2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编3：三角函数
一、选择题
1 ．（2013年高考大纲卷（文））已知a 是第二象限角,5
sin ,cos 13
a a =
=则 （ ）
A ．12
13
-
B ．513
-
C ．
513
D ．1213
【答案】A
2．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为
【答案】C ;
2 ．（2013年高考四川卷（文））函数()2sin()(0,)2
2
f x x π
π
ω?ω?=+>-
<<
的部分图象如图所示,则,ω?
的值分别是
（ ）
A ．2,3
π
-
B ．2,6
π
-
C ．4,6
π
-
D ．4,
3
π
【答案】A
3 ．（2013年高考湖南（文））在锐角?ABC 中,角A,B 所对的边长分别为a,b. 若2sinB=
3b,则角A 等于
______ （ ）
A ．
3
π
B ．
4
π
C ．
6
π
D ．
12
π
【答案】A
4 ．（2013年高考福建卷（文））将函数)2
2
)(2sin()(π
θπ
θ<
<-
+=x x f 的图象向右平移)0(>??个单位
长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)2
3
,0(P ,则?的值可以是 （ ） A ．
3
5π B ．
6
5π C ．
2
π
D ．
6
π
【答案】B
5 ．（2013年高考陕西卷（文））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,
则△ABC 的形状为
（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
【答案】A
6 ．（2013
年高考辽宁卷（文））在
ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为
,,.a b c 1
sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=,a b B >∠=且则
（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．23π
D ．56
π
【答案】A
7 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC
的面积为 （ ）
A ．2
+2
B ．
+1
C ．2
-2
D ．
-1
【答案】B
8 ．（2013年高考江西卷（文））sin
cos 2
α
α=
=若 （ ）
A ．23
-
B ．13-
C ．
13 D ．
23
【答案】C
9．（2013年高考山东卷（文））ABC ?的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,
若2B A =,1a =,b =,则c = （ ）
A ．
B ．2
C
D ．1
【答案】B
10．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知sin2α=,则cos 2
(α+)= （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
11．（2013年高考广东卷（文））已知51
sin(
)25
πα+=,那么cos α= （ ）
A ．2
5
-
B ．15
-
C ．15
D ．25
【答案】C
12．（2013年高考湖北卷（文））将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,
所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是 （ ）
A ．
π
12
B ．
π6
C ．π3
D ．
5π6
【答案】B
13．（2013年高考大纲卷（文））若函数()()sin 0=y
x ω?ωω=+>的部分图像如图，则 （ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】B
14．（2013年高考天津卷（文））函数()sin 24f x x π??=- ???在区间0,2π??????
上的最小值是
（ ）
A ．1-
B ．
C
D ．0
【答案】B
15．（2013年高考安徽（文））设
ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若
2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =
（ ）
A ．
3
π
B ．
23π C ．
34
π D ．
56
π 【答案】B
16．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知锐角
ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为
,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =
（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
【答案】D
17．（2013年高考浙江卷（文））函数f(x)=sin xcos x+
3
2
cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 （ ） A ．π,1 B ．π,2 C ．2π,1
D ．2π,2
【答案】A
18．（2013年高考北京卷（文））在△ABC 中,3,5a b ==,1
sin 3
A =
,则sin B = （ ）
A ．
15
B ．
59
C D ．1
【答案】B
19．（2013年高考山东卷（文））函数x x x y sin cos +=的图象大致为
【答案】D 二、填空题
20．（2013年高考四川卷（文））设sin 2sin α
α=-,(,)2
π
απ∈,则tan 2α的值是________.
【答案】
3
21．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））函数cos(2)()y x ?π?π=+-≤<的图像向右平移
2
π
个单位后,与函数
sin(2)3y x π
=+的图像重合,则||?=___________.
【答案】56
π
22．（2013年上海高考数学试题（文科））已知ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c .若
2220a ab b c ++-=,则角C 的大小是________(结果用反三角函数值表示).
【答案】
23
π
23．（2013年上海高考数学试题（文科））若1
cos cos sin sin 3
x y x y +=
,则()cos 22x y -=________. 【答案】7
9
-
24．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______.
【答案】; 25．（2013年高考江西卷（文））设f(x)=
sin3x+cos3x,若对任意实数x 都有|f(x)|≤a,则实数a 的取值
范围是_____._____
【答案】2a ≥
三、解答题
26．（2013年高考大纲卷（文））设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.
(I)求B
(II)若sin sin A C =
,求C . 【答案】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=,
所以222a c b ac +-=-.
由余弦定理得,2221
cos 22
a c
b B a
c +-==-,
因此,0120B =.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知060A C +=,所以
cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+
cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+
cos()2sin sin A C A C =++
122=
+
=
故030A C -=或030A C -=-, 因此,015C =或045C =.
27．（2013年高考湖南（文））已知函数f(x
(1) 求2(
)3
f π
的值; (2) 求使 1
()4
f x <成立的x 的取值集合
【答案】解: (1) 4
1
)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos
(cos cos )(+?+?=?+??=x x x x x x f ππ
4
1
)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=?++=
ππππf f x 所以. (2)由(1)知,
)2,2()6
2(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππ
ππk k x x x x -∈+?<+?<++=
.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈?π
πππππππ所以不等式的解集是：
28．（2013年高考天津卷（文））在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =,
a = 3, 2cos 3
B =.
(Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π?
?- ??
?的值.
【答案】
29．（2013年高考广东卷（文））已知函数(),12f x x x R π?
?=
-∈ ??
?.
(1) 求3f π??
???
的值; (2) 若33cos ,,252πθθπ??=
∈ ???
,求6f πθ?
?- ??
?.
【答案】(1)1
33124f ππππ??????
=-== ? ? ???
????
(2)33cos ,,252πθθπ??
=
∈ ???
,4sin 5θ==-,
1
cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ?????∴--=+=- ? ???????.
30．（2013年高考山东卷（文））设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=
->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4
π
,
(Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求()f x 在区间3[,
]2
π
π上的最大值和最小值 【答案】
31．（2013年高考浙江卷（文））在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,
且2asinB=3b .
(Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.
【
答
案
】
解:(Ⅰ)由已知得到:
2sin sin A B B
=,且
(0,)sin 0sin 2B B A π∈∴≠∴=且(0,)23
A A ππ∈∴=;
(Ⅱ)由(1)知1
cos 2
A =
,由已知得到: 222128
362()3366433623
b c bc b c bc bc bc =+-?
?+-=?-=?=
,
所以12823ABC
S =
??= ;
32．（2013年高考福建卷（文））如图,在等腰直角三角形OPQ ?中,90OPQ ∠=
,OP =,点M 在线
段PQ 上.
(1)
若OM =求PM 的长;
(2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠= ,问:当POM ∠取何值时,OMN ?的面积最小?并求出面积的最小 值
.
【答案】解:(Ⅰ)在OMP ?中,45OPM
∠=?
,OM =
OP =,
由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-????, 得2430MP MP -+=,
解得1MP =或3MP =.
(Ⅱ)设POM α∠=,060α?≤≤?, 在OMP ?中,由正弦定理,得sin sin OM OP
OPM OMP
=
∠∠, 所以()sin 45sin 45OP OM α?
=
?+,
同理()
sin 45sin 75OP ON α?
=
?+
故1
sin 2
OMN S OM ON MON ?=
???∠ ()()
221sin 454sin 45sin 75OP αα?
=?
?+?+ ()()
1
sin 45sin 4530αα=
?+?++?
=
=
=
=
=
因为060α?≤≤?,30230150α?≤+?≤?,所以当30α=?时,()sin 230α+?的最大值为,此时
OMN ?的面积取到最小值.即230POM ∠=?时,
OMN ?的面积的最小值为8-.
33．（2013年高考陕西卷（文）
）已知向量1
(cos ,),,cos 2),2
x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π??
????
上的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ) ()·f x =a b =)6
2sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π
-=-=-?
x x x x x x .
最小正周期ππ
==
2
2T . 所以),6
2sin()(π
-
=x x f 最小正周期为π.
(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]6
5,6-[sin ]65,6-[)62(]2,
0[π
πππππ
x y x x =∈-∈. ]1,2
1
[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .
所以,f (x) 在0,2π??
????
上的最大值和最小值分别为21,1-.
34．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)
在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且222
a b c =+. (Ⅰ)求A ;
(Ⅱ)设a =S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.
【答案】
35．（2013年高考四川卷（文））在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且
3
cos()cos sin()sin()5
A B B A B A c ---+=-.
(Ⅰ)求sin A 的值;
(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC
方向上的投影.
【答案】解:(Ⅰ)由3
cos()cos sin()sin()5
A B B A B A c ---+=-
得 5
3
sin )sin(cos )cos(-=---B B A B B A ,
则 53)cos(-=+-B B A ,即 53
cos -=A