空间向量题型归纳总结
类型一：空间向量的概念
1.给出下列命题：
①若//，则存在为唯一的实数λ，使得λ=
②若//,//，则与所在直线平行 ③已知b a ⊥，则c b a b c c b a ?=-?++?)()（
④N M B A ,,,为空间四点，若BN BM BA ,,不构成空间一个基底，则N M B A ,,,共面 已知},,{c b a 是空间的一个基底，则基向量b a ,可以与向量c a m +=构成空间一个基底
；
则正确的命题的序号为：
2.若C B A ,,不共线，对于空间任意一点O 都有8
18143++=，则C B A P ,,,四点（ ） A. 不共面 B. 共面 C. 共线 D. 不共线
3.已知C B A ,,三点不共线，对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式：y x 3
1
++=，其中y x ,是实数，若
！
点M 与C B A ,,四点共面，则=+y x
类型二：空间向量的运算（1代数运算，2坐标运算）
4.在四面体OABC 中，G 是底面ABC ?的重心，则等于（ ）
A. OC OB OA ++
B. OC OB OA 2
12121++ C. 613121++ D. 3
13131++
￥ 5.已知空间四边形OABC ，其对角线为N M AC OB ,,,分别是边CB OA ,的中点，点G 在线段MN 上，且使GN MG 2=， 用向量OC OB OA ,,表示OG 是（ ） A. OC OB OA OG 313161++= B. OC OB OA OG 3
23161++= C. OC OB OA OG 3232++
= D. OC OB OA OG 323221++=
6.设ABC O -是正三棱锥，1G 是ABC ?的重心，G 是1OG 上的一点，且13GG OG =，若OC z OB y OA x OG ++=，
则（z y x ,,）为（ ）
…
A. )414141(，，
B. )434343(，，
C. )313131(，，
D.)323232(，，
7.空间四边形OABC ，各边及对角线长都相等，F E ,分别为OC AB ,的中点，求OE 与BF 所成的角
8.如图，空间四边形OABC 中，c OC b OB a OA ===,,，点M 在线段OA 上，且MA OM 2=，点N 为BC 的中点，
则=MN ( )
…
A .
c b a 213221+- B .c b a 212132++- C.
c b a 2
12121-+ D.c b a 213232-+
9.在四棱柱1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若a B A =11，b D A =11，A =1，则下列向量中与B 1
相等的向量是（ ）
A. c b a ++-
2121 B. c b a ++2121 C.
c b a +-2121 D. c b a +--2
121 》
10.平行六面体1111D C B A ABCD -中，1221===AD AA AB ，，，且1,,AA AD AB 的夹角都是 60，则=?11BC AC
11.已知空间向量)2,1,2(),2,,1(-==n ，若-2与垂直，则||a 等于（ ）
A.
235 B. 221 C.
237 D. 2
53
（
类型四：空间向量的应用（证明平行，垂直，相等，求边，夹角和面积）
12.ABC ?的顶点分别为)1,3,1(),2,6,5(),2,1,1(---C B A ，则AC 边上的高BD 等于（ ）
A. 5
B. 41
C. 4
D. 52
13.已知)1,2,0(),1,2,1(),3,0,1(C B A ，三角形ABC 的面积为（ ）
]
A. 1
B.
2
C. 22
D. 4
14. 设)2,1,2(),1,3,0(),1,2,1(--C B A 是平行四边形的三个顶点，则此平行四边形的面积为
15. 若)4,9,6(),3,2,4(),1,2,1(--C B A ，则ABC ?的形状为（ ）
&
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
16. 已知)2,0,0(),0,1,0(),0,0,2(C B A ，则)4,1,2(P 到平面ABC 的距离是
17. 已知向量)5,4,3(),1,3,2(),3,2,1(321-=--=-=F F F ，若321,,F F F 共同作用在一个物体上，使物体从点)1,2,1(1-M
移到点)2,1,3(2M ，则合力所做的功为
-
18.已知k j i ,,为两两垂直的单位向量，非零向量),,(321321R a a a a a a ∈++=，若向量a 与向量k j i ,,的夹角分别为
γβα,,，则=++γβα222cos cos cos
·
19.正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合.
（Ⅰ）当CF =1时，求证：EF ⊥1A C ； （Ⅱ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值.
C 1 B 1 A 1 A B E C
空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)
3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°． (1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若2 21BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值．
N：5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长 8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。 9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。 （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离。 10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝
λb 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数 ,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 (,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，
高中数学-空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则： 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法： 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下： （一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角，A B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦 值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，． 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ， 则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ． （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝ 3 π ．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝ 2，∠BCC 1＝ 3 π，
空间向量与立体几何 1,如图，在四棱锥V-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面 VAD是正三角形，平面 VAD⊥底面 ABCD （1）证明 AB⊥平面 VAD； （2）求面 VAD与面 VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD为矩形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，AB= ， BC=1， PA=2， E 为 PD的中点 . （1）求直线 AC与 PB所成角的余弦值； （2）在侧面 PAB内找一点 N，使 NE⊥平面 PAC，并求出 N点到 AB和 AP的距离 .( 易错点 , 建系后, 关于 N 点的坐标的设法 , 也是自己的弱项 )
3.如图，在长方体ABCD― A1 B1 C1D1中， AD=AA1=1， AB=2，点 E 在棱 AB上移动 . （1）证明： D1E⊥A1D； （2）当 E 为 AB的中点时，求点 A 到面 ECD1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D1― EC― D的大小为( 易错点 : 在找平面 DEC的法向量的时候 , 本 来法向量就己经存在了, 就不必要再去找, 但是我认为去找应该没有错吧, 但法向量找出来了, 和那个己经存在的法向量有很大的差别, 而且 , 计算结果很得杂, 到底问题出在哪里?) 4.如图，直四棱柱 ABCD － A1 B1C1D1中，底面 ABCD 是等腰梯形， AB ∥ CD ， AB ＝ 2DC ＝ 2， E 为 BD 1的中点， F 为 AB 的中点，∠ DAB ＝ 60°． (1)求证： EF ∥平面 ADD 1A1； 2 1 (2) 若BB12 ，求 A F 与平面 DEF 所成角的正弦值．
利用空间向量求空间角考点与题型归纳 一、基础知识 1．异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b | ? ， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向 向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量， φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n | ? . 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． (2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ，如图(2)(3)． 两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值． 直线与平面所成角的范围为????0，π 2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值． 利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n 1，n 2〉与二面角大小的关系，是相等还是互
补，需要结合图形进行判断． 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ＝cos θ1cos θ2. 如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角 [典例精析] 如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2. (1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ，求线段AH 的长． [解] 由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0，0,1)，N (1,2,0)． (1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→ ＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 则????? n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0， 即????? 2y ＝0，2x －2z ＝0. 不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．
高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一
空间向量题型归纳总结 类型一：空间向量的概念 1.给岀下列命题： ① 若a//b ，则存在为唯一的实数 ?，使得a =；$.b ② 若a//b,b//c ，则a 与c 所在直线平行 ③ 已知 a _b ，则 a （b ■ c ） ■ c （b _a ）二b c ④ A, B, M ,N 为空间四点，若 BA, BM , BN 不构成空间一个基底，则 A,B,M ,N 共面 已知｛a, b,c ｝是空间的一个基底，则基向量 a, b 可以与向量m=a 亠c 构成空间一个基底 则正确的命题的序号为： — 3 " 1 ' 1 — 2.若A,B,C 不共线，对于空间任意一点 0都有OP OA OB 0C ,贝U P,A, B,C 四点（ ） 4 8 8 ] ] ] 1 I 3.已知A,B,C 三点不共线，对平面 ABC 外一点0，给出下列表达式： OM =xOA - yOB 0C ，其中 3 x, y 是实数，若 点M 与A, B,C 四点共面，贝U x y 二 _____________ 类型二：空间向量的运算（1代数运算，2坐标运算） 4.在四面体OABC 中，G 是底面^ABC 的重心，则OG 等于（） 1 — 1 — 1 — OA OB OC B. 2 2 2 111 ■ —OA+—OB+— OC D. 3 3 3 A.不共面 B.共面 C.共线 D.不共线 A. OA OB OC C. 1 ■ 1 - —OA —OB 2 3
5.已知空间四边形 OABC ，其对角线为 OB,AC,M,N 分别是边OA,CB 的中点，点G 在线段MN 上，且 使 MG =2GN ， 用向量OA,OB,OC 表示OG 是（） 6.设O -ABC 是正三棱锥，G i 是AABC 的重心，G 是OG i 上的一点，且OG =3GG i ，若 OG =xOA yOB zOC ， 则（x, y,z ）为（） 7.空间四边形OABC ，各边及对角线长都相等， E,F 分别为AB,OC 的中点，求OE 与BF 所成的角 8.如图，空间四边形 OABC 中，O A 二a,OB =b,OC =c ，点M 在线段OA 上，且OM =2MA ，点N 为 BC 的中点, 则 MN 二（） 9.在四棱柱ABC^A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若 AB 1 =a ，&D 1二b ，"A 二c ，则下列 向量中与B 1M 相等的向量是（） A. OG J O A —OB !OC 6 3 3 2 — 2 — C. OG =OA OB OC 3 3 — 1 —- 1 — 2 — B. OG OA — OB OC 6 3 3 — 1 —- 2 ■ 2 — D. OG OA OB OC B. D. 1 一 1 ■ 1 - C. — a b c 2 2 2 2 2 1 L D.—a b c 3 3 2 A. B. 3 2 2
空间向量知识点与题型归纳总结 知识点精讲 一、空间向量及其加减运算 1.空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可 用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a r 的起点是A ，终点是B ，则向量a r 也可以记作 AB u u u r ，其模记为a r 或AB u u u r . 2.零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作0r .当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =u u u r r . 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a r 长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r . 4.空间向量的加法和减法运算 （1）OC OA OB a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r .如图8-152所示. （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+r r r r ，()() a b c a b c ++=++r r r r r r 二、空间向量的数乘运算 1．数乘运算 实数λ与空间向量a r 的乘积a λr 称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λr 与向量a r 方向相同；当0λ<时，向量a λr 与向量a r 方向相反. a λr 的长度是a r 的长度的λ倍. 2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 () a b a b λλλ+=+r r r r ，() ()a a λμλμ=r r . 3.共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a r 平行于b r ，记作//a b r r . 4.共线向量定理
实用文档 文案大全高中数学典型例题第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、、疑难知识导析 1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量” 向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量； 2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆； 4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的； 5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。 二知识导学 1.模（长度）：向量AB的大小，记作|AB|。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a?长度相等，方向相反的向量叫做a?的相反向量。记作-a?。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点，作AB=a?，BC=b，则向量AC 叫做a与b?的和。记作a?+b?。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点O，作OA=a?，OB=b?，则向量BA 叫做a?与b?的差。记作a?-b?。 7.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a?的积是一个向量，记作λa?，并规定： ①λa?的长度|λa?|=|λ|·|a?|； ②当λ＞0时，λa?的方向与a?的方向相同； 当λ＜0时，λa?的方向与a?的方向相反； 当λ＝0时，λa?=0? （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa?)=(λμ) a?
空间向量与立体几何经典题型与答案 1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο 底面ABCD ，且 1 2 PA AD DC === ，1AB =，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 1 (0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2 A B C D P M （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面 PCD 上，故面PAD ⊥面PCD （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC . 510 | |||,cos ,2,5||,2||=??>=<=?==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故 （Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ= ..2 1 ,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14 ,00,.25 AN MC AN MC x z λ⊥=-==u u u r u u u u r g 只需即解得 ),5 2 ,1,51(),52,1,51(,. 0),5 2 ,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角 30304||,||,. 555 2 cos(,).3||||2 arccos(). 3 AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-?-u u u r u u u r u u u r u u u r Q g u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r 故所求的二面角为
空间向量题型归纳总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
空间向量题型归纳总结 类型一：空间向量的概念 1.给出下列命题： ①若b a //，则存在为唯一的实数λ，使得b a λ= ②若//,//，则与所在直线平行 ③已知b a ⊥，则c b a b c c b a ?=-?++?)()（ ④N M B A ,,,为空间四点，若BN BM BA ,,不构成空间一个基底，则N M B A ,,,共面 已知},,{c b a 是空间的一个基底，则基向量b a ,可以与向量c a m +=构成空间一个基底 则正确的命题的序号为： 2.若C B A ,,不共线，对于空间任意一点O 都有8 18143++=，则C B A P ,,,四点（ ） A. 不共面 B. 共面 C. 共线 D. 不共线 3.已知C B A ,,三点不共线，对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式：y x 3 1++=，其中y x ,是实数，若 点M 与C B A ,,四点共面，则=+y x 类型二：空间向量的运算（1代数运算，2坐标运算） 4.在四面体OABC 中，G 是底面ABC ?的重心，则OG 等于（ ） A. ++ B. OC OB OA 212121++ C. 613121++ D. 3 13131++
5.已知空间四边形OABC ，其对角线为N M AC OB ,,,分别是边CB OA ,的中点，点G 在线段MN 上，且使GN MG 2=， 用向量OC OB OA ,,表示OG 是（ ） A. OC OB OA OG 313161++= B. OC OB OA OG 323161++= C. OC OB OA OG 3232++= D. OC OB OA OG 323221++= 6.设ABC O -是正三棱锥，1G 是ABC ?的重心，G 是1OG 上的一点，且13GG OG =，若OC z OB y OA x OG ++=， 则（z y x ,,）为（ ） A. )414141(，， B. )434343(，， C. )31 3131(，， D.)3 23232(，， 7.空间四边形OABC ，各边及对角线长都相等，F E ,分别为OC AB ,的中点，求OE 与BF 所成的角 8.如图，空间四边形OABC 中，c OC b OB a OA ===,,，点M 在线段OA 上，且MA OM 2=，点N 为BC 的中点， 则=MN ( ) A . c b a 213221+- B .c b a 212132++- C.c b a 2 12121-+ D.c b a 213232-+ 9.在四棱柱1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若a B A =11，b D A =11，c A A =1，则下列向量中与M B 1
用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4， b 4， c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ， PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标 系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ???? 12，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ??－12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)， AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－12 AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面PAB ，EF ?平面PAB ，所以EF ∥平面PAB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面PAD ，AD ?平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD .因为DC ?平面
空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 1 3 B C D ．23 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB ，棱柱的高 1 3AO a ==（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113 AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为1111 33 OA AA AB AC =- -,11AB AB AA =+ 2111126 ,,333 OA AB a OA AB ?=== 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11 1 12 3OA AB AO AB ?= . 二、填空题： 1 ．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D --M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO =?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11 (),22 AN AC AB EM AC AE =+=-, 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=1 2 故EM AN ，所成角的余弦值 16 AN EM AN EM ?= 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .
精品文档 高中数学选修2-1 题型归类 第三章空间向量 空间向量及其运算12种题型归类 题型1：空间向量的加减、数乘运算 1.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简： AB?BC?CDDB?AC?BD?OA?OC?OB?CO= = ②③。①= ABC?ABCBB M 2.的中点，化简下列各式：中，如图所示，在三棱柱是1111 AB?BAAB?BC?CC 1 2 ；（）；（）11111AA?AB?AM 3 4 ））（；（CBBM?AM?12 题型2：空间向量的基本定理 {e,e,e}a?e?e?eb?2e?e?e，1.已知是空间的一个基底，且，322311123c?3e?2e?2e{a,b,c}能否作为空间的一个基底．，试判断132 abcpabqacp，是空间的一个基底，设＝＝＋2.已知，则下列向量中可以与，，，＋q
一起构成空间的另一个基底的是a-c- 2b 2cb cb- c a．． DC．A2．＋3＋＋ B 是空间一个基底，给出下列}b，ca，且{a，+b，y=bc，z=c+=3.设xa+}.+c，a+b，，z}；④{xyc，x①{a，b，}；②{x，yz}；③{b，向量组：) ( 其中可以作为空间的一个基底的向量组有 D.4个 B.2个 C.3个 A.1个 kijkkaijaijaikaj，试问是否23－5，＋4.设＝2－＝＋，3＝＋3－2＋，＝－2＋4321cabcaaabaacab ＋，＋，，，使＝成立？如果存在，则的值；存在实数3124 BC NACOABCOBMOA 5.已知空间四边形，如图所示，其对角线为、，、分别为、精品文档． 精品文档?????OCOBOA MNG、，现用基向量3表示在线段、上，且＝的中点，点MGGN?_ 向量AG ABCD 6.如图所示，底面D，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD-ABC1111. CCD=60°，CD=2，且 ∠CCB=∠=3是正方形，CC111 ; ，b，ac，=b表示，=c，试用a(1)=设 7.在下列命题中：baab①若、、所在的直线平行；共线，则b aba、、所在的直线是异面直线，则一定不共面；②若cababc、、、、三向量一定也共面；三向量两两共面，则③若pbac总可以唯一表④已知三向量、，则空间任意一个向量、cp x a yz b＋示为．＝＋其中正确命题的个数为（） 0 B. 1 C. 2 D. 3
专题探究课四 高考中立体几何问题的热点题型 高考导航 1.立体几何是高考的重要内容,每年都有选择题或填空题或解答题考查．小题主要考查学生的空间观念,空间想象能力及简单计算能力.解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直,再利用空间向量进行空间角的计算.重在考查学生的逻辑推理能力及计算能力．热点题型主要有平面图形的翻折、探索性问题等;2.思想方法:(1)转化与化归(空间问题转化为平面问题）；（2)数形结合（根据空间位置关系利用向量转化为代数运算）. 热点一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算(规范解答） 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明,一般出现在解答题的第(1)问,解答题的第(2)问常考查求空间角,求空间角一般都可以建立空间直角坐标系,用空间向量的坐标运算求解. 【例1】 （满分1２分)（２０17·湖州模拟)如图，在△ABC 中，∠ A ＢＣ＝＼f (π,4)，Ｏ为A Ｂ边上一点,且3O B ＝３ＯＣ=2A Ｂ，已知 PO ⊥平面ABC ,2DA ＝２ＡＯ=PO ，且DA ∥ＰO . (1)求证：平面PB Ｄ⊥平面COD ； （2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值． 满分解答 (１)证明 ∵ＯB ＝OC ,又∵∠ABC =π4 , ∴∠OC Ｂ=＼f (π,4),∴∠BO Ｃ＝错误!． ∴ＣO ⊥A Ｂ.２分 又PO ⊥平面A ＢＣ， OC ?平面ABC ，∴ＰＯ⊥O Ｃ. 又∵PO ,AB ?平面P ＡB ,PO ∩AB =O , ∴ＣO ⊥平面P ＡＢ，即ＣO ⊥平面PD Ｂ.4分 又CO ?平面ＣOD , ∴平面PD Ｂ⊥平面COD .6分 （2)解 以OC ,OB ，OP 所在射线分别为ｘ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
第六节 空间向量及其应用 考纲解读 1.空间向量及其运算. （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； （3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用. （1）理解直线的方向向量与平面的法向量； （2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系； （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； （4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用. 命题趋势探究 立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些.预测在2015年高考对本专题的考查会在解答题中以中档题出现，分值保持在12分左右. 知识点精讲 一、空间向量及其加减运算 1.空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作 AB ，其模记为a 或AB . 2.零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =. 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算 （1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示. （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+，()() a b c a b c ++=++
空间向量与立体几何 一、非坐标系向量法 1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13 B ． 3 C D ． 23 2．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦 ，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 3.已知正四面体ABCD 中，E 、F 分别在AB ，CD 上，且 ， ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 4.如图，已知四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面ABCD 是菱形且 ∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD ， （1）证明：C 1C ⊥ BD ； （2）当1 CD CC 的值为多少时，能使 A 1C ⊥ 平面C 1BD ？请给出证明。 13413313 4 -133- AB AE 4 1=CD CF 41=A D C B A D C B 1 1 1 1
二、坐标系向量法 1．如图,在直三棱柱中,,,,点是 的中点 (1)求异面直线与所成角的余弦值 (2)求平面与所成二面角的正弦值. 2、如图,直棱柱中,分别是的中点,. (Ⅰ)证明:平面; (Ⅱ)求二面角的正弦值.
3、如图，在三棱锥P -ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90°，AP =BP =AB ，PC ⊥AC . （Ⅰ）求证：PC ⊥AB ； （Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小. 4．如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。 （1）求DP 与CC 1所成角的大小；（2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小。 1 A
经典空间向量知识点复习归纳总结名师推荐精心整理学习必备 空间向量知识点归纳总结 空间向量的基本概念及运算 知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注:(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 (2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律:⑴加法交换律:a b b a +=+ ⑵加法结合律:)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律:b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也 叫做共线向量或平行向量,a 平行于b ,记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线(或a //b )时,表示a 、b 的有向线段所在的直线可能 是同一直线,也可能是平行直线。 (2)共线向量定理:空间任意两个向量 a 、b (b ≠0 ),a //b 存在实数 λ,使a =λb 。 4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明:空间任意的两向量都是共面的。
(2)共面向量定理:如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理:如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论:设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数,,x y z ,使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系: (1)空间直角坐标系的坐标: 在空间直角坐标系O xyz -,对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使zk yi xi OA ++=,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标。