圆复习专题讲义(补课用)

圆复习专题讲义

一、圆的基本概念：

1.圆的定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。

①.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

②.确定圆的要素是：圆心、半径。

圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆，两者缺一不可。

2.圆的新定义：

①.圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r的点组成的图形。

②.圆是从中心到周界各点有相同长度的图形。

③.圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

3.弦、直径、弧的概念：

①.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；

②.直径：经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；

③.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以

A、C为端点的弧记作 A C”，读作“圆弧 A C”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示 ABC叫做优弧，?小于半圆的弧（如图所示） A C或 B C叫做劣弧。

O B

A

C

E https://www.doczj.com/doc/de18744824.html,

F

B A

C

O

④ .半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条

弧，每一条弧都叫做半圆。

4.P 点在圆的内部、圆的外部、圆上:

①.圆的内部：可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。(d ﹤r)

②.圆的外部:可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。(d ﹥r)

③.在圆上：可以看作是到圆心的距离等于半径的点的集

合。（d=r ）

5.圆心角与圆周角：

①.圆心角：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。

B

A

O

②.圆周角： 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.如：∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角。 6.过点作圆的情况：

①.过一个点A 可以作无数个圆。 ②.经过已知两点A 、B 可以作无数个圆。 ③.过不在一条直线上的三点作（或确定）一个圆。

A

l

B

A

B

A C

E D

O G

F

④.经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆。 证明：如图，假设过同一直线L 上的A 、B 、C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心 为P ，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线L 1，又在线段BC 的垂直平分线L 2，

?即点P 为L 1与L 2点，而L 1⊥L ，L 2⊥L ，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。 所以，过同一直线上的三点不能作圆。

点评：这种证明方法叫反证法．其证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立。在某些情景下，反证法是很有效的证明方法。

7.三角形外接圆、内切圆和三角形外心及内心的概念：

l 2

l 1

B A

C

P

B

A

C

E

D

O

F

①.外接圆：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

②.三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

B A

C O

③.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

④.三角形的内心：?内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

8.直线与圆的位置关系：

①.设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有：

直线L和⊙O相交?d

直线L和⊙O相切?d=r

直线L和⊙O相离?d>r

l

l

(a)

(b)

(c)

l

②. 如图（a ），直线L 和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。 如图（b ），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，?这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。 如图（c ），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。

l

l

(a)(b)

相离相切相交

(c)

l

9.圆与圆有关的位置关系：

设两圆的半径分别为r 1、r 2，圆心距（两圆圆心的距离）为d ，则有两圆的位置关系，d 与r 1和r 2之间的关系． 外离?d>r 1+r 2 外切?d=r 1+r 2

相交?│r 1-r 2│

内含?0≤d<│r 1-r 2│（其中d=0，两圆同心） 可以会出现以下五种情况：

O2 O1

(a)

O2

O1

(b)

O2

O1

(c)

O2 O1

(d)

O2

O1

(e)

(O2)

O1

(f)

在图（a）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。

在图（b）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切。

在图（c）中，两个圆有两个公共点，那么就说两个圆相交。

在图（d）中，两个圆只有一个公共点，?那么就说这两个圆相切．?为了区分（e）和（d）图，把（b）图叫做外切，把（d）图叫做内切。

在图（e）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，?为了区分图（e）和图（e），把图（a）叫做外离，把图（e）叫做内含。

图（f）是（e）甲的一种特殊情况──圆心相同，我们把它称为同心圆。

10.在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系：

①.多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心。

②.正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

③.正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

④ .正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

二、定理与规律：

1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2.垂径定理及推论：

① .定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

例1.如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD ⊥AB，垂足为M，（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由。

B

A

C

D O M

解：（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．

（2）AM=BM，

=，

A C

B C

=，即直径CD平分弦

A D

B D

AB，并且平分 A B及 ADB．

②.推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

③.垂径定理及其推论以及它们的应用：

事实上：根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

ⅰ.经过圆心；ⅱ.垂直于弦；ⅲ.平分弦；ⅳ .平分弦所对的优弧；ⅴ.平分弦所对的劣弧。那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。

④.解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或连接圆心和弦的中点，连结半径等辅助线，为应用垂径定理和勾股定理创造条件。

3.有关弧、弦、圆心角关系的定理及推论：

① .有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②.推论：

ⅰ.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，?那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

ⅱ.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。

例2.如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB?

和∠A ?′OB ?′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

B 'B

A

A '

O

解：结论： A B = ''A B ，AB=A ′B ′

理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′

∴半径OB 与OB ′重合

∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴ A B 与 ''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴ A B = ''A B ，AB=A ′B ′

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

例3.如图1，在⊙O 和⊙O ′中，?分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．

O(O ')

O '

O

B '

A '

B B 'O(O ')

O '

O

B

A A A '

(1) (2)

O B

A

C 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？

我能发现： A B = ''A B ，AB=A /B /

．

4.圆周角定理及推论：

① .圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半．

②.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

例4.定理证明：分三种情况：

第一种情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 的大小关系。

证明：∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12

∠AOC

第二种情况：如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12

∠AOC 吗？

证明：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，?那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC 。

第三种情况：如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12

∠AOC 吗？

证明：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12

∠

AOD-12

∠COD=12

∠AOC 。

5.切线的判定定理与性质定理：

① .切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

②.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 如图，CD 是切线，A 是切点，连结AO 与⊙O 于B ，那么AB 是对称轴，所以沿AB 对折图形时，AC 与AD 重合，因此，∠BAC=∠BAD=90°．

O

B

A

C

D O

B

A

C

D

https://www.doczj.com/doc/de18744824.html,

https://www.doczj.com/doc/de18744824.html,

O

B

A

P

https://www.doczj.com/doc/de18744824.html,

B A

C

D

O

6.切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线．求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ．

证明：∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线． ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP 又OA=OB ，OP=OP ， ∴Rt △AOP ≌Rt △BOP ∴PA=PB ，∠OPA=∠OPB

把PA 或PB 的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，?叫做这点到圆的切线长。 三、弧长和扇形面积的计算公式： ①.n °的圆心角所对的弧长L=180

n R

π

②.圆心角为n °的扇形面积是S

扇形=

2

360

n R π。

C

E D

O

F

四、例题精析：

题型1：垂径定理的应用：

例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 C D ，点O 是 C

D 的圆心，?其中CD=600m ，

E 为 C D 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为

F ，EF=90m ，求这段弯路的半径。

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接OC

设弯路的半径为R ，则OF=（R-90）m ∵OE ⊥CD

∴CF=12

CD=12

×600=300（m ）

根据勾股定理，得：OC 2=CF 2+OF 2 即R 2=3002+（R-90）2 解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m ．

例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=?60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当

B

A C E D O

N M

洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由。

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m ?是否需要采取紧急措施，?只要求出DE 的长，因此只要求半径R ，然后运用几何代数解求R ． 解：不需要采取紧急措施

设OA=R ，在Rt △AOC 中，AC=30，CD=18 R 2=302+（R-18）2 R 2=900+R 2-36R+324 解得R=34（m ）

连接OM ，设DE=x ，在Rt △MOE 中，ME=16 342=162+（34-x ）2

162+342-68x+x 2=342 x 2-68x+256=0 解得x 1=4，x 2=64（不合设） ∴DE=4

∴不需采取紧急措施． 练习：

1.如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是_____

B

A

O

M

2.如图

4，AB 为⊙O 直径，E 是 B

C 中点，OE 交BC 于点

D ，BD=3，AB=10，则AC=_____。

B

A

C

E

D O

3.P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；?最长弦长为_______。

4.如图，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）

B

A C

E

D O

F

5.如图24-11，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过C 、D 分别作CN ⊥CD 、DM ⊥CD ，分别交AB 于N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．

B

A

C

D

O N M

B

A C E D

O F

解：AN=BM 理由：过点O 作OE ⊥CD 于点E ，则

CE=DE ，且CN ∥OE ∥DM ．

∴ON=OM ，∴OA-ON=OB-OM ， ∴AN=BM ．

6.如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．

B

A C

E D

O

解：过O 作OF ⊥CD 于F ，如右图所示 ∵AE=2，EB=6，∴OE=2， ∴EF=

3

，OF=1，连结OD ，

在Rt △ODF 中，42=12+DF 2，DF=

15

，∴CD=2

15

。

7.（开放题）AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8

3

，求∠DAC 的度数。

解：（1）AC 、AD 在AB 的同旁，如右图所示:

∵AB=16，AC=8，AD=8

3

，

_

B _

A _

C

∴12

AC=12

（12

AB ），∴∠CAB=60°，

同理可得∠DAB=30°， ∴∠DAC=30°．

（2）AC 、AD 在AB 的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°。

题型2：在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用：

例3. 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．

（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？

（2）如果OE=OF ，那么 A B 与 C

D 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？?为什么？∠AOB 与∠COD 呢？

O

B

A C

E

D

F

分析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可。

（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，

又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt?△COF，

∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 A B= C D 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF

理由是：∵∠AOB=∠COD

∴AB=CD

∵OE⊥AB，OF⊥CD

∴AE=1

2AB，CF=1

2

CD

∴AE=CF

又∵OA=OC

∴Rt△OAE≌Rt△OCF

∴OE=OF

（2）如果OE=OF，那么AB=CD， A B= C D，∠AOB=∠COD

理由是：

∵OA=OC，OE=OF

∴Rt△OAE≌Rt△OCF

∴AE=CF

又∵OE⊥AB，OF⊥CD

∴AE=1

2AB，CF=1

2

CD

∴AB=2AE，CD=2CF ∴AB=CD

∴ A B = C

D ，∠AOB=∠COD 例4.．如图3和图4，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD ?相交于MN ?上的一点P ，?∠APM=∠CPM ．

（1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由。

（2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由。

B

A C

E D

P O

N

M F

B A C

E D

P

N

M

F

(3) (4) 分析：（1）要说明

AB=CD ，只要证明AB 、CD 所对的

圆心角相等，?只要说明它们的一半相等．

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．

解：（1）AB=CD

理由：过O 作OE 、OF 分别垂直于AB 、CD ，垂足分别为E 、F

∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF

连结OD、OB且OB=OD

∴Rt△OFD≌Rt△OEB

∴DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F

∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°

∴Rt△OPE≌Rt△OPF

∴OE=OF

连接OA、OB、OC、OD

易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF

∴∠1+∠2=∠3+∠4

∴AB=CD

练习：

1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_______。（圆的旋转不变形）

2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的

______．（1

3或

5

3

）

3．如图6，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=____．（3）

O B

A

C

E D