2018年广东省高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数z满足（1+i）z=1，则复数z的虚部为（）
A．B．C．D．
2．已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2＜1}，则A∪B=（）
A．（0，+∞）B．（0，1） C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）
3．“常数m是2与8的等比中项”是“m=4”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）
A．B． C．D．
5．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）
A．2 B．C．D．2
6．等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…的第四项等于（）A．3 B．4 C．log318 D．log324
7．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π
8．已知曲线，则下列结论正确的是（）
A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称
B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称
C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称
D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称
9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序
框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）
A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100
C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞100
10．已知函数在其定义域上单调递减，则函数f（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
11．已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）
A．B．C．D．
12．设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）=f（b）=f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）
A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=．
14．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5=．
16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
．
（1）证明：；
（2）若，求△ABC的面积．
18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友
每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”． （1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；
附：
（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率． 19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且BC=2AD=4，E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE ⊥CF ，得到如下的立体图形．
（1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；
（2）若BD ⊥EC ，求点F 到平面ABCD 的距离．
20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．
21．（12.00分）已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．
（1）证明：当a≤2﹣2ln2时，函数f（x）在R上是单调函数；
（2）当x＞0时，f（x）≥1﹣x恒成立，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=．
（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；
（2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．
（1）求不等式g（x）＜6的解集；
（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．
2018年广东省高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数z满足（1+i）z=1，则复数z的虚部为（）
A．B．C．D．
【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（1+i）z=1，
得，
则复数z的虚部为．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2＜1}，则A∪B=（）
A．（0，+∞）B．（0，1） C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）
【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∪B．
【解答】解：∵集合A={x|x＞0}，
B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，
∴A∪B={x|x＞﹣1}=（﹣1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3．“常数m是2与8的等比中项”是“m=4”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用等比中项公式求解．
【解答】解：∵m是两个正数2和8的等比中项，
∴m=±=±4．
故m=±4是m=4的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查两个正数的等比中项的求法，是基础题，解题时要注意两个正数的等比中项有两个．
4．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）
A．B． C．D．
【分析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．
【解答】解：由题意此点取自黑色部分的概率是：
P==，
故选：A．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．
5．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）
A．2 B．C．D．2
【分析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得
c==a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，
则c==a，
则双曲线C的离心率e==，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离为b．
6．等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…的第四项等于（）A．3 B．4 C．log318 D．log324
【分析】由等差数列的性质得log3（2x）+log3（4x+2）=2log3（3x），求出x=4，等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，由此能求出第四项．
【解答】解：∵等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…，
∴log3（2x）+log3（4x+2）=2log3（3x），
∴x（x﹣4）=0，
又2x＞0，∴x=4，
∴等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，
d=log312﹣log38=，
∴第四项为=log327=3．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π
【分析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，
∴表面积为：4×6×2+2（4×6﹣4π）+2×2π×4=96+8π，
故选：B．
【点评】本题考查了圆柱和长方体的三视图，结构特征，面积计算，属于基础题．
8．已知曲线，则下列结论正确的是（）
A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称
B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称
C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称
D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称
【分析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：把C向左平移个单位长度，
可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）=cos2x，
得到的曲线关于y轴对称，故A错误；
把C向右平移个单位长度，
可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，
得到的曲线关于y轴对称，故B正确；
把C向左平移个单位长度，
可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），
取x=0，得y=，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin （2x﹣），
取x=0，得y=﹣，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D错误．
∴正确的结论是B．
故选：B．
【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，考查y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，是基础题．
9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序
框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）
A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100
C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞100
【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．
【解答】解：n=1，s=0，
n=2，s=2，
n=3，s=4，
…，
n=99，s=，
n=100，s=，
n=101＞100，
结束循环，
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
10．已知函数在其定义域上单调递减，则函数f（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
【分析】由题意可得[]′=≤0，但不恒等于0，结合选项即可得到所求图象．
【解答】解：函数在其定义域R上单调递减，
可得[]′=≤0，
但不恒等于0，
即f（x）≥f′（x）恒成立，
对于A，f（x）＞0恒成立，且f′（x）≤0，
则f（x）≥f′（x）恒成立；
对于B，由f（x）与x轴的交点设为（m，0），（m＞0），
可得f（m）=0，f′（m）＞0，f（x）≥f′（x）不成立；
对于C，可令f（x）=t（t＜0），f′（x）=0，
f（x）≥f′（x）不成立；
对于D，f（x）在x＞0时的极小值点设为n，
则f（n）＜0，f′（n）=0，f（x）≥f′（x）不成立．
则A可能成立，
故选：A．
【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查数形结合思想方法，以及分析判断能力，属于中档题．
11．已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切
线，A，B分别为切点，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【分析】设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出
【解答】解：设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，
则A（，），B（，﹣），
将点A的坐标代入x=ty+m，得m=﹣，
∴M（﹣，0），
∴=（，）?（，﹣）=﹣=（t2﹣）2﹣，
则当t2=，即t=±时，的最小值为﹣
故选：C．
【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及向量的数量积和二次函数的性质，属于中档题
12．设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）
=f（b）=f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）
A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）
【分析】不妨设a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），结合图象可得c的范围，即可2a+2b=2
【解答】解：不妨设a＜b＜c，则1﹣2a=2b﹣1，则2a+2b=2，
结合图象可知c∈（4，5），
则2a+2b+2c∈（18，34），
故选：B．
【点评】本题考查代数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=1．
【分析】根据单位向量的夹角为30°即可求出的值，从而可求出
的值，进而得出的值．
【解答】解：单位向量的夹角为30°；
∴，；
∴=；
∴．
故答案为：1．
【点评】考查向量数量积的运算，以及单位向量的概念．
14．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为2．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值
即可．
【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，
则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，
由解得A（4，﹣2），
所以z=x+y 的最大值为：2．
故答案为：2．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．
15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5=14．
【分析】利用a5=S5﹣S4即可得出．
【解答】解：a5=S5﹣S4=﹣=14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，
DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为
．
【分析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积．
【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．
则OI=，IE=6﹣．
由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，
可得，
解得：x=4．
设
外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=，OP=，
．
∴．
该四棱锥的外接球的体积V=．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
．
（1）证明：；
（2）若，求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用已知条件和余弦定理求出结论．
（2）利用（1）的结论，进一步利用正弦定理求出结果．
【解答】证明：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，
则：，
整理得：，
由于：b2+c2﹣a2=2bccosA，
则：2bccosA=，
即：a=2cosA．
解：（2）由于：A=，
所以：．
由正弦定理得：，
解得：b=1．
C=，
所以：．
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用．
18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友
每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”． （1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；
附：
（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率． 【分析】（1）根据题意，由频率分布表分析可得 2×2 列联表，由独立性检验计算公式计算K 2的值，结合独立性检验的意义可得答案；
（2）根据题意，设步行数在3001～6000的男性为1、2，女性为a 、b 、c ，由列举法分析可得从中任选3人和男性人数超过女性人数的情况数目，由古典概型计算公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，由频率分布表分析可得：
则K2=≈1.389＜2.706，
则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；
（2）根据题意，设步行数在3001～6000的男性为1、2，女性为a、b、c，
从中任选3人的选法有（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），（1，a，b），（1，a，c），（1，b，c），（2，a，b），（2，a，c），（2，b，c），（a，b，c）；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），共3种，
则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P=．
【点评】本题考查独立性检验的计算以及古典概型的计算，注意从频率分布表中读出数据．
19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．
（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；
（2）若BD⊥EC，求点F到平面ABCD的距离．
【分析】（1）推导出EF∥AD，AE⊥EF，AE⊥CF，从而AE⊥平面EBCF，由此能证明平面AEFD⊥平面EBCF．
（2）过点D作DG∥AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，
=V A﹣BCF，能求出点F到平面ABCD的距设点F到平面ABCD的距离为h，由V F
﹣ABC
离．
【解答】证明：（1）∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，
∴EF∥AD，∴AE⊥EF，