一起，大家观察一下这三个角之间的关系。（请***同学来回答） 实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相重合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果. （1）（2）（3）（4） [***] 三个角之和为180° [师] 很好！请坐。由实验可知：三角形的内角之和正好为一个平角。但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明。那么怎样证明呢？请同学们再来看下一个实验。 [师]大家再来看这三张三角形纸片。把它们重合一起，说明这3个三角形是全等三角形。也就是说这3个三角形对应边相等，对应角也相等。 试验2. 我们先画一条直线，然后， 我请一位同学上台来帮忙。(请***同学上台) 我们让其中两个三角形底边靠着这条直线，使得它们有两个顶点重合，固定不动。 然后我用第3个三角形∠C朝下，逐渐往下逼近。这时，∠A与∠ACE能重合吗？ ［生齐声］能重合. ［师］为什么能重合呢？请大家思考一下。 Ⅱ.讲授新课 ［师］为了回答这个问题，先看一下课本P237撕纸试验。
三角形内角和题目训练 [问题一] 一个三角形的两个内角和是850，你知道这是一个什么三角形吗？ 想： 根据两个内角和是850和三角形的内角和是1800，可知第三个内角是1800-850=950，所以这是一个钝角三角形。 解：1800-850=950 答：这是一个钝角什么三角形。 [试一试] 1、一个三角形的两个内角和是1100，你知道这是一个什么三角形吗？ ２、在△ABC 中，已知∠A 是∠B 的3倍，且∠A 比∠B 大600，这个三角形各个角是多少度？你 知道这是一个什么三角形？ 3、一个等腰三角形的顶角是一个底角的2倍，这个三角形各个角是多少度？ [问题二]在一个三角形中，已知∠1是∠2的2倍，∠2是∠3的 31。这个三角形各个角是多少度？这是一个什么三角形？ 想： 根据∠2是∠3的 31，可知∠3是∠2的3倍，而且∠1是∠2的2倍，因为三角形的内角和是1800，所以∠2=1800÷（1+2+3）=300，∠1=300×2=600，∠3=300×3=900。 解：∠2=1800÷（1+2+3）=300 ∠1=300×2=600 ∠3=300×3=900 答：这个三角形各个角分别是300、600和900，这是一个直角三角形。 [试一试] 1、一个三角形的最大角是最小角的5倍，另一个角是最小角的3倍，这是一个什么三角形？ 2、在一个三角形中，已知∠1的度数是∠2的2倍，∠2的度数是∠3的3倍。这个三角形各个
角是多少度？这是一个什么三角形？ 3、已知一个三角形的一个内角是720，是另外一个内角的4倍，这个三角形是什么三角形？ [问题三]同学们知道三角形的内角和是1800，你能运用这个知识分别求出四边形、五边形、六边形的内角和吗？ 想：如图，把四边形、五边形、六边形分成若干个三角形，因为一个三角形的内角和是1800，所以四边形、五边形、六边形分别是1800×2、1800×3、1800×4。 解：四边形的内角和：1800×2=3600 五边形的内角和：1800×3=5400 六边形的内角和：1800×4=7200 答：四边形、五边形、六边形的内角和分别是3600、5400、7200。 [试一试] 1、你能求出八边形和十边形的内角和分别是所少吗？ 2、如图：已知AD长3厘米，DC长2厘米，∠1=450， 求BC长多少厘米？ [问题四]如图，两个三角形都是等腰三角形，∠3是 多少度？ 想：从图中可知，△ABC是一个等腰直角三角形， 所以∠ABC=900÷2=450，∠1=∠ABC-200=450-200=250， 又知∠1=∠2，所以∠3=1800-250×2=1300。 解：1800-（900÷2-200）×2=1300
《三角形内角和》教学设计 xx小学xx 教学目标： 1、通过操作活动探索发现和验证“三角形的内角和是180度”的规律。 2、在操作活动中，培养学生的合作能力、动手实践能力，发展学生的空间观念，并运用新知识解决问题。 3.使学生有科学实验态度，激发学生主动学习数学的兴趣，体验数学学习成功的喜悦。 学情分析： 学生已经掌握三角形特性和分类，熟悉了钝角、锐角、平角这些角的知识，大多数学生已经在课前通过不同的途径知道“三角形的内角和是180度”的结论，但不一定清楚道理，所以本课的设计意图不在于了解，而在于验证，让学生在课堂上经历研究问题的过程是本节课的重点。四年级的学生已经初步具备了动手操作的意识和能力，并形成了一定的空间观念，能够在探究问题的过程中，运用已有知识和经验，通过交流、比较、评价寻找解决问题的途径和策略。 教学重点：探究发现和验证“三角形的内角和180度”这一规律的过程，并归纳总结出规律。 教学难点：对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活应用。 教具学具准备：课件、不同类型的三角形彩色卡片，量角器、记录表 教学过程： 一、创设情境，引出问题 1、猜谜语:（课件） 形状似座山,稳定性能坚。三竿首尾连,学问不简单。
(打一图形名称)三角形（板书） 2、师：你能画出一个有两个直角的三角形吗?动手画一画 生：画不出来 【设计意图】让学生明白三角形的角有一定的奥秘,激发学习兴趣 3、引出课题。 师：看来三角形的角一定藏有一些奥秘，这节课我们就来研究有关三角形角的知识“三角形内角和”。（板书课题） 二、动手操作，探究问题 1、三角形的内角、内角和 （1）什么是三角形内角（课件） 三角形里面的三个角都是三角形的内角。为了方便研究，我们把每个三角形的3个内角分别标上∠1、∠2、∠3。 （2）三角形内角和 师：内角和指的是什么？ 生：三角形的三个角的度数的和，就是三角形的内角和。 （多让几个学生说一说） 2、操作验证,小组合作。 （一）量一量 师：怎样求三角形的内角和呢？我们用什么方法来求证呢？ 生：量一量每个角的度数，然后加起来看看是不是180°。 师：你同意他的方法吗？那我们就一起动手求证吧！（课件）