李鹏飞
微弱信号相关检测 前言 随着现代科学研究和技术的发展，人们越来越需要从强噪声中检测出有用的微弱信号，于是逐渐形成了微弱信号检测这门新兴的科学技术学科，其应用范围遍及光学、电学、磁学、声学、力学、医学、材料等领域。微弱信号检测技术是利用电子学、信息论、计算机及物理学的方法，分析噪声产生的原电子学、信息论、计算机及物理学的方法，分析噪声产生的原因和规律，研究被测信号的特点与相关性，检测被噪声淹没的微弱有用信号，或用一些新技术和新方法来提高检测系统输出信号的信噪比，从而提取有用信号。微弱信号检测所针对的检测对象，是用常规和传统方法不能检测到的微弱量。对它的研究是发展高新技术，探索及发现新的自然规则的重要手段，对推动相关领域的发展具有重要的应用价值。 目前，微弱信号检测的原理、方法和设备已经成为很多领域中进行现代科学技术研究不可缺少的手段。显然，对微弱信号检测理论的研究，探索新的微弱信号检测方法，研制新的微弱信号检测设备是目前检测技术领域的一大热点。 1.概述 微弱信号是测量技术中的一个综合性技术分支，它利用电子学，信息论和物理论的方法，分析噪声产生的原因和规律，研究被测信号的特征和相关性，检测并恢复被背景噪声所掩盖的微弱信号，微弱信号的检测重点是如何从强噪声中提取有用信号，探测运用新技术和新方法来提高检测系统中的信噪比。 在检测淹没在背景噪声中的微弱信号时，必须对信号进行放大，然而由于微弱信号本身的涨落，背景和放大器噪声的影响，测量灵敏度会受到限制。因此，微弱信号的检测有以下三个特点：（1）需要噪声系数尽量小的前置放大器，并根据源阻抗与工作频率设计最佳匹配（2）需要研制适合微弱信号检测原理并能满
白噪声、高斯色噪声、高斯白噪声 白噪声，就是说功率谱为一常数；也就是说，其协方差函数在delay=0时不为0，在delay不等于0时值为零；换句话说，样本点互不相关。（条件：零均值。）所以，“白”与“不白”是和分布没有关系的。 当随机的从高斯分布中获取采样值时，采样点所组成的随机过程就是“高斯白噪声”； 同理，当随机的从均匀分布中获取采样值时，采样点所组成的随机过程就是“均匀白噪声”。 那么，是否有“非白的高斯”噪声呢？答案是肯定的，这就是”高斯色噪声“。这种噪声其分布是高斯的，但是它的频谱不是一个常数，或者说，对高斯信号采样的时候不是随机采样的，而是按照某种规律来采样的。 仿真时经常采用高斯白噪声是因为实际系统（包括雷达和通信系统等大多数电子系统）中的主要噪声来源是热噪声，而热噪声是典型的高斯白噪声，高斯噪声下的理想系统都是线性系统。
相关讨论： 1、白噪声是指功率谱在整个频域内为常数的噪声，其付氏反变换是单位冲击函数的n倍（n取决于功率谱的大小），说明噪声自相关函数在t=0时不为零，其他时刻都为0，自相关性最强。高斯噪声是一种随机噪声，其幅度的统计规律服从高斯分布。高斯白噪声是幅度统计规律服从高斯分布而功率谱为常数的噪声如果在系统通带内功率谱为常数，成为带限白噪声“高斯”与“白”没有直接关系，有时人们还会提出高斯型噪声，这指的是噪声功率谱呈高斯分布函数的形状而已。 2、有一个问题我想提出来： 连续白噪声和离散白噪声序列的关系是什么？它们之间不应该是简单的采样关系。因为连续白噪声的功率谱在整个频率轴上为常数，按照随机信号采样定理，对这样的信号采样，采样后的序列的功率谱必然发生混叠，而且混叠过后的功率谱是什么？应该是在整个频率轴上都为无穷大。这显然不满足离散白噪声序列的定义。 那离散白噪声序列跟连续白噪声有何关系？我觉得是对带限的连续白噪声进行采样后得到的，这个带限的连续白噪声信号的带宽刚好满足Nyquist抽样定理。这样采样过后的信号的功率谱就能满足定义了。 答：连续白噪声是离散白噪声在采样间隔趋近于零的极限。对带限的连续白噪声按照Nyquist采样定理进行采样就得到信息不损失的白噪声序列，当连续白噪声的带宽趋近于无穷大时，采样率也趋近于无穷大（采样间隔趋近于零），此时不会发生频谱混叠。用极限的概念理解二者的关系就很清楚了。需要说明的是，任何实际系统都是工作于一定频带范围内的，带宽为无穷大的信号仅仅存在于理论分析中，在实际系统中找不到。 3、对随机信号而言也有采样定理，这个采样定理是针对功率谱而言的。具体的证明可以参看陆大金老师的随机过程教材。（清华的博士入学考试指定的参考教材） 4、对于不限带的白噪声，已经分析的比较清楚了。 而对于限带白噪声，我认为既然考虑采样定理，那么连续的限带白噪声可以利用采样函数作为正交基的系数来表示，这些系数就是对应的噪声采样值，这个过程
高斯噪声是一种随机噪声，在任选瞬时中任取n个，其值按n个变数的高斯概率定律分布。注： 1,高斯噪声完全由其时变平均值和两瞬时的协方差函数来确定，若噪声为平稳的，则平均值与时间无关，而协方差函数则变成仅和所考虑的两瞬时之差有关的相关函数，它在意义上等效于功率谱密度。 2,高斯噪声可以是大量独立的脉冲所产生的，从而在任何有限时间间隔内，这些脉冲中的每一个脉冲值与所有脉冲值的总和相比都可忽略不计。 3,实际上热噪声、散弹噪声及量子噪声都是高斯噪声。 白噪声是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声（功率谱密度随频率变化）。 理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让我们在数学分析上更加方便。然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。 白噪声的功率谱密度是一个常数。这是因为：白噪声的时域信号中任意两个不同时刻是不相关的，因此，白噪声的自相关函数为冲击函数，因此，白噪声的功率谱密度为常数。（自相关函数和功率谱密度是傅立叶变换对）。 当随机的从高斯分布中获取采样值时，采样点所组成的随机过程就是“高斯白噪声”；同理，当随机的从均匀分布中获取采样值时，采样点所组成的随机过程就是“均匀白噪声”。 “非白的高斯”噪声——高斯色噪声。这种噪声其分布是高斯的，但是它的频谱不是一个常数，或者说，对高斯信号采样的时候不是随机采样的，而是按照某种规律来采样的。 仿真时经常采用高斯白噪声是因为实际系统（包括雷达和通信系统等大多数电子系统）中的主要噪声来源是热噪声，而热噪声是典型的高斯白噪声，高斯噪声下的理想系统都是线性系统。 高斯白噪声：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。 热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。 所谓高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。这是考查一个信号的两个不同方面的问题。
色噪声原理及matlab实现 1、实验目的： ⑴了解随机信号自身的特性，包括均值（数学期望）、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。 （2）了解色噪声的基本概念和分析方法，掌握用matlab、c\c++软件仿真和分析色噪声的方法。 ⑶掌握随机信号的分析方法。 2、实验原理： 我们把除了白噪声之外的所有噪声都称为有色噪声。就像白光一样，除了白光就是有色光。 色噪声中有几个典型： ⑴粉红噪声。粉红噪音是自然界最常见的噪音，简单说来，粉红噪音的频率分量功率主要分布在中低频段。从波形角度看，粉红噪音是分形的，在一定的范围内音频数据具有相同或类似的能量。从功率（能量）的角度来看，粉红噪音的能量从低频向高频不断衰减，曲线为1/f，通常为每8度下降3分贝。粉红噪声的能量分布在任一同比例带宽中是相等的！比如常见的三分之一倍程频带宽100Hz的范围89.2__112和1000Hz的892__1120是相等的。 在给定频率范围内(不包含直流成分)，随着频率的增加，其功率密度每倍频程下降3dB(密度与频率成反比)。每倍频的功率相同，但要产生每倍频程3dB的衰减非常困难,因此，没有纹波的粉红噪声在现实中很难找到。 粉红噪声低频能下降到接近0Hz(不包括0Hz)高频端能上到二十几千赫，而且它在等比例带宽内的能量是相等的(误差只不过0.1dB左右)。粉红噪声的功率普密度图： ⑵红噪声(海洋学概念)。这是有关海洋环境的一种噪声，由于它是有选择地吸收较高的频率，因此称之为红噪声。 ⑶橙色噪声。该类噪声是准静态噪声，在整个连续频谱范围内，功率谱有限且零功率窄带信号数量也有限。这些零功率的窄带信号集中于任意相关音符系统的音符频率中心上。由于消除了所有的合音，这些剩余频谱就称为橙色音符。 ⑷蓝噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长3dB(密度正比于频率)。对于高频信号来说，它属于良性噪声。
一、概念 英文名称：white Gaussian noise; WGN 定义：均匀分布于给定频带上的高斯噪声； 所谓高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。这是考察一个信号的两个不同方面的问题。 高斯白噪声：如果一个噪声，它的幅度服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。 热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。 二、matlab举例 Matlab有两个函数可以产生高斯白噪声，wgn( )和awgn( )。 1. WGN：产生高斯白噪声 y = wgn(m,n,p) y = wgn(m,n,p) %产生一个m行n列的高斯白噪声的矩阵，p以dBW为单位指定输出噪声的强度。 y = wgn(m,n,p,imp) y = wgn(m,n,p,imp) %以欧姆(Ohm)为单位指定负载阻抗。 y = wgn(m,n,p,imp,state) y = wgn(m,n,p,imp,state) %重置RANDN的状态。 2. AWGN：在某一信号中加入高斯白噪声 y = awgn(x,SNR) y = awgn(x,SNR) %在信号x中加入高斯白噪声。信噪比SNR以dB为单位。x的强度假定为0dBW。如果x是复数，就加入复噪声。 clear,clc; N=0:1000; fs=1024; t=N./fs; y=3*sin(2*pi*t); x=wgn(1,1001,2); i=y+x; % i=awgn(y,2); subplot(3,1,1),plot(x); subplot(3,1,2),plot(y); subplot(3,1,3),plot(i);
4.4 色噪声的产生与分析 1、实验原理 我们把除了白噪声之外的所有噪声都称为有色噪声。就像白光一样，除了白光就是有色光。 色噪声中有几个典型： ⑴粉红噪声。粉红噪音是自然界最常见的噪音，简单说来，粉红噪音的频率分量功率主要分布在中低频段。从波形角度看，粉红噪音是分形的，在一定的范围内音频数据具有相同或类似的能量。从功率（能量）的角度来看，粉红噪音的能量从低频向高频不断衰减，曲线为1/f，通常为每8度下降3分贝。粉红噪声的能量分布在任一同比例带宽中是相等的！比如常见的三分之一倍程频带宽100Hz的范围89.2__112和1000Hz的892__1120是相等的。 在给定频率范围内(不包含直流成分)，随着频率的增加，其功率密度每倍频程下降 3dB(密度与频率成反比)。每倍频的功率相同，但要产生每倍频程3dB的衰减非常困难,因此，没有纹波的粉红噪声在现实中很难找到。 粉红噪声低频能下降到接近0Hz(不包括0Hz)高频端能上到二十几千赫，而且它在等比例带宽内的能量是相等的(误差只不过0.1dB左右)。粉红噪声的功率普密度图如图2-10 所示： 图2-10粉红噪声的功率普密度 ⑵红噪声(海洋学概念)。这是有关海洋环境的一种噪声，由于它是有选择地吸收较高的频率，因此称之为红噪声。 ⑶橙色噪声。该类噪声是准静态噪声，在整个连续频谱范围内，功率谱有限且零功率窄带信号数量也有限。这些零功率的窄带信号集中于任意相关音符系统的音符频率中心上。由于消除了所有的合音，这些剩余频谱就称为“橙色”音符。 ⑷蓝噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长3dB(密度正比于频率)。对于高频信号来说，它属于良性噪声。 ⑸紫噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长6dB(密度正比于频率的平方值)。 ⑹灰色噪声。该噪声在给定频率范围内，类似于心理声学上的等响度曲线(如反向的A-加权曲线)，因此在所有频率点的噪声电平相同。 ⑺棕色噪声。在不包含直流成分的有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频下降6dB(密度与频率的平方成反比)。该噪声实际上是布朗运动产生的噪声，它也称为随机飘移噪声或醉鬼噪声。
一般高斯信号的检测 ?一般高斯信号检测原理 ?确定性信号检测的贝叶斯方法
01::H H ==+z w z s w 一般高斯信号假设模型： ~(,) w N w 0C ~(,) s s N s μC 11 ()()()()T T w s s w s s T --=--+-z z C z z μC C z μμ1 11 1'()()()2 T T s w s w s s w T ---=+++z z C C μz C C C C z 矩阵求逆定理
1 11 1'()()()2 T T s w s w s s w T ---=+++z z C C μz C C C C z 1) C s =0 或s=μs 1'()T w s T -=z z C μ说明：确定信号检测相关情形，即广义匹配滤波器2) μs =0 11 111?'()()22 T T w s s w w T ---=+=z z C C C C z z C s 说明：随机信号检测估计器---相关器情形
1 11 1'()()()2 T T s w s w s s w T ---=+++z z C C μz C C C C z 3) s=H θ, ~(,) N θθθμC 1 11 1'()()()2 T T T T T w w w T - --θθθθ =+++z z HC H C H μz C HC H HC H C z 说明：确定信号+随机信号线性模型检测情形 θ=C 0 θ=μ0 ~(,) T N θθs H μHC H
例1：高斯白噪声中确定/随机信号检测问题： 0:[][] H z n w n =1:[][][] H z n s n w n =+0,1,...,1 n N =-2 []~(0,) w n N σ2[]~(,) s s n N A σ1 11 1'()()()2 T T s w s w s s w T ---=+++z z C C μz C C C C z 解: 2 w =σC I s A =μ1 2s s =σC I 2 212 2222 /1'()[] 2N s n s s NA T z z n -=σσ =+σ+σσ+σ ∑ z
有色噪声下的卡尔曼滤波 摘要 Kalman滤波技术是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器)，它是现代信息处理中的重要工具。但是基本的Kalman滤波基本方程中要求系统噪声和量测噪声必须为互不相关的均值为零的白噪声过程, 限制了应用的范围。本文研究了在系统噪声和量测噪声都是有色噪声条件下的Kalman滤波方法, 并推导了全套的滤波方程。最后以GPS多天线三维姿态测量系统为例，根据推导出的动态噪声、观测噪声为有色噪声的线性系统滤波公式，在MATLAB环境下进行了仿真实验。 关键词：有色噪声，卡尔曼滤波，白噪声 ABSTRACT Kalman filtering technology is a kind of efficient algorithm.on filter (autoregressive filter), it is an important tool in modern information processing. But the basic Kalman filtering basic equations of noise and measurement requirements system for irrelevant noise must be zero of white noise process, limit the scope of application. In this paper we studied system noises and measurement noise are colored noise Kalman filtering method under the conditions, and derived full set of filter equation. Finally for example with GPS multi-antenna 3d pose measurement system, Carried out in MATLAB simulation experiment according to the dynamic noise is deduced, observation noise for colored noise linear system filtering formula. Key Words：Colored Noise, Kalman Filter, White Noise
本文科普一下高斯白噪声（white Gaussian noise，WGN）。 百度百科上解释为“高斯白噪声，幅度分布服从高斯分布，功率谱密度服从均匀分布”，听起来有些晦涩难懂，下面结合例子通俗而详细地介绍一下。 白噪声，如同白光一样，是所有颜色的光叠加而成，不同颜色的光本质区别是的它们的频率各不相同（如红色光波长长而频率低，相应的，紫色光波长短而频率高）。白噪声在功率谱上（若以频率为横轴，信号幅度的平方为功率）趋近为常值，即噪声频率丰富，在整个频谱上都有成分，即从低频到高频，低频指的是信号不变或缓慢变化，高频指的是信号突变。 由傅里叶变换性质可知，时域有限，频域无限；频域有限，时域无限。那么频域无限的信号变换到时域上，对应于冲击函数的整数倍（由公式也可推得：）。即说明在时间轴的某点上，噪声孤立，与其它点的噪声无关，也就是说，该点噪声幅值可以任意，不受前后点噪声幅值影响。简而言之，任意时刻出现的噪声幅值都是随机的（这句话实际上说的就是功率谱密度服从均与分布的意思，不同的是，前者从时域角度描述，而后者是从频域角度描述）。这里要指出功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）的概念，它从频域角度出发，定义了信号的功率是如何随频率分布的，即以频率为横轴，功率为纵轴。 既然白噪声信号是“随机”的，那么反过来，什么叫做“相关”呢？顾名思义，相关就是某一时刻的噪声点不孤立，和其它时刻的噪声幅值有关。其实相关的情况有很多种，比如此时刻的噪声幅值比上一时刻的大，而下一时刻的噪声幅值比此时刻的还大，即信号的幅值在时间轴上按从小到大的顺序排列。除此之外，幅值从大到小，或幅值一大一小等都叫做“相关”，而非“随机”的。 解释完了“白噪声”，再来谈谈“高斯分布”。高斯分布，又名正态分布（normal distribution）。概率密度函数曲线的形状又两个参数决定：平均值和方差。简单来说，平均值决定曲线对称中线，方差决定曲线的胖瘦，即贴近中线的程度。概率密度定义了信号出现的频率是如何随着其幅值变化的，即以信号幅值为横轴，以出现的频率为纵轴。因此，从概率密度角度来说，高斯白噪声的幅度分布服从高斯分布 描述了“白噪声”和“高斯噪声”两个含义，那么，回到文章开头的解释：高斯白噪声，幅度分布服从高斯分布，功率谱密度服从均匀分布。它的意义就很明确了，上半句是从空域(幅值)角度描述“高斯噪声”，而下半句是从频域角度描述“白噪声”。 下面以matlab程序演示，感性认识一下高斯白噪声。 程序1（高斯白噪声）：
3.2.7 系统噪声或观测噪声是有色噪声的卡尔曼滤波 在前面推导Kalman 滤波方程时，都是假定)(k w 和)(k v 都是白噪声。而实际上，多数情况下，)(k w 和)(k v 可能是有色噪声。通常情况下，对一些特定的有色噪声可通过成型滤波器化成白噪声，现举例说明如何把某些特定的有色噪声用白噪声通过成型滤波器来表示的问题。 设)(k ξ是一平稳随机序列，其相关函数为 ||,j i t t j i De R --=，j i t t > 并可写出成型滤波器方程如下 )()(),1()1(k n k k k k ++ψ=+ξξ 式中的),1(k k +ψ为成型滤波器转移阵 ||1),1(k k t t e k k --+=+ψ
)(k n 为均值为零的白噪声序列 {}0)(=k n E ， {} kj t t T k k e D j n k n E δ)1()()(||21--+-= 下面分三种情况讨论有色噪声情况的Kalman 滤波： 1）控制系统附加噪声是有色噪声，观测系统附加噪声是白噪声； 2）控制系统附加噪声是白噪声，观测系统附加噪声是有色噪声； 3）控制系统和观测系统的附加噪声均为有色噪声。 有色序列的类型还有许多种，本节仅讨论高斯—马尔可夫型随机序列。理由不言而喻，人们知道，任何一个高斯—马尔可夫型随机序列，都可以看成是高斯白噪声驱动下，某个离散线性系统的状态序列。因此，可以通过扩充状态变量法，来把附加噪声是有色的情况白化！下面分情况进行具体的讨论。
3.2.7.1 控制系统附加噪声是有色噪声，观测系统附加噪声是白噪声 设系统状态和观测方程为 )(),1()(),1()1(k w k k k x k k A k x +Γ++=+ (3.2.7.1) )()()()(k v k x k C k z += (3.2.7.2) 式中)(k w 为高斯—马尔可夫型随机序列（有色噪声）。 由于)(k w 为高斯—马尔可夫型随机序列，故 )()(),1()1(k k w k k H k w η++=+ 这里}0),({≥k k η为与)0(W 不相关的高斯白噪声。且 1）}0),,1({≥+k k k H 为已知； 2）{}0)(=k E η，{})(var )(k k Q ηη=为已知； 3）}0),({≥k k η与}0),({≥k k w 和)0(x 互不相关。
第6章非高斯有色噪声中的谐波恢复问题（Ⅰ） 本章研究具有非对称分布的非高斯ARMA有色噪声中的谐波恢复问题。通过分析谐波信号和非高斯有色噪的三阶累积量特性，提出了基于二阶、三阶累积量的混合SVD-TLS方法(Second-and Third-order Cumulant-based Hybrid SVD-TLS，我们称作STCH-SVD-TIS)以及混合ESPRIT方法(STCH-ESPRIT)。即先由有噪观测过程的三阶累积量估计噪声模型AR部分参数，然后由AR多项式对有噪观测值进行预滤波，最后利用滤波输出过程的自相关函数并结合高分辨率谱估计方法(如SVD-TLS，ESPRIT)来估计谐波参数。本章还通过标准的仿真实验验证了这两种方法的有效性和高分辨率。 6.1 概述 我们知道，在现有的有色噪声中的谐波恢复方法中，主要有系统辨识方法（包括最大似然(ML)法、广义最小二乘(GLS)法和迭代逆滤波(ITIF)法、噪声模型假设(如MA噪声模型假设法和AR噪声模型假设法)以及四阶累积量法。综合考查上述各类方法，系统辨识方法和噪声模型假设法必须预知噪声的模型结构，然而至今不存在着任何可用于建立噪声模型的有效方法；同时，背景噪声必须为高斯噪声(MA噪声模型假设法和AR噪声模型假设法除外），因为只有在高斯假设下，上述方法的估计结果才能得到最小二乘估计。四阶累积量方法尽管不需要假定噪声模型，但它仅适用于高斯背景噪声情形，当然这也是该类方法的最大优点。由此可以得出这样一个结论：现有的有色噪声中的谐波恢复方法绝大多数都是在噪声的高斯假设下进行研究的。尽管MA噪声模型假设法也可用于非高斯噪声情形，但由于MA模型用于具有尖锐谱峰的噪声模型描述时，往往需要很高的阶次，况且模型的阶次无法确定。因此有必要研究一般非高斯ARMA有色噪声中的谐波恢复方法。 在实际应用中，有色的非高斯噪声环境在声纳系统和信号检测中常常遇到，而具有非对称分布的非高斯噪声是一种很常见的情形，如指数分布、威布尔分布等，因此，研究具有非对称分布的非高斯噪声中的谐波恢复方法具有广泛的应用前景。 本章首先分析了谐波信号和非高斯有色噪声的三阶累积量特性，由于谐波信号的三阶累积量恒等于零，而具有非对称分布的非高斯ARMA有色噪声的三阶累积量不等于零。因此，利用有噪观测值的三阶累积量可以建立非高斯ARMA噪声的模型参数。由于有噪观测值经噪声模型的AR多项式滤波后得到的滤波输出过程的自相关函数和谐波信号预测模型的AR参数正好满足一组特殊的修正Yule-Walker(MYW)方程，因此，基于自相关的高分辨率方法都可以用来确定模型的参数。基于这一点，本章提出了STCH-SVD-TLS方法和STCH-ESPRIT方法，前者通过求解线性方程组的解来实现，后者通过求解矩阵对的广义特征值来实现。 6.2 模型假设 设零均值有噪观测值为 x n n y+ = w (n ( ) ( ) )
%白噪声及有色噪声序列的产生 设ξ(k) 为均值为0，方差为1的高斯白噪声序列，e(k)为有色噪声序 列： 1 1 1 12 123 () ()()()() () 10.50.2 () 1 1.50.70.1 C z e k G z k k D z z z k z z z ξξ ξ - - - -- --- == ++ = -++ 高斯白噪声序列ξ(k)在Matlab中由rand()函数产生，程序如下：clear all; close all; L=500; %仿真长度 d=[1 -1.5 0.7 0.1]; c=[1 0.5 0.2]; % 分子分母多项式系数 nd=length(d)-1 ;nc=length(c)-1; %阶次 xik=zeros(nc,1); %白噪声初值 ek=zeros(nd,1); xi=randn(L,1); %产生均值为0，方差为1的高斯白噪声序列 for k=1:L e(k)=-d(2:nd+1)*ek+c*[xi(k);xik]; %产生有色噪声 %数据更新 for i=nd:-1:2 ek(i)=ek(i-1); end
ek(1)=e(k); for i=nc:-1:2 xik(i)=xik(i-1); end xik(1)=xi(k); end subplot(2,1,1); plot(xi); xlabel('k');ylabel('噪声幅值');title('白噪声序列'); subplot(2,1,2); plot(e); xlabel('k');ylabel('噪声幅值');title('有色噪声序列');
随机信号分析实验 一、实验目的： ⑴了解随机信号自身的特性，包括均值（数学期望）、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。 （2）了解色噪声的基本概念和分析方法，掌握用matlab、c\c++软件仿真和分析色噪声的方法。 ⑶掌握随机信号的分析方法。 二、实验原理： 我们把除了白噪声之外的所有噪声都称为有色噪声。就像白光一样，除了白光就是有色光。 色噪声中有几个典型： ⑴粉红噪声。粉红噪音是自然界最常见的噪音，简单说来，粉红噪音的频率分量功率主要分布在中低频段。从波形角度看，粉红噪音是分形的，在一定的范围内音频数据具有相同或类似的能量。从功率（能量）的角度来看，粉红噪音的能量从低频向高频不断衰减，曲线为1/f，通常为每8度下降3分贝。粉红噪声的能量分布在任一同比例带宽中是相等的！比如常见的三分之一倍程频带宽100Hz的范围89.2__112和1000Hz的892__1120是相等的。 在给定频率范围内(不包含直流成分)，随着频率的增加，其功率密度每倍频程下降3dB(密度与频率成反比)。每倍频的功率相同，但要产生每倍频程3dB的衰减非常困难,因此，没有纹波的粉红噪声在现实中很难找到。 粉红噪声低频能下降到接近0Hz(不包括0Hz)高频端能上到二十几千赫，而且它在等比例带宽内的能量是相等的(误差只不过0.1dB左右)。粉红噪声的功率普密度图： ⑵红噪声(海洋学概念)。这是有关海洋环境的一种噪声，由于它是有选择地吸收较高的频率，因此称之为红噪声。 ⑶橙色噪声。该类噪声是准静态噪声，在整个连续频谱范围内，功率谱有限且零功率窄带信号数量也有限。这些零功率的窄带信号集中于任意相关音符系统的音符频率中心上。由于消除了所有的合音，这些剩余频谱就称为橙色音符。 ⑷蓝噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长3dB(密
第9章 噪声中信号的检测 前一章学习了经典假设检验理论，本章将要运用假设检验理论讨论噪声中信号的检测问题或最佳接收机的设计问题，在这里信号检测的含义是指从含有噪声的观测过程中判断是否有信号存在或区分几种不同的信号；而接收机实际上是对观测过程实施的数学运算。为了设计最佳接收机，首先需要指定设计准则，这可以采用第8章介绍的判决准则，然后相对于选定的准则来设计接收机，在设计通信系统的接收机时，通常采用最小错误概率准则，而对于雷达和声纳系统则采用纽曼-皮尔逊（Neyman-Pearson ）准则。本章只介绍高斯白噪声环境下信号的检测问题，高斯有色噪声以及非高斯噪声环境下的检测问题请读者参看其它相关教材。 9.1 高斯白噪声中确定性信号的检测 考虑一个简单的二元通信系统，系统发送信号)(0t y 或)(1t y ，两个信号是完全已知的，假定接收机的观测时间间隔为(0,T)，由于信道噪声的影响，接收到的信号受到噪声的污染，因此接收机观测到的过程为： 0011:()()() 0:()()() 0H z t y t v t t T H z t y t v t t T =+<<=+<< (9.1.1) 其中噪声)(t v 假定是零均值的高斯白噪声，功率谱密度为2/0N 。现在要设计一种接收机，通过对观测过程)(t z 的处理，对(9.1.1)式的两种假设作出判决。 由假设检验理论可知，最佳接收机的结构由似然比计算器与一个门限比较器组成，然而在第8章，涉及的观测数据都是离散的，因此要运用假设检验理论来解决噪声中信号的检测问题。首先需要将连续的观测过程离散化，然后再计算似然比。 假定噪声)(t v 为一带限噪声，功率谱密度为 0()/2, v G N ω=ω<Ω (9.1.2) 很显然，当Ω→∞时，带限过程趋于白噪声。带限过程的相关函数为 τ ΩτΩ?πΩ=τ) sin(2)(0N R v (9.1.3) 噪声的方差为 π Ω= σ202 N v 当/τ=πΩ时，(/)0v R πΩ=，即(0),(/),(2/),...,v v v πΩπΩ是相互正交的随机变量序列，由于
2.5 通信中的常见噪声 本节知识要点： 白噪声高斯噪声误差函数 互补误差函数高斯型白噪声窄带高斯噪声 窄带系统正弦信号加窄带高斯噪声 本节介绍几种噪声，它们在通信系统的理论分析中常常用到，实际统计与分析研究证明，这些噪声的特性是符合具体信道特性的。 2.5.1 白噪声 在通信系统中，经常碰到的噪声之一就是白噪声。所谓是指它的功率谱密度函数在整个频域 内是常数，即服从均匀分布。之所以称它为“白”噪声，是因为它类似于光学中包括全部可见光 频率在内的白光。凡是不符合上述条件的噪声就称为有色噪声。 通常被定义为
（2-22） 式中，是一个常数，单位为W/Hz。若采用单边频谱，即频率在（）的范围内，白噪声的功率谱密度函数又常写成 （2-23）由信号分析的有关理论可知，功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对，即 （2-24）因此，为 （2-25） 式（2-25）表明，白噪声的自相关函数是一个位于处的冲激函数，它的强度为。这说明，白噪声只有在 /2时才相关，而在任意两个不同时刻上的随机取值都是不相关的。白噪声的功率谱密度及其自相关函数，如图2-11所示。
实际上完全理想的白噪声是不存在的，通常只要噪声功率谱密度函数均匀分布的频率范围远远超过通信系统工作频率范围时，就可近似认为是白噪声。例如，热噪声的频率可以高到Hz，且功率谱密度函数在0～Hz 内基本均匀分布，因此可以将它看作白噪声。 2.5.2 高斯噪声 在实际信道中，另一种常见噪声是高斯噪声。所谓是指它的概率密度函数服从高斯分布（即正态分布）的一类噪声。其一维概率密度函数可用数学表达式表示为 （2-26）
1.什么是白噪声？答：白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。白噪声或白杂讯，是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。 理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让我们在数学分析上更加方便。然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。高斯白噪声的概念——."白"指功率谱恒定;高斯指幅度取各种值时的概率p (x)是高斯函数 高斯噪声——n维分布都服从高斯分布的噪声 高斯分布——也称正态分布，又称常态分布。对于随机变量X，记为N（μ，σ2），分别为高斯分布的期望和方差。当有确定值时，p (x)也就确定了，特别当μ=0，σ2=1时，X的分布为标准正态分布。 2.matlab中白噪声和有色噪声怎么表示？答：假设V和W是2个n维噪声序列，其中V表示白噪声，W表示有色噪声，在MATLAB中表示方法为： V=randn(m,n) W = filter(b,1,V); b为滤波器系数。 3. 什么叫单边功率谱和双边功率谱？他们如何计算? 答：单边功率谱密度(N0)主要用在复数信号中，双边功率谱密度(N0/2)主要用在实信号中。单边功率谱适于基带分析，在基带中是0中频。如果信号通过了调制，将原中频搬移到了高频段，原来的负频部分就成了正频，利用双边功率谱进行分析。 4.Matlab常用工具箱有哪些？答：MATLAB包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包。工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包。功能工具包用来扩充MATLAB的符号计算，可视化建模仿真，文字处理及实时控制等功能。学科工具包是专业性比较强的工具包，控制工具包，信号处理工具包，通信工具包等都属于此类。开放性使MATLAB广受用户欢迎。除内部函数外，所有MATLAB主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件，用户通过对源程序的修改或加入自己编写程序构造新的专用工具包。 Matlab Main Toolbox——matlab主工具箱；Control System Toolbox——控制系统工具箱； Communication Toolbox——通讯工具箱 Financial Toolbox——财政金融工具箱；System Identification Toolbox——系统辨识工具箱； Fuzzy Logic Toolbox——模糊逻辑工具箱 Higher-Order Spectral Analysis Toolbox——高阶谱分析工具箱； Image Processing Toolbox——图象处理工具箱 LMI Control Toolbox——线性矩阵不等式工具箱； Model predictive Control Toolbox——模型预测控制工具箱 μ-Analysis and Synthesis Toolbox——μ分析工具箱；Neural Network Toolbox——神经网络工具箱 Optimization Toolbox——优化工具箱；Partial Differential Toolbox——偏微分方程工具箱；Robust Control Toolbox——鲁棒控制工具箱
4.3 理想白噪声、带限白噪声比较分析 1、实验原理 若一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度在某一个有限频率范围内均匀分布，而在此范围外为零，则称这个过程为带限白噪声。带限白噪声分为低通型和带通型。 白噪声详细描述可参考马文平、李兵兵等编著.随机信号分析与应用.科学出版社，2006出版的书第2章节。朱华、黄辉宁、李永庆、梅文博.随机信号分析.北京理工大学出版社,2000出版的书第4章节。以及与随机信号分析相关的参考书籍。 2、实验任务与要求 ⑴ 通过实验掌握白噪声的特性以及带限白噪声的意义，重点在于系统测试与分析。算法选用matlab 或c/c++语言之一编写和仿真程序。系统框图如图2-8所示： 低通 带通 x(t) y1(t) y2(t) 图2-8 带通滤波器系统框图 ⑵ 输入信号 x(t)：x(t)分别为高斯白噪声信号和均匀白噪声信号，高斯白噪声如图2-9所示： 图2-9 高斯白噪声的时域、频域图
要求测试白噪声的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度并绘图。分析实验结果，搞清楚均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱密度的物理意义。例：均值除了表示信号的平均值，它还表示信号中有了什么成分。相关函数当τ=0时为什么会有一个冲击，表示什么，它又等于什么。信号的时域波形有哪些特征，频域又有哪些特征。频谱及功率谱密度有什么差异，什么噪声是白噪声，这个噪声符合白噪声的定义吗等等。 ⑶设计一个低通滤波器和一个带通滤波器。要求白噪声分别通过低通滤波器和带通滤波器后的信号能够表现出带限白噪声的特点。测试低通滤波器和一个带通滤波器的时频特性和频域特性以验证其正确性。 ⑷分别计算高斯白噪声、均匀白噪声经低通滤波、带通滤波器后的均值、均方值、方差、概率密度、自相关函数、频谱及功率谱密度，并加以分析。 ⑸所有结果均用图示法来表示。 ⑹白噪声在什么情况下为带限白噪声？ ⑺按要求写实验报告。
浅谈高斯白噪声信号分析 一．有色噪声与白噪声： 白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声能量 相等的噪声。一般在物理上把它翻译成白噪声（white noise）。 白噪声或白杂讯，是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。 理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让我们在数学分析上更加方便。然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。 当你需要专心工作，而周遭总是有繁杂的声音时，就可以选用这两种声音来加以遮蔽。一般来说，通常的情况下你可以选用白色噪音，而粉红色噪音则是特别针对说话声的遮蔽材料。粉红色噪音又被称做频率反比(1/f) 噪音，因为它的能量分布与频率成反比，或者说是每一个八度音程(Octave) 能量就衰退3 dB。 有色噪声： 1．粉红噪声。在给定频率范围内(不包含直流成分)，随着频率的增加，其功率密度每倍频程下降3dB(密度与频率成反比)。每倍频的功率相同，但要产生每倍频程3dB的衰减非常困难,因此，没有纹波的粉红噪声在现实中很难找到。 2．红噪声(海洋学概念)。这是有关海洋环境的一种噪声，由于它是有选择地吸收较高的频率，因此称之为红噪声。 3．橙色噪声。该类噪声是准静态噪声，在整个连续频谱范围内，功率谱有限且零功率窄带信号数量也有限。这些零功率的窄带信号集中于任意相关音符系统的音符频率中心上。由于消除了所有的合音，这些剩余频谱就称为“橙色”音符。 4．蓝噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长3dB(密度正比于频率)。对于高频信号来说，它属于良性噪声。 5．紫噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长6dB(密度正比于频率的平方值)。 6．灰色噪声。该噪声在给定频率范围内，类似于心理声学上的等响度曲线(如反向的A-加权曲线)，因此在所有频率点的噪声电平相同。
这几个概念的区别和联系：（转自：研学论坛） 白噪声，就是说功率谱为一常数；也就是说，其协方差函数在delay=0时不为0，在delay不等于0时值为零；换句话说，样本点互不相关。（条件： 零均值。） 所以，“白”与“不白”是和分布没有关系的。 当随机的从高斯分布中获取采样值时，采样点所组成的随机过程就是“高斯白噪声”； 同理，当随机的从均匀分布中获取采样值时，采样点所组成的随机过程就是“均匀白噪声”。 那么，是否有“非白的高斯”噪声呢？答案是肯定的，这就是”高斯色噪声“。这 种噪声其分布是高斯的，但是它的频谱不是一个常数，或者说，对高斯信号采样的时候不是随机采样的，而是按照某种规律来采样的。 仿真时经常采用高斯白噪声是因为实际系统（包括雷达和通信系统等大多数电子系统）中的主要噪声来源是热噪声，而热噪声是典型的高斯白噪声，高斯噪声下的理想系统都是线性系统。 相关讨论：
1、白噪声是指功率谱在整个频域内为常数的噪声，其付氏反变换是单位冲击函数的n倍（n取决于功率谱的大小），说明噪声自相关函数在t=0时不为零，其他时刻都为0，自相关性最强。高斯噪声是一种随机噪声，其幅度的统计规律服从高斯分布。高斯白噪声是幅度统计规律服从高斯分布而功率谱为常数的噪声如果在系统通带内功率谱为常数，成为带限白噪声“高斯”与“白”没有直接关系，有时人们还会提出高斯型噪声，这指的是噪声功率谱呈高斯分布函数的形状而已。 2、有一个问题我想提出来： 连续白噪声和离散白噪声序列的关系是什么？它们之间不应该是简单的采样 关系。因为连续白噪声的功率谱在整个频率轴上为常数，按照随机信号采样定理，对这样的信号采样，采样后的序列的功率谱必然发生混叠，而且混叠过后的功率谱是什么？应该是在整个频率轴上都为无穷大。这显然不满足离散白噪声序列的定义。 那离散白噪声序列跟连续白噪声有何关系？我觉得是对带限的连续白噪声进行采样后得到的，这个带限的连续白噪声信号的带宽刚好满足Nyquist抽样定理。这样采样过后的信号的功率谱就能满足定义了。 答：连续白噪声是离散白噪声在采样间隔趋近于零的极限。对带限的连续白噪声按照Nyquist采样定理进行采样就得到信息不损失的白噪声序列，当连续 白噪声的带宽趋近于无穷大时，采样率也趋近于无穷大（采样间隔趋近于零），此时不会发生频谱混叠。用极限的概念理解二者的关系就很清楚了。需要说明的是，任何实际系统都是工作于一定频带范围内的，带宽为无穷大的信号仅仅存 在于理论分析中，在实际系统中找不到。 3、对随机信号而言也有采样定理，这个采样定理是针对功率谱而言的。具 体的证明可以参看陆大金老师的随机过程教材。（清华的博士入学考试指定的参考教材） 4、对于不限带的白噪声，已经分析的比较清楚了。 而对于限带白噪声，我认为既然考虑采样定理，那么连续的限带白噪声可以 利用采样函数作为正交基的系数来表示，这些系数就是对应的噪声采样值，这个过程就是连续噪声的离散化过程，以上分析也是分析连续信道容量使用的方法。