工厂生产安排问题
摘要
题目要求解决的是工厂生产最佳安排问题，在公司生产能力，生产单位成本随月份的变化，而且每月产品需求量又一定，以及产品库存需要库存费用等不同影响因素的条件，要达到完成需求量所需要的产品量，同时根据实际情况，需要使生产成本最低的背景，建立此优化分配模型。
对于问题一中的问题，将该生产的问题看成一个运输的问题，将每月不同的生产状态可比作为六个节点即六个不同的仓库，每个仓库往不同地方运输产品的成本各不相同，每月的需求量可看作三个产品需求地，为满足每个地方产品需求，设计相应的网状模型。
对于问题二，考虑所有相关的影响成本的因素，进行产品生产的分配使生产的成本最低。相应的因素有产品的单位生产成本随月份而增加，产品库存需要费用也会增加产品的成本，针对主要的因素找到9个变量，在相应的条件约束下，我们利用LINGO软件对其进行求解，即可得出答案。
对于问题三，在问题二中求解出的各变量的值，进行各月产品生产的分配，即可使总产品生产成本最低。
对于问题四，我们明白其生产力的空闲情况，工厂可以根据此分析对空闲生产力做出更好的处理，以此来获得更好的收益。
关键词：最低成本；线性规划；LINGO软件；
问题重述
某公司生产三种产品，公司预计3种特殊产品后3个月的需求分别为150、250和300个单位。此公司可以通过正常生产或加班来满足这些需求。因为还有其他的订货需求,所以预计后3个月的生产成本会逐步增加.后3个月的生产能力以及单位生产成本如下表：
库存量可以从这个月留到下个月，但是每个月的库存单位成本为200元。例如正常状态下1月生产出来的满足2月需求的产品单位成本为500+200=700（元）。同样，1月生产出来满足3月需求的产品单位成本为500+2*200=900（元）。
1.把这个问题看成一个运输问题，设计表述该生产安排问题的网络模型。
（提示：用6个起点节点，起点节点1的最大供给量是它能在常态下生产的最大量）。
2．设计一个线性规划模型，用来安排后3个月常态下的生产和超时加班的生产。3．生产如何安排？每月库存为多少单位？总成本为多少？
4．还有空闲的生产能力吗？如果有，在哪里？
问题背景：
在工厂实际大规模生产过程中，对产品生产的合理分配可以使产品的生产成本最低，即工厂获得最大的利润，这是每个工厂生产最关注也是最重要的。每一件产品从生产开始直到最后的出厂，所有的消耗都是成本的一部分，原材料，加工，存储，运输等费用都是产品生产成本的一部分。只有考虑好产品生产的效率，产品不同时期生产的最大限度量，以及不同的时期产品生产的成本，不同时期市场需求量不同，还有不同产品生产效率的不同，对产品不同时期进行生产力的合理分配，才能使得产品的生产成本最低。在一些工厂的实际生产中，产品的生产成本会在相应产品销售旺季时期其相应的生产成本会增加，然而产品的库存也需要消耗成本，只有合理的分配好各时期产品生产量才可以获得最大利润。管理分配效益的合理性事影响企业经济效益好坏的一个重要因素，因此企业利润的高低将取决于成本。
问题分析：
对问题一的分析，先将生产的问题转化为运输的问题，使产品单位生产成本要等于单位产品的运输成本，建立的6个起始节点看做6个不同的仓库，其库存量分别于产品生产问题中每月的产品生产的限度对应，每月的产品生产成本可用作实际运输中，各仓库距离运输目的
不同对应的运输成本也会不同。设计了个相应的网状模型，使问题更加的清晰。
针对第二，三问题从以下三个方面分析
对已知条件的分析:从已知条件来看，最后三个月随着月份增加，产品的生产成本随之增加，而在最后第三个月中，其生产的能力明显满足不了该月的市场需求。但在前两个月中在满足该月市场需求的前提下还有多余的生产力，所以要进行生
产力的分配去满足每月的市场需求量。还考虑到生产过多的产品，库存也需要消耗相应的费用，使得产品的生产成本增加，只有合理分配好每月生产力，才能使生产的成本最低。
（2）对目标函数的分析：总成本主要有两部分，即产品生产成本和产品库存的成本，跟据题目的信息，每月常态生产产品量乘以产品单位生产成本和加工生产产品量乘以相应产品单位生产成本，即产品生产的总成本。还有产品的库存用与生产力不足的月份，一月库存的产品供应二，三月的市场需求量分别为3x、4x，二月库存的产品供应三月的市场需求量7x，已知单位产品每月的库存成本，即可得产品总的库存成本。
（3）对约束条件的分析：题目中的约束条件有每月产品生产量不得超过产品生产最大限度，每月的常态生产量和加工生产量都有最大值，每月的产品量要多于市场需求。
模型假设及符号说明
问题假设
假设1：生产出来的产品全都合格；
假设2：库存对产品销售不产生影响；
假设3：3种产品生产效率应该相同
符号说明
模型建立
此题解决的是工厂生产最佳安排问题，在公司生产能力，生产单位成本随月份的变化，而且每月产品需求量又一定，以及产品库存需要库存费用等不同影响因素的条件，要达到完成需求量所需要的产品量，同时根据实际情况，需要使生产成本最低的背景，建立此优化分配模型。
对于问题二，我们要求考虑每个月的实际生产能力和每生产单位产品所需要的成本价的变化，在满足订货需求的条件下合理的安排生产，使总成本最小。所以设出每月生产的产品的量，其中：
1x 275
≤；
2100x ≤； 5200x ≤； 650x ≤；
8100x ≤； 950x ≤；
然后找出产品量中的各种关系：
1234150
x x x x +--=；
5637250x x x x ++-=； 4789300x x x x +++=；
而生产出这些产品所需的总成本为：
1234567895008002004005008002006001000w x x x x x x x x x =++++++++； 运用这些关系建立一个线性规划模型，
最后使得min w =，并借助 LINGO 软件，计算出min w =及此时对应的1x
到9x 的
值。
问题求解
问题一的求解
要求把这个问题设计成一个运输问题，则根据题中条件可设计为：
现有6个仓库（起始节点），它们的存货量分别为275，100，200，50，100，50个单位，其中一、二号仓库需向市场（终止节点）运送150个单位的货物，三、四号仓库需向市场运送250个单位的货物，五、六号仓库需向市场运送300个单位的货物，每个仓库的单位运输成本如下表：
求满足运输条件的最低运输成本。
问题二、三、四的求解：
问题二是设计一个线性规划模型，用来安排后3个月常态下的生产和超时加班的生产。
在模型建立分析中我们可建立的模型为：
min w =
1234567895008002004005008002006001000w x x x x x x x x x =++++++++；
1x 275
≤；
2100x ≤； 5200x ≤； 650x ≤； 8100x ≤； 950x ≤；
1234150
x x x x +--=；
5637250x x x x ++-=； 4789300x x x x +++=；
问题三即将问题二中模型解出，进过lingo 编程求解，得到满足约束条件的最低总成本为w =467500元，此时后3个月常态下的生产和超时加班的生产情况为：
1275;x = 225x =； 3150x =； 40;x = 5200;x = 650x =； 7150x =； 8100;
x =
950x =。
即一月正常生产275个单位，加班生产100个单位，其中为二月库存225个单位，为三月库存0个单位；二月正常生产200个单位，加班生产25个单位，其中为三月库存200个单位；三月正常生产100个单位，加班生产0个单位。 问题四是问是否有空闲的生产能力,只需将计算出来的生产量与最大生产能力相比就可以了：
1x 275
≤；
2100x ≤； 5200x ≤； 650x ≤； 8100x ≤； 950x ≤；
由对比可知此种安排方式有空余生产力，在一月加班中有空闲的75个单位的生产力。
模型的分析：
此模型分析得比较简单，将三个产品作为一个，而且视生产出来的产品全部为合格产品，但这些对此题的计算影响不是很大，所以总的来说所建立的模型对题目的解答合理，符合题目要求。 模型的评价：
优点一：能够较准确的计算出各月份生产量的分配，因而能合理的分配生产
力，使得总的成本最低。
1275;x = 225x =； 5200;x = 650x =； 8100;x =
950x =；
优点二：考虑到各个阶段变量之间的相互制约关系，从全局考虑建立最优化模型进行求解，避免了陷入局部最优。
优点三：有顺序，有步骤地给出优化方案，把复杂的问题简单明朗化，显得通俗易懂。
缺点：在实际生活中，三种产品不能简单的混为一谈，作为一种去计算，而且生产出来的产品不是全部为合格产品，库存对产品质量有一定
的影响，所建立的模型对题目的解答合理，但与实际生活中还是有
少数差异。
模型的改进
（1）建模时未考虑到库存量的限度和生产产品的合格率，在实际生产中应该生产比规定多余的产品，以保证满足市场的需求。
（2)题目中有三种产品，在解决问题时假设三种产品的生产效率相同，并没有考虑到不同产品生产效率的不同，为了使问题简化，尽量使各产品生产消耗时间一样。
模型的推广
这个模型的建立在生活中的很多方面都是适用的，就是一种供求关系的相互协调，在需求变化的情况下，如何调整供应来满足需求，并且尽可能地节约成本。此模型不仅可用于安排生产问题，也可用于其它资源的安排，还可用于诸如企业人员分配、资产投资等其它相似整数规划和组合规划等类型的问题。
附录
问题一的程序：
min=500*x1+800*x2+200*x3+400*x4+500*x5+800*x6+200*x7+600*x8+1000*x9; x1<=275;