二次函数配方法求最值

y = ax2 + bx + c= a（x ＋ b ）2 + 4ac  b2

牢记：(1)对于二次函数 y  ax  bx  c 的对称轴： x = （

2 

（1） y  x 2  x   x    ∵ a  1  0

2 ，顶点坐标为（ 2 ， 4 ）．

x 学习必备 欢迎下载

二次函数的配方法求顶点坐标

2a 4a

2 b b 4ac  b2 － 顶点坐标： － , ） 2a 2a 4a (2)二次函数的顶点式： y=a(x+m)2+k的对称轴：直线x=－m 顶点坐标：（－m,k）.

例题：用配方法把下列函数解析式化为 y  a( x  m) 2  k 的形式.

1 y  2 x2  4 x  5 

1 y   x2  2x  5  3 练习：1、用配方法把下列函数化为y  a( x  m)2  k的形式

(1)y  x 2  4 x  3 (2)y   x 2  4 x  3

(3)y  2 x 2  4 x  3

1 (5)y  x 2  4 x  3 2

2、指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

 1  2 1

 2  4 (4)y  2 x 2  4 x  3

1 (6)y   x 2  4 x  3 2

∴抛物线开口向上，对称轴是直线 x  1 1 1 

（2） y  1  x  3x 2

3、抛物线 y  3 x  1  5的对称轴是_______，与 x 轴的交点坐标是__________，顶点坐标为 ． 3 学习必备 欢迎下载

4．选择题：

（1）函数 y  2( x  1)2  2 是将函数 y  2 x2

（ ）

（A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 （B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的

（C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 （D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的

（2）函数 y   x 2  x  1 图象与 x 轴的交点个数是 （ ）

（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）无法确定

（3）函数 y   1

2 ( x  1)2  2 的顶点坐标是 （ ）

（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)

5．抛物线 y  x 2  (m  4) x  2m  3 ，当 m = _____ 时，图象的顶点在 y 轴上；

当 m = _____ 时，图象的顶点在 x 轴上；当 m = _____ 时，图象过原点．

6．求二次函数 y  2 x2  3x  5 在 2  x  2 上的最大值、最小值，并求对应的 x 的值．

7．对于函数 y  2 x 2  4 x  3 ，当 x  0 时，求 y 的取值范围．

8．已知关于 x 的函数 y  x 2  2ax  2 在 5  x  5 上．

(1) 当 a  1时，求函数的最大值和最小值；(2) 当 a 为实数时，求函数的最大值． b

a 2a

= a（x ＋ ）2 + 4a

牢记：(1)对于二次函数 y  ax  bx  c 对称轴： x = －

2  y   x 2  2x  5   x 2  6x  5   x 2  6x  9  9  5   x  32  8.

(5)y  1

y  x 2  x   x    ∵ a  1  0

∴抛物线开口向上，对称轴是直线 x  1 2 ，顶点坐标为（ 2 ， 4 ）． 学习必备 欢迎下载

老师用卷

二次函数的配方法

y = ax2 + bx + c

b = a( x2 + x ) + c a

b b b 2 = a【x2 + x +( )2 － 】+ c a 2a 4a 2

b b b 2 = a【x2 + x +( )2】－ ＋ c a 2a 4a

b b 2 4a = a（x ＋ ）2－ ＋ c× 2a 4a

4ac  b2 b

4a 2a

配方法步骤：

1. 将 x2 项和 x 的项系数提出二次项系数 a；

b 2. 将 x 项系数 ，除以 2 再平方得到( )2

b 3. 为了与前面恒等，所以加上一个( )2 ， 2a

就要减去一个( b )2 ； 2a

4. 合成完全平方；

5. 去中括号，合并常数项并化简。

；

2 b b 4ac  b2 顶点坐标：（－ , ） 2a 2a 4a (2)二次函数的顶点式： y=a(x+m)2+k对称轴：直线 x=－m 顶点坐标：（－m,k）.

例题：用配方法把下列函数解析式化为 y  a( x  m) 2  k 的形式.

1 y  2 x 2  4 x  5  2 x 2  2 x  5  2 x 2  2 x  1  1 5  2 x  12  3.

1 1 1 1

3 3 3 3

练习：1、用配方法把下列函数化为y  a( x  m)2  k的形式

(1)y  x2  4 x  3  ( x  2)2  1

(3)y  2 x2  4 x  3  2( x  1)2  1

1 x2  4 x  3  ( x  4)2  5 2 2 (2)y   x2  4 x  3  ( x  2)2  7

(4)y  2 x2  4 x  3  2( x  1)2  5

1 1 (6)y   x2  4 x  3   ( x  4)2  1 2 2

2、指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）  1  2 1

 2  4

1 1  （2） y  1  x  3x  3 x   

x   ，顶点坐标为（  ，

x

min  ；当 x  2 时， y 学习必备 欢迎下载

2  1  2 13

 6  12 . ∵ a  3  0

∴抛物线开口向下，对称轴是直线 1 1 13

6 6 12 ）．

3、抛物线 y  3 x  1  5的对称轴是 x=2，与 x 轴的交点坐标是(-5,0),(1,0)， 3

顶点坐标为 (2, 3 3)

4．选择题：

（1）函数 y  2( x  1)2  2 是将函数 y  2 x2

（ D ）

（A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 （B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的

（C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 （D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的

（2）函数 y   x 2  x  1 图象与 x 轴的交点个数是 （ A ）

（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）无法确定

（3）函数 y   1

2 ( x  1)2  2 的顶点坐标是 （ C ）

（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)

5．抛物线 y  x 2  (m  4) x  2m  3 ，当 m = 4 时，图象的顶点在 y 轴上；

牢记： 二次函数图象的顶点在 y 轴上等价于一次项的系数为 0

当 m = 14 或 2 时，图象的顶点在 x 轴上；当 m = 3

2

时，图象过原点．

6．求二次函数 y  2 x2  3x  5 在 2  x  2 上的最大值、最小值，并求对应的 x 的值．

当 x  3 31 时， y 4 8

max  19 ．

7．对于函数 y  2 x 2  4 x  3 ，当 x  0 时，求 y 的取值范围． y  5

8．已知关于 x 的函数 y  x 2  2ax  2 在 5  x  5 上．

(1) 当 a  1时，求函数的最大值和最小值；(2) 当 a 为实数时，求函数的最大值．

答案：(1) 当 x  1 时， y

min  1 ；当 x  5 时， y

max  37 ．

(2) 当 a  0 时， y

max  27  10a ；当 a  0 时， y

max  27  10a ．