§17.2分式的运算
一、分式的乘除法 1、法则：
（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。
用式子表示：bd
ac d
c b
a
=
?
（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
用式子表示：
2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方
1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。
用式子表示：
（其中n 为正整数，a ≠0）
2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有
bc
ad c d b a d c b a =?=÷n
n
n
b a b a =??
?
??
多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。
三、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法
1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示：
2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
（二）异分母分式的加减法
1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，
再加减。用式子表示：bd
bc ad bd
bc bd
ad d
c b
a
±=
±
=
±
。
2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。
四、分式的混合运算
1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。
2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）
b c
a b
c b a ±=±
有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。
例计算：（1）
()2
122
42
-?
-÷+-a a a a ； （2）
22
2
---x x x
；
（3）x
x x x x x
24
21212
-+÷??? ?
?-+-
+
【分类解析】
一、分式运算的几种技巧
1、先约分后通分技巧例 计算231
2+++x x x +4222--x x
x 分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算
解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21
+x +2+x x =21++x x
2、分离整数技巧例 计算233
322
+-+-x x x x -657
522
+-+-x x x x -341
2+-x x
分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。
解：原式=
2
31
)23(2
2
+-++-x x x x -6
51
)65(2
2
+-++-x x x x -341
2+-x x
=1+231
2+-x x -1-651
2+-x x -341
2+-x x =)2)(1(1
--x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x
=)3)(2)(1()
2()1(3--------x x x x x x =)3)(2)(1(----x x x x =-)3)(2)(1(---x x x x
3、裂项相消技巧例 计算)1(1+x x +)3)(1(2
++x x +)6)(3(3++x x 分析：此类题可利用)(1m n n +=m 1（n 1-m 1
）裂项相消计算。
解：原式=（x 1-11+x ）+22（11
+x -31+x ）+33（31+x -61+x ）
=x 1
-61+x =)6(6+x x
练习：
4、分组计算技巧例 计算21-a +12
+a -12-a -21+a
分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a 2-4，第二项、第三项分母乘积为a 2
-1，采取分组计算简捷。
解：原式=（21-a -21+a ）+（12
+a -12-a ）
=442-a +142--a =)1)(4(12
22--a a
练习：
5、分式求值问题全解 1）字母代入法
例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求
d
a d d
c b c c
b a b d
a a ++
+++
+++
+的值.
【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替： a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3
所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简
d
a d d
c b c c b a b d
a a ++
+++
++++
=
3
33
212
2
113+++++++++++
++++++
++a a a a a a a a a a a a a a
=
3
236
323
313
2+++
++++++
+a a a a a a a a
=
)
2(32)
1(313
23+++
+++
+++a a a a a a a
=3
1311++
=
3
5
【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。 2） 设值代入法 例2. 已知
c
z b y a x ==，求证：
2
2a
x ca
bc ab zx yz xy =
++++
【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到x a
b y =
，x a
c z =
，代入后分式的分子分母中有分式，化简麻烦。我们用一种新的代入方式，考虑到a
x 、b
y 、
c
z 连等，让它们都
等于k 则 x=ak y=bk z=ck 代入得
ca
bc ab zx yz xy ++++=
ca bc ab ckak
bkck akbk ++++
=2
k ca
bc ab ca bc ab ++++
=2
22
a
x k =
【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件 设
c z b y a x ==
则（1）x a b y =，x a c z =
（2）设k c z b y a x === 则x=ak y=bk z=ck （3）设
k c
z b y a
x ===
则
k c
b a z y x =++++ 其中0≠++
c b a
3） 整式代入法 例3. 已知：
113a b
-=，求分式
232a ab b a ab b
+---的值.
【解析】如果用字母代入法，要用b 代替a 本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。 将条件化简成乘积形式，得
3=-ab
a b ，再将分式稍化简变为
ab
b a ab b a --+-)(3)(2，可以发现分
子分母中只有(a-b)和ab 这两项，所以可以用ab 代替b-a ab a b 3=-
4
3336)(3)(2232=--+-=
--+-=
---+ab
ab ab ab ab
b a ab b a b
ab a b ab a
【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观
察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab 和a-b 这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b 与ab 的关系，题目很快就解出来了。 4） 变形代入法
这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。 例4（方程变形）. 已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求
2
ab bc ca
b
++的值.
【解析】 对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果。
这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组
a+b+c=0 b=-2c ==>
a+2b+3c=0 a=c
用c 代替a 、b 代入到分式中，能很快求解出来
2
ab bc ca
b
++=
4
34222
2
22-
=+--c
c
c c
例5（非负变形）. 已知：22
86250a b a b +-++=，求
222
2
2644a ab b a ab b
---+的值.
【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式
0)3()4(25682
2
2
2
=++-=++-+b a b a b a
其中0)4(2≥-a 0)3(2≥+b 所以2)4(-a =0 2
)3(+b =0 得3,4-==b a
再带入原式很容易求出解。
例6（对应变形）. 证明：若a+b+c=0,则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1110.b c a
c a b
a b c
+
+
=+-+-+-
【解析】这题可以用整式代入法，比如用-b-c 代替a ，但是代数式a 的符号和位置在三个分式中不同，如果用2
2
)(c b a +=代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。
如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如： 用a=-b-c 代入2
2
2
a c
b -+中的a ，得到-2b
c 用b=-a-c 代入2
2
2
b a
c -+中的b ，得到-2ac 用c=-a-b 代入2
2
2
c b a -+中的c ，得到-2ab
原式=
02212121=-++=
-+
-+
-abc
c b a ab
ac
bc
例7（倒数变形）. 已知
,
,
,0.xy xz yz a b c abc x y
x z
y z
===≠+++且求证ab
ac bc abc x -+=
2
【解析】已知条件是
y
x xy +的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将
a y
x xy =+改写成
y
x
xy
y x a
111+
=
+=
的形式，使得x 、y 相互独立，简化已知条件。
写出变化后的形式
y x a 111+
=
，
z
x
b
111+
=
，
z
y
c
111+
=
x
z
x
y
x
z
y
c
2)11(
)11(
111-
+++=+
=
=x b a 211-+
所以
c
b
a
x
1112-
+
=
=abc ab
ac bc -+
则ab
ac bc abc
x -+=
2，得证。
例8（归类变形）. 已知a
c c
b b a 111+
=+
=+
，且a 、b 、c 互不相等，求证：12
22=c b a
【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a 表示b 、c ，能不能求出b 、c 的代数式都是问题。因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。
这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类：
bc
c b b c b a -=-=
-11，可以发现分式形式大致消失了，
剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc 将能从已知条件得到的关系列出来
bc
c b b a -=
-,ac
a c c
b -=-,ab
b a a
c -=-
左边和左边相乘，右边和右边相乘得
2
2
2
)
)()(())()((c
b a b a a
c c b a c c b b a ---=
---，
所以12
22=c b a
【结论】给已知条件变形是用代入法的前提，变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上来化简：
消元的角度：方程变形、非负变形------减少字母数量，方便化简 化简
结构的角度：对应、倒数、归类变形---调整关系式结构，方便化简 代入的方法多种多样，在此不可能一一列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，比如习题4，代数式并不是最简形式，可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。 【练习】 1、已知
2
2
22
23,2342a b c a bc b a ab c
-+==--则
的值等于（ ） （设值代入）
A ．
12
B. 23
C. 35
D. 1924
2、若a 2
+b 2
=3ab,则(1+3
3
3
22)(1)b
b
a b
a b
÷+--的值等于（ ） （整式代入）
A ．
12
B. 0
C. 1
D.
23
3、已知：a+b+c=0,abc=8.求证：111a b c
++＜0. （非负变形）
4、已知：a +b +c =0.
求证：111111
30.a b c b
c a c a b
????
??
+
+++++=
? ? ?????
?? （代数式归类变形） 5、已知abc=1，求证：
11
1
1
=+++
+++
++c ac c b bc b
a a
b a （对应变形）