《高等几何》复习题
一、填空题
1、平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形；
2、线坐标(1,2,1) 的直线的齐次方程为：x12x 2x 30 ；
3、直线3x12x 20 上的无穷远点坐标为：（ 2,-3,0）；
4、设 (AB,CD)= 2，则点偶AC调和分割点偶BD；
5、两个射影点列成透视的充要条件是保持公共元素不变；
6、写出德萨格定理的对偶命题：三线形对应边的交点共线，则对应点连线共点。
7、两个线束点列成透视的充要条件是底的交点自对应
8、求射影变换' 2 10 的自对应元素的参数1
9、平面上 4 个变换群，射影群、仿射群、相似群、正交群的大小关系为：
射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群。
10、二次曲线的点坐标方程为4x1x3x 220 ，则其线坐标方程为是u1u3 u 220 .
11、经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量.
12、共线三点的简比是仿射不变量 .
13、平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一仿射变换.
1
14、已知 OX 轴上的射影变换式为x '2x1，则原点的对应点-
x33
15、u12u 22=0 代表点(1,1,0) 、 (1,- 1,0)的方程 .
16、ABCD 为平行四边形，过 A 引 AE 与对角线 BD 平行，则 A(BC,DE) = -1
17、对合由两对不同的对应元素唯一决定 .
18、二阶曲线就是两个射影线束对应直线交点的全体 .
19、方程u125u1u26u 220 表示的图形坐标（ 1,2,0）（ 1,3,0）
20、罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做分散直线 .
21、平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形；
22、直线x15x 20 上无穷远点坐标为：（ 5，-1， 0）
23、已知(l1l2, l3l4)3 ,则 (l 4 l3 ,l 2l1 )3,( l1 l3 , l 2 l 4 )-2
24、过点 A(1,i ,2)的实直线的齐次方程为：2x 1x 30
25、两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线 .
26、不在二阶曲线 C 上的点 P 关于 C 的调和共轭点的轨迹是一条直线, 称为 P 的极线 .
二、选择
1、下列哪个图形是仿射不变图形？( D )
A. 圆 ,
B.直角三角形 ,
C.矩形 ,
D. 平行四边形
2、u122u1u28u22=0表示(C)
A. 以 -1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点,
B. 以 -4 为方向的无穷远点和以 2 为方向的无穷远点,
C. 以 4 为方向的无穷远点和以-2 为方向的无穷远点,
D. 以 1/4 为方向的无穷远点和以-1/2 为方向的无穷远点.
3、两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( B )
A. 一次 ,
B. 两次 ,
C. 三次 ,
D. 四次 .
4、下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有(A)：
A.三角形的垂心，
B. 梯形，
C.平面内无三线共点的四线有六个交点，
D.椭圆
5、二次曲线按射影分类总共可分为( B )
A.4 类，
B.5 类，
C.6 类，
D.8 类
6、设P1 (1) ，P2 (-1) ，P3 ( )为共线三点，则(P1P2 P3 )A.
A.1 ，
B.2 ，
C.3，
D.4
7、已知共线四点 A 、 B 、C、 D 的交比 (AB ， CD)=2 ，则 (CA ， BD)= D.
A.-4 ， B-3， C.-2， D.-1
8、若共点四直线a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1 ，则交比(ad,bc)= B.
A.1 ，
B.2 ，
C.3，
D.4
9、点坐标为 (1,0,0) 的方程是A.
A.u 1=0，
B. u 2=0，
C. u2=0 ，
D. u4=0
10、证明公理体系的和谐性常用C.
A.公理法，
B. 反证法，
C. 模型法，
D. 演绎法
11、一点列到自身的两射影变换,其中为对合的是B
A. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ；
B. 0 1， 2 3 ， 10
C. 1 3 ， 2 1， 3 4 ；
D. 01， 2 3 ， 12
12、下列哪个名称或命题属于射影几何学( C )
A.三角形三条高线共点,
B. 直角三角形 ,
C. Desargues 定理 ,
D. 梯形 .
13、满足条件( C )的一维射影变换必为对合变换.
A.有一个自对应点,
B. 有两个自对应点,
C. 有两个对合点 ,
D. 有三个对合点 .
14、一维射影变换 f 如果满足 f -1=f, 则称之为( A )变换.
A.对合,
B. 简单 ,
C. 线性 ,
D. 非奇 .
三、判断
1、仿射对应不一定保持二直线的平行性.（×）
2、两直线能把射影平面分成两个区域.（√）
3、当正负号任意选取时，齐次坐标( 1, 1,1) 表示两个相异的点.（×）
4、若一维射影变换的一对对应元素(非自对应元素 )符合对合条件，则它一定是对合.（√）
5、配极变换是一种非奇线性对应.（√）
6、共线四点的交比是仿射不变量. （√）
7、平行四边形的射影对应映像仍然是平行四边形. （×）
8、直线 2x 1 x 2 x 3
0上的三点 A (1,3,1) , B(2,5,1) ,
C(1,2,0)
的单比 (ABC)= 0. （ × ）
9、共线三点的简比是射影不变量 . （ × ）
10、Desargues 定理是自对偶命题 . （ × ）
11、二直线所成角度是相似群不变量
. （ √ ）
12、二维射影对应有 3 对对应点唯一确定 . （ × ）
13、若交比 (P 1P 3, P 2P 4)=2, 则 (P 1P 2, P 3P 4)=-1.
（ √ ）
14、一维射影变换如果有一个自对应点则必定为对合变换 . （ × ）
四、计算、作图
1、求点 (1,-1,0) 关于二阶曲线 3x 12
5x 22
x 32 7x 1x 2 4x 1 x 3 5x 2 x 3
0 的极线方程 .
3 7 / 2
2 x 1
解：极线方程 (1,-1,0)
7 / 2 5 5 / 2 x 2 =0, 即 x 1 3x 2 x 3
2
5 / 2
1
x 3
2、求仿射变换式使直线 x ＋ 2y － 1＝ 0 上的每个点都不变，且使点 (1,-1) 变为 (-1,2).
解：设所求仿射变换为
x 1 x b 1 y
c 1
y
2
x
b 2 y
c 2
在已知直线 x+2y-1=0 上任取两点，例如取
(1,0) 、 (3,-1), 在仿射变换下，此二点不变。
而点 (1,-1)变为 (-1,2), 把它们分别代入所设仿射变换式，得
1
c 1 1 3
c 2
,
2
3
1
b 1
c 1 3 1 b 1 c 1 1
b 2
c 2
1
,
b 2
c 2
2
2 2
由以上方程联立解得：
1＝ 2， b 1 =2, c 1 =-1,2 =- 3
, b 2 =-2, c 2 = 3
2 2
x 2x 2y 1
故所求的仿射变换为：
y
3x 2y
3
2
2
x 1
x 1
3、求射影变换x 2
x 2 的固定元素。
x 3
x 3
(
1 u)x 1 0
1 u 0
解：固定元素的方程为
(1 u) x 2 0 , 特征方程为 0 1 u
(1 u) x 3
解得 u=1 , u = -1.
将 u = -1 代入固定点方程组，即得固定点为 (1,0,0)
将 u=1 代入固定点方程组，得
x 1=0 这一点列上的每一点都是固定点。
4、求对合对应 , 使得 3, 5 分别对应与
2,1.
0 0
=0,
即 (1+u)(1-u) 2=0
1 u
A
E
a
b c C
d
F B
D
G
题四 5 图
解： 设所求变换为
kx ′=Ax, 则 A=
a b . 依题
c a
2k 1
k 2 3 5
2k 1 k 2 1
1 2k 1 k 2
1
=A
, 解得
A=
3 5 1 5
k 1 k 2
1 1 k 1
k 2
=
2
k 1 k 2
13
1 1
1 2 1
k 2 10
1
3
2
k
k
k
.
=
k 1 k 2 5k 1
2
3k 2
由于 -2k 1+k 2 = 3k 2-5k 1, 所以 , 可取 k 1
=8, k 2 =14, 从而得 A =
1 11 , 即所求变换为
1
1
x
x 11 .
x
1
5、已知线束中三直线 a,b,c ，求作直线 d ，使 (ab,cd)= -1. ( 画图，写出作法过程和根据 )
作法过程：
1. 设 a,b,c 交于点 A ，在 c 上任取一点 C,
2. 过 C 点作两直线分别与 a 交于 B 、 E ，与 b 交于 F ， D ，
3. BD 与 EF 交于 G ,
4. AG 即为所求的 d.
根据：完全四点形的调和共轭性
.
6、 平面上经过 A(-3,2) 和 B(6,1)
两点的直线被直线
x+3y-6=0 截于 P 点，求单比 (ABP)
解：设 P 点的坐标为 (x 0,y o ),
Q ( ABP) AP
AP （分割比），
而 : x 0
3 6 , y 0 2 且 P 在直线 x+3y-6=0 上，
BP PB
1
1
( 3 6
) 3(
2
) 6 0 , 解得 λ =1, 即 P 是 AB 中点，且 (ABP) = -1.
1
1
7、 已知仿射平面上直线 L 的非齐次坐标方程为 x-2y+1=0 ，求
(1)
L 的齐次坐标方程；
(2) L 上无穷远点的坐标； (3) L 上无穷远点的方程。
(1) x 1 - 2x 2 +x 3 =0
(2) (1,1/2,0)
(3) u 1
u 2 =0
2
8、 在直线上取笛氏坐标为 2,0,3 的三点作为射影坐标系的 P * ,P 0, E ， (i) 求此直线上任一点 P 的笛氏坐
标 x 与射影坐标 λ的关系；（ ii ）问有没有一点，它的两种坐标相等？
解： (i) 由定义
λ=（P * P 0， EP ）=（ 2 0，3x ） =
(3
2)(x 0)
3x x
( x 2)(3 0)
6
故：
x ，且 1
0 6 0
3x 6 3 6
(ii) 若有一点它的两种坐标相等，即x= λ则有 x
x ，即 3x 2
－ 7x=0 ，
3x 6
7
∴当 x=0 及 x= 时两种坐标相等。
9、 求点列上的射影变换， 它将参数为 1,2,3 的点分别变为参数为 1,3,2 的点， 并求出此射影变换的自对
应元素的参数。
解：设射影变换的方程为：
a b c
d 0 , 由题意知： a+ b c d 0 ,
6a 2b 3c d 0 , 6a+3b+2c+d=0 ,
得到： a : b : c : d 3 : 5 : 5 : 7 故射影变换方程为： 3 ' 5 5 ' 7 0
二重元素满足： 3 2
10 7 0
得 =7/3 或 =1
10、 求由两个射影线束
x 1 x 3 0 ， x 2
x 3
0 ， 3
0所构成的二阶曲线的方程。
解：由题意
3 , x 2 3 x 3
0 , 由上式得
x 2 x 1
, 故所求方程即为 3x 1x 3 x 2 x 3 0 .
3x 3
x 3
11、求直线 3x 1
x 2
6x 3 =0 关于 x 12
x 22 2x 1 x 2 +2 x 1 x 3 -6 x 2 x 3 =0 之极点。
1 1 1 x 10
3 解：设 P 0 ( x 10 , x 20 , x 30 )
为所求 , 则
1 1
3
x 20 =
1
1
3 0
x 30
6
x 10 x 20
x 30
3
解线性方程组
0 0 0
1
x
1
x
2
x
得
x
1 3, x
2 1, x
3
1
,
3
3
x 10 x 20
6
即 (3,-1,-1) 为所求极点的坐标 .
12、求直线 x- 2y+3=0 上无穷远点的坐标。
解：化为齐次式
x - 2x 2
+3x 3
=0,以 x =0 代入
1
3
得
x 1
2 =0，
1
2 或
2 =
1 x
1
- 2x x =2x
x 2
∴
无穷远点坐标为 (2， 1，0)
x 7x y 1
的不变点 .
13、求仿射变换
4x 2y
y
4
x 7x y 1 6x y 1 0 1
解：由
得
y 4 0
解此方程，得不变点为 (, 2)
y 4x 2 y 4
4x
2
14、求四点 (2， 1， - 1)， (1， - 1， 1)， (1， 0， 0)， (1， 5， - 5)顺这次序的交比 . 解：以 (2， 1， - 1)和 (1， - 1， 1)为基底， 则 (2， 1， - 1)+ μ1(1,- 1,1)相当于 (1， 0， 0)
∴
2
1
1
1
1
1
1
0 0
得
μ
又
(2， 1， - 1)+ μ2(1,- 1,1)相当于 (1， 5， - 5)
∴ 2
2
1
2
1
2
1
5
5
得
μ2=-
3
2
所求交比为
1
2
2
3
15、试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束
x - λx =0 与 x -
x =0
(
=)所决定的 .
1
3
2
3
1
2
解：∵
=
1
将 x 1- λx 3=0, x 2-
x 3=0 中的， λ，
代入 (1) 得
(1)
2
x 1 1
x 2
x 3 x 1 x 3
,
x 2(x 1+2x 3)- x 3(x 1- x 3)=0 ，化简，即得所求的二阶曲线方程
x 3
x 1 2 x 1 2x 3
x 3
x 1x 2 2x 2x 3 x 1 x 3 x 32
1 16、求两对对应元素，其参数为
1 ， 0 2，所确定的对合方程。 2
解
设所求为
a
+b(
+ )+d=0
①
将对应参数代入得：
1 a+（ 1+ 1
）b+d=0 ②
2 2
（ 0+2 ） b+d=0
③
1 3 1
从①②③中消去 a,b,d 得
1 =0
2 2
1
0 2
即 + + -2=0 为所求
17、给定点 A 、 B ，作出点 C ，使 (ABC)=4.
作法：∵
(ABC)= AC
4
，∴
AC BC 3 ,即 AB
=3 . 在
BC
1
BC 1
BC
AB 延长线上，作点
C ，使 BC=
1
AB
3
18、过定点 P ，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点.
作法： (利用代沙格定理 ) 任取线束 S ，设束中两条直线交 a 于 A ，C ，
交 b 于 A ′，C ′；连直线 PC ，PC ′分别交线束 S 的第三条直线于 B ，B ′；
直线 BA 和 B ′A 的′交点 Q 与点 P 的连线，即为所求的直线 .
19、如图，求作点 P 关于二次曲线 Γ的极线 . 作法：过 P 点任引两直线，使与
Γ分别交于 A 、B 及 C 、 D ，
设 Q=AC × BD ，R=AD × BC ，那么直线 QR 即为所求的极线 .
20、已知四直线
l 1, l 2 , l 3, l 4 的方程顺次为 2x 1 - x 2 + x 3 =0 ， 3x 1 + x 2 - 2x 3 =0, 7x 1 - x 2 =0 ，5x 1 - x 3 =0, 求
证四直线共点，并求 ( l 1 l 2 , l 3 l 4 )的值。
2 1 1 3
1 2 解：因为
3 1 2 =0 且 7
1 0 =0
7
1
5
1
所以 l 1 , l 2 , l 3, l 4 共点 . 四直线与 x 轴（ x 2 =0）的交点顺次为
P
Γ
A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5), 非齐次坐标为
题四 19 图
( 0
1 1 2
)
1 2
1
)(
1
( l 1 l 2, l 3 l 4) =（ AB ， CD ） =
2
5 3
A(-
,0),B( ,0),C(0,0),D(
,0) ，所以
=
2
3
5
( 0
2
1 1
)
2
3
)(
2
5
21、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：
x 1 x 3 0 与 x 2 ' x 3 0
且
'
2 ' 1 0 .
解：射影对应式为 ' 2 ' 1 0 。
由两线束的方程有：
x
1 ,
' x 2 ,
将它们代入射影对应式并化简得，
x 1x 2 2x 2x 3 x 1x 3 x 32
0 .
x 3
x 3
此即为所求二阶曲线的方程。
22、 求射影变换 , 使得 (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1), (0,0,1) 分别对应 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1).
解： 设所求变换为
kx ′=Ax, 则
k 1
1
0 1 k 2
=A 0
1 1
k 3
1
1 1
1 0 1 由于 0 1 1 1 1 1
1
1
1
k 1
1
1 =
1
0 1 , 故 A=
k 2
1 0
1 1
1
1
k 3
1 1 1
1
k 1
0 1 1 0
1 k 1 由于 (0,0,1)对应
(1,1,1), 故1 =
k 2
1 0 1
0 , 故 1 = k 2
1
k 31
1
1 1
1
k 3
0 1 1 故 k 1=1, k 2=1, k 3=-1. A=1
1 , 所求变换为
1
1 1
1 1 kx ′= 1
1 x 1
1 1
23、求一维射影变换 , 使 -1,0,1 分别变为 0,1,3.
解： 由于交比不变 , 所以 (-1 0, 1 x) = ( 0
1, 3 x ′). 即
x ′=3(x+1)/(3-x).
24、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。 解：每三点不共线的五个点，两两连线，
完全 5 点形。
对偶：每三线不共点的五条线，两两相交，完全
5 线形。
？对偶图形就是自己
题四 24 图
五、证明题
1、设 (AB,CD)=(BC,DA) 求证 (AB,CD)=2.
证明： (AB,CD)=
1
1
=
=
( BA , CD )1 ( BC, AD )
1
1
1 /( BA , DA )
A
1
T
所以
(AB,CD)=
,
(AB,CD) -1 = 1,
B
P 1 /( AB , CD )
F
1
S
D
Q
(AB,CD) =2, 证毕 .
C
G M
H
2、如图，设 FGH 是完全四点形 ABCD 对边三点形， 过 F 的两直线 TQ 与 SP 分别交 AB ，BC ，CD ，DA 于T ，S ，Q ，P.试利用德萨格定理 （或
题五 2 图
逆定理）证明： TS 与QP 的交点 M 在直线 GH 上。
在三点形 BTS 与三点形 DQP 中 对应顶点的连线
BD,TQ,SP 三线共点， 由德萨格定理的逆定理知，
对
P
应边的交点 BT 与 DQ 的交点 G ， TS 与 QP 的交点 M 以及
BS 与 DP 的交点 H 三点共线，即TS 与 QP 的交点 M 在直线
C 1 GH 上
Q
B
S
A 1
3、 设 P 、 Q 、 R 、 S 是完全四点形的顶点，
R A=PS ×QR,B=PR ×QS,C=PQ ×RS,证明
A 1=BC×QR,
B 1=CA×RP, C1=AB×PQ 三点共线 .
证明：在△ ABC 及△ PQR 中，
∵AP 、 BQ 、CR 共点 S.
∴对应边的交点C1=AB×PQ，
B 1=CA×RP, A 1=BC×RQ 三点共线
4、将△ ABC 的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图甲 )，求
证它的三双对顶连线共点。
证明 (按以下程序作业)：
第一步：任意两三角形，总存在仿射变换，使其中一个三角形仿射变换为另一三角形。故可将△ ABC
仿射变换为等边△A′B′C图′(乙)。
第二步：在图乙中，正三角形的每边三等份，每一分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形，
第三步：由A′作 B′C边′上的高线A′S，∵△ A′B′是C′正三角形，由对称性可知K′， N′在 A′S上 .同理 J′、
M′与 P′也L′分别在过点 B′、 C′所作的高线上，因为△ A′ B′的C三′高线共点，所以六边形 J′ K′ L′ M 的′ N′ P′三对顶点的连线共点 . 正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射变换构成变换群，且同素性和接合关系以及三角形的重心是仿射不变性，所以原命题也成立.
5、叙述 Pascal 定理的内容并予以证明。
A 5
定理：内接于二阶曲线的简单六点形，三对对边的交点共线。A1
A 3
P 证明：设简单六点形A1 A2 A3 A4 A5 A6,其三对对边的交点分别为L,M,N,Q
L
M
N
L= A1A2A4 A5, M= A2 A3 A5 A6, N= A3 A4A6 A1.A 4A2
A 6
题五 5 图
以 A1, A3为中心，分别连接其他四点，则由定理得到A1 A2 A4 A5 A6A3 A2 A4 A5 A6设 A1 A 6 A 4A 5P , A5 A6A3 A4 Q 则
A1 A2 A4 A5 A6L, A4 , A5 P ,A3 A2 A4 A5 A6M ,Q , A5 A6
所以， L, A4 , A5 P M , Q, A5 A6. 由于两个点列底的交点A5A5，故有
L, A4 , A5 P M , Q, A5 A6
所以 LM,A4 Q , PA 6三线共点，但A4 Q PA 6=N,即L,M,N三点共线。
6、叙述并证明Brianchon 定理。
证明：设简单六线形 a 1 2 3 4 5
6
l, m, n.
a a a a a , 其三对对顶的连线分别为
l 为交点 a a , a a
的连线 , m 为 A
23 ,A
56 的连线 ,
n 为 A ,A
61 的连线 ,
1 2
4 5
34
以 a 1,a 3 为基线，分别与其他四线相交，则由定理得到 a 1(a 2 a 4a 5a 6)
a 3(a 2a 4a 5a 6),
设交点 a 1
6
4 5
5 6
3 4
a 与 a a 的连线为 p, 交点 a a 与 a a 的连线为 q,
a : (a a a a ) (l,a ,a ,p), a a : (a a a a ) (m,q,a ,a ),
a 1
a
则 a 4 5
2 4 5 6
4 5
5 6
2 4 5 6
5 6
p 6
l
所以， (l,a 4
由于两个线束公共线
故有
a 2
a 5
5 5 6
5
5 m
,a ,p)
(m,q,a ,a ),
a
a ,
n q
a
a
4
3
题五 6 图
(l,a 4,a 5,p) (m,q,a 5,a 6),
所以交点 lm, a 4 6
4
6
故 l, m, n 三线共点。
q, pa 三点共线，但交点
a q, pa 连线为 n ,
O
O
P60, 透视表达形式不太好 , 没有体现透视中心 . 透视轴可由对应元素体现 . 我想 , (a,b,c,d) (A,B,C,D), (a,b,c,d)(A,B,C,D), 比较好
7、 如图 , 若△ ABC 的边分 BC 、 CA 、 AB 分别过共线求证 , 顶点 A 也在一定直线上 .
证明：取动点 A ′、 B ′、 C ′如图 , B ′C ′、 C ′A ′、 A ′B ′分别过共线 P 、 Q 、 R. 顶点 B 、 C 所在定直线交点为 S. 针对△ ABC 与 △ A ′B ′C ′利用 Desargues 定理知 ,
BB ′、 CC ′、AA ′共点 . 故 AA ′也过 S. A ′在定直线 AS 上 . 证毕 .
8、设 (AB,CD)= -1, O 为 CD 的中点 , 则 OC 2=OA ·OB. 证明： O 为CD 中点 , 有 OD= -OC, 由 (AB,CD)= -1, 得
3 点 P 、 Q 、 R, 顶点 B 、 C 各在一定直线上
.
B
B ′
S
C
C ′
A ′
A
P
R
Q
AC BD =-1即
题五 7 图
AD BC
AC ·BD+AD · BC=0
把所有线段都以 O 点做原点来表达 (OC-OA)(OD-OB)+ (OD-OA)(OC-OB)=0, 去括号，移项，分解因子，得
2(OA ·OB+OC · OD)=(OA+OB)(OC+OD), 2(OA ·OB- OC 2)=(OA+OB) ·0,
∴ OA ·OB-OC 2=0 即 OC 2=OA ·OB
9、 试证明 ,
(AB,CD)(AB,EF)=(AB,CF)(AB,ED).
( ABC ) ( ABE )( ABC ) ( ABE )
证明 : (AB,CD)(AB,EF)=
=
= (AB,CF)(AB,ED).
( ABD ) ( ABF )
( ABF ) ( ABD )
10. (蝴蝶定理 )过圆的弦 AB 的中点 O 任作另外两弦
CE, DF , 连结 EF, CD 交 AB 于 G, H. 求证：GO=OH .
C
F
A
B
G
O
H
证明 : 因为等弧上的圆周角相等, 因此 ,E(AF,CB)= D(AF ,CB).
因此 (AG,OB)=(AO,HB).
E
AO GB AH OB GB AH GO AB OH AB GO OH GO =OH.
不收藏不行的史上最全word用法 三招去掉页眉那条横线 1、在页眉中，在格式”-边框和底纹”中设置表格和边框为无”，应用于段落” 2、同上，只是把边框的颜色设置为白色（其实并没有删的，只是看起来没有了，呵呵） 3、在样式”栏里把页眉”换成正文”就行了一一强烈推荐! 会多出--（两个横杠）这是用户不愿看到的，又要多出一步作删除-- 解决方法：替换时在前引号前加上一个空格问题就解决了插入日期和时间的快捷键 Alt+Shift+D :当前日期 Alt+Shift+T :当前时间批量转换全角字符为半角字符 首先全选。然后格式”-更改大小写”，在对话框中先选中半角”，确定即可 Word启动参数简介 单击开始f运行”命令，然后输入Word所在路径及参数确定即可运行，如“a PROGRAM FILES 'MICROSOFT Office \Office 10\ WINWord.EXE /n ”，这些常用的参数及功能如下： /n：启动Word后不创建新的文件。 /a :禁止插件和通用模板自动启动。 /m :禁止自动执行的宏。 /w :启动一个新Word进程，独立与正在运行的Word进程。 /C：启动Word，然后调用Netmeeting。 /q :不显示启动画面。 另外对于常需用到的参数，我们可以在Word的快捷图标上单击鼠标右键，然后在目标”项的路径后
加上该参数即可。 快速打开最后编辑的文档如果你希望Word 在启动时能自动打开你上次编辑的文档，可以用简单的宏命令来完成: （1）选择“工具”菜单中的“宏”菜单项，单击“录制新宏”命令打开“录制宏”对话框； ⑵在录制宏”对话框中，在宏名”输入框中输入“autoexec点击确定” （3）从菜单中选择“文件”，点击最近打开文件列表中显示的第一个文件名；并“停止录制”。保存退出。下次再启动Word 时，它会自动加载你工作的最后一个文档。 格式刷的使用 1、设定好文本1 的格式。 2、将光标放在文本1 处。 3、单击格式刷按钮。 4、选定其它文字（文本2），则文本2 的格式与文本1 一样。 若在第3 步中单击改为双击，则格式刷可无限次使用，直到再次单击格式刷（或按Esc键）为止。 删除网上下载资料的换行符（象这种“4） 在查找框内输入半角八1（是英文状态下的小写L不是数字1）,在替换框内不输任何内容，单击全部替换，就把大量换行符删掉啦。 选择性删除文件菜单下的最近使用的文件快捷方式。 工具-选项-常规把列出最近使用文件数改为0”可以全部删除，若要选择性删除，可以按ctrl+Alt+ - 三个键，光标变为一个粗减号后，单击文件，再单击要删除的快捷方式就行了。 建立一个矩形选区: 一般的选区建立可用鼠标左键，或用shift键配合pguP、pgdn、home、end、箭头等 功能键，当复制一个规则的矩形区域时，可先按住Alt 键，然后用鼠标左键来选。我一般用此来删除段首多余的成块的空格。大家试一试"A* 将字体快速改为上标或下标的方法：本人在一次无意间发现了这个方法，选定你要下标的字，然后在英文状态下按住 Ctrl ，再按一下BASKSPACE 旁的+/=的键，就可以了。上标只要在按Ctrl 的同时也按住Shift, 大家可以试试。
《高等几何》教学大纲 一、课程名称 《高等几何》（Projective Geometry） 二、课程性质 数学与应用数学专业限选课。它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。 本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。前修课程包括：初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。 三、课程教学目的 通过本课程的学习，使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法，同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系，以及在初等几何和解析几何中的应用，并为学习数学的其他分支打好基础。尤其是对无穷远元素的认识和理解，以开拓同学们的思维方式和视野，使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。 四、课程教学原则和方法 1、理论与实践相结合的原则； 2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则； 3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则； 4、在课堂教学中使用传统的讲解法，并适当采用教具演示的方法相结合的原则； 5、讲解法与自学相结合的原则。 五、课程总学时 72学时，习题课占1/5。
六、教学内容要点及建议学时分配 课程教学内容要点及建议学时分配 第一章仿射坐标与仿射变换（计划学时6） 一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握透视仿射对应(变换)，仿射对应(变换)以及其代数表达式等。 二、本章主要内容： 第一节透视仿射对应 1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。 2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。 第二节仿射对应与仿射变换 1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。 2、掌握仿射对应与仿射变换的性质。 第三节仿射坐标
WORD 练习题 第一题根据下列要求完成下段文本的编排. 1.将标题（居中）下第一段中的“海水”全部改为蓝色、行楷、倾斜、2号字“河水”，并加着重号。 2.将标题文字设置成斜体绿色字。 3.将“海洋里的鱼类品种繁多，……“所在段落设置行距为1.1倍行距，字间距加宽1磅。 4.设置页脚文字为“水中生物“（不包括引号）。 5.为文字“海洋里的鱼类品种繁多，不能一概而论。”设置底纹填充色为黄色、下线、黑体、阳文。 6.以文件名“鱼类需要喝水吗？”存本文于“我的文档” 鱼类需要喝水吗？ 由于海水鱼类血液和体液的浓度高于周围的海水，水分就从外界经过鱼鳃半渗透性薄膜的表皮，不断地渗透到鱼体内，因此，海水鱼类不管体内是否需要水分，水总是不间断地渗透进去。所以海水鱼类不仅不需要喝水，而且还经常不断地将体内多余的水分排队出去，否则，鱼体还有被危险。 海洋里的鱼类品种繁多,不能一概而论。虽然，海水浓度高，但极大部分软骨鱼体内血液里，含有比海水浓度更高的尿素，因此，和淡水鱼一样，也不需要喝水。而生活在海洋里的硬骨鱼，则由于周围海水浓度高于体内的浓度，体内失水情况相当严重，需要及时补充水分，因此，海中的硬骨鱼是需要大口大口地喝水。 第二题根据下列要求完成下段文本的编排. 1.录入文字，一次性将各段首行缩进2字符。 2.交换第一段、第二段文字，将正文三、四段合为一段。 3.将句子“含羞草为什么会有这种奇怪的行为？”设置成七彩霓虹的动态效果。 4.将“含羞草的叶子非常有趣，……”所在段落设置段前距为6磅、段后距为8磅，设第一段行中的 双倍行距，第二段行距30磅。 5.设置页脚，页脚文字为“含羞草”三个字（不包括引号）。 6.给文中“含羞草”三字加绿色边框。 7.对正文（不包括红框内的题目部分“添加行号，起始行号为2，其他使用缺省设置。 8.以文档名“含羞草.DOC”保存到桌面。 含羞草是一种叶片会运动的草本植物。身体开头多种多样，有的直立生长，有的爱攀爬到别的植物身上，也有的索性躺在地上向四周蔓生。在它的枝条上长着许多锐利尖刺，绿色的叶片分出3～4张羽片，很像一个害羞的小姑娘，只要碰它一下，叶片很快会合拢起来，仿佛在表示难为情。手碰得轻，叶子合拢得慢；碰得重，合拢得快，有时连整个叶柄都会下垂，但是过一会后，它又会慢慢恢复原状。 含羞草为什么会有这种奇怪的行为？原来它的老家在热带美洲地区，那儿常常有猛烈的狂风暴雨，而含羞草的枝叶又很柔弱，在刮风下雨时将叶片合拢就养活了被摧折的危险。 最近有个科学家在研究中还发现了另外一个原因，他说含羞草合拢叶片是为了保护叶片不被昆虫吃掉，因为当一些昆虫落脚在它的叶片上时，正准备大嚼一顿，而叶片突然关闭，一下子就把毫无准备的昆虫吓跑了。含羞草还可以做药，主要医治失眠、肠胃炎等病症。在所有会运动的植物中，最有趣的是一种印度的跳舞草，它的叶子就像贪玩的孩子，不管是白天还是黑夜，不管是有风还是没风，问题做着舞蹈家在永不疲倦地跳着华尔兹舞。 第三题根据下列要求完成下段文本的编排.
第五章高等几何 第一节课程概论 1、本课程的起源与发展 早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。 到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。 射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。 在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。另外，人们还看到，在欧几里得几何中，图形在作旋转、反射、平移等变换的过程中，该图形中线段的长短、角的大小是保持不变的。于是人们就称“长度”、“角度”是这种变换中的不变量。这就导致了对几何中“不变量”理论的研究，并将它与群论结合起来。
Unit 1 1. vi.幸免；幸存；生还______________ 2. 【短语】寻找_____________ 3. vt.挑选；选择______________ 4. n.设计；图案；构思vt.设计；计划；构思 _________ 5. adj.奇特的；异样的vt.想象；设想；爱好_________ 11.vt移动；搬开 12. ______________________ 【短语】少于 13. n.怀疑；疑惑vt.怀疑；不信 _______________ 14. prep.值得的；相当于??…的价值； 15. n. 价值；作用adj. ［古］值钱的_________ 6. v.装饰；装修_____________ 7. vi.属于；为... 的一员______________ 8. 【短语】属于_____________ 9. 【短语】作为报答；回报______________ 10. 【短语】处于交战状态______________ 1. adj.稀罕的；稀有的；珍贵的_______________ 2. adj.贵重的；有价值的 ______________ 3. n.花瓶；瓶_____________ 4. n.朝代；王朝_____________ 5. vt.使吃惊；惊讶 _____________
6. adj.令人吃惊的 _____________ 7. n.蜜；蜂蜜_____________ 8. n.风格；风度；类型_______________ 9. n.珠宝；宝石_____________ 10. n.艺术家_____________ 11. n.群；组；军队______________ 12. n. 接待；招待会；接收 ____________ 13. adj.木制的 ____________ 1. ____________________ vi. 比赛竞争 2. ____________________________ 【短语】参加；参与 3. 【短语】代表；象征；表示_______________ 4. 【短语】也；又；还______________ 5. vt?做东；主办；招待n.主人_______________ 6. vt.取代；替换；代替______________ l. ____________________________ adj?古代的；古老的 2 . n .竞争者 ____________ 3. n.奖章；勋章；纪念章_______________ 4. adj.巫术的；魔术的；有魔力的 ___________ 16.【短语】拆开_______________ 1 7 . vi .爆炸___________ 18. vi.下沉；沉下______________ 19. 【短语】看重；器重 _____________
1）课题名称：物质的分类（基本说明 1、教学时间：45 分钟 2、授课人数： 60人 3、课时：1课时 4、课型：新授课 5、授课班级：高中一年级3班 6、课题出处：人教版普通高中第二章第一节 教材分析 学生在初中化学中已经认识了几种具体物质的性质和单质、酸、碱、盐、氧化物的一般性质，但他们只是从单个物质的角度认识物质的性质，尚未从一类物质的角度认识物质的性质，更未建立起元素与物质的关系。因此，通过元素与物质的关系的研究，引导学生以元素的观点认识物质；通过研究用不同的标准对物质进行分类，使学生建立分类的观点。在分类的基础上，研究纯净物——单质、氧化物、酸、碱、盐之间的相互关系；在学生原有的认知结构中已存在溶液、浊液等混合物的观点，进而引进一种新的混合物——胶体，建立分散系的概念，丰富学生对混合物的认识，并使学生了解胶体的一般性质，学会从粒度大小的角度对混合物进行分类。 本节教材的主要特点；从单个物质向一类物质过渡，体现分类思想的应用，为形成元素族奠定基础，并以概念同化的方式引入新概念——胶体。 设计理念 1．立足于学生适应现代生活和未来发展的需要，着眼于提高21世纪公民的科学素养，构建“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”相融合的高中化学课程目标体系。 2．通过以化学实验为主的多种探究活动，使学生体验科学研究的过程，激发学习化学的兴趣，强化科学探究的意识，促进学习方式的转变，培养学生的创新精神和实践能力。 教学目标 1、知识与技能：1、能根据物质的组成和性质对物质进行分类，并尝试按不同的方法 对物质进行分类。 、了解分散系及其分类。2 1、培养学生科学抽象、概括整理、归纳总结，准确系统地掌握知识过程与方法： 2、规律的方法。
1 浙江省2018年7月自学考试高等几何试题 课程代码：10027 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 2.以下四条直线中所含的无穷远点与其他三条不同的是( ) A.x y x y 121)1(2+=++ B.11)(2=++x x y C.x +2y =0 D.过点(1,3),(3,2)的直线 3.已知A ,B ,C ,D 四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( ) A.1 B.2 C.-1 D. 2 1 4.椭圆型射影对应的自对应元素是( ) A.两个互异的实元素 B.两个互异的虚元素 C.两个重合的实元素 D.两个重合的虚元素 5.唯一决定一条二阶曲线需无三点共线的( ) A.3点 B.4点 C.5点 D.6点 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.两点-3u 1+u 2+2u 3=0,2u 1-u 2+3u 3=0连线的坐标是_________. 7.若对合a μμ′+b (μ+μ′)+c =0是椭圆型的,则系数满足_________. 8.完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这直线上的两个顶点和_________. 9.椭圆上四定点与其上任意第五点所联四直线的交比为_________.
2 10.平面上任一圆通过的两个固定点称为_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求使三点A (0,0),B (1,1),C (1,-1)变到三点A ′(1,1),B ′(3,1),C (1,-1)的仿射变换. 12.已知平面上有点A (2,1),B (4,2),C (6,-3),D (-3,2),E (-5,1),求A (BC ,DE ). 13.求射影变换式,使它的不变元素的参数是λ1=-1,λ2=3,并且使λ3=1变为3 λ'=0. 14.求射影变换??? ??--='-='-='3213 212 211 36 4 x x x x x x x x x x ρρρ的二重直线. 15.求两个成射影对应的线束x 1-λx 2=0，x 2-λ′x 3=0,(λ′= λ λ +1)所构成的二阶曲线的方程. 16.求二次曲线x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=0的中心. 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（第18题写出作法） 17.作出下列图形的对偶图形: 题17图 18.已知二阶曲线上五点A ,B ,C ,D ,E ,求作该曲线上点A 处的切线. 题18图 五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)
，at地点和时间用法，inon 一、in, on, at的地点用法记住单词的基本含义，通过翻译就很容易区分了。“在…，可翻译成“在…”强调“在…里”（空间范围内）at强调“点”，on强调“在…上”（表面）in ... 旁”。处”或者“在on为例：以on表在…上（表面）on the cover of the book. 在书的封面上on this menu. 在这菜单上There are four wall。一些图画在墙上。Some pictures are on the （在那墙上。on the wall. 按照汉语习惯虽然翻译成在墙上有四扇窗，但是实际窗户的位置是在墙windows are in the wall. ）“里”。 在树上有一些There are some red apples on the tree. （在树上，指果实长在树上。on the tree ）一些鸟在树上。指的是树的枝桠间。红苹果。Some birds are in the tree. 在八楼也可写成in the 7the storey）on the 7th floor在八楼（第一层不算。在去…的路上on the way to… 看书等在床坐in bed则表示人躺//，不加冠词时in the bedon the bed 在床上，强调位置，或上 on the ceiling 在天花板上on the floor 在地板上（英式写成in the street/road）on the street/road在街道/上river.is in the lake 在湖面上，接触湖水表面，比如小船，如吃水深则用in，如A ship on the over the lake则指在湖的正上方，不接触湖面）（in的意思。on the farm在农场，用on表示开阔处，没有空间on land在陆地上at the top of the chimney在烟囱顶端on the top of
弦风单词：词缀大全（完整版） 一、前缀-- A a在……的，……的，加强，不，无，非，离去ab+abs离去ac方向，变化，加强acro 最高的，高的ad向，强调af+ag方向，加强al+an方向，变化，加强al全部ambi 关于，周围，两面amphi周围，两面an不，无ana错，临近，在……之 上ante+anti+anci前面，先anti+ant反对，相反apo离开，远离，与……有 关ar+as+at方向，变化，加强arch主要的，古代，最先auto自己 B、C、D、E、F (无查阅到G前缀） be使……bene+bon很好bi两个by在旁边，副的cata向下，完全circum+circu 环绕，周围co+com一起，共同col+cor+con共同，冲突contra+contro反对， 逆counter反对，对应crypt隐藏的de分离，否定deca+deci十，十分之一di双，两倍，分离，否定demi半dif+dis分离，否定dia穿越，居中duo两倍，双e去除，无，强调，出，外em+en进入，在……之上，使……endo内部epi+ep在……上，朝向eu好ex外，出，前的exo外的extra+extr以外的，超过的for分离，除外，fore+for前面，预先forth朝向，向前 H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q hecto百hemi半hetero不同的hexa六homo相同，人hyper超过，高于hypo 下面il+ir+im+in无，不，非im+in向内，进入infra下，低inter在……间intra在内，内部intro向内，入内iso相等的kilo千macr大的，长的mal不舒服mega 巨大的，百万meta超过，改变micro小milli+mille千，千分之一mis错，坏mono 单一，独multi多的ne+na+n+non非，无，不neo新ob反对，全面octa+octo 八omni全部out超过，过分，出，外over在……之上，翻转，逆转，倒退，互换pan 全部para并列，超越，半，类似，辅助，防避pen近似，差不多，一半的penta五per 贯穿，完全，离异，毁坏peri周围，靠近poly众多post在后面，邮件，邮政pre 前，预先pro前，多，赞同，亲……，代替，专业，生产，程序prot(o)最初的，原始的pseudo 假quadr(i)四quasi类似，准，半 R、S、T、U、V、W(无查阅到XYZ前缀) re向后，回，一再，重新retro向后，倒退se分离，区分sept七sex六step后，继或前夫（妻）所生sub在下面，次，亚，副super接近，靠近supra在上面，超越sur 超过，在上面sus在……下面sym一起，共同syn远距离tele四tetra热therm 横过，越过trans变换，改变，转移tri三，三次twi二，二倍ultra超越，极端un 无，不，非，打开，解开，弄出under在……下，不足uni在单一up向上vice副with 反，回
《高等几何》课程教学大纲 课程编码： 课程性质：选修 学时数：54 学分数：3 适用专业：数学与应用数学 【课程性质、目的和要求】 高等几何的主要内容是具有悠久历史，至今仍富生命力的射影几何。它不仅在提高学生空间几何直观想象能力方面有独特的作用，而且在论证方法、思维方式方面还具有不同于初等几何、解析几何、高等代数的巧妙灵活的特点。 通过高等几何（或射影几何）的学习，可以使学生从较高的观点处理初等几何、解析几何的一些问题，以便更深入地理解中学几何教材，并掌握近代几何知识与方法，这对学生在几何方面观点的提高、思维的灵活、方法的多样性的培养都起着特别重要的作用，从而有助于学生数学素质的提高和科研能力的培养。 本课程在研究方法上利用代数法和综合法，目的之一是便于学生进一步学习高维空间上的射影几何，目的之二是加强直观性，以便开发智力，启迪思维。在内容编排上应做到由浅入深，由易到难，循序渐进，要特别注意理论基础的系统性与严密性，尽可能做到与中学数学实际相结合，本课程应特别注意对概念及解题方法的分析。 通过本课程的学习，要求学生理解并熟练掌握平面射影几何的基本概念和理论。了解几何学的群论观点和各种几何学之间的联系和差别。学会统一处理几何问题的方法特别要学会利用二次曲线的射影理论处理仿射几何和度量几何方面的有关问题，以便提高学生分析问题和解决问题的能力。 【教学内容、要点和课时安排】 第一章仿射坐标与放射变换（8学时） 【目的要求】掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换；掌握仿射坐标系；熟练求出仿射变换的代数表示式；理解仿射性质。 【教学重点】仿射坐标系 【难点】仿射性质的理解 【教学内容】 第一节透视仿射对应 第二节仿射对应与仿射变换 第三节仿射坐标
word排版技巧教程，点击“分享”保存起来慢慢学！ 一、奇偶页显示不同内容 在专业出版的书籍中，常常看到书籍中奇偶页的页眉会显示不同的内容，以方便用户在书籍中快速查找资料。而在Word 2000中，用户也可以很方便地在文档奇偶页的页眉中显示不同的内容。 打开需要设置页眉格式的Word文档，选择“文件”菜单中“页面设置”命令，打开“页面设置”对话框，接着单击“版式”选项卡，在“页眉和眉脚”选项区中将“奇偶页不同”复选框选中，最后单击“确定”按钮结束设置。 选择“视图”菜单中“页眉和页脚”命令，将视图切换到页眉和页脚视图方式。这时可以看到光标在奇数页页眉编辑区中闪烁，输入奇数页眉内容；单击“页眉和页脚”工具栏上的“显示下一项”按钮，将光标移到偶数页页眉编辑区，输入偶数页页眉内容。 二、在页眉中显示章编号及章标题内容 要想在Word文档中实现在页眉中显示该页所在章的章编号及章标题内容的功能，用户首先必须在文档中对章标题使用统一的章标题样式，并且对章标题使用多级符号进行自动编号，然后按照如下的方法进行操作。 选择“视图”菜单中“页眉和页脚”命令，将视图切换到页眉和页脚视图方式。 选择“插入”菜单中的“域”命令，打开“域”对话框。从“类别”列表框中选择“链接和引用”，然后从“域名”列表框中选择“StyleRef”域。 单击“选项”命令，打开“域选项”对话框，单击“域专用开关”选项卡，从“开关”列表框中选择“\n”开关，单击“添加到域”按钮，将开关选项添加到域代码框中。 单击“样式”选项卡，从“名称”列表框中找到章标题所使用的样式名称，如“标题1”样式名称，然后单击“添加到域”按钮。 单击“确定”按钮将设置的域插入到页眉中，这时可以看到在页眉中自动出现了该页所在章的章编号及章标题内容。 三、修改页眉中的划线格式 用户选择在文档中使用页眉后，在页眉中就会出现一条横贯页面的划线。如果你对系统设置的划线格式不满意的话，可以采用下面的方法进行修改。 方法1：选择“视图”菜单中“页眉和页脚”命令，将视图切换到页眉和页脚视图方
《高等几何》课程期末练习 一.选择与填空题 1.非零向量a 与b 的内积0=?b a ，那么（ ）. A. a 与b 平行 B . a 与b 垂直 C ．a 与b 线性相关 D.无法判定 解 选B ．由定义1.4，>? 解 选Ａ．因为1,cos >≤≤(完整word版)WORD使用技巧大全(史上最强哦)(2),推荐文档
1.问:WORD里边怎样设置每页不同的页眉?如何使不同的章节显示的页眉不同? 答:分节,每节可以设置不同的页眉。文件——页面设置——版式——页眉和页脚——首页不同 2.问:请问word中怎样让每一章用不同的页眉?怎么我现在只能用一个页眉,一改就全部改了?答:在插入分隔符里,选插入分节符,可以选连续的那个,然后下一页改页眉前,按一下“同前”钮,再做的改动就不影响前面的了。简言之,分节符使得它们独立了。这个工具栏上的“同前”按钮就显示在工具栏上,不过是图标的形式,把光标移到上面就显示出”同前“两个字来了 3.问:如何合并两个WORD文档,不同的页眉需要先写两个文件,然后合并,如何做?答:页眉设置中,选择奇偶页不同/与前不同等选项 4.问:WORD编辑页眉设置,如何实现奇偶页不同? 比如:单页浙江大学学位论文,这一个容易设;双页:(每章标题),这一个有什么技巧啊?答:插入节分隔符,与前节设置相同去掉,再设置奇偶页不同 5.问:怎样使WORD文档只有第一页没有页眉,页脚?答:页面设置-页眉和页脚,选首页不同,然后选中首页页眉中的小箭头,格式-边框和底纹,选择无,这个只要在“视图”——“页眉页脚”,其中的页面设置里,不要整个文档,就可以看到一个“同前”的标志,不选,前后的设置情况就不同了。 6.问:如何从第三页起设置页眉?答:在第二页末插入分节符,在第三页的页眉格式中去掉同前节,如果第一、二页还有页眉,把它设置成正文就可以了
●在新建文档中,菜单—视图—页脚—插入页码—页码格式—起始页码为0,确定; ●菜单—文件—页面设置—版式—首页不同,确定; ●将光标放到第一页末,菜单—文件—页面设置—版式—首页不同—应用于插入点之后,确定。第2步与第三步差别在于第2步应用于整篇文档,第3步应用于插入点之后。这样,做两次首页不同以后,页码从第三页开始从1编号,完成。 7.问:WORD页眉自动出现一根直线,请问怎么处理?答:格式从“页眉”改为“清除格式”,就在“格式”快捷工具栏最左边;选中页眉文字和箭头,格式-边框和底纹-设置选无 8.问:页眉一般是---------,上面写上题目或者其它,想做的是把这根线变为双线,WORD中修改页眉的那根线怎么改成双线的?答:按以下步骤操作去做: ●选中页眉的文字,包括最后面的箭头 ●格式-边框和底纹 ●选线性为双线的 ●在预览里,点击左下小方块,预览的图形会出现双线 ●确定▲上面和下面自己可以设置,点击在预览周围的四个小方块,页眉线就可以在不同的位置
南京师范大学《高等几何》课程教学大纲 课程名称：高等几何（Higher Geometry） 课程编号：06100020 学分：3 学时：90 先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I) 替代课程：无 一、课程教学目的 本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。 概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。（7）学会构造射影图形。因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。 二、教学任务 通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务： 1、完成上述教学目的。 2、培养学生树立科学世界观、人生观和价值观，具有良好的思想道德素养和团结协作的精神，具有一定的社会责任感、宽广的胸怀和创新意识。 3、使学生了解近代几何学的发展概貌及其在社会发展中的作用，了解数学科学的若干最新发展状况。 4、培养学生的各种数学能力，不仅要教会学生用研究的眼光（即经常想一想当初数学家是如
Word 知识点 一、文档创建与编辑 1、启动文字处理软件 Microsoft Word： “开始”菜单— >“程序”— >Microsoft Word ； 2、Word 窗口界面：标题栏是显示目前打开的文档名；菜单栏包含文件、 编辑、视图、插入、格式、工具、表格、窗口和帮助等功能菜单；工具栏包含许多常用工具按钮；格式栏主要用于字体格式等编排；状态栏显示当前的页码、总页数、光标的当前位置、行号、列号等。 3、文字内容的输入： 输入文字时 Word能自动换行，直到段落输入结束，才按回车键（段落换行）；按退格键（ Backspace）删除插入点左边的内容，按删除键（ Delete ）删除的是插入点右边的内容。 4、编辑文本： （1）文本选定，当编辑操作时必须遵循“ 先选取，后操作”的步骤。选定长文本时，选将光标定位在文本第一个字前，按下Shift 键，同时光标定位在文本的最后一个字后面。 （2）撤消和重复：发生误操作时可以撤消前面所做的 100 步操作，按一下 撤消上一步操作，如恢复原样，可按重复按钮。 12345 1、剪切 2、复制 3、粘贴 4、撤消 5、重复 在“ 编辑”菜单中有以下命令：
命令快捷键命令快捷键 剪切Ctrl+X重复Ctrl+Y 复制Ctrl+C全选Ctrl+A 粘贴Ctrl+V清除Del 撤消Ctrl+Z 5、Word文档扩展名是 .doc 二、文字段落格式 1、文字格式（字体、字号、字体颜色等）设置：单击“格式”菜单下的“字体”选项。新建文档默认的字体是宋体，字号是五号。中文字号从初号到八号，文字的尺寸从大到小；以磅为单位的字号从5 磅到72 磅，文字的尺寸从小到大。 2、段落格式（行距、段前段后距离、首行缩进、段落对齐等）设置：单 击“格式”菜单下的“ 段落”选项。 12345678910 1、字体 2 、字号3、加粗 4 、倾斜5、下划线 6、两端对齐7 、居中8、右对齐9 、分散对齐10、字体颜色 3、格式刷： 4.分栏
《高等几何》课程学习指南 一、课程目的 本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。本课程在大家具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使我们能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得我们拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得我们加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高我们的数学审美意识。 概括来说，学习本课程后，希望大家有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。（7）学会构造射影图形。因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，我们要深刻领会这些技巧。 二、课程主要内容结构 以平面射影几何为主体，涵盖射影几何，变换群理论，仿射几何等内容，主要包括5个部分： 1、射影平面。包括引论，拓广平面，齐次点坐标，线坐标，射影平面，对偶原则，复元素，Desargues定理等。 2、射影变换。包括交比与调和比，完全四点形与完全四线形的调和性，一维基本形的射影对应，一维射影变换，一维基本形的对合，二维射影变换等。 3、变换群与几何学。包括二维射影变换的特例，平面上的几个变换群，变换群与几何学等。 4、二次曲线理论。包括二次曲线的射影定义，Pascal定理和Brianchon定理，极点与极线，配极变换，二次点列上的射影变换，二次曲线的射影分类，二次曲线的仿射理论，二次曲线的仿射分类等。 5、几何学寻踪。包括Euclid几何学，从Pappus到射影几何学，Descartes与解析几何学，第五公设之争与非欧几何学，Gauss，Riemann与微分几何学，从Cantor和Poincaré到拓扑学，Hilbert 与几何基础等，作为学生课外读物。
我国工业所有制结构合理化若干问题的探讨 一、前言 （一）所有制的概念 社会主义公有制包括全民所有制和劳动群众集体所有制。前者是其主体。就是《共产党宣言》中所说的“把一切生产工具集中在国家即组织为统治阶级的无产阶级手里”的那种经济形式。因此，全民所有制又称国家所有制。全民所有制或国家所有制的概念，从逻辑到实际运行都存在无法克服的矛盾。 全民所有制，其概念之意即生产资料属全体人民所有。从理论上说，只要你是这个国家的公民，你就是国有资产的所有者。可是，作为所有者的全体人民，或作为全体人民中的一部分，或某个个人都不可能直接地亲身占有、支配、运用、享受属于他们所有的那部分资产。因此，全民所有制下的资产为人民所有，便只具有名义与道义的意义。实际掌握庞大的国有资产的是政府的相关部门；这些部门制定计划，下达指令，调配资源，指派到各企业指挥生产经营的官员，聚集并分配利润。所以，实际情况是，全体人民同归于他们所有的资产是相分离的，也就是说，全民资产的命运与他们无切身关系。他们每日所忙碌的是自己那份工作与生活琐事。至于国有企业的工人，他们倒是与这些全民资产朝夕相处的，而且，他们是国家的领导阶级，是企业的主人。可是，这也仅仅是一种名义。实际情况是，他们对企业的生产经营与领导者的领导，并没有发言权，只有私下发点牢骚而已。主人的义务与权利是完成任务，安全生产，不出废品，领取微薄的工资，享受低水平的福利劳保。由此可见，与其说是主人，不如说是国家企业中的雇佣劳动者，除了有一个好听的名声，他们同资本主义企业中的雇佣工人并无多大差别。 现在我们再来考察与全民所有制发生着另一种关系的政府部门及其官员的情形。他们是全民资产的主宰者。他们无须经过所有者的同意，对这一资产就拥有占有权、支配权、分配权、处置权以及经营活动中的决策权。他们的领导与管理，其后果可能成功，也可能失败；可能盈利，也可能亏损。当然，不好也不坏，政绩平平，是谓常事。对于国有企业的业绩不佳至今开不出可以应对的药方。曾经尝试过 “自负盈亏”即承包制（短期激励）的方案，但行不通，因为亏了，谁能承担起这个责任？而且还诱发承包期内经营者的“短期行为”，往往为后任者留下不少遗留问题。所以，国企的老总与政府有很大的
目录 第一章建模精度标准及相关规定 (2) 第一节建模精度 (2) 1. 建筑专业 (2) 2. 结构专业 (2) 3. 给排专业 (3) 4. 暖通专业 (3) 5. 电气专业 (4) 第二节建模规定 (4) 1. 单位和坐标 (4) 2. 模型依据。 (4) 3. 模型拆分规定 (4) 4. 模型色彩规定 (5) 5. BIM建模管控要点 (6) 6. 管线综合管控要点 (6) 第三节 BIM软件规定 (6) 1. 建模软件 (6) 2. 其他BIM软件要求 (6) 第二章模型族类型命名 (7) 第一节结构模型 (7) 1. 族的分类 (7) 2. 剪力墙的命名 (7) 3. 梁（除地梁）的命名 (7) 4. 柱的命名 (7) 5. 板的命名 (8) 6. 楼梯的命名 (8) 7. 基础承台的命名 (8) 8. 地梁的命名 (8) 9. 补充说明 (8) 第二节建筑模型 (8) 1. 族的分类 (9) 2. 墙的命名 (9) 3. 柱的命名 (9) 4. 天花板的命名 (9) 5. 门窗的命名 (9) 第三节安装模型 (10)
第一章建模精度标准及相关规定 第一节建模精度 1.建筑专业 2.结构专业
3.给排专业 4.暖通专业
5.电气专业 第二节建模规定 1.单位和坐标 1.1.项目长度单位为毫米,标高的单位为米。 1.2.使用相对标高，±0.000即为坐标原点Z轴坐标点；建筑结构及机电使用自 己相应的相对标高。 1.3.为所有BIM数据定义通用坐标系。建筑、结构和机电统一采用一个轴网文 件，保证模型整合时能够对齐，对正。 2.模型依据。 1.1.以建设单位或设计单位提供的通过审查的有效图纸为数据来源进行建模。 1.2.根据国家规范和标准图集为数据进行建模。 1.3.根据设计变更为数据来进行模型更新。 3.模型拆分规定 3.1建筑专业 3.1.1.按建筑分区 3.1.2.按子项 3.1.3.按施工缝 3.1. 4.按楼层 3.1.5.按建筑构件，如外墙、楼梯、楼板等。 3.2结构专业 3.2.1.按建筑分区 3.2.2.按子项 3.2.3.按施工缝 3.2. 4.按楼层 3.2.5.按建筑构件，如外墙、楼梯、楼板等。 3.3机电专业 3.3.1.按建筑分区 3.3.2.按子项 3.3.3.按施工缝