初三数学专题：几何最值问题解法探讨 姓名_______
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）
求最值：
1.在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N
分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 。
2.如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，
运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】
A 21
B 5
C ．1455 5
D ．52
二、应用垂线段最短的性质求最值：
1.如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短
时，点B 的坐标为【 】
A.（0，0）
B.（21-，2
1-） C.（22，22-） D.（22-，22-） 2.如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点， PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为【 】
A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...? C．3 D．2
3.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
三、应用轴对称的性质求最值（“将军饮马”）：
1. 如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则△ABP的
周长的最小值为．
2.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【】
A．130° B．120° C．110° D．100°
3.某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B 送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。
(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短
(2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离
相等
四、应用二次函数求最值：
1.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，
最大面积为 cm2．
2.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个
等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．
3.如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀
速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作
匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜10
3
）秒．解
答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．
五、应用其它知识求最值（如圆中相关知识）：
1.如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是________.
2.已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上的点A作⊙O的切线，
切点为B，则线段AB的长度的最小值为【】
A．1 B． 2 C． 3 D．2
3.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，
旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A1B1C．
(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；
(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3；
(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当 ＝°时，
EP的长度最大，最大值为．