Introduction to Continuum Mechanics Vector and Tensor Calculus (Franz-Joseph Barthold, Jorg Stieghan

Abstract
Zusammenfassung
Organisation und Verwaltung Dipl.-Ing. Jörg Stieghan, SFI CSE – Computational Sciences in Engineering Technische Universität Braunschweig Bültenweg 17, 38 106 Braunschweig Tel. ++49-(0)531-391-2247 Fax ++49-(0)531-391-2242 email j.stieghan@tu-bs.de
Introduction to Continuum Mechanics — Vector and Tensor Calculus
Winter Semester 2002 / 2003
FranБайду номын сангаас-Joseph Barthold 1
Jörg Stieghan 2
22nd October 2003
1 Tel. 2 Tel.
c 2000
Prof. Dr.-Ing. Franz-Joseph Barthold, M.Sc. und Dipl.-Ing. Jörg Stieghan, SFI CSE – Computational Sciences in Engineering Technische Universität Braunschweig Bültenweg 17, 38 106 Braunschweig
Preface
Braunschweig, 22nd October 2003
Franz-Joseph Barthold and Jörg Stieghan
Contents
Contents List of Figures List of Tables 1 2 Introduction Basics on Linear Algebra 2.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Af£ne Vector Space and the Euclidean Vector Space . . . . 2.9 Linear Mappings and the Vector Space of Linear Mappings 2.10 Linear Forms and Dual Vector Spaces . . . . . . . . . . . Matrix Calculus 3.1 De£nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Some Basic Identities of Matrix Calculus . 3.3 Inverse of a Square Matrix . . . . . . . . . 3.4 Linear Mappings of an Af£ne Vector Spaces 3.5 Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Matrix Eigenvalue Problem . . . . . . . . . Vector and Tensor Algebra 4.1 Index Notation and Basis . . . . . . . . . 4.2 Products of Vectors . . . . . . . . . . . . 4.3 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Transformations and Products of Tensors . VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII IX XI 1 3 6 8 10 12 16 18 25 28 32 36 37 40 42 48 54 62 65 75 78 85 96 101
Technische Universität Braunschweig
CSE – Computational Sciences in Engineering
An International, Interdisciplinary, and Bilingual Master of Science Programme
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Herausgeber Prof. Dr.-Ing. Franz-Joseph Barthold, M.Sc.
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Vector and Tensor Analysis 5.1 Vector and Tensor Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Derivatives and Operators of Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Integral Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises 6.1 Application of Matrix Calculus on Bars and Plane Trusses 6.2 Calculating a Structure with the Eigenvalue Problem . . . 6.3 Fundamentals of Tensors in Index Notation . . . . . . . . 6.4 Various Products of Second Order Tensors . . . . . . . . . 6.5 Deformation Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 The Moving Trihedron, Derivatives and Space Curves . . . 6.7 Tensors, Stresses and Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
List of Figures
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Triangle inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hölder sum inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vector space R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Af£ne vector space R 2 af f ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The scalar product in an 2-dimensional Euclidean vector space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 21 28 28 30
3
4
VIII 4.5 4.6 4.7 5
Contents
Special Tensors and Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 The Principal Axes of a Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Higher Order Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 131 133 143 152 159 162 174 182 190 194 198 210