集合
(一)集合的含义与表示
1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。(二)集合间的基本关系
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.2.在具体情境中,了解全集与空集的含义.(三)集合的基本运算
1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.根据考试大纲的要求,结合2020年高考的命题情况,我们可以预测2020年集合部分在
知识网络
考纲导读
列举法
描述法
确定性 包含关系
无序性
互异性 集合
集合与集合的关系
集合的概念
元素的性质
分类
集合的表示法
集合运算
有限集
无限集 空集
子集
相 等
真子集
并集
交集
补集
高考导航
选择、填空和解答题中都有涉及,高考命题热点有以下两个方面:一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查,题型多以选择、填空题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体,以集合的语言和符号为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现.
第1课时 集合的概念
一、集合
1.集合是一个不能定义的原始概念,描述性定义为:某些指定的对象 就成为一个集合,简称 .集合中的每一个对象叫做这个集合的 .2.集合中的元素属性具有:
(1) 确定性; (2) ; (3) .
3.集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种,有限集常用 ,无限集常用 ,图示法常用于表示集合之间的相互关系.二、元素与集合的关系
4.元素与集合是属于和 的从属关系,若a 是集合A 的元素,记作 ,若a 不是集合B 的元素,记作 .但是要注意元素与集合是相对而言的.三、集合与集合的关系
5.集合与集合的关系用符号 表示.
6.子集:若集合A 中 都是集合B 的元素,就说集合A 包含于集合B (或集合B 包含集合A ),记作 .
7.相等:若集合A 中 都是集合B 的元素,同时集合B 中 都是集合A 的元素,就说集合A 等于集合B ,记作 .
8.真子集:如果 就说集合A 是集合B 的真子集,记作 .
9.若集合A 含有n 个元素,则A 的子集有 个,真子集有 个,非空真子集有 个.
10.空集?是一个特殊而又重要的集合,它不含任何元素,?是任何集合的 ,?是任何非空集合的 ,解题时不可忽视?.
例1. 已知集合8|
6A x N N x ?
?
=∈∈??-??
,试求集合A 的所有子集.解:由题意可知6x -是8的正约数,所以 6x -可以是1,2,4,8;相应的x 为
典型例题
基础过关
2,4,5,即{}2,4,5A =.
∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ.
变式训练1.若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a
??+=???
?
求b-a 的值.
解:由{}1,,0,,b a b a b a
??+=???
?
可知a ≠0,则只能a+b=0,则有以下对应关系:
1a b b
a a
b +=???=??=??
①或 01a b b a b a
??+=?=???=? ②由①得1
,1a b =-??=?
符合题意;②无解.所以b-a=2.例2. 设集合2
{2,3,23}U a a =+-,{|21|,2}A a =-,{5}U C A =,求实数a 的值.解:此时只可能2235a a +-=,易得2a =或4-。当2a =时,{2,3}A =符合题意。
当4a =-时,{9,3}A =不符合题意,舍去。故2a =。
变式训练2:(1)P ={x|x2-2x -3=0},S ={x|ax +2=0},S ?P ,求a 取值?(2)A ={-2≤x ≤5},B ={x|m +1≤x ≤2m -1},B ?A,求m 。
解:(1)a =0,S =?,??P 成立 a ≠0,S ≠?,由S ?P ,P ={3,-1}得3a +2=0,a =-
23或-a +2=0,a =2; ∴a 值为0或-2
3
或2.(2)B =?,即m +1>2m -1,m<2 ∴?A 成立.
B≠?,由题意得121
21521m m m m +≤-??
-≤+??≥-?
得2≤m≤3
∴m<2或2≤m≤3 即m ≤3为取值范围.注:(1)特殊集合?作用,常易漏掉
例3. 已知集合A={x|mx2-2x+3=0,m ∈R}.(1)若A 是空集,求m 的取值范围;
(2)若A 中只有一个元素,求m 的值;
(3)若A 中至多只有一个元素,求m 的取值范围.
解: 集合A 是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.(1)∵A 是空集,∴方程mx2-2x+3=0无解.∴Δ=4-12m<0,即m>13
.
(2)∵A 中只有一个元素,
∴方程mx2-2x+3=0只有一个解.
若m=0,方程为-2x+3=0,只有一解x=32
;
若m ≠0,则Δ=0,即4-12m=0,m=13
.
∴m=0或m=13
.
(3)A 中至多只有一个元素包含A 中只有一个元素和A 是空集两种含义,根据(1)、(2)的结果,
得m=0或m ≥13
.
变式训练3.(1)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}且1∈A ,求实数a 的值;(2)已知M={2,a ,b},N={2a ,2,b2}且M=N ,求a ,b 的值.解:(1)由题意知:
a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1,
∴a=-1或-2或0,根据元素的互异性排除-1,-2,∴a=0即为所求.
(2)由题意知,22a a b b =??=?或2012a a b b b a =?=????==??或00a b =??=?或14,1
2
a b ?=????=??根据元素的互异性得01
a b =??
=?或1
412
a b ?=???
?=??即为所求.例4. 若集合A ={2,4,32
27a a a --+},B ={1,a +1,2
22a a -+,2
1(38)2
a a -
--、3237a a a +++ },且A ∩B ={2,5},试求实数a 的值.
解:∵А∩В={2,5},∴2∈A 且5∈A ,
则3
2
27a a a --+=5?(a -2)(a -1)(a +1)=0,∴a =-1或a =1或a =2.
当a =-1时,B ={1,0,5,2,4},与A ∩B ={2,5}矛盾,∴a ≠-1.
当a =1时,B ={1,2,1,5,12},与集合中元素互异性矛盾,∴a ≠1.
当a =2时,B ={1,3,2,5,25},满足A ∩B ={2,5}.故所求a 的值为2.
变式训练4.已知集合A ={a ,a +d ,a +2d},B ={a ,aq ,2
aq },其中a ≠0,若A =B ,求q 的值
解:∵A =B
∴(Ⅰ)?????=+=+22aq
d a aq d a 或 (Ⅱ) ?????=+=+aq
d a aq
d a 22由(Ⅰ)得q =1,由(Ⅱ)得q =1或q =-21.
当q =1时,B 中的元素与集合元素的互异性矛盾,
∴q =-2
1
1.本节的重点是集合的基本概念和表示方法,对集合的认识,关键在于化简给定的集合,确定集合的元素,并真正认识集合中元素的属性,特别要注意代表元素的形式,不要将点集和数集混淆.
2.利用相等集合的定义解题时,特别要注意集合中元素的互异性,对计算的结果要加以检验.
3.注意空集φ的特殊性,在解题时,若未指明集合非空,则要考虑到集合为空集的可能性. 4.要注意数学思想方法在解题中的运用,如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用.
第2课时 集合的运算
一、集合的运算
1.交集:由 的元素组成的集合,叫做集合A 与B 的交集,记作A∩B,即A∩B = .
2.并集:由 的元素组成的集合,叫做集合A 与B 的并集,记作A∪B,即A∪B = .
3.补集:集合A 是集合S 的子集,由 的元素组成的集合,叫做S 中子集A 的补集,记作S C A ,即S C A = . 二、集合的常用运算性质
1.A ∩A = ,A ∩?= ,A ∩B= ,B ∩A ,A ∪A = , A ∪?= ,A ∪B =B ∪A
2.U A C A ?= ,U A C A ?= ,()U C C A = .
基础过关 归纳小结
3.()U C A B ?= ,
()U C A B ?= ,
4.A∪B=A ? A ∩B =A ?
例1. 设全集U R =,{|M m =方程210mx x --=有实数根},{|N n =方程20x x n -+= 有实数根},求()U C M N ?.
解:当0m =时,1x =-,即0M ∈; 当0m ≠时,140,m ?=+≥即14m ≥-,且0m ≠ ∴14
m ≥-, ∴1|4U C M m m ?
?=<-????
而对于N ,140,n ?=-≥即14n ≤
,∴1|4N n n ?
?
=≤????
. ∴1()
|4U C M N x x ?
?=<-???
?
变式训练1.已知集合A=6|
1,R ,1x x x ??
≥∈??+?
?
B={}
2|20,x x x m --< (1)当m=3时,求()R A C B ?;
(2)若A B {}|14x x =-<<,求实数m 的值.
解: 由61,1
x ≥+得50.1
x x -≤+∴-1<x ≤5,∴A={}|15x x -<≤.
(1)当m=3时,B={}|13x x -<<,则R C B ={}|13x x x ≤-≥或, ∴()R A C B ?={}|35x x ≤
≤.
(2)∵A={}{}|15,|14,x x A
B x x -<≤=-<<∴有42-2×4-m=0,解得m=8.
此时B={}|24x x -<<,符合题意,故实数m 的值为8. 例2. 已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >.
典型例题
(1)若A B =?,求a 的取值范围; (2) 若A B B =,求a 的取值范围.
解:(1)A B =?, ∴1
35
a a ≥-??
+≤?,解之得12a -≤≤. (2) A B B =, ∴A B ?. ∴31a +<-或5a >, 4a <-或5a > ∴若A
B =?,则a 的取值范围是[1,2]-;若A B B ?=,则a 的取值范围是
(,4)(5,)-∞-?+∞.
变式训练2:设集合A={}
2|320,x x x -+=B {}
22|2(1)(5)0.x x a x a =+++-= (1)若A B {}2,=求实数a 的值; (2)若A B=A ,求实数a 的取值范围;
(3)若U=R ,A (U C B )=A.求实数a 的取值范围. 解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={}1,2. (1)∵A B {}2,=∴2∈B ,代入B 中的方程, 得a 2
+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;
当a=-1时,B={}
{}2|402,2,x x -==-满足条件; 当a=-3时,B={}
{}2|4402,x x x -+==满足条件; 综上,a 的值为-1或-3. (2)对于集合B ,
?
=4(a+1)2-4(a 2
-5)=8(a+3).
∵A B=A ,∴B ?A,
①当?<0,即a <-3时,B=?,满足条件; ②当?=0,即a=-3时,B {}2,=,满足条件;
③当?>0,即a >-3时,B=A={}1,2.才能满足条件, 则由根与系数的关系得
2
122(1)125a a +=-+???=-?即25
,27
a a ?=-
???=?
矛盾; 综上,a 的取值范围是a ≤-3.
(3)∵A (U C B )=A ,∴A ?U C B ,∴A ;B =? ①若B=?,则?<03-
②若B ≠?,则a=-3时,B={}2,A B={}2,不合题意;
a >-3,此时需1?B 且2?B ,将2代入B 的方程得a=-1或a=-3(舍去); 将1代入B 的方程得a 2
+2a-2=01 3.a ?=-± ∴a ≠-1且a ≠-3且a ≠-1 3.±
综上,a 的取值范围是a <-3或-3<a <-1-3或-1-3<a <-1或-1<a <-1+3或a >-1+3. 例3. 已知集合A={}2|(2)10,R ,x x a x x +++=∈B {}R |0x x =∈>,试问是否存在实数a ,使得A B ??= 若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由. 解:方法一 假设存在实数a 满足条件A B=?则有
(1)当A ≠?时,由A B=?,B {}R |0x x =∈>,知集合A 中的元素为非正数, 设方程x 2
+(2+a)x+1=0的两根为x 1,x 2,则由根与系数的关系,得
???
??>=≥<+-=+≥-+=?01;0,0)2(04)2(2
1212x x a a x x a 解得
(2)当A=?时,则有?=(2+a)2-4<0,解得-4<a <0.
综上(1)、(2),知存在满足条件A B=?的实数a,其取值范围是(-4,+∞).
方法二 假设存在实数a 满足条件A B ≠?,则方程x 2
+(2+a)x+1=0的两实数根x 1,x 2至少有
一个为正,
因为x 1·x 2=1>0,所以两根x 1,x 2均为正数.
则由根与系数的关系,得212(2)40,(2)0
a x x a ??=+-≥?+=-+>?解得04, 4.2a a a a ≥≤-?≤-?
<-?或即 又∵集合{}|4a a ≤-的补集为{}|4,a a >-
∴存在满足条件A B=?的实数a,其取值范围是(-4,+∞).
变式训练3.设集合A={(x,y )|y=2x-1,x ∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x ∈N*},问是否存在非零整数a,使A ∩B ≠??若存在,请求出a 的值;若不存在,说明理由. 解:假设A ∩B ≠?,则方程组
2
21
y x y ax ax a
=-??=-+?有正整数解,消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.
由Δ≥0,有(a+2)2-4a(a+1)≥0,解得-2323a ≤≤.因a 为非零整数,∴a=±1,
当a=-1时,代入(*),解得x=0或x=-1, 而x ∈N*.故a ≠-1.当a=1时,代入(*),
解得x=1或x=2,符合题意.故存在a=1,使得A ∩B ≠?, 此时A ∩B={(1,1),(2,3)}.