(易错题精选)初中数学圆的难题汇编含答案解析
一、选择题
1.如图,以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ,过点C 作直线切半圆于点E ,交AD 边于点F ,则FE EC
=( )
A .12
B .13
C .14
D .38
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE 、OF 、OC ,利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF =∠FOE ,证明△EOF ∽△ECO ,利用相似三角形的性质即可解答.
【详解】
解:连接OE 、OF 、OC .
∵AD 、CF 、CB 都与⊙O 相切,
∴CE =CB ;OE ⊥CF ; FO 平分∠AFC ,CO 平分∠BCF .
∵AF ∥BC ,
∴∠AFC+∠BCF =180°,
∴∠OFC+∠OCF =90°,
∵∠OFC+∠FOE =90°,
∴∠OCF =∠FOE , ∴△EOF ∽△ECO ,
∴=OE EF EC OE
,即OE 2=EF?EC . 设正方形边长为a ,则OE =
12a ,CE =a . ∴EF =
14a . ∴EF EC =14
. 故选:C .
【点睛】
本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质,其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键..
2.如图,在ABC ?中,90ABC ∠=?,6AB =,点P 是AB 边上的一个动点,以BP 为直径的圆交CP 于点Q ,若线段AQ 长度的最小值是3,则ABC ?的面积为( )
A .18
B .27
C .36
D .54
【答案】B
【解析】
【分析】 如图,取BC 的中点T ,连接AT ,QT .首先证明A ,Q ,T 共线时,△ABC 的面积最大,设QT=TB=x ,利用勾股定理构建方程即可解决问题.
【详解】
解:如图,取BC 的中点T ,连接AT ,QT .
∵PB 是⊙O 的直径,
∴∠PQB=∠CQB=90°,
∴QT=
12
BC=定值,AT 是定值, ∵AQ ≥AT-TQ , ∴当A ,Q ,T 共线时,AQ 的值最小,设BT=TQ=x ,
在Rt △ABT 中,则有(3+x )2=x 2+62,
解得x=9
2
,
∴BC=2x=9,
∴S△ABC=1
2
?AB?BC=
1
2
×6×9=27,
故选:B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理,勾股定理,两点之间线段最短等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,则有中考选择题中的压轴题.
3.如图,AB是⊙O的直径,EF,EB是⊙O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF,若∠AOF=40°,则∠F的度数是()
A.20°B.35°C.40°D.55°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接FB,由邻补角定义可得∠FOB=140°,由圆周角定理求得∠FEB=70°,根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数,继而根据∠EFO=∠EBF-∠OFB即可求得答案.【详解】
连接FB,
则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°,
∴∠FEB=1
2
∠FOB=70°,
∵FO=BO,
∴∠OFB=∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°,∵EF=EB,
∴∠EFB =∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°,
∴∠EFO =∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°,
故选B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
4.如图,AC BC ⊥,8AC BC ==,以BC 为直径作半圆,圆心为点O ;以点C 为圆心,BC 为半径作?AB ,过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ,则图中阴影部分的面积是( )
A .20833π-
B .20833π+
C .20833π-
D .20433
π+ 【答案】A
【解析】
【分析】 如图,连接CE .图中S 阴影=S 扇形BCE ?S 扇形BOD ?S △OCE .根据已知条件易求得OB =OC =OD =4,BC =CE =8,∠ECB =60°,OE =43,所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.
【详解】
解:如图,连接CE .
∵AC ⊥BC ,AC =BC =8,以BC 为直径作半圆,圆心为点O ;以点C 为圆心,BC 为半径作弧AB ,
∴∠ACB =90°,OB =OC =OD =4,BC =CE =8.
又∵OE ∥AC ,
∴∠ACB =∠COE =90°.
∴在Rt △OEC 中,OC =4,CE =8,
∴∠CEO =30°,∠ECB =60°,OE =43, ∴S 阴影=S 扇形BCE ?S 扇形BOD ?S △OCE =2260811-4-44336042
ππ???? =
20-833
π 故选:A .
【点睛】 本题考查了扇形面积的计算.不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算.
5.如图,O e 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2,则图中阴影部分的面积为( )
A 32π
B 332π
C .23π
-
D 33π
【答案】A
【解析】 【分析】
【详解】 解:∵六边形ABCDEF 是正六边形,
∴∠AOB =60°,∴△OAB 是等边三角形,OA =OB =AB =2,
设点G 为AB 与⊙O 的切点,连接OG ,则OG ⊥AB ,
∴OG =OA ?sin 60°33 ∴S 阴影=S △OAB ﹣S 扇形OMN =1232
60(3)π?32π.故选A .
6.如图所示,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且OC⊥AB,过点C的弦CD与线段OB 相交于点E,满足∠AEC=65°,连接AD,则∠BAD等于()
A.20°B.25°C.30°D.32.5°
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OD,根据三角形内角和定理和等边对等角求出∠DOB=40°,再根据圆周角定理即可求出∠BAD的度数.
【详解】
解:连接OD,
∵OC⊥AB,
∴∠COB=90°,
∵∠AEC=65°,
∴∠OCE=180°﹣90°﹣65°=25°,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD=25°,
∴∠DOC=180°﹣25°﹣25°=130°,
∴∠DOB=∠DOC﹣∠BOC=130°﹣90°=40°,
∴由圆周角定理得:∠BAD =12∠DOB =20°, 故选:A .
【点睛】 本题考查了圆和三角形的问题,掌握三角形内角和定理、等边对等角、圆周角定理是解题的关键.
7.在平面直角坐标系内,以原点O 为圆心,1为半径作圆,点P 在直线323y x =
+上运动,过点P 作该圆的一条切线,切点为A ,则PA 的最小值为( )
A .3
B .2
C .3
D .2 【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意,画出图形,令直线y= 3x+ 23与x 轴交于点C ,与y 轴交于点D ,作OH ⊥CD 于H ,作OH ⊥CD 于H ;
然后根据坐标轴上点的坐标特点,由一次函数解析式,求得C 、D 两点的坐标值; 再在Rt △POC 中,利用勾股定理可计算出CD 的长,并利用面积法可计算出OH 的值; 最后连接OA ,利用切线的性质得OA ⊥PA ,在Rt △POH 中,利用勾股定理,得到21PA OP =-,并利用垂线段最短求得PA 的最小值即可.
【详解】
如图, 令直线3x+23x 轴交于点C ,与y 轴交于点D ,作OH ⊥CD 于H , 当x=0时,y=3D (0,3
当y=033,解得x=-2,则C (-2,0),
∴222(23)4CD =
+=, ∵12OH?CD=12
OC?OD ,
∴OH=22334?=. 连接OA ,如图,
∵PA 为⊙O 的切线,
∴OA ⊥PA , ∴2221PA OP OA OP =-=-,
当OP 的值最小时,PA 的值最小,
而OP 的最小值为OH 的长,
∴PA 的最小值为22(3)12-=
.
故选D.
【点睛】
本题考查了切线的性质,解题关键是熟记切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.
8.如图,在ABC ?中,5AB =,3AC =,4BC =,将ABC ?绕一逆时针方向旋转40?得到ADE ?,点B 经过的路径为弧BD ,则图中阴影部分的面积为( )
A .1463
π- B .33π+ C .3338π- D .259
π 【答案】D
【解析】
【分析】 由旋转的性质可得△ACB ≌△AED ,∠DAB=40°,可得AD=AB=5,S △ACB =S △AED ,根据图形可得S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ,再根据扇形面积公式可求阴影部分面积.
【详解】
∵将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ,
∴△ACB ≌△AED ,∠DAB=40°,
∴AD=AB=5,S △ACB =S △AED ,
∵S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ,
∴S 阴影=
4025360π?=259
π, 故选D.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,扇形面积公式,熟练掌握旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前、后的图形全等.
9.如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ,连接AC ,若∠A=30°,PC=3,则⊙O 的半径为( )
A .3
B .23
C .32
D .23 【答案】A
【解析】
连接OC ,
∵OA=OC ,∠A=30°,
∴∠OCA=∠A=30°,
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°,
∵PC 是⊙O 切线,
∴∠PCO=90°,∠P=30°,
∵PC=3,
∴OC=PC ?tan30°3
故选A
10.已知线段AB 如图,
(1)以线段AB 为直径作半圆弧?AB ,点O 为圆心;
(2)过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、,交?AB 于点E F 、;
(3)连接,OE OF .
根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( )
A .CE DF =
B .??AE BF =
C .60EOF ∠=?
D . =2C
E CO
【答案】D
【解析】
【分析】 根据作图可知AC CO OD DB ===,据此对每个选项逐一判断即可.
【详解】
根据HL 可判定ECO FDO ?V V ,得CE DF =,A 正确;
∵过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、,连接AE ,
CE 为OA 的中垂线,AE OE =
在半圆中,OA OE =
∴OA OE AE ==,AEO △为等边三角形,60EOF =o ∠AOE=∠FOD=∠, C 正确;
∴圆心角相等,所对应的弧长度也相等,??AE BF
=,B 正确 ∵60,90EOC =o o ∠AOE=∠, ∴=3CE CO ,D 错误
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识点,解题的关键在于证明60o ∠AOE=.
11.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,连接OC 交⊙O 于点D ,连接BD ,∠C=40°.则∠ABD 的度数是( )
A .30°
B .25°
C .20°
D .15°
【答案】B
【解析】 试题分析:∵AC 为切线 ∴∠OAC=90° ∵∠C=40° ∴∠AOC=50°
∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50° ∴∠ABD=∠ODB=25°. 考点:圆的基本性质.
12.如图,在边长为8的菱形ABCD 中,∠DAB =60°,以点D 为圆心,菱形的高DF 为半径画弧,交AD 于点E ,交CD 于点G ,则图中阴影部分的面积是 ( )
A .183π-
B .183π
C .32316π
D .1839π-
【答案】C
【解析】
【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8,∠ADC=120°,由三角函数求出菱形的高DF ,图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积,根据面积公式计算即可.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB=60°,
∴AD=AB=8,∠ADC=180°-60°=120°,
∵DF 是菱形的高,
∴DF ⊥AB ,
∴DF=AD ?sin60°=383= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2
120(43)84332316360
ππ??=. 故选:C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算;由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.
13.下列命题中正确的个数是( )
①过三点可以确定一个圆
②直角三角形的两条直角边长分别是5和12,那么它的外接圆半径为6.5
③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切,那么圆心距为5厘米
④三角形的重心到三角形三边的距离相等.
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据圆的作法即可判断;
②先利用勾股定理求出斜边的长度,然后根据外接圆半径等于斜边的一半即可判断;
③根据圆与圆的位置关系即可得出答案;
④根据重心的概念即可得出答案.
【详解】
①过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆,故错误;
②∵直角三角形的两条直角边长分别是5和12, ∴斜边为2251213+= ,
∴它的外接圆半径为.113652
?=,故正确; ③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切,那么圆心距为5厘米或1厘米,故错误; ④三角形的内心到三角形三边的距离相等,故错误;
所以正确的只有1个,
故选:A .
【点睛】
本题主要考查直角三角形外接圆半径,圆与圆的位置关系,三角形内心,重心的概念,掌握直角三角形外接圆半径的求法,圆与圆的位置关系,三角形内心,重心的概念是解题的关键.
14.如图,已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm ,则这个圆锥的侧面积为( )
A .50cm 2
B .50πcm 2
C .52
D .5cm 2
【答案】D
【解析】
【分析】 根据勾股定理求出圆锥的母线长,求出底面圆周长,根据扇形面积公式计算即可.
【详解】
解:如图所示,
∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm ,
22105+=55,圆锥底面圆半径为5,
∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π,即为侧面展开扇形的弧长,圆锥的侧面积=
1
2
×10π×55=255πcm2,
故选:D.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的轴截面是等腰三角形,勾股定理的应用,以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.15.若正六边形的半径长为4,则它的边长等于()
A.4 B.2 C.23D.43
【答案】A
【解析】
试题分析:正六边形的中心角为360°÷6=60°,那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形,故正六边形的半径等于4,则正六边形的边长是4.故选A.
考点:正多边形和圆.
16.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=4,以OB为直径作半圆,圆心为点C,过点C 作OA的平行线分别交两弧点D、E,则阴影部分的面积为()
A.5
3
π﹣3B.
5
3
3C.3πD3
5
3
π
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OE.可得S阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE.根据已知
条件易求得BC=OC=CD=2,BO=OE=4.∠BOE=60o,CE=23所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.
【详解】
解:连接OE,可得S阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE,
由已知条件可得,BC=OC=CD=2,又,BO=OE=4,∴∠BOE=o
60,可得CE=23,
S
扇形BOE=
2
604
360
π??8
=
3
π,
S
扇形BCD
2
902
==
360
π
π
??
,
S△OCE=
1
=223=23
2
??,
∴S
阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE=
8
--23
3
ππ=
5
-23
3
π,
故选A.
【点睛】
本题主要考查扇形面积公式、三角形面积公式,牢记公式并灵活运用可求得答案.
17.如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )
A.10 B.9 C.8 D.7
【答案】D
【解析】
分析:先根据多边形的内角和公式(n﹣2)?180°求出正五边形的每一个内角的度数,再延长五边形的两边相交于一点,并根据四边形的内角和求出这个角的度数,然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数,然后减去3即可得解.
详解:∵五边形的内角和为(5﹣2)?180°=540°,∴正五边形的每一个内角为
540°÷5=108°,如图,延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°,360°÷36°=10.∵已经有3个五边形,∴10﹣3=7,即完成这一圆环还需7个五边形.
故选D.
点睛:本题考查了多边形的内角和公式,延长正五边形的两边相交于一点,并求出这个角
的度数是解题的关键,注意需要减去已有的3个正五边形.
18.如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,点P是劣弧弧AB上任意一点(与点B不重合),则∠BPC的度数为()
A.30°B.45°C.60°D.90°
【答案】B
【解析】
分析:接OB,OC,根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC=90°,再由圆周角定理即可得出结论.
详解:连接OB,OC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,
∴∠BPC=1
2
∠BOC=45°.
故选B.
点睛:本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
19.如图,⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM:OC=3:5,则AB的长为()
A91B.8cm C.6cm D.4cm
【答案】B
【解析】
【分析】
由于⊙O的直径CD=10cm,则⊙O的半径为5cm,又已知OM:OC=3:5,则可以求出OM=3,OC=5,连接OA,根据勾股定理和垂径定理可求得AB.
【详解】
解:如图所示,连接OA.
⊙O的直径CD=10cm,
则⊙O的半径为5cm,
即OA=OC=5,
又∵OM:OC=3:5,
所以OM=3,
∵AB⊥CD,垂足为M,OC过圆心
∴AM=BM,
在Rt△AOM中,22
AM=5-3=4,
∴AB=2AM=2×4=8.
故选:B.
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形,是解题的关键.
20.如图,将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′,已知AC=6,BC=4,则线段AB扫过的图形面积为()
A.3
2
π
B.
8
3
π
C.6πD.以上答案都不对
【答案】D
【解析】
【分析】
从图中可以看出,线段AB扫过的图形面积为一个环形,环形中的大圆半径是AC,小圆半径是BC,圆心角是60度,所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积.
【详解】
阴影面积=
() 60361610
3603
π?-
=π.
故选D.
【点睛】
本题的关键是理解出,线段AB扫过的图形面积为一个环形.
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