计算方法总复习 第一章 绪论
例1． 已知数 x=2.718281828...,取近似值 x*=2.7182,那麽x 具有几位有效数字 点评；考查的有效数字的概念。
解；
**314
2.718281828
2.71820.00008182
11
0.0005101022e x x --=-=-=≤=?=?
故有四位有效数字。
例2．近似数*0.01999x =关于真值*0.02000x =有几位有效数字
解：
**413
0.019990.020000.00001
11
0.00005101022
e x x ---=-=-=≤=?=?
故有三位有效数字。
例3．数值x *的近似值x =0.1215×10－2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有效数字
点评；已知有效数字的位数，反过来考查有绝对误差。 解；有四位有效数字则意味着如果是一个形如123
0.n a a a a 的数
则绝对误差限一定为41
102
-?，由于题目中的数212
0.10n x a a a -=?,故最终的
绝对误差为 42611
10101022
---??=?
例4．有效数***1233.105,0.001,0.100x x x =-==，试确定***
123x x x ++的相对误差限。
点评；此题考查相对误差的传播。
*
****
1()()()n r r i i i i f e y e x x y x =??
?=??
???
∑
故有**********
**1122331231
2
3
******
123123
()()()()()()
()r r r r e x x e x x e x x e x e x e x e x x x x x x x x x ++++++==++++ 解：333
******1
23
123***
12
3111
101010()()()222() 3.1050.0010.100
r e x e x e x e x x x x x x ---?+?+?++++===++-++=0.0004993 例5．sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 解法1 ：
00625.01016
1
10821112=?=??-+-（有效数字与相对误差限的关系）
解法2；21
100.840.00595242-?÷=（相对误差限的概念）
例6
*x 的相对误差的----倍。
解：根据误差传播公式*
****
1()()()n r r i i i i f e y e x x y x =??
?=??
???
∑
则有
'**1()/r r e e x x n ==
第二章
例1．设()f x 可微，求()x f x =根的牛顿迭代公式----。 解；化简得到 ()0x f x -= 根据牛顿迭代格式 ),2,1,0()(')
(1 =-
=+k x f x f x x k k k k
则相应的得到 1()(0,1,2,)1'()
k k k k k x f x x x k f x +-=-=-
例2： 求方程
01)(3=--=x x x f
在区间[1, 1.5]内的实根。要求准确到小数点后第2位。
思路；用二分法，这里a = 1, b = 1.5， 且f (a) < 0，f (b) > 0。取区间[a, b]的中点x 0 = 1.25将区间二等分，由于f (x 0)< 0，即f (x 0)与f (a)同号，故所求的根必在x 0的右侧，这里应令a 1 = x 0 = 1.25，b 1 = b = 1.5，而得到新的有根区间（a 1, b 1）。 对区间（a 1, b 1）再用中点x 1 = 1.375二分，并进行根的隔离，重复步骤2、3； 解：预先估计一下二分的次数：按误差估计式
)(211
11*a b a b x x k k k k -=
-≤-+++
解得k = 6，即只要二分6次，即达所求精度。计算结果如下表：
例3：求方程0210)(=+-=x x x f 的一个根
解：因为f (0) = 1>0 f (1) = -7 <0，知方程在[0, 1]中必有一实根，现将原方
程改为同解方程
210+=x x )2l g (+=x x
由此得迭代格式
)2lg(1+=+k k x x
收敛性判断；当(0,1)x ∈时，()lg(2)(0,1)x x φ=+∈，且由于
11
'()0.21711(2)ln102ln10
x x φ=
≤=<+， 故迭代格式收敛
取初始值x 0 = 1，可逐次算得 x 1 = 0.4771 x 2 = 0.3939 … x 6 = 0.3758
x 7 =0.3758
例4：求方程0133=+-x x 在[0, 0.5]内的根，精确到10-5。 解：将方程变形
)()1(31
3x x x ?=+= 因为0)('2>=x x ?，在[0, 0.5]内为增函数，所以
125.05.0)('max 2<===x L ?
满足收敛条件，取x 0 = 0.25，用公式（2.3）算得 x 1 = ? (0.25) = 0.3385416 x 2 = ? (x 1) = 0.3462668
x 3 = ? (x 2) =0.3471725
x 4 = ? (x 3) =0.3472814 x 5 = ? (x 4) =0.3472945 x 6 = ? (x 5) =0.3472961
x 7 = ? (x 6) =0.3472963
取近似根为x * = 0.347296
例5： 用牛顿迭代法建立求平方根c （c >0）的迭代公式，并用以上公式求
78265.0
解：设c x x f -=2)(，（x >0）则c 就是f (x ) =0的正根。由为f’ (x ) = 2x ，所以得迭代公式
k
k k k x c
x x x 22
1
--
=+ 或
???? ?
?+=
+k k k x c x x 211 （2.6）
由于x >0时，f’ (x ) >0，且f " (x ) > 0，根据定理3知：取任意初值c x >0，所确定的迭代序列{x k }必收敛于c 。 取初值x = 0.88，计算结果见表
k x k
0 0.88 1 0.88469 2 0.88468 3
0.88468
故可取88468.078265.0≈
第三章
例1．.用列主元消去法解线性方程组
???
??=++-=-+-=+-6
15318153312321
321321x x x x x x x x x 计算过程保留4位小数.
解. [A b ]=??
??
?
?????----6111151318153312 (选1821-=a 为主元)
??
??
?
?????----??→?6111153312151318)
,(21r r (换行，消元) ??
??
??????----???→?++
7166.54944.07166.1053333.210151318
1
3121811812
r r r r (选1667.132=a 为主元，并换行消元)
??
??
??????---????→?+5428.98142.3001667.54944.01667.10151318
2
3321667
.11)
,(r r r r 系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解
000.1)18/(]0000.230000.315[0000.27166.1/]0000.34944.07166.5[0
000.38
142.35
428.9123=-?-+-==?-===
x x x 方程组的解为X ≈(1.000 0,2.000 0,3.000 0)T 例2：用列主元高斯消去法求解方程
???
??=+=++=+-7
2452413221
321321x x x x x x x x 由于解方程组取决于它的系数，因此可用这些系数（包括右端项）所构成的
“增广矩阵”作为方程组的一种简化形式。对这种增广矩阵施行消元手续：
???
?
? ??-702145241312*
第一步将4选为主元素，并把主元素所在的行定为主元行，然后将主元行换到第一行得到
??
??
?
??--???→?????? ??--???→???
??
? ??---???→?????? ??-61005.025.010125.15.0125.5875.0005.025.010125.15.01625.15.1015.020125.15.01702113124524
*
第三步消元
第二步消元第一步消元
消元过程的结果归结到下列三角形方程组：
???
?
?-==-=++65.025.0125.15.0332321x x x x x x 回代，得
???
??-=-==-6193
21x x x 例3：用直接三角分解法解
????
? ??=????? ??????? ??201814513252321321x x x 解：（1）对于r = 1，利用计算公式
111=u 212=u 313=u
l 21 = 2 l 31 = 3 （2）对于r = 2， 12212222u l a u -== 5 – 2 ? 2 = 1 13212323u l a u -== 2 – 2 ?3 = -4
51
)
231()(2212313232-=?-=-=
u u l a l
（3）r = 3
24))4()5(33(5)(233213313333-=-?-+?-=+-=u l u l a u
于是
LU A =????
? ??--????? ??-=244132
1153121
（4）求解： Ly = b 得到
y 1 = 14 y 2 = b 2 – l 21y 1 = 18 – 2 ? 14 = -10 y 3 = b 3 – (l 31y 1 + l 32y 2) = 20 – (3? 14 + (-5)(-10)) = - 72 从而 y = (14, -10, -72)T 由Ux = y 得到
324
723333=--==
u y x
21
)
34(10)(2232322=?---=-=
u x u y x
11
)
3322(14)(1131321211=?+?-=+-=
u x u x u y x
T x )3,2,1(=
例5：用雅克比迭代法和高斯――赛得尔迭代法解线性方程组
???
?
?
??=????? ??????? ??----87790108
1119321x x x 解：所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故雅克比迭代法和高
斯――赛得尔迭代法都收敛。
D = diag (9, 8, 9) D -1 = diag (1/9, 1/8, 1/9)
????
? ??=--009/1008/19/19/10
1
A D I
????
?
??=-9/78/79/71
b D
雅克比迭代法的迭代公式为：
????
?
??+????? ??=+9/78/79/7009/1008/19/19/10)()
1(k k X X 取X (0) = (0, 0, 0)T ，由上述公式得逐次近似值如下：
k 0 1 2
3
4
X (i )
?????
??000 ????? ??8889.08750.07778.0 ????
?
??9753.09723.09738.0 ????
?
??9993.09993.09942.0 ????
?
??9993.09993.09993.0
高斯――赛得尔迭代法：
()()()???
?
??
???+?+=++=++=++++++809178179
1)
1(2)1(1)1(3)
(3)1(1)1(2)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 迭代结果为：
k
1
2
3
4
x (i )
????? ??000 ????? ??9753.09722.07778.0 ?????
??9993.09993.09942.0 ?????
??0000.10000.19998.0 ????
?
??000.1000.1000.1
例6．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组12312312
3926
8888
x x x x x x x x x -+=??
-+-=??-++=-?
收敛性，并取(0)(1,0,0)T x =，求近似解(1)k x +，使得(1)()310k k i i x x +--≤（i=1，2，3） 解法同上（1，1，-1）
例7. 设矩阵A ＝????
?
?????------52111021210，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅
可比迭代矩阵为( A )
(A)??
??
?
?????04.02.01.002.01.02.00 (B) ?????
?????14.02.01.012.01.02.01 (C) ??
??
??????------04.02.01.002.01.02.00
(D) ????
??????021102120 例8、 高斯--塞尔德迭代法解线性方程组
的迭代格式中求
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿
例9、 若
则矩阵A 的谱半径
(A)= ＿＿＿
第五章
第六章
1． 矛盾方程组11 2.8
3.2
x x =??=?的最小二乘解为----。
2． 给出拟合三点(0,1),(1,0)A B ==和(1,1)C =的直线方程。 第七章
1．插值型求积公式的求积系数之和为＿1＿＿
已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。
3． 求积公式3
1
()2(2)f x dx f =?有几次的代数精确度？（1）
4． 插值型求积公式
()()n
b
i i a
i f x dx A f x =≈∑?
的代数精确度至少是----次。N
5． 已知n =4时牛顿－科茨求积公式的科茨系数,152,4516,907)4(2)4(1)
4(0===
C C C 那么)
4(3C ＝( ) 90
39
152********)D (15
2)
C (45
16)
B (90
7)
A (=
---
6． 设求积公式∑?=≈n
k k k b
a
x f A x x f 0
)(d )(，若对 的多项式积分
公式精确成立，而至少有一个m +1次多项式不成立。则称该求积公式具有m 次代数精度.
7． 取m =4,即n =8，用复化抛物线求积公式计算积分 ?
+2
.10
2d )1l n (x x
计算过程保留4位小数. 解 n =8, h =15.08
02.1=-,f (x )=ln(1+x 2
)
计算列表
)](2)(4[3
d )1ln(6427531802
.102f f f f f f f f f h
x x ++++++++=+?
＝4225.0]987.023961.148920.0[3
15
.0=?+?+
第八章
例1用欧拉法求初值问题
000.9'12()10
y y x y x x ?
=-?+?
?==?
当h = 0.02时在区间[0, 0.10]上的数值解。
解 把y x y x f 219
.0),(+-
=代入欧拉法计算公式。就得
5
,,1,021018.01219
.01 =???
? ?
?+-=+-=+n y x
y x h
y y n n n
n
n n
具体计算结果如下表：
n x n y n y (x n ) εn = y (x n ) - y n 0 0 1.0000 1.0000 0 1 0.02 0.9820 0.9825 0.0005 2 0.04 0.9650 0.9660 0.0005 3 0.06 0.9489 0.9503 0.0014 4 0.08 0.9336 0.9354 0.0018 5 0.10 0.9192 0.923 0.0021
例2．.取h =0.1, 用改进欧拉法预报－校正公式求初值问题
??
?=++='1
)0(12
y y x y 在x =0.1, 0.2处的近似值. 计算过程保留3位小数.
预报－校正公式为 ??
???+++++=++=+++=+=++++++)
2(2)],(),([2)
1(),(211211121k k k k k k k k k k k k k k k x k k y x y x h y y x f y x f h y y y x h y y x hf y y h =0.1,x 0=0，y 0=1，x 1=0.1，于是有
??
?
??=+++++==+++=227.1)2.11.0102(21.012
.1)101(1.012
2121y y h =0.1,x 1=0.1，y 1=1.227，x 2=0.2，于是有
??
?
??=+++++==+++=528.1)488.12.0227.11.02(21.0227.1488
.1)227.11.01(1.0227.12
22
22y y
所求为y (0.1)≈y 1=1.227 y (0.2)≈y 2=1.528
例3 导出用三阶泰勒级数法解方程
22'y x y +=
的计算公式 解: 因 22),('y x y x f y +==
)(22'22'22y x y x yy x f y ++=+==''
)3()(242)'(22222222y x y x xy y y y f y +?+++==''+=''='''
)
32)((8)53(44'62'4'22222222)4(y x y x y y x x y y y y y y y y y y y f y +++++='
'+''='
'+''+'''='''=
故
n n n n n f h f h hf y y ''+'++=+3216
1
21
而
1)
4(43)
(!
4+<<=n n n x x f h R ξξ
其中)(k n f 表示f (x, y )对x 的k 阶偏导数在x = x n 点上的值。 例4 用龙格――库塔法解初值问题 y’ = x 2 – y (0≤x ≤1) y (0) = 1
解 ： 取 h = 0.1， 由下面公式
()
??
???
???
??
???++=?
?? ??
++=??? ??
++==++++=+342312143211,2,212,21),()22(6hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n n
n n n n
n
???????+-+=+-+=+-+=-=)
1.0()1.0()05.0()05.0()
05.0()05.0(324
22
312
221k y x k k y x k k y x k y x k n n n n n n n n 把初始条件x 0 = 0，y 0 = 1，代入,得k 1 = -1，k 2 = -0.9475，k 3 = -0.9501，k 4 = 0.8950，
将这些k 值代，得
[]90516
.08950.0)9501.09475.0(2161
.011=---+-+
=y 重复上述步骤可算出y 2，y 3，…，y 10等。
例5．设有求解初值问题'00
(,)
()y f x y y x y ?=?=?的如下格式
11(,)n n n n n y ay by chf x y +-=++
如假设11(),()n n n n y y x y y x --==问常数,,a b c 为多少时使得该格式为二阶格式？
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
《提咼学生计算能力的方法研究》 有关资料的学习体会 计算在生活中随处可见，是帮助人们解决问题的工具，在小学计算教学更是贯穿于数学教学的全过程，是小学生学习数学需要掌握的基础知识和基本技能。培养和提高学生的计算能力是小学数学的主要任务之一，是一项涉及到多方面教学内容的系统工程，计算”在教学中所占的比重相当大，无论是应用题、统计知识，还是几何题、简易方程，都离不开计算。计算的准确率和速度如何，将直接影响学生学习的质量，因此，计算教学不容忽视。这也是我们制定本研究课题的主要原因。 在课题研究的初期，我们先研究了影响学生计算能力发展的几个方面，发现：学生在计算方面出错的原因主要有以下几方面： 一、学习习惯不好。 很多孩子在计算时，不能做到认真仔细，抄错数、抄错运算符号、抄对了却 把加法当成减法、减法当成加法等，然后简单的一步计算出现错误，如：15 —9 =5等，也就是我们平常所说的马虎”的现象。我们把学生出现的这些现象统统归结到学习习惯不好”的类别，认为只要认真学生就能避免出现这些问题。 二、缺乏计算技巧。这主要是针对简便计算而言。 一部分学生对于简便计算的算理弄不明白，所以对于简便计算的规律掌握得不牢固。一些题目类型混淆到一起，如：“35X 9和“35+35X 99”的解法。另外有些学生不能灵活地应用运算律，也说明题目对数、隋计算的敏感度不够强，如： 14.36 —0.23 >2 —4.54，计算的第二步是14.36 —0.46 — 4.54,很多学生意识不到可以先把后两个数先加起来。 针对以上我们自己研究出来的结果，我们就把解决问题的重点放在了习惯培养上。制定了一系列的奖罚措施，激励学生认真对待计算题。实施一段时间后，有一定的效果，不少学生做计算题时，态度认真了许多，抄错数和符号的现象有所减少，但是这个效果对于整体提高学生的计算能力却并没有起到根本性的作用。 于是，我们开始查阅相关的研究资料，发现导致学生计算能力低下的原因，除了上两条之外，还有一个主要原因：学生的口算能力差。因为任何一道题都是由若
计算方法考试题（一） 满分70分 一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nn a a a diag D =，若对角阵D 非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 1 1)(--++=（1） 若记b D f U L D B 111 1),(--=+= （2） 则方程组（1）的迭代形式可写作 ) 2,1,0(1 )(1)1( =+=+k f x B x k k （3） 则（2）、（3）称 【 】 (A)、雅可比迭代。(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。 2、记*x x e k k -=，若0lim 1≠=+∞→c e e p k k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是 【 】 (A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。 3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】 (A)、 ) () (1k x f x f x x k k k '- =+ (B)、 )()())((111--+--- =k k k k k k k x f x f x x x f x x 1 )() ()1()()()(x x f x f x f k i k i k i ??+=+ (D)、 )() ()()1(k k k x f x x -=+ 二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分） 1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商 ，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿 插值多项式为 2、 用二分法求方程 01x x )x (f 3 =-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间 为 。 三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分） 1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。试分别指出试用抛物插值计算115的近似值，并估计截断误差。 3、确定系数101,,A A A -，使求积公式 ) ()0()()(101h f A f A h f A dx x f h h ++-≈? -- （1） 具有尽可能高的代数精度，并指出所得求积公式的代数精度。
《如何提高小学生计算能力》教研活动方案 一、研究主题：如何提高学生的计算能力。 二、参加对象： 组长：张XX 成员：全体数学老师 三、指导思想： 《数学课程标准》对学生的计算能力作了如下的要求“体会数和运算的意义，掌握数的基本运算，重视口算，加强估算，提倡算法多样化，逐步形成计算技能并能综合运用所学的知识和技能解决实际问题。”数的运算非常重要，以致占据了现行小学数学教学的绝大部分空间。计算是帮助我们解决问题的工具，在具体情景中才能真正认识计算的作用。在小学数学计算教学中，我们教师不仅要求学生掌握计算方法，而且要根据学生的可能和教学内容的需要，努力帮助学生达到更高的一个数学层次，适时地、灵活地引导学生发现计算内在的规律，使学生自行观察、思考、尝试、探求，逐步建立起用数学的眼光，数学的头脑，数学的语言，去理解感受数学形成的过程。 四、活动开展的动因： （一）学生的全面发展彰显了研究的需要。 计算能力是每个人必须具备的一项基本能力，培养小学生准确而迅速的计算能力是小学数学教学的一项重要任务，是学生今后学习数学的重要基础。
（二）新一轮的课程改革凸显了研究价值。 我国新一轮的基础教育改革在世纪之交启动，新课程强调数学教学从学生的生活入手，重视数学与生活的联系，关注学生数学探究的经历，让学生在自主学习，合作探究中获取数学知识，发展数学思维。 （三）学生的计算现状提出了研究要求。 实施新课程以来，我们发现，学生在计算方面出现了一些新的问题。实际上在实施新课程的过程中，我们重视了学生的动手实践、相互合作，关注了学生学习方式的改变，鼓励学生算法多样化，但却在一定程度上忽略了学生良好计算习惯的养成以及实际计算能力的提高，或者说在计算教学这一块花的力气小了，导致学生在计算过程中，经常会出现这样那样的错误。 五、活动目标： 1、通过本次教研活动，促使教师以研促教，在教研中提升教学能力 2、让学生在教师的指导下掌握计算技能与技巧。 3、培养学生计算的能力，提高计算的正确率和速度。 六、活动的前期准备 各位教师围绕主题谈自己在日常教学中是怎样进行计算指导的。 凌XX老师：计算教学必须使学生明白算理，每一步是怎么得来的？学生理解了算理，做起来就容易了；教学中可利用学生典型错误的题型来进行纠正，避免重犯同样的错误。 张XX老师：书写格式必须规范、数位对齐，竖式的数字要稍分
《计算方法》期末考试试题 一 选 择（每题3分，合计42分） 1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈（三位有效数字），则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤，减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x ?及常向量g ?，迭代过程g x B x k k ? ??+=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)(提高小学生计算能力的几种方法-2019年教育文档
提高xx计算能力的几种方法 在小学数学教学中，计算教学问题非常突出，面临着计算课课堂教学新理念与学生计算能力，基础训练之间的困惑。计算教学历来都是老师们很头疼的问题，每次测验失分率最高的就是计算题，老师们总埋怨学生们太马虎。计算能力太差了。 在《新课程标准》中要求学生在计算方面达到“熟练”、“正确”、“会”三个层次。因而，必须重视小学生计算能力的培养。 我们应该客观分析一下造成学生计算错误的因素，有针对性地进行矫正。 一、计算的两种不良心态 一是轻视心理：学生认为计算题是“死题目”，不需要动脑思考，忽视了对计算题的分析及计算后的检查；二是畏惧心理：学生认为计算题枯燥乏味，每当看到计算步骤多或者计算数字大时，就会产生厌烦的情绪，缺乏耐心和信心，因此计算就不准确。 二、不熟练的知识技能 在计算这一部分中没有复杂的概念性质等，学生只要理解的充分、掌握的牢固，就可以形成非常良好的计算技能。而由于口算等基本功不过关，计算法则的不明确，没有形成基本的计算技能技巧，这是计算失误的一个主要问题。 三、不良的计算习惯 部分学生由于计算书写马虎，字迹潦草；无论数字大小，是否熟练一律口算，不愿意动笔演算；有的演算不用演算纸，而是随意在桌子上作业本或者试卷背面和边缘上演算；计算结束后也不会运用估算和验算等方法认真检查。 根据我在教学中的一些实践经验，认为培养和提高小学生的计算能力，可以试试从以下几个方面做起。 一、加强口算训练
《新课程标准》中指出：“口算既是笔算、估算和简算的基础。也是计算能力的重要组成部分。”由此可见，培养学生的计算能力，必须重视口算的练习，做到“明要求、常训练、有检查”。 在教学中，主要做到每堂课上安排口算训练。在授课之前，结合教学内容和学生实际，利用3至5分钟时间，进行口算练习。口算练习中要养成学生的口算技巧：运用数的组成口算；用凑十法口算；做减法，想加法；用乘法口诀直接求积、求商；根据乘法分配律进行口算等。口算训练可采用多种形式进行，低年级可以采用游戏的形式：如“开火车”、“找朋友”、“对口令”、“夺红旗”、“闯关”等；中年级可以采用口算板、口算表、卡片或游戏进行训练；高年级训练的方式可以是指名答、抢答、齐答、听算、视算等。在可能的情况下，坚持每节数学课前进行适当的练习，相信只要能日积月累，持之一恒，学生计算速度和正确率的提高是显而易见的。 二、弄清算理，为正确计算提供依据 1.教具演示，说明算理。 2.学具操作，探究算理。引导学生自己动脑，通过实验操作，主动地探索计算规则。例如：教学“两位数加两位数笔算加法”时，请学生在小组里讨论怎样计算“35+34”，可根据自己的情况选择是用摆小棒的方法还是用竖式计算还是口算。 请学生说明自己的想法 （1）先请摆小棒的学生讲。提问：为什么把5根小棒和4根小棒和起来，3捆和3捆和起来？ （2）再请列竖式的学生讲。提问：写竖式的时候要注意什么？ 用竖式计算的时候要注意什么？你是从哪一位加起的？（3）请口算的学生讲。提问：你是从哪一位加起的？ 3.联系实际，理解算理。教学小数加减法的时候，可借助学生熟悉的人民币元、角、分，讲清小数点对齐的道理。 三、养成估算和验算的习惯。
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式
提高计算能力教研活动总 结 Prepared on 22 November 2020
提高计算能力教研活动总结 在小学数学教学中，我们经常因为学生“计算错误”而困惑。题做了不少，错误率却居高不下，学生计算能力的高低直接影响着教师的教学质量，学生的学习的质量。那么，出现这种情况的原因是什么如何培养小学生的计算能力呢我们全校数学老师进行了一次深入的交流和学习，总结出来了一些措施，我总结一下应该从以下几方面入手： 一、原因分析 1、不看清楚题目下笔。 小学生尤其是中低年级学生感知事物比较笼统，不具体，往往只注意到一些感觉上的、孤立的现象，不去仔细观察事物之间的特征和联系。所以在抄写数字、符号的时候，没有看清楚就下笔，抄写的数字就会出现牛头不对马嘴的情况，比如：把“3”写成“8”，将“26”写成“62”；把“+”写成“×”等。在很多时候，脱式计算中上一行的数字到下一行就写错了，或者将不同的数字写成同一个数字。 2、容易被假想迷惑。 有些运算顺序尤其是简便运算方法的错误，除上述的原因外，还非常容易出现被假想迷惑的情况，以为能够进行简便计算，将运算顺序搞错。比如在进行小数简算的过程中，（+）可以变成分别减去后两个数，而类似的（）就不能简算，去括号后要变成。 3、多受负迁移的影响。
学生在学习的过程中容易受到已学知识的影响，即学习中的迁移。如果已学的知识促进知识的掌握，就是正迁移，反之即负迁移。计算学习过程中，学生容易受到负迁移的干扰，影响计算的准确性。比如：计算乘法的时候，不少的孩子就经常出现加法的计算情况。 二、措施方法 1、教师要做好示范和表率。教师的板演，批改作业的字迹、符号，一定要规范、整洁，以便对学生起到潜移默化的作用。比如在学习小数的加减法，就要求对题目中的数字、小数点、运算符号的书写必须符合规范，清楚。数字间的间隔要适宜，草稿上排竖式也要条理清楚，数位要对齐。 2、培养良好的学习习惯。 （1）培养学生打草稿的习惯。学生在计算时，不喜欢打草稿，这是一个普遍存在的现象。教师布置了计算题，有的同学直接口算，有的在书上、桌子上或者其他地方，写上一两个竖式，算是打草稿，这些都是不良的计算习惯。大多数的计算题，除了少数学生确实能够直接口算出结果以外，大多数学生恐怕没有这个能力。针对这一情况，我要求学生准备专门的草稿本，认认真真地打草稿，同时我在课堂上经常要走下讲台，走到学生中间，严格督促学生落实，久而久之学生慢慢地会养成这一良好习惯。 （2）培养学生检查、验算的习惯。我教给学生计算的检查方法是：一对抄题，二对竖式，三对答案，审题的方法是两看两想。
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。
考完试了，顺便把记得的题目背下来，应该都齐全了。我印象中也就只有这些题，题 目中的数字应该是对的，我也验证过，不过也不一定保证是对的，也有可能我也算错了。 还有就是试卷上面的题目可能没有我说的这么短，但是我也不能全把文字背下来，大概意 思就是这样吧。每个部分的题目的顺序可能不是这样，但总体就是这四大块。至于每道题 目的分值，我记得的就写出来了，有些题目没注意。我题目后面写的结果都是我考试时算 出来的，考完了也懒得验证了，可能不一定对，自己把握吧，仅供参考。 华南理工大学2016计算机计算方法（数值分析）考试试卷 一填空题（16分） 1.（6分）X* = 3.14，准确值x = 3.141592，求绝对误差e(x*) = ，相对误差e r(x*) = ，有效数位是。 2.（4分）当插值函数的n越大时，会出现龙格现象，为解决这个问题，分段函数不一个 不错的办法，请写出分段线性插值、分段三次Hermite插值和三次样条插值各自的特点。 3.（3分）已知x和y相近，将lgx – lgy变换成可以使其计算结果更准确。 4.（3分）已知2x3 – 3x2 +2 = 0，求牛顿迭代法的迭代式子。 解题思路：1. 这里的绝对误差和相对误差是没有加绝对值的，而且要注意是用哪个数减去哪个数得到的值，正负号会不一样；2. 可以从它们函数的连续性方面来说明；3. 只要满足课本所说的那几个要求就可以；这个记得迭代公式就可以直接写，记不住可以自己推导， 就是用泰勒展开式来近似求值得到的迭代公式。 我最终的结果是： 1.-0.001592 -0.000507 3 2.分段线性插值保证了插值函数的连续性，但是插值函数的一次导数不一定连续； 分段三次Hermite既保证了插值函数的连续性，也保证了其一次导数的连续性； 三次样条插值保证了插值函数及其一次导数和二次导数的连续性 3.lg(x/y) 4.x k+1 = x k – (2x3 – 3x2 +2)/(6x2 -6x) 二计算题（64分） 1.已知f(x) = x3 –x -1，用对分法求其在[0 , 2]区间内的根，误差要满小于0.2，需要对分多 少次？请写出最后的根结果。 解题思路：每次求区间的中值并计算其对应的函数值，然后再计算下一个区间中值及函数值，一直到两次区间中值的绝对值小于0.2为止。 我最终算得的对分次数是4，根的结果为11/8. 2.根据以下数据回答相应问题： x-2045 y51-31 (1)请根据以上数据构造Lagrange三次插值函数； (2)请列出差商表并写出Newton三次插值函数。 解题思路：(1) 直接按照书本的定义把公式列出来就可以了，这个要把公式记住了才行，不然也写不了；(2)差商表就是计算Newton三次插值函数过程中计算到的中间值及结
一、问题的提出背景及意义 在《新课程标准》不管是“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域中，计算在小学数学教材中所占的比重很大，学生计算水平的高低直接影响着学生学习的质量。可见学生的计算水平是至关重要的，是学习数学知识中必须具备和掌握的最基本的知识和技能，是学习其它数学知识的最基础知识。所以，如何提升学生的计算水平就成了小学数学教学重要研究的重要问题。在《数学课程标准》中，强调“应重视口算，增强估算，鼓励算法多样化；应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并使用所学知识解决问题的过程；应避免繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来，避免对计算实行机械的程式化训练。”。虽然在教学第一线的教师也理解到数学中计算的重要性，但是在实际教学实践中，往往认为计算易教，不重视计算教法的研讨。教学过程重算法轻算理；重练习轻理解，大搞题海战术。而学生则认为计算好学，一听就会，不用动脑筋，只要作练习就能够了。所以，有些学生不懂算理，计算法则单一和僵化。习题错误将经常持续，当出现错误时，教师和学生都没有真正去分析错误的深层次原因，而仅仅将简单其归罪于粗心或学生没有认真听讲，缺乏计算水平。久而久之，就出现了教师埋怨学生计算水平差，学生见到计算就发憷的现象。为了改变这种现象，迅速有效的提升学生计算水平，更好的发展学生的思维。在小学数学教学中就必须增强计算教学，培养学生的计算水平，使学生的计算既准确又迅速，从而达到教学大纲中所要求的熟练水准并使计算方法合理灵活。 二．本课题研究的内容 我们认为影响和决定学生计算水平高低有两个方面的因素构成，第一个方面是知识因素，主要指计算法则的掌握和计算技能的形成。计算法则是计算方法的高度概括，它是通过观察、试验、猜测、验证并在此基础上实行推理、抽象、概括出计算方法规律性的反映。学生掌握计算法则不但要懂得按照法则如何计算，而且要懂得为什么要这样计算，理解是掌握计算法则的关键。计算技能是指学生在理解掌握计算法则的基础上，能够综合使用所学知识，灵活、合理地选择相关的方法去完成特定的计算任务。第二个方面只非知识因素，主要指学生学习数学的兴趣、情感、态度、意志、习惯等，这是我们教师最容易忽视的一个方面，往
三年级数学计算能力提升方案 一、指导思想 为了培养学生具备想数学、用数学的习惯、意识和能力。使一些对数学感兴趣，成绩优异的同学在学好课本知识的同时，进一步拓宽他们的知识面，提高他们对问题的分析、思考能力，为以后的数学学习打好基础。迎接仲恺高新区第二届数学能力竞赛，并能在竞赛中取得好成绩，结合我班实际，特制定一下辅导方案。 一、学生名单 xx xx 二、辅导措施： 1、注重基础知识训练。 由于该竞赛命题大多以课本为依据，因此在辅导时要紧扣课本，严格按照由浅入深、由易到难、由简到繁、循序渐进的原则，适时联系课本内容。 2、不拘泥于课本，适当扩展深度。 由于该竞赛题目往往比平时考试卷难，教师必须在课本的基础上加以延伸、拓宽，或教给学生新的知识 3、精讲赛题，启迪思维。 竞赛是一种高思维层次、高智力水平的角逐，一种独立的创造性活动。因此，竞赛试题可以多方面地培养人的观察、归纳、类比、知觉的方法，它能给学生施展才华、发展智慧的机会。教师在讲解竞赛题时，应向学生强调认真审题的重要性，并提醒学生适时联系以前解过的题，用其已掌握的方法或解题思路，以求对竞赛题作出合理的解
答和更全面深刻的理解，并通过解题后的回顾，教会学生总结，研究自己的解题过程，培养学生发现问题、发现规律的能力。 4、设计专题训练，帮助学生掌握知识。 竞赛题以其难度大、新意浓的特点考查学生的灵活性，解竞赛题虽然没有常规的思维模式可套，但因其源于课本而高于课本，所以它离不开基础知识和特有的思维规律，因而在辅导中需要确定一些专题进行讲授和训练。但指导教师在设计专题时，应注意题目要有一定的梯度和新鲜感，这样才能真正达到培养能力的目的。 四、辅导时间： 2018.11月至比赛前 每周星期一至星期五午读时间。 五、辅导地点：XXX 六、辅导形式：集中辅导和个别辅导相结合 七、辅导教师：XXX 八、辅导内容： 小学四年级知识：混合运算、加与减、乘与除等知识。 2018年11月5日 XXX
数值分析复习试题 第一章 绪论 一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误 差 。 3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得 到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、 递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误 差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3
计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。