习题二 向量的点积与叉积
一、是非题
解：1.（×）满足000=?≠≠b a b a ,,的向量a 与b 平行，可能同向或反向. 2.（√）由向量点积定义可得.
3.（×）b a ?的大小表示a ,b 两向量构成的平行四边形的面积.
4.（√）c a b a ?=?，即0)(=-?c b a ，所以)(c b a -⊥.
二、填空题
解：1. 1413)2(2
2
2
=++-=a ，21)1(2
2
=+-=b ,
所以夹角余弦为7
1
72221411)1(302cos -=-=??+-?+?-=??=
b a b a θ. 而以向量a ,b 为邻边的平行四边形的面积即为b a ?，所以
62)7
1(1214cos 1sin 2
2=-
-??=-?=?=θθb a b a S . 2. 由向量加法的三角形法则及余弦定理，有2
32
3222)32(2cos 2
22=
??-+=θ，得a 与b 的夹角为6
π=
θ. 3. k j i a 2++-=，k j i b 2+-=，所以
222)1(11)1(=?+-?+?-=?b a ，j i j i b a 442
11211+=--=?k
.
4. 22
2224πsin =??=?=?b a b a .
三、选择题
解：1.(A) 因为1)32(
)3
1()3
2(22
2
=-++，所以),,(3
23132-可以作为方向余弦.
2. (C)因为向量的点积满足乘法分配律.
3. (B)因为k j i a ++=，k j i j 010++=，所以同时垂直于a 和Oy 轴的单位向量为)(21
1
)1(22k i k i k i k i j a j a c +-±=+-+-±=+-+-±=??±
=.
4.(C)由三角形法则及余弦定理，133
π
2cos 432432
2
=???-+=+b a .
四、解：1. k j i k
j i
b a 7351
1223
1
-+=-=?,83)7(35222=-++=?b a ,
所以同时垂直于a ,b 的单位向量为{}73583
1-±
,,,即???
??
?-±837833
83
5
,
,
.
2.设{}p n m ,,=b ，由题意有???
??=++-==,
14,2
36222p n m p n m 解得12±=m ，6±=n ，4 =p ，因此所求向量为{
}4,6,12-±=b . 3.{}2,3,1-=，{}8,0,2-=，k j i k
j i
612248
2
231
++=--=?AC AB ， ABC ?的面积是以AC AB ,为邻边的平行四边形面积的一半，于是
213612242
1
222=++==
?S ABC .