实验课：因子分析
实验目的
理解主成分（因子）分析的基本原理，熟悉并掌握SPSS中的主成分（因子）分析方法及其主要应用。
因子分析
一、基础理论知识
1 概念
因子分析（Factor analysis）：就是用少数几个因子来描述许多指标或因素之间的联系，以较少几个因子来反映原资料的大部分信息的统计学分析方法。从数学角度来看，主成分分析是一种化繁为简的降维处理技术。
主成分分析（Principal component analysis）：是因子分析的一个特例，是使用最多的因子提取方法。它通过坐标变换手段，将原有的多个相关变量，做线性变化，转换为另外一组不相关的变量。选取前面几个方差最大的主成分，这样达到了因子分析较少变量个数的目的，同时又能与较少的变量反映原有变量的绝大部分的信息。
两者关系：主成分分析（PCA）和因子分析（FA）是两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法，而实际上主成分分析可以说是因子分析的一个特例。
2 特点
（1）因子变量的数量远少于原有的指标变量的数量，因而对因子变量的分析能够减少分析中的工作量。
（2）因子变量不是对原始变量的取舍，而是根据原始变量的信息进行重新组构，它能够反映原有变量大部分的信息。
（3）因子变量之间不存在显著的线性相关关系，对变量的分析比较方便，但原始部分变量之间多存在较显著的相关关系。
（4）因子变量具有命名解释性，即该变量是对某些原始变量信息的综合和反映。
在保证数据信息丢失最少的原则下，对高维变量空间进行降维处理（即通过因子分析或主成分分析）。显然，在一个低维空间解释系统要比在高维系统容易的多。
3 类型
根据研究对象的不同，把因子分析分为R型和Q型两种。
当研究对象是变量时，属于R型因子分析；
当研究对象是样品时，属于Q型因子分析。
但有的因子分析方法兼有R型和Q型因子分析的一些特点，如因子分析中的对应分析方法，有的学者称之为双重型因子分析，以示与其他两类的区别。
4分析原理
假定：有n个地理样本，每个样本共有p个变量，构成一个n×p阶的地理数据矩阵: 当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。这就需要进行降维处理，即用较少几个综合指标代替原来指标，而且使这些综合指标既能尽量多地反映原来指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。
线性组合：记x1，x2，…，xP为原变量指标，z1，z2，…，zm（m≤p）为新变量指标（主成分），则其线性组合为:
Lij是原变量在各主成分上的载荷
无论是哪一种因子分析方法，其相应的因子解都不是唯一的，主因子解仅仅是无数因子解中之一。
zi与zj相互无关；
z1是x1，x2，…，xp的一切线性组合中方差最大者，z2是与z1不相关的x1，x2，…的所有线性组合中方差最大者。则，新变量指标z1，z2，…分别称为原变量指标的第一，第二，…主成分。
Z为因子变量或公共因子，可以理解为在高维空间中互相垂直的m个坐标轴。
主成分分析实质就是确定原来变量xj（j=1，2 ，…，p）在各主成分zi（i=1，2，…，m）上的荷载lij。
从数学上容易知道，从数学上也可以证明，它们分别是相关矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量。
5分析步骤
5.1 确定待分析的原有若干变量是否适合进行因子分析(第一步)
因子分析是从众多的原始变量中重构少数几个具有代表意义的因子变量的过程。其潜在的要求：原有变量之间要具有比较强的相关性。因此，因子分析需要先进行相关分析，计算原始变量之间的相关系数矩阵。如果相关系数矩阵在进行统计检验时，大部分相关系数均小于0.3且未通过检验，则这些原始变量就不太适合进行因子分析。
进行原始变量的相关分析之前，需要对输入的原始数据进行标准化计算（一般采用标准差标准化方法，标准化后的数据均值为0，方差为1）。
SPSS在因子分析中还提供了几种判定是否适合因子分析的检验方法。主要有以下3种：巴特利特球形检验（Bartlett Test of Sphericity）
反映象相关矩阵检验（Anti-image correlation matrix）
KMO（Kaiser-Meyer-Olkin）检验
（1）巴特利特球形检验
该检验以变量的相关系数矩阵作为出发点，它的零假设H0为相关系数矩阵是一个单位阵，即相关系数矩阵对角线上的所有元素都为1，而所有非对角线上的元素都为0，也即原始变量两两之间不相关。
巴特利特球形检验的统计量是根据相关系数矩阵的行列式得到。如果该值较大，且其对应的相伴概率值小于用户指定的显著性水平，那么就应拒绝零假设H0，认为相关系数不可能是单位阵，也即原始变量间存在相关性。
（2）反映象相关矩阵检验
该检验以变量的偏相关系数矩阵作为出发点，将偏相关系数矩阵的每个元素取反，得到反映象相关矩阵。
偏相关系数是在控制了其他变量影响的条件下计算出来的相关系数，如果变量之间存在较多的重叠影响，那么偏相关系数就会较小，这些变量越适合进行因子分析。
（3）KMO（Kaiser-Meyer-Olkin）检验
该检验的统计量用于比较变量之间的简单相关和偏相关系数。
KMO值介于0-1，越接近1，表明所有变量之间简单相关系数平方和远大于偏相关系数平方和，越适合因子分析。
其中，Kaiser给出一个KMO检验标准：KMO>0.9，非常适合；0.8 0.7 5.2 构造因子变量 因子分析中有很多确定因子变量的方法，如基于主成分模型的主成分分析和基于因子分析模型的主轴因子法、极大似然法、最小二乘法等。前者应用最为广泛。 主成分分析法（Principal component analysis）： 该方法通过坐标变换，将原有变量作线性变化，转换为另外一组不相关的变量Zi（主成分）。求相关系数矩阵的特征根λi (λ1,λ2,…,λp>0)和相应的标准正交的特征向量li；根据相关系数矩阵的特征根，即公共因子Zj的方差贡献（等于因子载荷矩阵L中第j列各元素的平方和），计算公共因子Zj的方差贡献率与累积贡献率。 主成分分析是在一个多维坐标轴中，将原始变量组成的坐标系进行平移变换，使得新的坐标原点和数据群点的重心重合。新坐标第一轴与数据变化最大方向对应。通过计算特征根（方差贡献）和方差贡献率与累积方差贡献率等指标，来判断选取公共因子的数量和公共因子（主成分）所能代表的原始变量信息。 公共因子个数的确定准则：1）根据特征值的大小来确定，一般取大于1的特征值对应的几个公共因子/主成分。2）根据因子的累积方差贡献率来确定，一般取累计贡献率达85-95%的特征值所对应的第一、第二、…、第m（m≤p）个主成分。也有学者认为累积方差贡献率应在80％以上。 5.3 因子变量的命名解释 因子变量的命名解释是因子分析的另一个核心问题。经过主成分分析得到的公共因子/主成分Z1,Z2,…,Zm是对原有变量的综合。原有变量是有物理含义的变量，对它们进行线性变换后，得到的新的综合变量的物理含义到底是什么？ 在实际的应用分析中，主要通过对载荷矩阵进行分析，得到因子变量和原有变量之间的 关系，从而对新的因子变量进行命名。利用因子旋转方法能使因子变量更具有可解释性。 计算主成分载荷，构建载荷矩阵A。 计算主成分载荷，构建载荷矩阵A。载荷矩阵A中某一行表示原有变量Xi与公共因子/因子变量的相关关系。载荷矩阵A中某一列表示某一个公共因子/因子变量能够解释的原有变量Xi的信息量。有时因子载荷矩阵的解释性不太好，通常需要进行因子旋转，使原有因子变量更具有可解释性。因子旋转的主要方法：正交旋转、斜交旋转。 正交旋转和斜交旋转是因子旋转的两类方法。前者由于保持了坐标轴的正交性，因此使用最多。正交旋转的方法很多，其中以方差最大化法最为常用。 方差最大正交旋转（varimax orthogonal rotation）——基本思想：使公共因子的相对负荷的方差之和最大，且保持原公共因子的正交性和公共方差总和不变。可使每个因子上的具有最大载荷的变量数最小，因此可以简化对因子的解释。 斜交旋转（oblique rotation）——因子斜交旋转后，各因子负荷发生了变化，出现了两极分化。各因子间不再相互独立，而是彼此相关。各因子对各变量的贡献的总和也发生了改变。 斜交旋转因为因子间的相关性而不受欢迎。但如果总体中各因子间存在明显的相关关系则应该考虑斜交旋转。适用于大数据集的因子分析。 无论是正交旋转还是斜交旋转，因子旋转的目的：是使因子负荷两极分化，要么接近于0，要么接近于1。从而使原有因子变量更具有可解释性。 5.4 计算因子变量得分 因子变量确定以后，对于每一个样本数据，我们希望得到它们在不同因子上的具体数据值，即因子得分。估计因子得分的方法主要有：回归法、Bartlette法等。计算因子得分应首先将因子变量表示为原始变量的线性组合。即： 回归法，即Thomson法：得分是由贝叶斯Bayes思想导出的，得到的因子得分是有偏的，但计算结果误差较小。贝叶斯（BAYES）判别思想是根据先验概率求出后验概率，并依据后验概率分布作出统计推断。 Bartlett法：Bartlett因子得分是极大似然估计，也是加权最小二乘回归，得到的因子得分是无偏的，但计算结果误差较大。 因子得分可用于模型诊断，也可用作进一步分析如聚类分析、回归分析等的原始资料。关于因子得分的进一步应用将在案例介绍一节分析。 5.5 结果的分析解释 此部分详细见案例分析 二、案例分析 1 研究问题 石家庄18个县市14个指标因子，具体来说有人均GDP(元/人)、人均全社会固定资产投资额、人均城镇固定资产投资额、人均一般预算性财政收入、第三产业占GDP比重(%)、 人均社会消费品零售额、人均实际利用外资额（万美元/人）、人均城乡居民储蓄存款、农民人均纯收入、在岗职工平均工资、人才密度指数、科技支出占财政支出比重（%）、每万人拥有执业医师数量、每千人拥有病床数。 要求根据这14项内容进行因子分析，得到维度较少的几个因子。 2 实现步骤 【1】在“Analyze”菜单“Data Reduction”中选择“Factor”命令，如下图所示。【2】在弹出的下图所示的Factor Analysis对话框中，从对话框左侧的变量列表中选择这14个变量，使之添加到Variables框中。 【3】点击“Descriptives”按钮，弹出“Factor Analysis：Descriptives”对话框，如图所示。 Statistics框用于选择哪些相关的统计量，其中： Univariate descriptives（变量描述）：输出变量均值、标准差； Initial solution （初始结果） Correlation Matrix框中提供了几种检验变量是否适合做引子分析的检验方法，其中： Coefficients （相关系数矩阵） Significance leves （显著性水平） Determinant （相关系数矩阵的行列式） Inverse （相关系数矩阵的逆矩阵） Reproduced （再生相关矩阵，原始相关与再生相关的差值） Anti-image （反影像相关矩阵检验） KMO and Bartlett’s test of sphericity （KMO检验和巴特利特球形检验）本例中，选中该对话框中所有选项，单击Continue按钮返回Factor Analysis 对话框。 【4】单击“Extraction”按钮，弹出“Factor Analysis：Extraction”对话框，选择因子提取方法，如下图所示： 因子提取方法在Method下拉框中选取，SPSS共提供了7种方法：Principle Components Analysis （主成分分析） Unweighted least squares（未加权最小平方法） Generalized least squares （综合最小平方法） Maximum likelihood （最大似然估价法） Principal axis factoring （主轴因子法） Alpha factoring （α因子） Image factoring （影像因子） Analyze框中用于选择提取变量依据，其中： Correlation matrix （相关系数矩阵） Covariance matrix （协方差矩阵） Extract框用于指定因子个数的标准，其中： Eigenvaluse over （大于特征值） Number of factors （因子个数） Display框用于选择输出哪些与因子提取有关的信息，其中： Unrotated factor solution （未经旋转的因子载荷矩阵） Screen plot （特征值排列图） Maximun interations for Convergence框用于指定因子分析收敛的最大迭代次数，系统默认的最大迭代次数为25。 本例选用Principal components方法，选择相关系数矩阵作为提取因子变量的依据，选中Unrotated factor solution和Scree plot项，输出未经过旋转的因子载荷矩阵与其特征值的碎石图；选择Eigenvaluse over项，在该选项后面可以输入1，指定提取特征值大于1的因子。单击Continue按钮返回Factor Analysis对话框。【5】单击Factor Analysis对话框中的Rotation按钮，弹出Factor Analysis: Rotation 对话框，如下图所示： 该对话框用于选择因子载荷矩阵的旋转方法。旋转目的是为了简化结构，以帮助我们解释因子。SPSS默认不进行旋转（None）。 Method框用于选择因子旋转方法，其中： None（不旋转） Varimax（正交旋转） Direct Oblimin（直接斜交旋转） Quanlimax（四分最大正交旋转） Equamax（平均正交旋转） Promax（斜交旋转） Display框用于选择输出哪些与因子旋转有关的信息，其中： Rotated solution（输出旋转后的因子载荷矩阵） Loading plots（输出载荷散点图） 本例选择方差极大法旋转Varimax，并选中Rotated solution和Loading plot 项，表示输出旋转后的因子载荷矩阵和载荷散点图，单击Continue按钮返回Factor Analysis对话框。 【6】单击Factor Analysis对话框中的Scores按钮，弹出Factor Analysis: Scores 对话框，如下图所示： 该对话框用以选择对因子得分进行设置，其中： Regression（回归法）：因子得分均值为0，采用多元相关平方； Bartlett （巴特利法）：因子得分均值为0，采用超出变量范围各因子平方和被最小化； Anderson-Rubin （安德森-洛宾法）：因子得分均值为0，标准差1，彼此不相关； Display factor score coefficient matrix：选择此项将在输出窗口中显示因子得分系数矩阵。 【7】单击Factor Analysis对话框中的Options按钮，弹出Factor Analysis: Options 对话框，如下图所示： 该对话框可以指定其他因子分析的结果，并选择对缺失数据的处理方法，其中： Missing Values框用于选择缺失值处理方法： Exclude cases listwise：去除所有缺失值的个案 Exclude cases pairwise：含有缺失值的变量，去掉该案例 Replace with mean：用平均值代替缺失值 Cofficient Display Format框用于选择载荷系数的显示格式： Sorted by size：载荷系数按照数值大小排列 Suppress absolute values less than：不显示绝对值小于指定值的载荷量 本例选中Exclude cases listwise项，单击Continue按钮返回Factor Analysis 对话框，完成设置。单击OK，完成计算。 3 结果与讨论 （1）SPSS输出的第一部分如下： 第一个表格中列出了18个原始变量的统计结果，包括平均值、标准差和分析的个案数。这个是步骤3中选中Univariate descriptives项的输出结果。 Descriptive Statistics Mean Std. Deviation Analysis N 人均GDP(元/人) 22600.5211 8410.55464 18 人均全社会固定资产投资额15190.9515 5289.14499 18 人均城镇固定资产投资额10270.3642 4874.14616 18 人均一般预算性财政收入585.1712 550.45659 18 第三产业占GDP比重(%) 29.0612 9.46858 18 人均社会消费品零售额6567.2566 3068.75463 18 人均实际利用外资额（万美元/ 人） 23.5667 40.31361 18 人均城乡居民储蓄存款12061.2384 7363.08659 18 农民人均纯收入4852.5556 1202.52970 18 在岗职工平均工资18110.3889 2374.05754 18 人才密度指数8.1548 5.37552 18 科技支出占财政支出比重（%） 1.3494 .50193 18 每万人拥有执业医师数量12.6883 8.88691 18 每千人拥有病床数 2.3608 1.16077 18 （2）SPSS输出结果文件中的第二部分如下： 该表格给出的是18个原始变量的相关矩阵 Correlation Matrix 人均GDP(元/人) 人均全社会固定 资产投资额 人均城镇固定资 产投资额 Correlation 人均GDP(元/人) 1.000 .503 .707 人均全社会固定资产投资额.503 1.000 .883 人均城镇固定资产投资额.707 .883 1.000 人均一般预算性财政收入.776 .571 .821 第三产业占GDP比重(%) .567 .507 .759 人均社会消费品零售额.737 .247 .600 人均实际利用外资额（万美元/ 人） .454 .356 .648 人均城乡居民储蓄存款.707 .480 .780 农民人均纯收入.559 -.073 .130 在岗职工平均工资.789 .325 .544 人才密度指数.741 .470 .737 科技支出占财政支出比重（%）.582 .378 .486 每万人拥有执业医师数量.434 .520 .733 每千人拥有病床数.573 .565 .761 Correlation Matrix 人均一般预算性财政收入第三产业占GDP 比重(%) 人均社会消费品 零售额 Correlation 人均GDP(元/人) .776 .567 .737 人均全社会固定资产投资额.571 .507 .247 人均城镇固定资产投资额.821 .759 .600 人均一般预算性财政收入 1.000 .830 .693 第三产业占GDP比重(%) .830 1.000 .646 人均社会消费品零售额.693 .646 1.000 人均实际利用外资额（万美元/ 人） .797 .822 .616 人均城乡居民储蓄存款.907 .882 .839 农民人均纯收入.132 .278 .516 在岗职工平均工资.736 .548 .609 人才密度指数.795 .745 .812 科技支出占财政支出比重（%）.729 .575 .490 每万人拥有执业医师数量.818 .844 .627 每千人拥有病床数.911 .806 .629 Correlation Matrix 人均实际利用外资额（万美元/人）人均城乡居民储 蓄存款农民人均纯收入 Correlation 人均GDP(元/人) .454 .707 .559 人均全社会固定资产投资额.356 .480 -.073 人均城镇固定资产投资额.648 .780 .130 人均一般预算性财政收入.797 .907 .132 第三产业占GDP比重(%) .822 .882 .278 人均社会消费品零售额.616 .839 .516 人均实际利用外资额（万美元/ 人） 1.000 .792 -.007 人均城乡居民储蓄存款.792 1.000 .264 农民人均纯收入-.007 .264 1.000 在岗职工平均工资.388 .647 .411 人才密度指数.752 .868 .315 科技支出占财政支出比重（%）.570 .626 .210 每万人拥有执业医师数量.795 .885 -.075 每千人拥有病床数.784 .866 .000 Correlation Matrix 在岗职工平均工 资人才密度指数科技支出占财政支出比重（%） Correlation 人均GDP(元/人) .789 .741 .582 人均全社会固定资产投资额.325 .470 .378 人均城镇固定资产投资额.544 .737 .486 人均一般预算性财政收入.736 .795 .729 第三产业占GDP比重(%) .548 .745 .575 人均社会消费品零售额.609 .812 .490 人均实际利用外资额（万美元/ 人） .388 .752 .570 人均城乡居民储蓄存款.647 .868 .626 农民人均纯收入.411 .315 .210 在岗职工平均工资 1.000 .539 .421 人才密度指数.539 1.000 .577 科技支出占财政支出比重（%）.421 .577 1.000 每万人拥有执业医师数量.477 .739 .519 每千人拥有病床数.575 .719 .769 Correlation Matrix 每万人拥有执业医师数量每千人拥有病床 数 Correlation 人均GDP(元/人) .434 .573 人均全社会固定资产投资额.520 .565 人均城镇固定资产投资额.733 .761 人均一般预算性财政收入.818 .911 第三产业占GDP比重(%) .844 .806 人均社会消费品零售额.627 .629 人均实际利用外资额（万美元/ .795 .784 人） 人均城乡居民储蓄存款.885 .866 农民人均纯收入-.075 .000 在岗职工平均工资.477 .575 人才密度指数.739 .719 科技支出占财政支出比重（%）.519 .769 每万人拥有执业医师数量 1.000 .912 每千人拥有病床数.912 1.000 （3）SPSS输出结果的第四部分如下： KMO and Bartlett's Test .551 Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy. Bartlett's Test of Sphericity Approx. Chi-Square 324.227 df 91 Sig. .000 该部分给出了KMO检验和Bartlett球度检验结果。其中KMO值为0.551，根据统计学家Kaiser给出的标准，KMO取值小于0.6，不太适合因子分析。Bartlett球度检验给出的相伴概率为0.00，小于显著性水平0.05，因此拒绝Bartlett 球度检验的零假设，认为适合于因子分析。 （4）SPSS输出结果文件中的第六部分如下： Communalities Initial Extraction 人均GDP(元/人) 1.000 1.000 人均全社会固定资产投资额 1.000 1.000 人均城镇固定资产投资额 1.000 1.000 人均一般预算性财政收入 1.000 1.000 第三产业占GDP比重(%) 1.000 1.000 人均社会消费品零售额 1.000 1.000 人均实际利用外资额（万美元/ 1.000 1.000 人） 人均城乡居民储蓄存款 1.000 1.000 农民人均纯收入 1.000 1.000 在岗职工平均工资 1.000 1.000 人才密度指数 1.000 1.000 科技支出占财政支出比重（%） 1.000 1.000 每万人拥有执业医师数量 1.000 1.000 每千人拥有病床数 1.000 1.000 Extraction Method: Principal Component Analysis. 这是因子分析初始结果，该表格的第一列列出了18个原始变量名；第二列是根据因子分析初始解计算出的变量共同度。利用主成分分析方法得到18个特征值，它们是银子分析的初始解，可利用这18个出世界和对应的特征向量计算出银子载荷矩阵。由于每个原始变量的所有方差都能被因子变量解释掉，因此每个变量的共同度为1；第三列是根据因子分析最终解计算出的变量共同度。根据最终提取的m个特征值和对应的特征向量计算出因子载荷矩阵。（此处由于软件的原因有点小问题） 这时由于因子变量个数少于原始变量的个数，因此每个变量的共同度必然小于1。 （5）输出结果第六部分为Total Variance Explained表格 Total Variance Explained Compo nent Initial Eigenvalues Total % of Variance Cumulative % 1 9.139 65.279 2 1.718 12.269 3 1.01 4 7.240 4 .659 4.706 5 .53 6 3.827 6 .361 2.577 7 .258 1.844 8 .133 .952 9 .077 .549 10 .049 .349 11 .031 .224 12 .020 .140 13 .005 .038 14 .001 .005 100.000 Extraction Method: Principal Component Analysis. Total Variance Explained Compo nent Initial Eigenvalues Extraction Sums of Squared Loadings Cumulative % Total % of Variance Cumulative % 1 65.279 9.139 65.279 65.279 2 77.548 1.718 12.269 77.548 3 84.788 1.01 4 7.240 84.788 4 89.494 .659 4.706 89.494 5 93.321 .53 6 3.82 7 93.321 6 95.898 .361 2.57 7 95.898 7 97.743 .258 1.844 97.743 8 98.695 .133 .952 98.695 9 99.244 .077 .549 99.244 10 99.593 .049 .349 99.593 11 99.817 .031 .224 99.817 12 99.958 .020 .140 99.958 13 99.995 .005 .038 99.995 Extraction Method: Principal Component Analysis. Total Variance Explained Compo nent Rotation Sums of Squared Loadings Total % of Variance Cumulative % 1 4.794 34.24 2 34.242 2 2.262 16.158 50.400 3 1.846 13.188 63.587 4 1.571 11.222 74.809 5 1.548 11.060 85.869 6 .844 6.028 91.898 7 .567 4.048 95.946 8 .273 1.948 97.894 9 .131 .938 98.832 10 .068 .482 99.314 11 .046 .329 99.643 12 .035 .252 99.895 13 .014 .100 99.995 Extraction Method: Principal Component Analysis. 该表格是因子分析后因子提取和银子旋转的结果。其中，Component列和Initial Eigenvalues列（第一列到第四列）描述了因子分析初始解对原有变量总体描述情况。第一列是因子分析13个初始解序号。第二列是因子变量的方差贡献（特征值），它是衡量因子重要程度的指标，例如第一行的特征值为9.139，后面描述因子的方差依次减少。第三列是各因子变量的方差贡献率（% of Variance）， 表示该因子描述的方差占原有变量总方差的比例。第四列是因子变量的累计方差贡献率，表示前m个因子描述的总方差占原有变量的总方差的比例。第五列和第七列则是从初始解中按照一定标准（在前面的分析中是设定了提取因子的标准是特征值大于1）提取了3个公共因子后对原变量总体的描述情况。各列数据的含义和前面第二列到第四列相同，可见提取了5个因子后，它们反映了原变量的大部分信息。第八列到第十列是旋转以后得到的因子对原变量总体的刻画情况。各列的含义和第五列到第七列是一样的。 （6）SPSS输出的该部分的结果如下： Component Matrix a Component 1 2 3 4 5 6 人均一般预算性财政收入.959 -.075 .015 .158 -.140 -.023 人均城乡居民储蓄存款.959 .008 -.154 -.107 -.039 .001 每千人拥有病床数.910 -.272 -.089 .204 -.051 .040 第三产业占GDP比重(%) .890 -.087 -.137 -.141 .067 .373 人才密度指数.886 .098 -.098 -.179 .151 -.259 人均城镇固定资产投资额.868 -.162 .404 -.183 .078 .006 每万人拥有执业医师数量.861 -.362 -.183 -.137 -.115 .069 人均实际利用外资额（万美元/ .815 -.271 -.346 -.079 .064 -.012 人） 人均社会消费品零售额.805 .370 -.218 -.203 .026 -.223 人均GDP(元/人) .797 .458 .282 .099 -.029 -.163 科技支出占财政支出比重（%）.712 .000 -.097 .621 .302 -.008 在岗职工平均工资.706 .386 .158 .145 -.531 .080 农民人均纯收入.271 .887 -.002 -.088 .245 .253 人均全社会固定资产投资额.611 -.328 .690 -.074 .163 .028 Extraction Method: Principal Component Analysis. a. 13 components extracted. 该表格是最终的因子载荷矩阵A，对应前面的因子分析的数学模型部分。根据该表格可以得到如下因子模型： X=AF+aε x1=0.959F1-0.075F2+0.015F3+0.158 F4-0.140F5-0.023F6-0.096F7+0.017F8-0.117F9 +0.004F10-0.062F11-0.040 F12+0.021 F13 Component Matrix a Component 7 8 9 10 11 人均一般预算性财政收入-.096 .017 -.117 .004 -.062 人均城乡居民储蓄存款.109 -.022 -.134 -.073 -.016 每千人拥有病床数.158 .034 .061 .106 -.046 第三产业占GDP比重(%) -.079 -.039 -.044 -.049 .036 人才密度指数-.066 -.252 .066 -.017 -.035 人均城镇固定资产投资额-.024 .094 .001 .015 -.087 每万人拥有执业医师数量.200 -.081 .015 .073 .061 人均实际利用外资额（万美元/ -.330 .115 .080 .021 .023 人） 人均社会消费品零售额.177 .191 .035 -.054 .027 人均GDP(元/人) -.116 -.005 -.101 .094 .081 科技支出占财政支出比重（%）.046 -.005 .023 -.059 .014 在岗职工平均工资-.042 -.032 .110 -.058 .000 农民人均纯收入.036 -.006 .039 .053 -.030 人均全社会固定资产投资额.044 .006 .055 -.045 .050 Extraction Method: Principal Component Analysis. a. 13 components extracted. Component Matrix a Component 12 13 人均一般预算性财政收入-.040 .021 人均城乡居民储蓄存款.089 -.015 每千人拥有病床数-.004 -.042 第三产业占GDP比重(%) -.066 -.019 人才密度指数-.019 -.006 人均城镇固定资产投资额-.004 .018 每万人拥有执业医师数量.008 .040 人均实际利用外资额（万美元/ .046 .003 人） 人均社会消费品零售额-.044 -.001 人均GDP(元/人) -.003 -.011 科技支出占财政支出比重（%）.002 .016 在岗职工平均工资.011 .002 农民人均纯收入.028 .011 人均全社会固定资产投资额.017 -.006 Extraction Method: Principal Component Analysis. a. 13 components extracted. （7）SPSS输出的该部分的结果如下： 该表格是按照前面设定的方差极大法对因子载荷矩阵旋转后的结果。未经过旋转 的载荷矩阵中，因子变量在许多变量上都有较高的载荷。 经过旋转之后，第一个因子含义略加清楚，基本上放映了“每万人拥有执业医师数量”、“第三产业占GDP比重(%)”、“人均实际利用外资额（万美元/人）”；第二个因子基本上反映了“人均全社会固定资产投资额”、“人均城镇固定资产投资额”；第三个因子反映了“在岗职工平均工资”…… Rotated Component Matrix a Component 1 2 3 4 5 6 每万人拥有执业医师数量.877 .278 .182 .163 -.125 .181 第三产业占GDP比重(%) .861 .299 .185 .184 .261 -.010 人均实际利用外资额（万美元/ .806 .133 .102 .242 -.047 .142 人） 人均城乡居民储蓄存款.767 .255 .306 .239 .174 .311 每千人拥有病床数.718 .316 .284 .477 -.082 .165 人均一般预算性财政收入.636 .338 .475 .392 .018 .153 人均全社会固定资产投资额.220 .953 .113 .146 -.063 .002 人均城镇固定资产投资额.500 .772 .239 .123 .096 .177 在岗职工平均工资.288 .161 .896 .130 .239 .107 人均GDP(元/人) .198 .386 .559 .290 .429 .246 科技支出占财政支出比重（%）.340 .166 .154 .895 .127 .077 农民人均纯收入-.012 -.044 .187 .063 .972 .105 人均社会消费品零售额.498 .101 .285 .156 .396 .663 人才密度指数.583 .283 .207 .218 .229 .291 Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. a. Rotation converged in 7 iterations. Rotated Component Matrix a Component 7 8 9 10 11 每万人拥有执业医师数量.105 -.121 -.004 .089 -.060 第三产业占GDP比重(%) .030 .069 -4.382E-5 -.131 .033 人均实际利用外资额（万美元/ .174 .458 .036 -.007 .009 人） 人均城乡居民储蓄存款.175 -.040 .072 -.031 .031 每千人拥有病床数.036 -.030 -.001 .197 .015 人均一般预算性财政收入.139 .097 .153 -.009 .155 人均全社会固定资产投资额.056 -.017 .003 -.015 -.048 人均城镇固定资产投资额.114 .100 .048 .044 .117 在岗职工平均工资.046 .002 -.031 .007 -.007 人均GDP(元/人) .255 .099 .310 .001 .009 科技支出占财政支出比重（%）.084 .046 .018 -.013 -.001 农民人均纯收入.049 -.009 .004 -.007 .003 人均社会消费品零售额.189 .056 .027 .013 .006 人才密度指数.587 .081 .032 .003 .006 Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. a. Rotation converged in 7 iterations. Rotated Component Matrix a Component 12 13 每万人拥有执业医师数量-.034 -.083 第三产业占GDP比重(%) -.034 .083 人均实际利用外资额（万美元/ -.003 .003 人） 人均城乡居民储蓄存款.173 -9.035E-5 每千人拥有病床数-.031 .007 人均一般预算性财政收入.036 .015 人均全社会固定资产投资额-.005 .000 人均城镇固定资产投资额.023 .000 在岗职工平均工资.000 .000 人均GDP(元/人) .011 -.001 科技支出占财政支出比重（%）.006 .000 农民人均纯收入.005 .003 人均社会消费品零售额-.002 -.001 人才密度指数.006 .000 Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. a. Rotation converged in 7 iterations. （8）SPSS输出的该部分的结果如下： 该部分输出的是因子转换矩阵，表明了因子提取的方法是主成分分析，旋转的方法是方法极大法。 Component Transformation Matrix Compo nent 1 2 3 4 5 6 7 1 .685 .39 2 .366 .332 .178 .236 .187 2 -.330 -.259 .348 -.028 .805 .195 .094 3 -.467 .826 .213 -.101 .015 -.161 -.054 4 -.273 -.174 .241 .850 -.169 -.229 -.168 5 -.057 .23 6 -.782 .371 .379 .012 .168 6 .330 .022 -.013 -.075 .365 -.601 -.564 7 .022 .040 -.123 .089 .020 .402 -.227 8 -.064 .081 -.052 .014 -.010 .509 -.707 9 -.074 .049 .089 .021 .027 .011 .112 10 .070 -.028 -.065 -.070 .096 -.176 -.018 11 .028 .001 .006 .002 -.033 .068 -.118 12 .008 .015 .004 -.008 .044 -.101 -.037 13 .002 .002 -.001 .015 .013 -.007 -.019 Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. Component Transformation Matrix Compo nent 8 9 10 11 12 13 1 .07 2 .06 3 .01 4 .029 .016 .003 2 -.017 .069 -.042 .00 3 .017 .011 3 -.101 .071 -.002 .013 -.003 .003 4 -.030 .046 .049 .008 -.014 .004 5 .119 .004 -.064 -.015 -.008 .025 6 -.121 -.194 -.109 .001 -.052 .074 7 -.804 -.202 .224 -.122 .020 -.094 8 .451 .047 .073 .130 -.002 .031 9 .283 -.723 .309 -.346 -.383 -.078 10 .023 .500 .751 -.016 -.309 -.186 11 .000 .354 -.375 -.793 -.271 -.107 12 .157 -.054 .241 -.373 .806 -.333 13 .005 -.054 -.257 .281 -.174 -.906 Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. （9）SPSS输出的该部分的结果如下： 该部分是载荷散点图，这里为3个因子的三维因子载荷散点图，以三个因子为坐标，给出各原始变量在该坐标中的载荷散点图，该图是旋转后因子载荷矩阵的图形化表示方式。如果因子载荷比较复杂，则通过该图则较容易解释。 （10）SPSS输出的该部分的结果如下： Component Score Coefficient Matrix Component 1 2 3 4 5 6 人均GDP(元/人) -.054 .003 .100 -.090 .046 -.083 人均全社会固定资产投资额-.237 .814 -.049 .044 -.064 .141 人均城镇固定资产投资额-.115 .520 -.158 -.164 .205 .065 人均一般预算性财政收入.045 -.143 .164 .148 -.191 -.083 第三产业占GDP比重(%) .522 -.062 -.111 -.161 .088 -.193 人均社会消费品零售额-.217 .017 -.092 .033 -.194 2.033 人均实际利用外资额（万美元/ .198 -.063 -.026 -.105 .057 -.231 人） 人均城乡居民储蓄存款.251 -.056 -.057 -.091 .018 -.055 农民人均纯收入.125 .045 -.251 -.036 1.119 -.657 在岗职工平均工资-.197 -.079 1.205 -.096 -.183 -.179 人才密度指数-.099 -.088 -.021 -.051 -.068 -.417 科技支出占财政支出比重（%）-.280 -.018 -.120 1.196 -.016 .102 每万人拥有执业医师数量.567 -.091 -.102 -.143 .095 -.282 每千人拥有病床数.155 -.068 -.051 .069 .017 -.156 Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. Component Scores. Component Score Coefficient Matrix Component 7 8 9 10 11 人均GDP(元/人) -.068 .000 3.170 .495 -2.090 人均全社会固定资产投资额-.187 .168 -.408 -.518 -2.174 人均城镇固定资产投资额-.164 .381 -.932 .372 3.308 人均一般预算性财政收入.018 -.389 .443 -1.237 4.051 第三产业占GDP比重(%) -.219 -.699 .521 -1.479 -.443 人均社会消费品零售额-.654 -.038 -.420 -1.202 .067 人均实际利用外资额（万美元/ -.316 2.158 -.165 .559 -1.419 人） 人均城乡居民储蓄存款-.162 -.227 .143 .455 -1.571 农民人均纯收入-.186 .243 -.490 1.028 .596 在岗职工平均工资.057 .328 -1.668 -.425 -.568 人才密度指数 2.215 -.426 -.985 .351 .398 科技支出占财政支出比重（%）-.103 -.013 -.811 -1.655 .308 每万人拥有执业医师数量-.244 -.714 .608 -1.264 .174 每千人拥有病床数-.060 -.190 .307 4.583 -1.335 Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. Component Scores. Component Score Coefficient Matrix Component 12 13 人均GDP(元/人) -.549 1.365 人均全社会固定资产投资额.486 .766 人均城镇固定资产投资额-.099 -2.722 人均一般预算性财政收入-1.261 -2.680 第三产业占GDP比重(%) -1.929 4.533 人均社会消费品零售额-1.786 .949 人均实际利用外资额（万美元/ 1.034 -1.360 人） 人均城乡居民储蓄存款 5.461 1.572 农民人均纯收入.508 -2.484 在岗职工平均工资.217 -.428 人才密度指数-.435 1.450 科技支出占财政支出比重（%）-.302 -2.555 每万人拥有执业医师数量-2.036 -7.602 每千人拥有病床数.651 6.858 Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. Component Scores. 该表格是因子得分矩阵。这是根据回归算法计算出来的因子得分函数的系数，根据这个表格可以看出下面的因子得分函数。 F1=-0.054x1+0.003x2+0.100x3-0.090x4+0.046x5-0.083x6-0.068x7+0.000x8+3.170x9+ 0.495x10-2.090x11-0.549x12+1.365x13 SPSS根据这13个因子的得分函数，自动计算2-个样本的3个引子得分，并且将3个引子得分作为新变量，保存在SPSS数据编辑窗口中（分别为FAC1_1、FAC2_1、FAC3_1、FAC4_1、FAC5_1、FAC6_1、FAC7_1、FAC8_1、FAC9_1、FAC10_1、FAC11_1、FAC12_1、FAC13_1） （11）SPSS输出的该部分的结果如下： Component Score Covariance Matrix Compo nent 1 2 3 4 5 6 7 1 1.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 2 .000 1.000 .000 .000 .000 .000 .000 3 .000 .000 1.000 .000 .000 .000 .000 4 .000 .000 .000 1.000 .000 .000 .000 5 .000 .000 .000 .000 1.000 .000 .000 6 .000 .000 .000 .000 .000 1.000 .000 7 .000 .000 .000 .000 .000 .000 1.000 8 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 9 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 10 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 11 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 12 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 13 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. Component Scores. Component Score Covariance Matrix Compo nent 8 9 10 11 12 13 1 .000 .000 .000 .000 .000 .000 2 .000 .000 .000 .000 .000 .000 3 .000 .000 .000 .000 .000 .000 4 .000 .000 .000 .000 .000 .000 5 .000 .000 .000 .000 .000 .000 6 .000 .000 .000 .000 .000 .000 7 .000 .000 .000 .000 .000 .000 8 1.000 .000 .000 .000 .000 .000 9 .000 1.000 .000 .000 .000 .000 10 .000 .000 1.000 .000 .000 .000 11 .000 .000 .000 1.000 .000 .000 12 .000 .000 .000 .000 1.000 .000 13 .000 .000 .000 .000 .000 1.000 Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. Component Scores. 现要对远程学习者对教育技术资源和使用情况进行了解，设计一个李克特量表，如下图所示： 问题 题项 从未使用 很少使用 有时使用 经常使用 总是使用 1 2 3 4 5 a1 电脑 a2 录音磁带 a3 录像带 a4 网上资料 a5 校园网或因特网 a6 电子邮件 a7 电子讨论网 a8 CAI 课件 a9 视频会议 a10 视听会议 一．因子分析的定义 在现实研究过程中，往往需要对所反映事物、现象从多个角度进行观测。因此研究者往往设计出多个观测变量，从多个变量收集大量数据以便进行分析寻找规律。多变量大样本虽然会为我们的科学研究提供丰富的信息，但却增加了数据采集和处理的难度。更重要的是许多变量之间存在一定的相关关系，导致了信息的重叠现象，从而增加了问题分析的复杂性。 因子分析是将现实生活中众多相关、重叠的信息进行合并和综合，将原始的多个变量和指标变成较少的几个综合变量和综合指标，以利于分析判定。用较少的综合指标分析存在于各变量中的各类信息，而各综合指标之间彼此是不相关的，代表各类信息的综合指标成为因子。因子分析就是用少数几个因子来描述许多指标之间的联系，以较少几个因子反应原资料的大部分信息的统计方法。 二．数学模型 i m im i i i i U F F F F Z +++++=αααα · · · 332211 i Z 为第i 个变量的标准化分数；（标准分是一种由原始分推导出来的相对地位量数，它是用来说明原始分在所属的 那批分数中的相对位置的。） m F 为共同因子； m 为所有变量共同因子的数目； i U 为变量i Z 的唯一因素； im α为因子负荷。（也叫因子载荷，统计意义就是第i 个变量与第m 个公共因子的相关系数,它反映了第i 个变量在 第m 个公共因子上的相对重要性也就是第m 个共同因子对第i 个变量的解释程度。） 因子分析的理想情况，在于个别因子负荷im α不是很大就是很小，这样每个变量才能与较少的共同因子产生密切关联，如果想要以最少的共同因素数来解释变量间的关系程度，则i U 彼此间不能有关联存在。 所谓的因子负荷就是因子结构中原始变量与因子分析时抽取出共同因子的相关，即在各个因子变量不相关的情况下，因子负荷im α就是第i 个原有变量和第m 个因子变量间的相关系数，也就是i Z 在第m 个共同因子变量上的相 SPSS因子分析实例操作步骤 实验目的: 引入2003~2013年全国的农、林、牧、渔业,采矿业,制造业电力、热力、燃气及水生产与供应业,建筑业,批发与零售业,交通运输、仓储与邮政业7个产业的投资值作为变量,来研究其对全国总固定投资的影响。 实验变量: 以年份,合计(单位:千亿元),农、林、牧、渔业,采矿业,制造业电力、热力、燃气及水生产与供应业,建筑业,批发与零售业,交通运输、仓储与邮政业作为变量。 实验方法:因子分析法 软件:spss19、0 操作过程: 第一步:导入Excel数据文件 1.open data document——open data——open; 2、 Opening excel data source——OK、 第二步: 1、数据标准化:在最上面菜单里面选中Analyze——Descriptive Statistics——OK (变量选择除年份、合计以外的所有变量)、 2.降维:在最上面菜单里面选中Analyze——Dimension Reduction—— Factor ,变量选择标准化后的数据、 3.点击右侧Descriptive,勾选Correlation Matrix选项组中的 Coefficients与KMO and Bartlett’s text of sphericity,点击 Continue、 4、点击右侧Extraction,勾选Scree Plot与fixed number with factors,默认3个,点击Continue、 5、点击右侧Rotation,勾选Method选项组中的Varimax;勾选Display选项组中的Loding Plot(s);点击Continue、 6、点击右侧Scores,勾选Method选项组中的Regression;勾选Display factor score coefficient matrix;点击Continue、 因子分析 ? 因子分析（Factor analysis ）：用少数几个因子来描述许多指标或因素之间的联系，以较少几个因子来反映原资料的大部分信息的统计学分析方法。从数学角度来看，主成分分析是一种化繁为简的降维处理技术。 主成分分析（Principal component analysis ）：是因子分析一个特例，是使用最多的因子提取方法。它通过坐标变换手段，将原有的多个相关变量，做线性变化，转换为另外一组不相关的变量。选取前面几个方差最大的主成分，这样达到了因子分析较少变量个数的目的，同时又能与较少的变量反映原有变量的绝大部分的信息。 两者关系：主成分分析（PCA ）和因子分析（FA ）是两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法。 ? 特点 （1）因子变量的数量远少于原有的指标变量的数量，因而对因子变量的分析能够减少分析中的工作量。 （2）因子变量不是对原始变量的取舍，而是根据原始变量的信息进行重新组构，它能够反映原有变量大部分的信息。 （3）因子变量之间不存在显著的线性相关关系，对变量的分析比较方便，但原始部分变量之间多存在较显著的相关关系。 （4）因子变量具有命名解释性，即该变量是对某些原始变量信息的综合和反映。 在保证数据信息丢失最少的原则下，对高维变量空间进行降维处理（即通过因子分析或主成分分析）。显然，在一个低维空间解释系统要比在高维系统容易的多。 ? 类型 根据研究对象的不同，把因子分析分为R 型和Q 型两种。 当研究对象是变量时，属于R 型因子分析； 当研究对象是样品时，属于Q 型因子分析。 但有的因子分析方法兼有R 型和Q 型因子分析的一些特点，如因子分析中的对应分析方法，有的学者称之为双重型因子分析，以示与其他两类的区别。 ? 分析原理 假定：有n 个地理样本，每个样本共有p 个变量，构成一个n ×p 阶的地理数据矩阵 : 当p 较大时，在p 维空间中考察问题比较麻烦。这就需要进行降维处理，即用较少几个综合指标代替原来指标，而且使这些综合指标既能尽量多地反映原来指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。 线性组合：记x1，x2，…，xP 为原变量指标，z1，z2，…，zm （m ≤p ）为??????????????=np n n p p x x x x x x x x x X 212222111211 SPSS因子分析实例操作步骤 实验目的： 引入2003~2013年全国的农、林、牧、渔业，采矿业，制造业电力、热力、燃气及水生产和供应业，建筑业，批发和零售业，交通运输、仓储和邮政业7个产业的投资值作为变量，来研究其对全国总固定投资的影响。 实验变量： 以年份，合计（单位：千亿元），农、林、牧、渔业，采矿业，制造业电力、热力、燃气及水生产和供应业，建筑业，批发和零售业，交通运输、仓储和邮政业作为变量。 实验方法：因子分析法 软件： 操作过程： 第一步：导入Excel数据文件 1.open data document——open data——open； 2. Opening excel data source——OK. 第二步： 1.数据标准化：在最上面菜单里面选中Analyze——Descriptive Statistics——OK （变量选择除年份、合计以外的所有变量）. 2.降维：在最上面菜单里面选中Analyze——Dimension Reduction——Factor ，变量选择标准化后的数据. 3.点击右侧Descriptive，勾选Correlation Matrix选项组中的 Coefficients和KMO and Bartlett’s text of sphericity,点击 Continue. 4.点击右侧Extraction,勾选Scree Plot和fixed number with factors，默认3个，点击Continue. 5.点击右侧Rotation，勾选Method选项组中的Varimax；勾选Display选项组中的Loding Plot(s)；点击Continue. 6.点击右侧Scores，勾选Method选项组中的Regression；勾选Display factor score coefficient matrix；点击Continue. 7.点击右侧Options，勾选Coefficient Display Format选项组中所有选项，将Absolute value blow改为，点击Continue. 8.返回主对话框，单击OK. 输出结果分析： S P S S因子分析实例操作步骤 实验目的： 引入2003~2013年全国的农、林、牧、渔业，采矿业，制造业电力、热力、燃气及水生产和供应业，建筑业，批发和零售业，交通运输、仓储和邮政业7个产业的投资值作为变量，来研究其对全国总固定投资的影响。 实验变量： 以年份，合计（单位：千亿元），农、林、牧、渔业，采矿业，制造业电力、热力、燃气及水生产和供应业，建筑业，批发和零售业，交通运输、仓储和邮政业作为变量。 实验方法：因子分析法 软件：spss19.0 操作过程： 第一步：导入Excel数据文件??? 1.opendatadocument——opendata——open； 2.Openingexceldatasource——OK. 第二步： 1.数据标准化：在最上面菜单里面选中Analyze——DescriptiveStatistics——OK?（变量选择除年份、合计以外的所有变量）. 2.降维：在最上面菜单里面选中 Analyze——DimensionReduction——Factor?，变量选择标准化后的数据. 3.点击右侧Descriptive，勾选CorrelationMatrix选项组中的 Coefficients和KMOandBartlett’stextofsphericity,点击Continue. 4.点击右侧Extraction,勾选ScreePlot和fixednumberwithfactors，默认3个，点击Continue. 5.点击右侧Rotation，勾选Method选项组中的Varimax；勾选Display选项组中的LodingPlot(s)；点击Continue. 6.点击右侧Scores，勾选Method选项组中的Regression；勾选Displayfactorscorecoefficientmatrix；点击Continue. 7.点击右侧Options，勾选CoefficientDisplayFormat选项组中所有选项，将Absolutevalueblow改为0.60，点击Continue. 8.返回主对话框，单击OK. 输出结果分析： 1.描述性统计量 因子分析作业： 全国30个省市的8项经济指标如下： 要求：先对数据做标准化处理，然后基于标准化数据进行以下操作 1、给出原始变量的相关系数矩阵； 2、用主成分法求公因子，公因子的提取按照默认提取（即特征值大于1），给出公因子的方差贡献度表； 3、给出共同度表，并进行解释； 4、给出因子载荷矩阵，据之分析提取的公因子的实际意义。如果不好解释，请用因子旋转（采用正交旋转中最大方差法）给出旋转后的因子载荷矩阵，然后分析旋转之后的公因子，要求给各个公因子赋予实际含义； 5、先利用提取的每个公因子分别对各省市进行排名并作简单分析。最后构造一个综合因子，计算各省市的综合因子的分值，并进行排序并作简单分析。 1、输入数据，依次点选分析描述统计描述，将变量x1到x8选入右边变量下面，点选“将标 准化得分另存为变量”，点确定即可的标准化的数据。 依次点选分析降维因子分析，打开因子分析窗口，将标准化的8个变量选入右边变量下面，点选描述相关矩阵下选中系数及KMO和Bartlett的检验，点继续，确定，就可得出8个变量的相关系数矩阵如下图。 由表中数据可以看出大部分数据的绝对值都在以上，说明变量间有较强的相关性。 KMO 和 Bartlett 的检验 取样足够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。.621 Bartlett 的球形度检验近似卡方 df28 Sig..000 由上图看出，sig.值为0，所以拒绝相关系数为0（变量相互独立）的原假设，即说明变量间存 在相关性。 2、依次点选在因子分析窗口点选抽取方法：主成分；分析：相关性矩阵；输出：未旋转的因子解，碎石图；抽取：基于特征值（特征值大于1）；继续，确定，输出结果如下3个图。 解释的总方差 成份 初始特征值提取平方和载入 合计方差的 %累积 %合计方差的 %累积 % 1 2 3 4.403 实验指导之四 因子分析的SPSS操作方法 以例为例进行因子分析操作。 1.在SPSS的数据编辑窗口（见图1）点击Analysize →Data Reduction →Factor，打开Factor Analysis对话框如图 2. 图1 因子分析操作 图2 Factor Analysis 对话框 将参与因子分析的变量依次选入Variables框中。例中有8个参与因子分析的变量，故都选入变量框内。 2.单击Descriptives 按钮，打开Descriptives对话框如图3所示。 Statistics栏，指定输出的统计量。 图3 Descriptives对话框 Univariate descriptives 输出每个变量的基本统计描述； Initial solution 输出初始分析结果。输出主成分变量的相关或协方差矩阵的对角元素。（本例选择） Correlation Matrix栏指定输出考察因子分析条件和方法。 Coefficients相关系数矩阵； Significance levels 相关系数假设检验的P值； Determinant 相关系数矩阵行列式的值； KMO and Bartlett′s test of Sphericity KMO和巴特利检验（本例选择）巴特利检验是关于研究的变量是否适合进行因子分析的检验. 拒绝原假设意味着适合进行因子分析. KMO值等于变量间单相关系数的平方和与单相关系数平方和加上偏相关系数平方和之比, 值越接近1, 意味着变量间的相关性越强,越适合进行因子分分析, KMO值越接近0, 则变量间的相关性越弱. 越不适合进行因子分析. Inverse 相关系数矩阵的逆矩阵； Reproduced 再生相关阵； Anti-image 反映象相关矩阵。 3.单击Extraction 按钮，打开Extraction对话框选项，见图4。 因子分析的基本概念和步骤 一、因子分析的意义 在研究实际问题时往往希望尽可能多地收集相关变量，以期望能对问题有比较全面、完整的把握和认识。例如，对高等学校科研状况的评价研究，可能会搜集诸如投入科研活动的人数、立项课题数、项目经费、经费支出、结项课题数、发表论文数、发表专著数、获得奖励数等多项指标；再例如，学生综合评价研究中，可能会搜集诸如基础课成绩、专业基础课成绩、专业课成绩、体育等各类课程的成绩以及累计获得各项奖学金的次数等。虽然收集这些数据需要投入许多精力，虽然它们能够较为全面精确地描述事物，但在实际数据建模时，这些变量未必能真正发挥预期的作用，“投入”和“产出”并非呈合理的正比，反而会给统计分析带来很多问题，可以表现在： 计算量的问题 由于收集的变量较多，如果这些变量都参与数据建模，无疑会增加分析过程中的计算工作量。虽然，现在的计算技术已得到了迅猛发展，但高维变量和海量数据仍是不容忽视的。 变量间的相关性问题 收集到的诸多变量之间通常都会存在或多或少的相关性。例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。例如，多元线性回归分析中，如果众多解释变量之间存在较强的相关性，即存在高度的多重共线性，那么会给回归方程的参数估计带来许多麻烦，致使回归方程参数不准确甚至模型不可用等。类似的问题还有很多。 为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。因子分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。 因子分析的概念起源于20世纪初Karl Pearson和Charles Spearmen等人关于智力测验的统计分析。目前，因子分析已成功应用于心理学、医学、气象、地址、经济学等领域，并因此促进了理论的不断丰富和完善。 因子分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，名为因子。通常，因子有以下几个特点： ↓因子个数远远少于原有变量的个数 原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。 ↓因子能够反映原有变量的绝大部分信息 因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。 ↓因子之间的线性关系并不显著 由原有变量重组出来的因子之间的线性关系较弱，因子参与数据建模能够有效地解决变量多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。 ↓因子具有命名解释性 通常，因子分析产生的因子能够通过各种方式最终获得命名解释性。因子的命名解 因子分析的基本概念与步骤 一、因子分析的意义 在研究实际问题时往往希望尽可能多地收集相关变量,以期望能对问题有比较全面、完整的把握与认识。例如,对高等学校科研状况的评价研究,可能会搜集诸如投入科研活动的人数、立项课题数、项目经费、经费支出、结项课题数、发表论文数、发表专著数、获得奖励数等多项指标;再例如,学生综合评价研究中,可能会搜集诸如基础课成绩、专业基础课成绩、专业课成绩、体育等各类课程的成绩以及累计获得各项奖学金的次数等。虽然收集这些数据需要投入许多精力,虽然它们能够较为全面精确地描述事物,但在实际数据建模时,这些变量未必能真正发挥预期的作用,“投入”与“产出”并非呈合理的正比,反而会给统计分析带来很多问题,可以表现在: 计算量的问题 由于收集的变量较多,如果这些变量都参与数据建模,无疑会增加分析过程中的计算工作量。虽然,现在的计算技术已得到了迅猛发展,但高维变量与海量数据仍就是不容忽视的。 变量间的相关性问题 收集到的诸多变量之间通常都会存在或多或少的相关性。例如,高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性;学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。而变量之间信息的高度重叠与高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。例如,多元线性回归分析中,如果众多解释变量之间存在较强的相关性,即存在高度的多重共线性,那么会给回归方程的参数估计带来许多麻烦,致使回归方程参数不准确甚至模型不可用等。类似的问题还有很多。 为了解决这些问题,最简单与最直接的解决方案就是削减变量的个数,但这必然又会导致信息丢失与信息不完整等问题的产生。为此,人们希望探索一种更为有效的解决方法,它既能大大减少参与数据建模的变量个数,同时也不会造成信息的大量丢失。因子分析正式这样一种能够有效降低变量维数,并已得到广泛应用的分析方法。 因子分析的概念起源于20世纪初Karl Pearson与Charles Spearmen等人关于智力测验的统计分析。目前,因子分析已成功应用于心理学、医学、气象、地址、经济学等领域,并因此促进了理论的不断丰富与完善。 因子分析以最少的信息丢失为前提,将众多的原有变量综合成较少几个综合指标,名为因子。通常,因子有以下几个特点: ↓因子个数远远少于原有变量的个数 原有变量综合成少数几个因子之后,因子将可以替代原有变量参与数据建模,这将大大减少分析过程中的计算工作量。 ↓因子能够反映原有变量的绝大部分信息 因子并不就是原有变量的简单取舍,而就是原有变量重组后的结果,因此不会造成原有变量信息的大量丢失,并能够代表原有变量的绝大部分信息。 ↓因子之间的线性关系并不显著 由原有变量重组出来的因子之间的线性关系较弱,因子参与数据建模能够有效地解决变量多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。 ↓因子具有命名解释性 通常,因子分析产生的因子能够通过各种方式最终获得命名解释性。因子的命名解释 SPSS探索性因子分析的过程 现要对远程学习者对教育技术资源和使用情况进行了解，设计一个李克特量表，如下图所示： 一. 因子分析的定义 在现实研究过程中，往往需要对所反映事物、现象从多个角度进行观测。因此研究者往往设计出多个观测变量，从多个变量收集大量数据以便进行分析寻找规律。多变量大样本虽然会为我们的科学研究提供丰富的信息，但却增加了数据采集和处理的难度。更重要的是许多变量之间存在一定的相关关系，导致了信息的重叠现象，从而增加了问题分析的复杂性。 因子分析是将现实生活中众多相关、重叠的信息进行合并和综合，将原始的多个变量和指标变成较少的几个综合变量和综合指标，以利于分析判定。用较少的综合指标分析存在于各变量中的各类信息，而各综合指标之间彼此是不相关的，代表各类信息的综合指标成为因子。因子分析就是用少数几个因子来描述许多指标之间的联系，以较少几个因子反应原资料的大部分信息的统计方法。 二. 数学模型 Z i i1F1 i2^ i3F3 …im F m U i 乙为第i个变量的标准化分数；（标准分是一种由原始分推导出来的相对地位量数，它是用来说明原始分在所属的那批分数中的相对位置的。） F m为共同因子； m为所有变量共同因子的数目； U为变量Z的唯一因素； i个变量与第im为因子负荷。（也叫因子载荷，统计意义就是第 m个公共因子的相关系数，它反映了第i个变量在第m个公共因子上的相对重要性也就是第m个共同因子对第i个变量的解释程 度。） 因子分析的理想情况，在于个别因子负荷im不是很大就是很小，这样每个变量才能与较少的共同因子产生密切关联，如果想要以最少的共同因素数来解释变量间的关系程度，则U彼此间不能有关联存在。 所谓的因子负荷就是因子结构中原始变量与因子分析时抽取出共同因子的相关，即在各个因子变量不相关的情况下，因子负荷.就是第i个原有变量和第m个因子变量间的相关系数，也就是Z在第m个共同因子变量上的相对重要性，因此，.绝对值越大则公共因子和原有变量关系越强。在因子分析中有两个重要指针：一为“共同性”，二为“特征值”。 所为共同性，也称变量共同度或者公共方差，就是每个变量在每个共同因子的负荷量的平方总和（一横列中所有因子负荷的的平方和），也就是个别变量可以被共同因子解释的变异量百分比，这个值是个别变量与共同因子间多元相关的平方。从共同性的大小可以判断这个原始变量与共同因子间的关系程度。如果大部分变量的共同度都高于0.8，则说明提取出的共同因子已经基本反映了各原始变量80%以上的信息，仅有较少的信息丢失，因子分析效果较好。而各变量的唯一因素就是1减掉该变量共同性的值，就是原有变量不能 S P S S探索性因子分析的 过程 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 现要对远程学习者对教育技术资源和使用情况进行了解，设计一个李克特量表，如下图所示： 一．因子分析的定义 在现实研究过程中，往往需要对所反映事物、现象从多个角度进行观测。因此研究者往往设计出多个观测变量，从多个变量收集大量数据以便进行分析寻找规律。多变量大样本虽然会为我们的科学研究提供丰富的信息，但却增加了数据采集和处理的难度。更重要的是许多变量之间存在一定的相关关系，导致了信息的重叠现象，从而增加了问题分析的复杂性。 因子分析是将现实生活中众多相关、重叠的信息进行合并和综合，将原始的多个变量和指标变成较少的几个综合变量和综合指标，以利于分析判定。用较少的综合指标分析存在于各变量中的各类信息，而各综合指标之间彼此是不相关的，代表各类信息的综合指标成为因子。因子分析就是用少数几个因子来描述许多指标之间的联系，以较少几个因子反应原资料的大部分信息的统计方法。 二．数学模型 Z为第i个变量的标准化分数；（标准分是一种由原始分出来的，它是用来说明原始分i 在所属的那批分数中的相对位置的。） m F 为共同因子； m 为所有变量共同因子的数目； i U 为变量i Z 的唯一因素； im α为因子负荷。（也叫因子载荷，统计意义就是第i 个变量与第m 个公共因子的相关 系数,它反映了第i 个变量在第m 个公共因子上的相对重要性也就是第m 个共同因子对第i 个变量的解释程度。） 因子分析的理想情况，在于个别因子负荷im α不是很大就是很小，这样每个变量才能与较少的共同因子产生密切关联，如果想要以最少的共同因素数来解释变量间的关系程度，则i U 彼此间不能有关联存在。 所谓的因子负荷就是因子结构中原始变量与因子分析时抽取出共同因子的相关，即在各个因子变量不相关的情况下，因子负荷im α就是第i 个原有变量和第m 个因子变量间的相关系数，也就是i Z 在第m 个共同因子变量上的相对重要性，因此，im α绝对值越大则公共因子和原有变量关系越强。在因子分析中有两个重要指针：一为“共同性”，二为“特征值”。 所为共同性，也称变量共同度或者公共方差，就是每个变量在每个共同因子的负荷量的平方总和（一横列中所有因子负荷的的平方和），也就是个别变量可以被共同因子解释的变异量百分比，这个值是个别变量与共同因子间多元相关的平方。从共同性的大小可以判断这个原始变量与共同因子间的关系程度。如果大部分变量的共同度都高于，则说明提取出的共同因子已经基本反映了各原始变量80%以上的信息，仅有较少的信息丢失，因子分析效果较好。而各变量的唯一因素就是1减掉该变量共同性的值，就是原有变量不能被因子变量所能解释的部分。 所谓特征值，是每个变量在某一共同因子的因子负荷的平方总和（一直行所有因子 实验课：因子分析 实验目的 理解主成分（因子）分析的基本原理，熟悉并掌握SPSS中的主成分（因子）分析方法及其主要应用。 因子分析 一、基础理论知识 1 概念 因子分析（Factor analysis）：就是用少数几个因子来描述许多指标或因素之间的联系，以较少几个因子来反映原资料的大部分信息的统计学分析方法。从数学角度来看，主成分分析是一种化繁为简的降维处理技术。 主成分分析（Principal component analysis）：是因子分析的一个特例，是使用最多的因子提取方法。它通过坐标变换手段，将原有的多个相关变量，做线性变化，转换为另外一组不相关的变量。选取前面几个方差最大的主成分，这样达到了因子分析较少变量个数的目的，同时又能与较少的变量反映原有变量的绝大部分的信息。 两者关系：主成分分析（PCA）和因子分析（FA）是两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法，而实际上主成分分析可以说是因子分析的一个特例。 2 特点 （1）因子变量的数量远少于原有的指标变量的数量，因而对因子变量的分析能够减少分析中的工作量。 （2）因子变量不是对原始变量的取舍，而是根据原始变量的信息进行重新组构，它能够反映原有变量大部分的信息。 （3）因子变量之间不存在显著的线性相关关系，对变量的分析比较方便，但原始部分变量之间多存在较显著的相关关系。 （4）因子变量具有命名解释性，即该变量是对某些原始变量信息的综合和反映。 在保证数据信息丢失最少的原则下，对高维变量空间进行降维处理（即通过因子分析或主成分分析）。显然，在一个低维空间解释系统要比在高维系统容易的多。 3 类型 根据研究对象的不同，把因子分析分为R 型和Q 型两种。 当研究对象是变量时，属于R 型因子分析； 当研究对象是样品时，属于Q 型因子分析。 但有的因子分析方法兼有R 型和Q 型因子分析的一些特点，如因子分析中的对应分析方法，有的学者称之为双重型因子分析，以示与其他两类的区别。 4分析原理 假定：有n 个地理样本，每个样本共有p 个变量，构成一个n ×p 阶的地理数据矩阵 : 当p 较大时，在p 维空间中考察问题比较麻烦。这就需要进行降维处理，即用较少几个 综合指标代替原来指标，而且使这些综合指标既能尽量多地反映原来指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。 线性组合：记x1，x2，…，xP 为原变量指标，z1，z2，…，zm （m ≤p ）为新变量指标（主成分），则其线性组合为: Lij 是原变量在各主成分上的载荷 无论是哪一种因子分析方法，其相应的因子解都不是唯一的，主因子解仅仅是无数因子解中之一。 zi 与zj 相互无关； z1是x1，x2，…，xp 的一切线性组合中方差最大者，z2是与z1不相关的x1，x2，…的所有线性组合中方差最大者。则，新变量指标z1，z2，…分别称为原变量指标的第一，第二，…主成分。 Z 为因子变量或公共因子，可以理解为在高维空间中互相垂直的m 个坐标轴。 主成分分析实质就是确定原来变量xj （j=1，2 ，…，p ）在各主成分zi （i=1，2，…，m ）上的荷载 lij 。 从数学上容易知道，从数学上也可以证明，它们分别是相关矩阵的m 个较大的特征值所对应的特征向量。 ?? ? ??? ????? ???=np n n p p x x x x x x x x x X 2 1 222 21 11211?? ? ?? ? ?+++=+++=+++=p mp m m m p p p p x l x l x l z x l x l x l z x l x l x l z 22112222121212121111?? ? ?? ? ?+++=+++=+++=p mp m m m p p p p x l x l x l z x l x l x l z x l x l x l z 22112222121212121111 SPSS因子分析的基本概念和步骤 因子分析的基本概念和步骤 四、因素分析的操作说明 Statistics/Data Reduction/Factor… （统计分析/数据缩减/因子…） 出现“Factor Analysis”（因子分析）对话框，将左边框中鉴别度达显著性的a1～a22选如右边“Variables”（变量）下的空框中。 其中五个按钮内的图标意义如下： Descriptives（描述性统计量）按钮，会出现“Factor Analysis:Descriptives”（因子分析：描述性统计量）对话窗口 1．“Statistics”(统计量)选项框 （1）“ Univariate descriptives”（单变量描述性统计量）：显示每一题项的平均数、标准差。 （2）“ Initial solution”（未转轴之统计量）：显示因素分析未转轴前之共同性（communality）、特征值（eigenvalues）、变异数百分比及累积百分比。 2．“Correlation Matric”(相关矩阵)选项框 （1）“ Coefficients”（系数）：显示题项的相关矩阵； （2）“ Significance levels”（显著水准）：求出前述矩阵的显著水准； （3）“ Determinant”（行列式）：求出前述相关矩阵的行列式值； （4）“ KMO and Bartlett’s test of sphericity”（KMO与Bartlett的球形检定）：显示KMO抽样适当性参数与Bartlett的球形检定； （5）“ Inverse”（倒数模式）：求出相关矩阵的反矩阵； （6）“ Reproduced”（重制的）：显示重制相关矩阵，上三角形矩阵代表残差值；而主对角线及下三角形代表相关系数； （7）“ Anti-image”（反映象）：求出反映象的共变量及相关矩阵； 在“Factor Analysis:Descriptives”对话窗口中，选取“ Initial solution”、“ KMO and Bartlett’s test of sphericity”二项。 ?Extraction…（萃取…）按钮，会出现“Factor Analysis:Extraction”（因子分析：萃取）对话窗口 1．“Method”（方法）选项框：下拉式选项内有7种选取因素的方法 （1）“Principal components”法：主成份分析法抽取因素，此为SPSS内定方法； （2）“Unweighted least squares”法：未加权最小平方法； （3）“Ggeneralized least square”法：一般化最小平方法； （4）“Mmximum likelihood”法：最大概似法； （5）“Principal-axis factoring”法：主轴法； 使用S P S S进行探索式因素分析的教程 第4章探索式因素分析 在社会与行为科学研究中，研究者经常会搜集实证性的量化资料來做验证，而要证明这些资料的可靠性与正确性，则必须依靠测量或调查工具的信度或效度（杨国枢等，2002b）。一份好的量表应该要能够将欲研究的主题构念（Construct，它是心理学上的一种理论构想或特质，无法直接观测得到）清楚且正确的呈现出来，而且还需具有「效度」，即能真正衡量到我们欲量测的特性，此外还有「信度」，即该量表所衡量的结果应具有一致性、稳定性，因此为达成「良好之衡量」的目标，必须有以下两个步骤：第一个步骤是针对量表的题项作项目分析，以判定各项目的区别效果好坏；第二步骤则是建立量表的信度与效度。量表之项目分析、信度检验已于第2、3章有所说明，本章将探讨量表之效度问题。 4-1 效度 效度即为正确性，也就是测量工具确实能测出其所欲测量的特质或功能之程度。一般的研究中最常使用「内容效度」（Content Validity）与「建构效度」（Construct Validity）来检视该份研究之效度。 所谓「内容效度」，是指该衡量工具能足够涵盖主题的程度，此程度可从量表内容的代表性或取样的适切性来加以评估。若测量内容涵盖所有研究计划所要探讨的架构及内容，就可说是具有优良的内容效度。在一般论文中，常使用如下的描述来「交代」内容效度： 而所谓「建构效度」系指测量工具的内容，即各问项是否能够测量到理论上的构念或特质的程度。建构效度包含收敛效度（Convergent Validity）与区别效度（Discriminant Validity），收敛效度主要测试以一个变量（构念）发展出的多项问项，最后是否会收敛于一个因素中（同一构念不同题目相关性很高）；而区别效度为判别问项可以与其它构念之问项区别的程度（不 我就以我的数据为例来做示范，仅供参考 一、信度分析（即可靠度分析） 1.分析——度量——可靠度分析 图 1 2.然后就会弹出上图1的 框框。在这里，你可以对 所有的问题进行可靠度分 析，如果是这样，那你只 需要选中所有的问题到右 边这个白色的框框，然后 点击“统计量”，按照右 边这个图进行打钩。然后 点“继续”。之后就点“确 定”图2 3.接着去“输出1”这个框看分析结果，你就 会看到很多分析结果，其中有一个就是右图， 那第一个0.808就是你所选择进行分析的数据的信度。如果你想把每一个维度的数据进行独立的信度分析，那道理也是一样的。 二、因子分析 在做因子分析之前首先要判断这些数据是否适合做因子分析，那这里就需要进行效度检验，不过总共效度检验是和因子分析的操作同步的，意思就是说你在做因子分析的时候也可以做效度检验。具体示范如下： 1.分析——降维——因子分析 图 2 一般来说，咱们做因子分析的时候是为了把那些具有共同属性的因子归类成一类，说的简单点就是要验证咱们所选取的每一个维度下面的题目是属于这个维度，而非其他维度的。那一般来说，因子分析做出来的结果就是你原本有几个维度，最终分析结果就会归类成几个公因子。 2.一般来说，自变量的题目和因变量的题目是要独立分析的。我的课题是“店 面形象对顾客购买意愿的影响”那自变量就是店面形象的那些维度，因变量就是顾客购买意愿。 3.将要做分析的题目选择到右边的白框之后，就如下图打钩： “抽取”和“选项”两个不用管他。然后就点 “确定” 4.按照上述步骤操作下来 之后，就可以去“输出1” 看分析结果。首先看效 度检验的结果：这里要 看第一行和最后一行的数据，第一行数据为0.756，表明效度较高，sig为 0.000，这两个结果显示这份数据完全可以做因子分析。那就去看因子分析的 31. 因子分析 一、基本原理 因子分析，是用少数起根本作用、相互独立、易于解释通常又是不可观察的因子来概括和描述数据，表达一组相互关联的变量。通常情况下，这些相关因素并不能直观观测。 因子分析是从研究相关系数矩阵内部的依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法。简言之，即用少数不可观测的隐变量来解释原始变量之间的相关性或协方差关系。 因子分析的作用是减少变量个数，根据原始变量的信息进行重组，能反映原有变量大部分的信息；原始部分变量之间多存在较显著的相关关系，重组变量（因子变量）之间相互独立；因子变量具有命名解释性，即该变量是对某些原始变量信息的综合和反映。 主成分分析是因子分析的特例。主成份分析的目标是降维，而因子分析的目标是找出公共因素及特有因素，即公共因子与特殊因子。 因子分析模型在形式上与线性回归模型相似，但两者有着本质的区别：回归模型中的自变量是可观测到的，而因子模型中的各公因子是不可观测的隐变量，而且两个模型的参数意义也不相同。 得到估计的因子模型后，还必须对得到的公因子进行解释。即对每个公共因子给出一种意义明确的名称，用来反映在预测每个可观察变量中这个公因子的重要性。该公因子的重要程度就是在因子模型矩 阵中相应于这个因子的系数。 由于因子载荷阵不惟一，故可对因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化，这样的因子便于解释和命名。 每个样本都可以计算其在各个公因子上的得分，利用因子得分以及该公因子的方差贡献比例，又可以计算每个样本的综合得分。 二、因子分析实例 例1（综合评价问题）对我国30个省市经济发展的8个指标进行分析和排序。数据文件如下： x1=GDP；x2=居民消费水平；x3=固定资产投资； x4=职工平均工资；x5=货物周转量；x6=居民消费价格； x7=商品价格指数；x8=工业总产值。 1. 【分析】——【降维】——【因子分析】，打开“因子分析”窗口，将变量“x1-x8”选入【变量】框； SPS咽子分析实例操作步骤 实验目的： 弓I入2003~201部全国的农、林、牧、渔业，采矿业，制造业电力、 热力、燃气及水生产和供应业，建筑业，批发和零售业，交通运输、仓储和邮政业7个产业的投资值作为变量，来研究其对全国总固定投资的影响。 实验变量： 以年份，合计（单位：千亿元），农、林、牧、渔业，采矿业，制造业电力、热力、燃气及水生产和供应业，建筑业，批发和零售业，交通运输、仓储和邮政业作为变量。 实验方法：因子分析法 软件：spss19.0 操作过程： 第一步：导入Excel数据文件 1. open data document ------- o pen data ------- o pen； 2. Opening excel data source OK. 2. ------------------------------------------------------------- 降维：在最上面菜单里面选中Analyze ------------------------------------------ Dimension Reduction Factor ，变量选择标准化后的数据. 3. 点击右侧 Descriptive ，勾选Correlation Matrix 选项组中的 Coefficients 和 KMO and Bartlett ' s text of sphericity, 点击 Continue. Factor Anafysas; Descriptive'S -St^ tistics ------------------------------------------- ■ ■□■■■■■Man ■>^■■■■1 m ■■■ im ■■■■MBIII ■■ ■■■ nMBiinai ■■■ ma ??? □ ^Univariate descriptives hf li” ii-tliliRtlli iiiar-llii M III ■—Bllimi Hi nill^ Q Initial sotuSon Correlation Matrix R CoefTidents E Inv&rss U Signmcance leveisU Reproduced :Determinant [. _■ Ant -image V KMO and Bartlett's t&st of sphericity [continue [ Can 用][ Help J 4. 点击右侧 Extraction, 勾选 Scree Plot 和 fixed number with factors 默认3个，点击Continue. 实验课:因子分析 实验目的 理解主成分(因子)分析的基本原理,熟悉并掌握SPSS中的主成分(因子)分析方法及其主要应用。 因子分析 一、基础理论知识 1 概念 因子分析(Factor analysis):就就是用少数几个因子来描述许多指标或因素之间的联系,以较少几个因子来反映原资料的大部分信息的统计学分析方法。从数学角度来瞧,主成分分析就是一种化繁为简的降维处理技术。 主成分分析(Principal component analysis):就是因子分析的一个特例,就是使用最多的因子提取方法。它通过坐标变换手段,将原有的多个相关变量,做线性变化,转换为另外一组不相关的变量。选取前面几个方差最大的主成分,这样达到了因子分析较少变量个数的目的,同时又能与较少的变量反映原有变量的绝大部分的信息。 两者关系:主成分分析(PCA)与因子分析(FA)就是两种把变量维数降低以便于描述、理解与分析的方法,而实际上主成分分析可以说就是因子分析的一个特例。 2 特点 (1)因子变量的数量远少于原有的指标变量的数量,因而对因子变量的分析能够减少分析中的工作量。 (2)因子变量不就是对原始变量的取舍,而就是根据原始变量的信息进行重新组构,它能够反映原有变量大部分的信息。 (3)因子变量之间不存在显著的线性相关关系,对变量的分析比较方便,但原始部分变量之间多存在较显著的相关关系。 (4)因子变量具有命名解释性,即该变量就是对某些原始变量信息的综合与反映。 在保证数据信息丢失最少的原则下,对高维变量空间进行降维处理(即通过因子分析或主成分分析)。显然,在一个低维空间解释系统要比在高维系统容易的多。
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