第十五章 多元函数的极限与连续性
§1 平面点集
1．设(){}
,n n n P x y =是平面点列，()000,P x y =是平面上的点. 证明0lim n n P P →∞=的充要条件是0lim n n x x →∞=，且0lim n n y y →∞
=. 2． 设平面点列{}n P 收敛，证明{}n P 有界.
3． 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点：
(1)(){}2,|E x y y x =
<； (2)(){}22,|1E x y x y =
+≠； (3)(){},|0E x y xy =
≠； (4)(){},|0E x y xy =
=； (5)(){},|02,222E x y y y x y =≤≤≤≤+；
(6)()1,|sin
,0E x y y x x ?
?==>????； (7)(){}22,|10,01E x y x y y x =
+==≤≤或； (8)(){},|,E x y x y =均为整数.
4．设F 是闭集，G 是开集，证明\F G 是闭集，\G F 是开集.
5．证明开集的余集是闭集.
6．设E 是平面点集. 证明0P 是E 的聚点的充要条件是E 中存在点列{}n P ，满足 ()01,2,n P P n ≠=且0lim n n P P →∞
=. 7．用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理.
8．用致密性定理证明柯西收敛原理.
9．设E 是平面点集，如果集合E 的任一覆盖都有有限子覆盖，则称E 是紧集. 证明紧集是有界闭集.
10．设E 是平面上的有界闭集，()d E 是E 的直径，即
()()',''sup ',''P P E
d E r P P ∈=.
求证：存在 12,P P E ∈，使得()()12,r P P d E =.
11．仿照平面点集，叙述n 维欧氏空间中点集的有关概念 (如邻域、极限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等).
12．叙述并证明三维空间的波尔察诺－魏尔斯特拉斯致密性定理.
§2 多元函数的极限与连续性
1．叙述下列定义：
(1) ()00
lim ,x x y y f x y →→=∞； (2) ()lim ,x y f x y A →+∞→-∞
=； (3) ()lim ,x a y f x y A →→+∞=；
(4) ()lim ,x a y f x y →→+∞
=∞. 2．求下列极限（包括非正常极限）：
(1) 22
00
lim x y x y x y →→++； (2) ()332200sin lim x y x y x y →→++；
(3)
220x y →→；
(4) ()22001lim sin x y x y x y
→→++； (5) ()222200lim ln x y x y x y →→+；
(6) 00
lim cos sin x y
x y e e x y →→+-； (7) 32242
00
lim x y x y x y →→+； (8) ()02sin lim
x y xy x →→；
(9)
1ln y x y x e →→+；
(10) 12
1lim 2x y x y →→-； (11) 44
00
1lim x y xy x y →→++； (12) 22
2200
1lim x y x y x y →→+++； (13) ()(
)22lim x y x y x y e -+→+∞→+∞+；
(14) 222lim x x y xy x y →+∞→+∞?
? ?+??. 3．讨论下列函数在()0,0点的全面极限和两个累次极限：
(1) ()2
22
,x f x y x y =+； (2) ()()11,sin sin f x y x y x y
=+； (3) ()()
,sin x y
e e
f x y xy -=； (4) ()()22
222,x y f x y x y x y =+-；
(5) ()33
2,x y f x y x y
+=+； (6) ()22
33,x y f x y x y
=+； (7) ()()4223
22232,x x y xy f x y x
y ++=+； (8) ()()44
324,x y f x y x y =+.
4．叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.
5．叙述并证明()00
lim ,x x y y f x y →→存在的柯西收敛准则. 6．试作出函数(),f x y ，使当()()00,,x y x y →时，
(1) 全面极限和两个累次极限都不存在；
(2) 全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等；
(3) 全面极限和两个累次极限都存在.
7．讨论下列函数的连续范围：
(1) (
),f x y =；
(2) ()1,sin sin f x y x y
=； (3) ()[],f x y x y =+；
(4) ()33
,x y f x y x y +=+； (5) ()()sin , 0,,0, 0;xy y f x y y y ?≠?=??=?
(6) ()
2222sin 0,,0, 0;
xy x y f x y x y ?+≠=+=?
(7) ()0, ,, x f x y y x ?=??为无理数为有理数
；
(8) ()()2222222ln , 0,,0, 0;
y x y x y f x y x y ?++≠?=?+=?? (9) ()()222222, 0,, (0)0, 0,
p x x y x y f x y p x y ?+≠?+=>??+=?.
8．若(),f x y 在某区域G 内对变量x 连续，对变量y 满足利普希茨条件，即对任意 (),'x y G ∈和(),''x y G ∈，有 ()(),','''''f x y f x y L y y -≤-，
其中L 为常数，求证(),f x y 在G 内连续.
9．证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理.
10．设二元函数(),f x y 在全平面上连续，()22
lim ,x y f x y A +→∞=，求证： (1) (),f x y 在全平面有界；
(2) (),f x y 在全平面一致连续.
11．证明：若(),f x y 分别对每一变量x 和y 是连续的，并且对其中的一个是单调的，则(),f x y 是二元连续函数.
12．证明：若E 是有界闭域，(),f x y 是E 上的连续函数，则()f E 是闭区间.