第4章时变电磁场
1.波动方程
2.电磁场的位函数
3.电磁能量守恒定律
4.惟一性定理
5.时谐电磁场
1
时变电磁场
?在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场
与磁场相互依存，构成统一的电磁场。
?英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组高度概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁场现象的理论基础。
2
3
一波动方程
考虑媒质均匀、线性、各向同性的无源区域(J =0, ρ=0)且
σ=0 的情况，这时麦克斯韦方程变为
00
E H t H E t
H E ε
μ
??×=???×=????=??=G G G
G G G t
??
×=
+
?D H
J G G G ρ
??=D
G t
??×=?
?B E
G G 0
??=B
G D E ε=G G B H μ=G
G J E
σ=G G 本构方程
4
2
2
()()()
E E E
H
E t E E H t
μμ?×?×=???????×?×=??×
???????=??×?2
()E E t t με
????=???G
G 22
22
20
E E t H H t
μεμε???=????=?G G 波动方程为
0=??=?????=×???=×?E H t H
E t E
H μ
ε
5
例如在直角坐标系中，由E 的矢量波动方程可以得到三个标量波动方程：
00
02
2
2222222
2
2
2
2
2
22
22
2
2
22
22
=?????+??+??=?????+
??+
??=?????+??+??t
E z E y E x E t
E z
E y
E x
E t E z E y E x E z z
z z y y y y x
x x x μεμε
με
6
),(=?????
?
??+×?×????=×?t A E A t E 根据矢量恒等式▽×(▽φ)=0，可以令
?
??=??+t
A
E 则
t
A
E ???
??=?A 称为矢量位，单位为Wb/m(韦伯/米)；φ称为标量位，单位为
V(伏)。
二时变电磁场的位函数
因为▽·B=0，根据矢量恒等式▽·(▽×A )=0，可以令
A
B ×?=
7
2
()A E t A t ρ?ερ?ε??????=?????=????????
???+??=????
G
G G 2221()E A H A J J t t t A A J A t t εε?μ?μεμμε???
????×=?×?×=+=+??????????
???????
???=?+???+??
??????
G G
G G G G G G G G 要唯一确定A ，除规定它的旋度外，还必须规定它的散度。为此我们选择
A t
?με
???=??G 洛伦兹条件
类似静态场的‘库仑规范’
达朗贝尔方程
上式即达朗贝尔方程→A,?分离在两个方程中，有利于求解。
类似静态场的‘泊松方程’
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时变电磁场中的一个重要现象就是电磁能量的流动。因为电场能量密度随电场强度变化；磁场能量密度随磁场强度变化。空间各点能量密度的改变引起能量流动。
定义: 单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位表面的能量为能流矢量，其意义是电磁场中某点的功率密度，方向为该点能量流动的方向。
重新写麦克斯韦第一、第二方程
由上二式得
t
t
?
?
?
=
×
?
?
?
+
=
×
?
B
E
D
J
H
t
t?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
×
?
?
?
×
?
?
D
E
J
E
B
H
H
E
E
H)
(
)
(
三电磁能量守恒定律
9
10
线性且各向同性的媒质内无外加源，媒质的参数均不随时间变化，则
上式中
于是得
利用矢量恒等式故式(1)变为：
上式右端第一项是单位体积内电场能量和磁场能量的减少率，第二是单位体
积内的焦耳热损耗。对上式取积分
εμσ()
()
()
222
()11221122B H H H H H H t t t t E D E E E E E t t t t E J E μμμεεεσ???????=?=?=??
?????????????=?=
?=????????
?=G G G G G G G G
G G G G G G
()(
)
222
1122H E E H E H E t εμσ?????×???×=?+??????
G G G G ()()()
E H H E E H
??×=??×???×G G G G G G
()
222
1122E H E H E t εμσ?????×=?+??????
G G ()
222
1122E H d E H d E d t τττ
τεμτστ?????×=?+??????∫∫∫G G (1)
11应用散度定理得
（2）
上式右边第一项是体积内每秒电场能量和磁场能量的增加量；
第二项是体积内变为焦耳热的功率。根据能量守恒原理，等式左边的面积分应是穿过闭合面S 进入体积内的功率。式(2)称为坡印廷定理。
被积函数是一个具有单位表面功率量纲的矢量。我们把它定义为能流矢量，用S 表示
(3)也称为坡印廷矢量，单位为。前面的讨论中所有的场量都是瞬时值，所以坡印廷矢量S=S(t)也是瞬时值。
坡印廷矢量是时变电磁场中一个重要的物理量。从式(3)可看出，只要知道空间任一点的E 和H ，就知道该点电磁能量的大小和方向。
H E ×H E S ×=2
m /W (
)
()222
1122e m S
d d E H dS E H d E d W W P dt dt τ
ττ
εμτστ???×?=++=++????∫
∫∫G G G v
12
例1 试求一段半径为b ，电导率为σ，载有直流电流I 的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。
解：如图，一段长度为l 的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z 轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有
图
坡印廷定理验证
1322,z
z I J
I J e E e b b πσπσ
===G G G 在导线表面，b
I e H πφ
2=因此，导线表面的坡印廷矢量
22
3
2r
I
S E H e b
σπ=×=?它处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有
22223222r S
s
I l S dS S e ds bl I I R b b πσπσπ??????=??===????????∫
∫G G G v 侧面从导线表面流入的电磁能流等于导线内部欧姆热损耗功率，
这验证了坡印廷定理。
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例2 一同轴线的内导体半径为a ，外导体半径为b ，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I ，内、外导体间的电压为U 。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。
解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、外导体间的电场和磁场：
)
(2,1b r a e r I H e a
b n
r U E r <<=
=
φπz
e a
b n
r UI
H E S 122
π=
×=
15
上式说明电磁能量沿z 轴方向流动，由电源向负载传输。通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为
∫
∫=?=?=b
a
S UI
rdr a
b n
r UI dS S P ππ212'2
'
这一结果与电路理论中熟知的结果一致。电源提供的能量全部被负载吸收。
电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导体只起导向作用。
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例3
已知时变电磁场中矢量位，其
中A m 、k 是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。
)sin(kz t A e A m x ?=ω解：
cos()00
cos()
x
y z
x y y m x y
m e e e A B A e e kA t kz x y z z A k
H e A t kz ωωμ
??
??
=?×=
==??????=??C
A t
==???=????με,0如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C =0。
)cos(kz t A e t
A
E m x ??=?????=ωω?
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坡印廷矢量的瞬时值为
22()()()
[cos()]cos()cos ()
x m y m z m S t E t H t k
e A t kz e A t kz k e A t kz ωωωμωωμ
=×??=??×????
??
=?