微分方程的基本概念
引言
大家知道：高等数学的主要研究对象是函数，我们在前面的学习中，对于给定的函数()f x ，进行了微分运算和积分运算，那么函数又是如何得到的呢？我们可以对实验中得到的数据进行处理，从中发现规律得到函数，也就是采用数据拟合的方法。然而有些问题，往往很难根据数据直接找出所需要的函数关系，比如：我们的新型战机——歼二十战机，使其安全着陆问题；坦克装甲的设计原理，导弹对敌机的追踪问题等等。寻找这些问题中变量之间函数关系的方法有很多，我们来介绍其中的一种——利用微分方程求解函数关系。为此今天我们来学习微分方程的基本概念。下面我们从一张图片开始来认识他们。 一、
问题的提出
我们注意到：歼—二十战机下降滑跑时，在跑道上会滑行一段距离。因此对滑跑的跑道提出了严格的要求，那么滑行跑道满足什么样的条件才可以保障战机的安全着陆？那么，当机场跑道不足时，对它的着陆速度又有什么样的要求呢？对此，我们把它抽象成一般的数学问题：战机的安全着陆问题。
案例1 (战机的安全着陆) 我国新型战机——歼二十，质量为m ，以速度0v 着陆降落时，减速伞对飞机的阻力作用与降落时的速度成正比，此外飞机还受到另一个与时间成正比的阻力作用，试讨论飞机降落时的速度与时间的关系？
要使得战机可以安全着陆也就是要使得飞机的滑跑距离小于跑道的长度。对于此问题，我们可以先对飞机滑跑的运动状态进行分析,结合前面我们所学习的微分学知识以及牛顿第二定律，这样便可建立运动方程。
解：设飞机质量为m ，着陆速度为0v ，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机的滑跑距离为()x t ，飞机的速度为()v t ，减速伞的阻力为()kv t -，其中k 为阻力系数。根据牛顿第二定律可得运动方程
()dv
m
kv t kt dt
=--，()dx v t dt = 从这个例子中，将这些等式和中学里我们所学的代数方程形式做比较，你有什么发现？ 二、
微分方程的基本概念
1、定义
通过比较代数方程与微分方程，从代数方程的定义（含有未知量的等式）得到：含有未知函数的导数或微分的方程称为常微分方程，简称为微分方程，记为()
(,,,,)0'???=n F x y y y
。
例1：判断下列等式是否为微分方程。
(1) 0'+=xy y (2) 32()0'''-=y y
(3) 2()0,t x dt xdx ++= (4) 2()2x x '=
答案：(1) 是； (2) 是； (3) 是； (4) 否。
本质：是否含有未知函数的导数或微分是判断是否为微分方程的重要依据. 将这些方程与代数方程中“次数”的概念比较，得到如下概念： 2、微分方程的阶
从代数方程按次（未知量的最高次数）分类得到微分方程按阶（未知函数导数的最高阶数）
分类：一阶微分方程，二阶微分方程，......n 阶微分方程等。
例如：指出下列微分方程的阶数。
(1) 2
23
d d x x t t ??-= ???
(2) 22
d d sin d d y y b cy x x x ++= 答案：(1) 1阶； (2) 2阶。
有了“阶”的概念之后，我们将从不同的角度对微分方程进行详细的分类。 3、分类
分类1:根据微分方程的阶数
一阶微分方程：(,,)0F x y y '= 或者(,).y f x y '= 高阶微分方程：
()(,,,
,)0n F x y y y '=或者()(1)(,,,,).n n y f x y y y -'=
分类2:根据自变量的个数
常微分方程(ODE )：未知函数为一元函数。
例如：2
d d x x t =，22d d sin d d y y b cy x x x
++=， 2
23d d x x t t ??-= ???
，2d d 0x y y x -=
偏微分方程(PDE )：未知函数为多元函数
例如：222222(,,)u u u
f x y z x y z
???++=???
分类3: 线性与非线性
线性：在微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=中，F 对未知函数y 和它的各阶导数()',,n y y 的全体而
言是一次的。
例2 判断下列方程是否是线性的：
（1）20;y x '-=（2）22()0;y x '-=（3）20;yy x '-=（4）20.xy x '-=
答案：是，不是，不是，是。
前面的两个引例的解决过程事实上就是我们求解微分方程的过程，下面我们来介绍第三部分内
容，也是我们本章的主要学习内容——微分方程的求解问题。 三、
主要问题——求解微分方程
从代数方程解的定义（使方程恒成立的数值）得到微分方程解的定义：使方程恒成立的函数。 1、微分方程的解:
设函数)(x y ?=在区间I 上连续, 且有直到n 阶的导数.如果把)(x y ?=代入方程
()(,,,,)0n F x y y y '=, 得到在区间I 上关于x 的恒等式, 0))(,),(),(,()(≡'x x x x F n ??? 则
称)(x y ?=为方程()(,,,
,)0n F x y y y '=在区间I 上的一个解.
现在让我们再回到案例1，当战机的着陆初速度以及加速度都已知时，战机的滑跑距离又是什么情况的时候可以保证战机安全着陆呢？
解：设战机着陆后t 秒钟后战机行驶了x 米，()x x t =则加速度
22
d x
a dt =-， 从而两边积分得
1dx
at C dt
=-+, 再两边积分，得
2121
2
x at C t C =-++
条件：000,
dx
t x v dt
===时，，从而1020C v C ==，,
因此，从战机开始着陆到完全停下来共需时间0
v t a
=
，战机在这段时间内行驶了 200
02
()2 =v
v a x v a a
v a
=-?+? 在这个问题的解决过程中，发现
21212x t C t C a =-++,201
2
x at v t =-+,
都满足微分方程22d s
a dt
=-，是微分方程的解。怎么回事？下面给出以下概念：
全部解：所有满足微分方程的函数的集合。
通解：相互独立的任意常数的个数与方程的阶数相等的解。 特解：确定了通解中的任意常数的解。
初始条件：为确定通解中的任意常数而在微分方程中引入的条件。 例3
：判断下列函数是否是方程
dy
dx
=的解？ （1）2(1)y x =+ （2）2()y x c =+（3）2
{0,(1)}y y y x ==+
解：（1），（2），（3）都是解，但（1）是特解，（2）是通解，（3）是全部解。
通过这个例子，我们对全部解，通解，特解的概念进行了区别，并且可以总结出三者之间的关系：
特解?通解?全部解
例4：验证：函数12cos sin ,cos x c kt c kt x kt =+=都是微分方程22
20d x k x dt
+=的解。
解：对cos x kt =关于t 求导,2
sin ,cos x k kt x k kt '''=-=-, 代入方程，2
2
cos cos 0k kt k kt -+=
从而也就验证了函数cos x kt =是方程22
20d x k x dt
+=的解。
对于12cos sin x c kt c kt =+同样来验证。
总结：求导
代入
验证
通过案例1，我们也找到一种求解微分方程的方法——两边积分求积分。 积分曲线——解)(x y y =所表达的曲线，
为了便于研究方程解的性质, 我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.5)的一个特解)(x y ?=的图
象是xoy 平面上的一条曲线, 称为方程(1.5)的积分曲线, 而通解),(C x y ?=的函数图象是平面上的一族曲线, 称为积分曲线族. 例如, 方程
x dx
dy
2=的通解C x y +=2是xoy 平面上的一族抛物曲线.而2x y =是过点(0, 0)的一条积分曲线.以后, 为了叙述简便, 我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程, 也有积分曲线和积分曲线族的概念, 只不过此时积分曲线所在的空间维数不同.
积分曲线方程——??
?==阶）（一阶）n c c c x y y c x y y n .)................
,,(.....(.....
),(21
可分离变量的微分方程
一. 实际问题
在各种反装甲弹药中，穿甲弹无疑是历史最悠久、使用最广泛的反装甲弹药。面对穿甲弹性能的不断提高，作为“盾”的一方——坦克的装甲——也变得越来越厚。我国T －98式主要特点： 重量轻、装甲厚，具有多种自我伪装能力和自动灭火装置，战场生存能力强。那么它的设计原理是什么呢？现在我们把它抽象为一般的数学问题加以研究。
案例2 (坦克的装甲设计原理)已知质量为5kg 的某特种合金穿甲弹以900/m s 的速度射入我军阻力系数为4
1.510/kg s ?，车体防护能力相当于600毫米的均质钢装甲的T-98式主战坦克。已知该穿甲弹所受阻力与速度成正比，问该型号穿甲弹能否击穿我军T-98式主战坦克车体？
判断该型号该型号穿甲弹能否击穿我军T-98式主战坦克车体也就是要判断穿甲弹所走过的距离是否超过了车体防护能力的600mm,因此，我们要对穿甲弹的运动状态进行分析，根据牛顿第二定律有F ma =，其中F 是穿甲弹穿入车体时所受到的合力。依题意，穿甲弹在车体中只受到车体的阻力()kv t -。m 是穿甲弹的重量，a 是穿甲弹进入车体时的加速度，可以表示成dv
dt
。这样便可建立运动方程。
解：设穿甲弹的质量为m ，从其射入时开始计时，则穿甲弹走过的距离为()x t ，运动速度为()v t ，
根据牛顿第二定律可得运动方程()dv
m kv t dt
=-，满足初始条件0(0)v v =；又因为穿甲弹走过的距离为()x t 满足
()dx
v t dt
=，这是两个一阶的微分方程，怎么解呢？ 对方程变形可以得到
dv k
dt v m
=-，()dx v t dt =它的特点是变量,v t 分别位于等式的两边！对于具有这种特点的微分方程，我们给它一个名称，请看定义。 二．可分离变量微分方程的定义
定义：设有一阶微分方程
(,)dy F x y dx =，若(,)F x y 可以表示成()()g x h y ，即()()dy
g x h y dx
=。则称其为可分离变量的微分方程。
对于这一定义，我们需要注意以下三点。 1. (),()g x h y 分别是x 和y 的连续函数；
2. 方程的特点是形式上可以把因变量y 与自变量x 分离开；
3. 当因变量与自变量符号改变时，仍然按照定义进行判断，如方 程
()()dx
g x h t dt
=是可分离变量的微分方程。 接下来，请结合定义判断例5所举方程是否为可分离变量的微分方程。 例5（1）
2dy
xy dx
=. 将2x 视为()g x ，y 视为()h y ，可知方程（1）是可分离变量的微分方程； （2）
2dy
y dx
=. 将2视为()g x ，y 视为()h y ，可知方程（2）是可分离变量的微分方程； （3）
2x t dx
e dt
-=.将x e 视为()g x ，2t e -视为()h t ，可知方程（3）是可分离变量的微分方程； （4）
dy x y dx =+. 对于式方程（4），它与可分离变量的微分方程定义中的形式()()dy
g x h y dx
=有较大
区别。因此它不是可分离变量的微分方程呢。
现在，我们已经掌握了怎样去判断一个方程为可分离变量的微分方程，那么，这样的方程怎么解呢？这就是接下来我们要学习的内容：可分离变量的微分方程的解法。 三．可分离变量微分方程的解法
1． 求解方程
()()dy
g x h y dx
=
求解时，通常都会先将变量进行分离，分离的条件是作分母的表达式不为0，因此需要分情况讨论。
①当()0h y ≠，分离变量有
()()
dy
g x dx h y =，设()y x ?=为方程的解，将解代入方程有()()(())x dx g x dx h x ??'=，两边同时求不定积分有()()(())x dx
g x dx h x ??'=??
，因为()dy x dx ?'=，故
()()dy g x dx h y =??。若记(),H y ()G x 分别为1
()h y 与()g x 的原函数，可得方程的通解为()()H y G x C =+。
②若存在0y ，使得0()0h y =，代入原方程进行判断，等式成立，故可得特解为0y y =。 把这里得到的通解和特解统称为微分方程解的全体。
这种求解可分离变量微分方程的方法称为分离变量法，它的求解步骤可以总结为三步：首先，分离变量；其次，对分离变量后的方程求积分得通解；最后，对分离变量时漏解情况作补充，以得到微分方程解的全体。对于这三步可以简记为一分二积三补充。
接下来，请同学们求解例5中的两个方程。 例6.求解下列微分方程。
（1）
2dy
xy dx
= 解：①当0y ≠，分离变量有
2dy
xdx y
=； 两边同时求不定积分有2dy
xdx y
=?
?，即21ln y x C =+，从而2211x C C x y e e e +==?，若记1C e 为2C ，则2
22(0)x y C e C =±>，若记常数2C ±为C ，则得到方程的通解为2
(0)x y Ce C =≠。
②当0y =是特解。
所以，微分方程的解为2
x y Ce =，C 为任意常数。
（2）2(0)0
x t dx e dt x -?=???=?
这是一个带有初始条件的可分离变量的微分方程，通常的做法是先求出方程的通解，再利用初始条件确定通解中的常数，从而得到满足条件的方程的解。
解：因0x e ≠，分离变量有2x t e dx e dt --=；
两边同时求不定积分有2x t e dx e dt --=??
，并求解得到2112
x t e e c ---=-+，因为(0)0x =，代入
通解中可得11c =，则所求微分方程的解为221x t e e --=+，即211ln()22
t x e -=-+。 2. 实际问题求解：
最后，再对坦克的装甲的设计原理这一实际问题进行求解，也即是我们需要如下两个带有初始条件的微分方程：
()(0)0dv
m kv t dt
v ?=-???=?和()(0)0
dx v t dt x ?=???=? 求得满足初始条件的特解，我们首先还是需要求出两个微分方程的通解。他们是可分离变量的微分方程，按照分离变量法的步骤：一分二积三补充求解。
① 当()0v t ≠，分离变量有
dv k
dt v m
=-； 两边同时求不定积分有dv k dt v m
=-??，即()(0)k
t m
v t ce c -=≠。
②当()0v t =是特解。 所以，微分方程的通解为()k t m
v t ce -=，c 为任意常数。又因为0(0)v v =，可求出0c v =。从而微分方
程的解为：0()k t m
v t v e
-=。
由于实际问题涉及到飞机的滑跑距离()x t ，因此，需要将()x t 引入到方程中。
因为()dx v t dt
=，所以0k t m
dx v e dt -=。它是可分离变量的微分方程，可以用分离变量法求解。 分离变量有：0k t m
dx v e
dt -=；
两边同时积分有0()k t m mv x t e c k -=-+。因为(0)0x =，可求出0
mv c k
=，从而0()(1)k t m
mv x t e k -=-。因此飞机的滑跑距离0
()mv x t k
≤
，代入已知数据有()300600x t mm mm ≤<。 所以，该型号的穿甲弹不能击穿我军T-98式坦克车体。这样，我们就圆满完成了坦克的装甲的分析和计算。 练习：
1、 求解微分方程2
3
(1)0y y x '++=的通解。 2、 求解微分方程2
2
(1)(1)0x y dx y x dy +-+= 提出问题就要解决问题，下面让我们再次回到案例1：
案例1 (战机的安全着陆)质量为m 的飞机以速度0v 着陆降落时，减速伞对飞机的阻力作用与降落时的速度成正比，此外飞机还受到另一个与时间成正比的阻力作用，试讨论飞机降落时的速度与时间的关系？
当机场跑道长度不足时，常常使用减速伞作为飞机的减速装置。在飞机接触跑道开始着陆时，利用空气对伞的阻力减少飞机的滑跑距离，保障飞机在较短的跑道上安全着陆。
解：设飞机质量为m ，着陆速度为0v ，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机的滑跑距离为()x t ，飞机的速度为()v t ，减速伞的阻力为()kv t -，其中k 为阻力系数。根据牛顿第二定律可得运动方程
()dv
m
kv t kt dt
=--。它不是一个可分离变量的微分方程，如何求解？ 将方程变形得到()dv k k v t t dt m m
=-- 如果令k k v t m m μ=-
-，由于,v μ都是关于t 的函数，两边同时求导有d k dv k
dt m dt m
μ=--，即(1)d k dt m μμ=-+，对于(1)d k
dt m
μμ=-+，这样得到的关于变量μ和t 的方程，它是可分离量的微分方程，我们可以进行求解。
在解决这类问题中用到了什么方法？——变量代换将方程化为可分离变量的微分方程。那么对于
()dy x
f dx y
= 形式的微分方程你会求解吗？ 小结：
本节课我们采用对比的教学方法介绍了常微分方程的基本概念，所学的内容可以用八个字来概括，即：六个概念，一种方法。利用实际的问题的提出、分析和求解讲授了可分离变量的微分方程
()()dy
g x h y dx
=以及它的求解方法——分离变量法，它的步骤可总结为一分二积三补充。 1. 分离变量
()()
dy
g x dx h y =，条件()0h y ≠； 2. 两端同时积分()()dy
g x dx h y =?
?
得通解； 3. 若()0h y =，得特解0y y =。
第七章 微分方程与差分方程 习题7－1（A ） 1． 说出下列微分方程的阶数： ;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2; 02)1(==+'-'' )(2; 0)()2(2为任意常数C x x C y xdy dx y x -==++ ),(cos sin ; 0) 3(212122 2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+ )(ln ; 02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+ 3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5, )1(0 22==-=x y C y x ;1,0,)()2(0 221=' =+===x x x y y e x C C y . 0,1, )(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y 4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程： 点横坐标的平方。 处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2( 习题7－1（B ） 1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ; 1)()1(22=+-y C x . )2(21x x e C e C xy -+= 2．用微分方程表示下列物理问题： 平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1( 。 速度成反比（比例系数同时阻力与， 成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m 习题7－2（A ） 1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ; )()3(2y y a y x y '+='-'
第三章 线性系统的时域分析法 3.1 引言 分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。 许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。 3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号： ① 实际系统的输入信号不可知性； ② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。 突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 （单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t 室温调节系统和水位调节系统 （单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线 0,2 12 ≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ 正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。 通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。 3.1.2 动态过程和稳态过程
§29 交流电路与交流元件 ［作业］ P652：2、3、4 2、C=79.6微法的电容，接到220伏50周的交流电源上，求它的阻抗和通过它的电流。 解： A Z U I C Z C C 5.5,0.41 == Ω== ω 3、L=31.8毫亨的线圈，其电阻可略去不计，当加上220伏50周的交流电压时，求它的阻抗和通过它的电流。 解：A Z U I L Z L L 22,10== Ω==ω 4、（1）分别求频率为50周和500周时，10亨利电感的阻抗；（2）分别求50周和500周时，10微法电容的阻抗；（3）在哪一个频率时，10亨利电感器的阻抗等于10微法电容器的阻抗。 解： ()()()HZ LC f fC fL C f Z C f Z L f Z L f Z C C L L 16121,21233221,3202121014.32,1014.3212211 4 2223111== = Ω ==Ω== Ω?==Ω?==π ππππππ §30 元件的串联和并联 ［作业］ P669：6、10、14 6、在附图中Z C =Z L =R ，求下列各量的位相差，并用矢量图说明之：（1）U C 和I R ；（2） I C 与I R ；（3）U R 与U L ；（4）U 与I 。 解：以U R （U C ）为基准，I R 与U R 同相，I C 超前U C π/2， C R I I I +=超前U R π/4，U L 超前I π/2，L R U U U +=超前U R π/2，故U C 与I R 位相差为0，I C 与I R 位相差为π/2， U R 与U L 位相差为-3π/4，U 与I 位相差为π/4，其矢量图如图所示。
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
第七章 微分方程—练习题参考答案 一、填空题 1. 三阶； 2. 023=+'-''y y y ； 3. 1-=' x y y ； 4. x e 22ln ? ； 5. x x e c e c 221-+； 6. 错误 、错误、错误、正确. 二、选择题 1-5:ACDCB; 6-8: CCB; 三、计算与应用题 1、（1）解：变量分离得， 1 1 2 2 -= +x xdx y ydy ， 两边积分得， c x y ln 2 1)1ln(2 1)1ln(2 12 2 +-=+， 从而方程通解为 )1(122-=+x c y . （2）解：整理得， x y x y dx dy ln =，可见该方程是齐次方程， 令 u x y =，即xu y =，则dx du x u dx dy +=，代入方程得，u u dx du x u ln =+， 变量分离得， x dx u u du = -) 1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-， 所以原方程的通解为cx x y =-1ln ，或写为1 +=cx xe y . （3）解：整理得，x e y x y =+ '1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 )(1)(1)(1 1 c e xe x c dx xe x c dx e e e y x x x dx x x dx x +-= +=+??=??- . （4）解：整理得， x y x x dx dy 1ln 1= +，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 )2 ln (ln 1)ln (ln 1)1(2 ln 1 ln 1 c x x c dx x x x c dx e x e y dx x x dx x x +=+=+??=??- ， 代入初始条件1==e x y 得2 1= c ，从而所求特解为)ln 1(ln 2 1x x y + = . （5）解：将方程两边逐次积分得，12 arctan 11c x dx x y +=+= '? ， 212 1)1ln(2 1arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+= ? ，
第7章 常微分方程数值解法 7.0 基本概念 1. 一阶常微分方程的初值问题 ???=∈='0)(),()),(,()(y a y b a x x y x f x y (7.0-1) 注：若f 在D = {a x b , |y |<+}连续，且满足Lip 条件： L 0，使|f (x – y 1) – f (x ，y 2)| L |y 1 – y 2| (7.0-2) 则(7.0-1)的连续可微解y (x )在[a ，b ]上唯一存在。 2. 初值问题的数值解 称(7.0-1)的解y (x )在节点x i 处的近似值 y i y (x i ) a < x 1 第七章 微分方程 1.一阶微分方程 （1）微分方程的基本概念： ①、微分方程：含有未知函数、未知函数的导数即自变量的等式叫做微分方程。未知函数是一元函数，叫做常微分方程；未知函数是多元函数，叫做偏微分方程。 ②、微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，叫做微分方程的阶。 ③、微分方程的解：若某个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就叫做该微分方程的解。 ④、微分方程的通解：若微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。 ⑤、微分方程的初始条件、特解：用来确定微分方程通解中任意常数的条件叫做初始条件。确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解。 （2）可分离变量方程：形如)()(dx dy x g x f =的方程称为可分离变量微分方程。设g(y)≠0,则可将方程化为dx )() (dy x f y g ，其特点是方程的一端只含有y 的函数dy ，另一端只含有x 的函数dx ，即将两个变量分离在等式两端，其接法是分离变量后两边积分得到通解。 （3）齐次方程：形如)(y x y f =＇的方程称为齐次方程。其解法是做变换x y u =，则y=ux,dx du dx dy x u +=,代入方程化为可分离变量的微分方程。 （4）一阶线性微分方程：形如)()(dx dy x Q y x P =+的方程称为一阶线性微分呢方程，其特点是方程中的未知函数及其导数为一次的。如果0)(≡x Q ，则称为一阶线性齐次微分方程；如果Q(x)不恒等于零 ，则称为一阶线性非齐次微分方程，其通解为 C dx e x Q e y dx x P dx x P +?=??-)()()((。 （5）伯努利方程：形如)1,0()()('≠=+n y x Q y x P y n 的方程称为伯努利方程。次方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现n 次方幂。其解法是做变量替换n y z -=1，则： ,dx dz 11dx dy ,dx dy )1(dx dz 11n y y n n n -=-=--即 代入原方程，得： ),()1()()1(dx dz x Q n z x P n -=-+ 这是一个线性非齐次微分方程，再按线性非齐次微分方程的解法求出通解；最后以n y z -=1换回原变量，即为所求。 2、高阶微分方程，常系数线性微分方程： （1）可降价的高阶微分方程： ①、)()(x f y n =：其特点是右端仅含有自变量x ，通过连续积分n 次得到通解。 ②、)',(''y x f y =：其特点是方程不显含未知函数y 。令'''),('p y x p y ==则，代入原方程化为一阶微分 第十二章微分方程答案 一、选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A. ( x2 y)dx ( x 2 y)dy 0 B. ( y 3x2)dx (4 y x)dy 0 C.3(2 x3 3xy2 )dx 2(2 x2 y y2 )dy 0 D. 2x( ye x2 1)dx e x2 dy 0 2. 若y3是二阶非齐次线性方程(1): y P(x) y Q(x) f (x) 的一个特解， y1, y2是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（c1 ,c2 , c3为任意常数） C 2 A. c1y1 c2 y2是(2)的通解 B. c1y1 y3是(1)的解 C. c1 y1 c2 y2 c3 y3是(1)的通解 D. y2 y3是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy x2 y2 dx 的积分因子的是 D 2 A. x2 y2 B. 1 y 2 C. x2 y2 D. 1 y2 x2 x2 4．方程d3 y x d 2 y 2 x 1 的通解应包含得独立常数的个数为（ B ） . 1 dx3 e dx 2 e (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程y ' p(x) y 0 的一个特解y cos 2x ，则该方程满足初始特解y(0) 2 的特解为（ C ）. 2 (A) y cos2x 2 (B) y cos 2x 1 (C) y 2cos 2x (D) y 2cos x 6．方程d3 y x d 2 y 2 x 1 的通解应包含得独立常数的个数为（ B ） . 1 dx3 e dx 2 e (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数y1, y2, y3都是微分方程y '' p(x) y ' q( x) y f ( x) 的解，则该方程的通解为（D）. 2 (A) y c1 y1 c2 y2 y3 (B) y c1 y1 c2 y2 (c1 c2 ) y3 (C) y c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2 ) y3 (D) y c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2 ) y3 8．设方程y '' 2 y ' 3y f ( x) 有特解y * ，则其通解为（ B ） . 1 第七章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程： ()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程() ()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 §12. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ?=xdx y 2, 即y =x 2 +C , (3) 实验报告七常微分方程 初值问题的数值解法 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】 浙江大学城市学院实验报告 课程名称 数值计算方法 实验项目名称 常微分方程初值问题的数值解法 实验成绩 指导老师（签名 ） 日期 2015/12/16 一. 实验目的和要求 1． 用Matlab 软件掌握求微分方程数值解的欧拉方法和龙格－库塔方法； 2． 通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题。 二. 实验内容和原理 编程题2-1要求写出Matlab 源程序(m 文件)，并有适当的注释语句；分析应用题2-2，2-3，2-4，2-5要求将问题的分析过程、Matlab 源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上。 2-1 编程 编写用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微分方程数值解的Matlab 程序，问题如下： 在区间[],a b 内(1)N +个等距点处，逼近下列初值问题的解，并对程序的每一句添上注释语句。 Euler 法 y=euler(a,b,n,y0,f,f1,b1) 改进Euler 法 y=eulerpro(a,b,n,y0,f,f1,b1) 2-2 分析应用题 假设等分区间数100n =，用欧拉法和改进欧拉法在区间[0,10]t ∈内求解初值问题 ()()20(0)10y t y t y '=-??=? 并作出解的曲线图形，同时将方程的解析解也画在同一张图上，并作比较，分析这两种方法的精度。 2-3 分析应用题 用以下三种不同的方法求下述微分方程的数值解，取10h = 画出解的图形，与精确值比较并进行分析。 1）欧拉法； 2）改进欧拉法； 3）龙格－库塔方法； 2-4 分析应用题 考虑一个涉及到社会上与众不同的人的繁衍问题模型。假设在时刻t (单位为年)， 社会上有人口()x t 人，又假设所有与众不同的人与别的与众不同的人结婚后所生后代也是与众不同的人。而固定比例为r 的所有其他的后代也是与众不同的人。如果对所有人来说出生率假定为常数b ，又如果普通的人和与众不同的人的婚配是任意的，则此问题可以用微分方程表示为： 第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的 齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1 第七章 非线性控制系统分析 习题与解答 7-1 设一阶非线性系统的微分方程为 3x x x +-= 试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。 解 令 x =0 得 -+=-=-+=x x x x x x x 3 2 1110()()() 系统平衡状态 x e =-+011,, 其中：0=e x ：稳定的平衡状态； 1,1+-=e x ：不稳定平衡状态。 计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。 可见：当x ()01<时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x ()01>时，系统发散；1)0(- ?? ?<=-+I I >=++I ) 0(0: )0(0:x x x x x x x x 令0x x == ，得平衡点：0e x =。 系统特征方程及特征根： 2 1,221,21: 10,()2 2:10, 1.618, 0.618 () s s s j s s s I II ? ++==- ±?? ?+-==-+? 稳定的焦点鞍点 (, ) , , x f x x x x dx dx x x x dx dx x x x x x ==--=--= =-- =-+=αα β111 ??? ? ??? <-= >--=) 0(1 1 :II ) 0(1 1: I x x β αβ α 计算列表 用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a ）所示。 微分方程 （一）基本概念和一阶微分方程 1、 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 有时也称为一般解但不一定是全部解。 特解：不含有任意常数或任意常数确定后的解。 （有的是用隐函数表示！！！） 2、几阶微分方程就有几个初始条件。 微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条几分曲线；而通解在几何上是 一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 3、可分离变量的微分方程：dx x f dy y g )()(= 推广形式：齐次方程)1(:??+=+=-=+===C x C x dx u u f du u dx du x u dx dy u x y x y dx dy ||ln )()(,),(??则令 形。属于可分离变量方程情则 令则令情形当属于齐次方程情形。，则令的解情形，先求出 当则令)(, ),)((,,0|b a b a |2)( )(, ),,(0 00|b a b a | 1)()3() ()(,),0,0)(()2(2 11111112 11111121222112 21 122112221112 2 11222111c u c u f b a dx dy b a dx du y b x a u c y b x a c y b x a f dx dy b b a a u v b a u y b a f v b u a v b u a f du dv y v x u c y b x a c y b x a c y b x a c y b x a f dx dy c x dx u bf a du u bf a dx du u c by ax b a c by ax f dx dy +++=+=+=++++=====?><++=++=-=-==++=++≠=?><++++=+==+?+==++≠≠++=??λλλβαβα4、一阶线性微分方程及其推广 ) )((),(,)(),()()2(,,0)(: )1()()()()(C dx e x Q e y x C e x C y x Q y x P dx dy C Ce y y x P dx dy dx x P dx x P dx x P dx x P +??=?==+?==+? ---则得代入方程求出令解公式 用常数变易法可求出通一阶线性非齐次方程：为任意常数）（通解公式为，它也是可分离变量方程一阶线性齐次方程(3) （3）见下页 第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程322321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 7第七章微分方程答 案 微分方程?Skip Record If...? 第一节微分方程的基本概念 1.填空题 (1) 微分方程?Skip Record If...?的阶是 ?Skip Record If...? (2) 若?Skip Record If...?是微分方程?Skip Record If...?的一个特 解，则 ?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...? 3 2．写出下列问题所确定的微分方程 (1)已知曲线?Skip Record If...?过点?Skip Record If...?，其上任意一点?Skip Record If...?处的切线的斜率为 ?Skip Record If...?，求?Skip Record If...?满足的微分方程. ?Skip Record If...?(2000题531) （2）由曲线上任意一点引法线，它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到坐标原点的距离的2倍，求此曲线满足的微分方程. ?Skip Record If...?(2000题531) (3) 列车在水平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶;当制动时列车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米.根据题意,反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式 ?Skip Record If...?. (5) 此外,未知函数s=s(t)还应满足下列条件: t=0时,s=0, ?Skip Record If...?. (6) 把(5)式两端积分一次,得 ?Skip Record If...?; (7) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 浙江大学城市学院实验报告 课程名称 数值计算方法 实验项目名称 常微分方程初值问题的数值解法 实验成绩 指导老师（签名 ） 日期 2015/12/16 一. 实验目的和要求 1． 用Matlab 软件掌握求微分方程数值解的欧拉方法和龙格－库塔方法； 2． 通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题。 二. 实验内容和原理 编程题2-1要求写出Matlab 源程序(m 文件)，并有适当的注释语句；分析应用题2-2，2-3，2-4，2-5要求将问题的分析过程、Matlab 源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上。 2-1 编程 编写用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微分方程数值解的Matlab 程序，问题如下： 在区间[],a b 内(1)N +个等距点处，逼近下列初值问题的解，并对程序的每一句添上注释语句。 0(,)()y f x y a x b y a y '=≤≤= Euler 法 y=euler(a,b,n,y0,f,f1,b1) 改进Euler 法 y=eulerpro(a,b,n,y0,f,f1,b1) 2-2 分析应用题 假设等分区间数100n =，用欧拉法和改进欧拉法在区间[0,10]t ∈内求解初值问题 ()()20 (0)10y t y t y '=-?? =? 并作出解的曲线图形，同时将方程的解析解也画在同一张图上，并作比较，分析这两种方法的精度。 2-3 分析应用题 用以下三种不同的方法求下述微分方程的数值解，取10h = 201 (0)1 y y x x y '=+≤≤?? =? 画出解的图形，与精确值比较并进行分析。 1）欧拉法； 2）改进欧拉法； 3）龙格－库塔方法； 2-4 分析应用题 考虑一个涉及到社会上与众不同的人的繁衍问题模型。假设在时刻t (单位为年)，社会上有人口()x t 人，又假设所有与众不同的人与别的与众不同的人结婚后所生后代也是与众不同的人。而固定比例为r 的所有其他的后代也是与众不同的人。如果对所有人来说出生率假定为常数b ，又如果普通的人和与众不同的人的婚配是任意的，则此问题可以用微分方程表示为： 第七章 微分方程 总结 一、基本概念 1．微分方程的定义： ． 2．微分方程的阶的定义： ． 3．微分方程的解的定义： ． 4．微分方程的通解的定义： ． 5．微分方程的初始条件： ． 一阶微分方程的初始条件形式为 ； 二阶微分方程的初始条件形式为 ． 6．微分方程的特解： ． 7．积分曲线： ． 8．积分曲线族： ． 9．两个函数)(1x y 与)(2x y 线性相关的定义： ． 两个函数)(1x y 与)(2x y 线性无关的定义： ． 二、性质与结论 1．二阶齐次线性微分方程的通解结构： ． 2．二阶非齐次线性微分方程的通解结构： ． 3．二阶非齐次线性微分方程特解的叠加性： ． 三、类型与解法 1．一阶微分方程的计算 （1）可分离变量的微分方程的形式： ， 求解方法： ． （2）齐次型微分方程的形式： ， 求解方法： ． （3）一阶线性微分方程的形式： ， 当 时，上式称为一阶线性齐次微分方程，否则称为一阶线性非齐次微分方程， 求解方法：（1）先求一阶线性齐次微分方程的通解为 ； （2）再使用常数变易法求就可求得一阶线性非齐次微分方程通解， 其通解公式为： ． 2．可降阶的高阶微分方程的计算 （1）()()n y f x =型微分方程的解法是 ． （2）(,)y f x y '''=型微分方程的解法是 ． （3）),(y y f y '=''型微分方程的解法 ． 3．二阶线性微分方程的计算 （1）二阶常系数齐次线性微分方程的形式： ． 其通解： （1） ； （2） ； （3） ． （2）二阶常系数非齐次线性微分方程的形式： ． 当()e ()x m f x P x λ=时，其特解可设*y = ． ①若λ不是02=++q pr r 的根，则k = ； ②若λ是02=++q pr r 的一个单根，则k = ； ③若λ是r pr q 20++=的二重根，则k = ． 当()e x f x λ=[)()1(x P l x ωcos +]sin )()2(x x P n ω时，其特解可设*y = ． ①当ωλi +不是特征根时，k = ； ②当ωλi +是特征根时，k = ． 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为： ． 高等数学复习题 第七章：常微分方程 一、选择题（本题20分，每小题2分） （1）下列微分方程中，给出通解的选项是（ ）. A. x y y '= ，y x = B. x y y '=，222x y C -= C. x y y '=- ，C y x = D. x y y '=-，222 x y C += （2）函数sin y C x =（其中C 为任意常数）是方程0y y ''+=的（ ）. A. 通解 B. 特解 C. 解 D. 不是解 （3）微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解是（ ）. A. 2 2 x y C += B. x y C += C. 1y x =+ D. 2 2 x xy y C -+= （4）下列微分方程中，可分离变量的方程是（ ）. A. dy xy x dx =+ B. sin xy dy y e x dx = C. 2dy xy x dx =+ D. 22dy y x dx =+ （5）给定一阶微分方程2dy x dx =，下列结果正确的是（ ）. A. 通解为2 y Cx = B. 通过点(1,4)的特解为2 15y x =- C. 满足 1 2ydx =?的解为2 53 y x =+ D. 与直线23y x =+相切的解为2 1y x =+ （6）设()y f x =是微分方程sin x y y e '''+=的解，并且0()0f x '=，则()f x 在0x 处（ ）. A. 取极小值 B. 取极大值 C. 不取极值 D. 取最大值 （7）微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解是（ ）. A. 2 2 x y C += B. x y C += C. 1y x =+ D. 2 2 x xy y C -+= （8）函数()y y x =的图形上点(0,2)-的切线为236x y -=，且该函数满足微分方程 6y x ''=，则此函数为（ ）. A. 2 2y x =- B. 2 32y x =+ C. 3 33260y x x --+= D. 323 y x x =+ （9）若1y 和2y 是二阶齐次线性方程()()0 y P x y Q x y '''++=的两个特解，则 第7章 常微分方程 一、单项选择题 1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ） A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶 2．微分方程222y x dx dy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程 3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ） A.0'2)'(2=+-x yy y x B.0'2=-+x yy xy C.0'2=+y x xy D.0)()67(=++-dy y x dx y x 4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ） A.x x x y +=ln B.Cx x x y +=ln C.x x x y +=ln 2 D.Cx x x y +=ln 2 5．微分方程y y x 2='的通解为（ c ） A ．2x y = B ． c x y +=2 C ． 2cx y = D ．0=y 6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ） A.x y = B. c x y += C.cx y = D.0=y 8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ） A 一阶微分方程 B 二阶微分方程 C 可分离变量的微分方程 D 一阶线性微分方程 9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ） A ．2x y e C =+ B ． x y Ce = C ． 2x y Ce = D ．22x y Ce = 二、填空题 1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____； 2．微分方程0=+y dx dy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=； 4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x y e C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --???=+? ； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。 三、判断题 第七章 习题一 基本概念，一阶微分方程的积分解法 一．选择题 1．在n 阶微分方程的解中，通解为（ D ） （A ）含有任意常数的解； （B ）含有n 个任意常数的解； （C ）含有独立常数的解； （D ）含有n 个独立的任意常数的解． 2．微分方程096=+'-''y y y 满足条件2|0='=x y ，0|0==x y 的特解为 （ D ） （A ）C xe x +221； （B ）C xe x +32 1 ； （C ）x 2； （D ）x xe 32. 3．设1)(C x f ∈，则微分方程)()()(x f x f y x f y '='+'的通解是（ C ） （A ）)()(x f Ce x f -+； （B ）C e e x f x f x f +-)()()(； （C ）)(1)(x f Ce x f -+-； （D ）)(1)(x f Ce x f +-． 4．若)(1x y 是非齐次线性方程)()(x q y x p y =+'的特解，则该方程的通解是（ B ） （A ）?+-dx x p e x y )(1)(； （B ）?+-dx x p Ce x y )(1)(； （C ）C e x y dx x p +?+-)(1)(； （D ）? +dx x p Ce x y )(1)(． 二．计算题 1．设1y 和2y 是)()(x Q y x P y =+'的两个解，其中0)(≠x Q ，若21y y βα+是0)(=+'y x P y 的解，其中α、β是常数，求αβ+。 解：因为1y 和2y 是)()(x Q y x P y =+'的两个解， 所以11'()()y P x y Q x ααα+=，22'()()y P x y Q x βββ+= 两式相加可得：1212()'()()()()y y P x y y Q x αβαβαβ+++=+。 又因为21y y βα+是0)(=+'y x P y 的解且0)(≠x Q 。 所以0αβ+= 2．求微分方程)2(tan 2 12y x y +='的通解. 解：由)2(tan 2 12y x y +='可知，2(2)'tan (2)1y x x y +=++。
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