概率统计
主要参考书
1、2009年全国硕士研究生入学统一考试，数学考试大纲。
2、概率论与数理统计（浙江大学或经济数学编写组）
3、2009年考研数学标准全书（理工类）对外经贸大学出版社
4、2009年考研数学标准全书（经济类）对外经贸大学出版社
5、2009年考研数学理念真题解析（数一，二，三，四）对外经贸大学出版社
6、考研数学知识点必备手册对外经贸大学出版社
7、2009年硕士研究生入学考试数学（一）/（二）/（三）/（四）8卷模拟试卷
对外经贸大学出版社
第一讲
随机事件和概率
考试要求：数学一、三、四要求一致。
了解：样本空间的概念
理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验
掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算
会计算：古典概率和几何型概率。
§1随机事件与样本空间
一、随机试验：E
（1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知
二、样本空间
试验的每一可能结果——样本点ω 所有样本点全体——样本空间Ω 三、随机事件
样本空间的子集——随机事件 A B C 样本点——基本事件， 随机事件由基本事件组成。
如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现 如果组成事件A 的基本事件出现——A 发生，A 出现 Ω——必然事件 Φ——不可能事件
§2 事件间的关系与运算
一．事件间关系
包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算： 并，交，差
运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示
例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件：
“第二次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A ； （2）123A A A ；
（3）123A A A ； （4）123123123A A A A A A A A A ； 再用123,,A A A 表示下列事件：
(5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。
§3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式
一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω=
(3)1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++ ,i j A A i j =?≠ 二．性质
(1)()0P ?=
（2）1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++ ,i j A A i j =?≠ (3)()1()P A P A =-
(4),()()A B P A P B ?≤ (5)0()1P A ≤≤ 三．条件概率与事件独立性 (1)()
()0,(),()
P AB P A P B A P A >=
事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率； (2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立，
,A B 独立,A B 独立,A B 独立,A B 独立；
()0P A >时,,A B 独立()()P B A P B = ；
(3)1
2
1
2
12(,,,)()()()
1k
k
i i i i i i k P A A A P A P A P A i i i n =≤<<<≤
称12,,n A A A 相互独立,(2321n
n n n n C C C n +++=-- 个等式)
相互独立?
两两独立。 四．五大公式
(1)加法公式：()()()()P A B P A P B P AB =+-
P(A )()()()()()()()B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+
12(...)n P A A A = …
(2)减法公式：()()()P A B P A P AB -=- (3)乘法公式：()0,()()()P A P AB P A P B A >=
121(...)0n P A A A ->时，12121312121(...)()()()(...)n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=
(4)全概率公式：12,...,n B B B 是完全事件组，且()0i P B >，1,i n =
1
()()()n
i i i P A P B P A B ==∑
(5)贝叶斯公式：12,,...,n B B B 是完全事件组，()0,()0,1,,i P A P B i n >>=
1
()()
()()()
j j j n
i
i
i P B P A B P B A P B P A B ==
∑ 1,2,...,j n =
§4 古典型概率和伯努利概率
一．古典型概率
()A n A P A n =
=所包含的样本点数样本点总数
二．几何型概率
()()()A A L P A L ΩΩ=
=ΩΩ的几何度量
的几何度量
三．独立重复试验
独立——各试验间事件独立，重复——同一事件在各试验中概率不变 四．伯努利试验
试验只有两个结果A A 和——伯努利试验
n 重伯努利试验
二项概率公式 (1)k
k
n k
n C P P -- 0,1,...,k n = ()P A p =
§5 典型例题分析
例1.设,A B 为两事件，且满足条件AB AB =，则()P AB =_______________ .
例2.,A B 为任意两事件，则事件()()A B B C -- 等于事件
()A
A C -
()B ()A B C -
()C ()A B C -- ()D ()A B BC -
例3．随机事件,A B ，满足1
()()2
P A P B ==
和()1P A B = 则有 ()A A B =Ω
()B AB φ=
()C
()1P A B =
()D ()0P A B -=
例4．设()
()01P A P B <<且()()1P B A P B A += 则必有
()A ()()P A B P A B = ()B ()()P A B P A B ≠
()C
()()()P AB P A P B = ()D ()()()P AB P A P B ≠
例5．(06)设A 、B 为随机事件，且()0P B >，()1P A B =，则必有
()A ()()P A B P A > ()B ()()P A B P B > ()C
()()P A B P A =
()D ()()P A B P B =
例6．试证对任意两个事件A 与B ，如果()0P A >，则有
()
(|)1()
P B P B A P A ≥-
）
例7．有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，
现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问： （1） 这个球是红球的概率；
（2） 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。
例8．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，
其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求：
（1）先取出的零件是一等品的概率p ； （2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率q .
例9．袋中装有α个白球和β个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地
抽取，求下列事件的概率：
（1） 从袋中取出的第k 个球是白球(1)k αβ≤≤+
（2） 从袋中取出a b +个球中，恰含a 个白球和b 个黑球(,)a b αβ≤≤
例10．随机地向半圆{
(,)0x y y <<
（其中0a >，是常数）内掷一点，则
原点和该点的连线与x 轴的夹角小于
4
π
的概率为____________。
例11．在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p ，求在第n 次成功之前恰失败了m 次
的概率。
例12．四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三
封信放入同一个邮筒的概率为_____________。
例13．已知,,A B C 三事件中A B 与相互独立，()0P C =，则,,A B C 三事件
()A 相互独立 ()B 两两独立，但不一定相互独立 ()C 不一定两两独立 ()D 一定不两两独立
例14．10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为
一等品，则原先售出1台为二等品的概率为
()A
310 ()B 28 ()C 210
()D
3
8
例15．甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中
任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率
()A
15
()B
25
()C
35
()D
45
例16．10件产品中含有4件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件
也是次品的概率。
例17．两盒火柴各N 根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有R 根的概
率。()R N ≤
例18．（05）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从1，2，…，X 中任取一个
数记为Y ，则(2)P Y ==_____________。
第二讲
随机变量及其概率分布
考试要求： 理解： 离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度
掌握： 分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，
正态分布，指数分布及它们的应用
会计算： 与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变
量简单函数的概率分布。
数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件
§1 随机变量及其分布函数
一．随机变量
样本空间Ω上的实值函数()X X ω=，ω∈Ω。常用,,X Y Z 表示 二．随机变量的分布函数
对于任意实数x ，记函数()()F x P X x =≤，x -∞<<+∞ 称()F x 为随机变量X 的分布函数；
()F x 的值等于随机变量X 在(],x -∞内取值的概率。
三．分布函数的性质
（1）lim ()0x F x →-∞
=，记为()0F -∞=；
lim ()1x F x →+∞
=，记为()1F +∞=。
（2）()F x 是单调非减，即12x x <时，12()()F x F x ≤ （3）()F x 是右连续，即(0)()F x F x +=
（4）对任意12x x <，有1221()()()P x X x F x F x <≤=- （5）对任意x ，()()(0)P X x F x F x ==--
性质（1）—（3）是()F x 成为分布函数的充要条件。
例 设随机变量X 的分布函数为,0()10,0
Ax
x F x x x ? >?
=+?? ≤?，
其中A 是常数，求常数A 及(12)P X ≤≤。
§2 离散型随机变量和连续型随机变量
一．离散型随机变量
随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。 二．离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量X 的可能取值是12,,...,,...n x x x 称(),
1,2,...k k P X x p k ===为X 的概率分布或分布律
分布律性质：（1）0.,
1,2,...k p k ≥=
（2）
1k
k
p
=∑
分布律也可表示为
12
1
2k k
X x x x P
p p p
三．离散型随机变量分布函数
()()k k k
k
x x
x x
F x P X x p
≤≤=
==∑∑，
()()(0)P X a F a F a ==--
例1．
123
1
113
2
6
X
P
求()F x
四．连续型随机变量及其概率密度
设X 的分布函数()F x ，如存在非负可积函数()f x ，有
()()x
F x f t dt -∞
=?，
x -∞<<+∞
称X 为连续型随机变量，()f x 为概率密度。
概率密度性质： （1）()0f x ≥； （2）
()1f t dt ∞
-∞
=?
；
（3）12x x <，2
1
12()()x x P x X x f t dt <<=
?
；
（4）()f x 的连续点处有'()()F x f x =。
例 已知()f x 和1()()f x f x +均为概率密度，则1f 必满足
()A 11()1,
()0f x dx f x ∞
-∞=≥? ()B 11()1,
()()f x dx f x f x +∞
-∞
=≥-?
()C 11()0,
()0f x dx f x ∞
-∞=≥?
()D
1
1()0,
()()f x dx f x f x ∞
-∞=≥-?
§3 常用分布
一．（0—1）分布
01011X p P p
p
<<-
二．二项分布
(),k k n k
n P X k C p q -==
0,1,...,k n =. 01p << ， 1q p =-
(,)X B n p
三．超几何分布 ()k n k
M N M
n
N
C C P X k C --==，12,...,k l l =， (,,)X H n M N
四．泊松分布 ()!
k
P X k e k λλ-==
，0,1,2,...k = 0λ>
()X P λ
例 设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为
1e
，则这段时间内至少有两辆车通过的概率为________________。
五．均匀分布 1()0
a x
b f x b a
?≤≤?
=-???其他
[,]X U a b
例 设随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布，则方程2
10x x ξ++= 有实根的概率是_________。
六．指数分布 0()0
x
e x
f x x λλ-?>=?
≤?0
，
0λ>
()X E λ
七．正态分布
22
()2()x f x μσ--=
，x -∞<<+∞
2(,)X N μσ ，0σ>
(0,1)X N 标准正态分布
22
()x x ?-
=
，x -∞<<+∞
，22
()t x
x e dt -
-∞
Φ=
?
如果2
(,)X N μσ ，则(0,1)X N μ
σ
-
（1）()()x x ??-=
（2）()1()x x Φ-=-Φ （3）1(0)2
Φ=
（4）()2()1P X a a ≤=Φ-，
(0,1)X N
例 2
(,)X N μσ ，且(3)0.9987Φ=，则(3)P X μσ-<=___________。
§4 随机变量X 的函数()Y g X =的分布
一．离散型随机变量的函数分布
设X 的分布律()k k P X x p ==，1,2,...k =
则()Y g X =的分布律(())k k P Y g x p ==，1,2,...k = （如果()k g x 相同值，取相应概率之和为Y 取该值概率） 二．连续型随机变量的函数分布
1．公式法：X 的密度(),()X f x y g x =单调，导数不为零可导，
()h y 是其反函数，则()Y g X =的密度为
'()(())()0
X Y h y f h y y f y αβ
?<
??其他
其中(,)αβ是函数()g x 在X 可能取值的区间上值域。 2．定义法： 先求
()()()(())()Y X g x y
F y P Y y P g X y f x dx ≤=≤=≤=?
然后 ()()Y Y f y F y '=。
§5 典型例题分析
例1．设随机变量的分布函数2
0(1)()0b a x x F x C x ?+>?+=?? ≤?
求,,a b c 的值。
例2．设随机变量X 的分布律为(),
1,2,...,!
k
P X k C
k k λ===0λ>
试确定常数C 的值。
例3．汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，
以X 表示汽车所遇红灯个数，求X 的分布及分布函数。
例4．（04）设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，对给定的(01)αα<<数u α满足
()P X u αα>=，若()P X x α<=，则x 等于
()A 2u α ()B 12u α- ()C 12
u α-
()D 1u α-
例5．在区间[,]a b 上任意投掷一点，X 为这点坐标，设该点落在[,]a b 中任意小区间的
概率与这小区间长度成正比，求X 的概率密度。
例6．[2,5]X U ，对X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
例7．（06）设随机变量X 服从正态分布2
11(,)N μσ，Y 服从正态分布2
22(,)N μσ 且12{1}{1}P X P Y μμ-<>-<，则必有
()A 12σσ< ()B 12σσ> ()C 12μμ< ()D 12μμ>
例8．X 的密度2()()x x
f x Ae x -+=-∞<<+∞，试求常数A 。
例9．设X 服从参数为2的指数分布，证明：随机变量21X
Y e -=-服从(0,1)U 。
例10．已知X 的密度为1()2
x
f x e -=
，()x -∞<<+∞， 求2Y X =的概率密度。
例11．设随机变量X 的密度()x ?满足()()x x ??-=，()F x 是X 的分布函数，
则对任意实数a 有
()A 0
()1()a
F a x dx ?-=-?
()B 0
1()()2a
F a x dx ?-=
-? ()C
()()F a F a -=
()D ()2()1F a F a -=-
例12．设随机变量X 的分布函数为()F x ，引入函数1()()F x F ax =，2
2()()F x F x =，
3()1()F x F x =--和4()()F x F x a =+，则可以确定也是分布函数为
()A 12(),()F x F x
()B 23(),()F x F x ()C
34(),()F x F x
()D 24(),()F x F x
例13．设2
(2,)X N σ 且(24)0.3P x <<=，则(0)P X <=____________。
例14．设2
(,)X N μσ ，则随σ的增大，概率()P X μσ-<
()A 单调增大 ()B 单调减小 ()C 保持不变
()D 非单调变化
例15．证明X X -与具有相同密度，则其分布函数()F x 一定满足()()1F x F x +-=。
例16．(,)X U a b ，(0)a >且1(03)4P X <<=
，1(4)2
P X >=， 求：（1）X 的概率密度； （2）(15)P X <<。
第三讲 多维随机变量及其概率分布
考试要求
理解：随机变量及其联合分布，离散型联合概率分布，
边缘分布和条件分布，连续型联合概率密度。 边缘密度和条件密度，随机变量独立性和相关性。 掌握：随机变量的联合分布的性质，离散型和连续型随机变量
§1 二维随机变量及其联合分布函数
一．二维随机变量
设(),()X X Y Y ωω==是定义在样本空间Ω上的两个随机变量， 则称向量(,)X Y 为二维随机变量或随机向量。 二．二维随机变量的联合分布函数
定义：(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤ x -∞<<+∞，y -∞<<+∞ 性质：（1）0(,)1F x y ≤≤； （2）(,)(,)(,)0F y F x F -∞=-∞=-∞-∞=，(,)1F +∞+∞=；
（3）(,)F x y 关于x 和关于y 单调不减；
（4）(,)F x y 关于x 和关于y 右连续。
例1．设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则随机变量(,)Y X 的分布函
数1(,)F x y =_________________.
三．二维随机变量的边缘分布函数
()()(,)(,)X F x P X x P X x Y F x =≤=≤≤+∞=+∞ ()()(,)(,)Y F y P Y y P X Y y F y =≤=≤+∞≤=+∞
例2．设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为
2(1)(1)
0,0(,)0
x y e e x y F x y --?-->>=?
?其他
试求(),()X Y F x F y
§2 二维离散型随机变量
一．联合概率分布
(,),1,2,i j ij
P X x Y y p i j ====
12
11112122122212\i j j i i i ij X Y y y y x p p p x p p p x p p p
性质：（1）0ij p ≥
（2）
1ij
ij
p
=∑
例 设随机变量X 在1，2，3三个数字中等可能取值，随机变量Y 在1X 中等可能
的取一整数值，求(,)X Y 的概率分布。
二．边缘概率分布 ()(,)i i i j ij j
j
p P X x P X x Y y p ======∑∑ ，
1,2,...i =
()(,)j j i j ij i
i
p P Y y P X x Y y p ======∑∑ ，
1,2,...j =
三．条件概率分布
()0,j P Y y =>(,)
()()
i j ij i j j j
P X x Y y p P X x Y y P Y y p =====
=
= ， 1,2,...
i = ()0i P X x =>，(,)()()
i j ij j i i i P X x Y y p P Y y X x P X x p =====
=
=
，
1,2,...j =
例 设分布律为
\01
01
0.5
X Y
a
b c ，已知1(10)2P Y X ===，1
(10)3
P X Y ===，
求,,a b c
§3 二维连续型随机变量
一．概率密度
(,)(,)x
y
F x y f u dud νν-∞-∞
=?
?
(,)
f x y ——概率密度 性质：（1）(,)0f x y ≥
（2）
(,)1f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=??
例 (2),0,0
(,)0x y ke x y f x y -+? >>=? ?其他
， 则k =__________。
二．边缘密度
()(,)X f x f x y dy +∞
-∞
=?
， ()(,)Y f y f x y dx ∞
-∞
=?
三．条件概率密度
1．条件分布 0
()lim ()Y X F y x P Y y x X x εεε+
→=≤-<≤+
()l i m
()X Y F x y P X x y Y y εεε+→=≤-<≤+ 2．条件概率密度
(,)()()Y X X f x y f y x f x =
(,)()()
X Y Y f x y f x y f y =
()0X f x >
()0Y f y >
§4 随机变量的独立性
定义：对任意,x y (,)()()P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤
(,)()()X Y F x y F x F y = 离散型 ij i j p p p =
连续型
(,)()()X Y f x y f x f y =
例1．设随机变量X Y 和相互独立，下表列出了二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布及
关于X Y 和的边缘概率分布的部分数值，将剩余数值填入表中空白处
1
23
12\18
1816i j
X Y y y y p x x p
例2．判断X Y 与是否独立
（1）
\12311
0031120661113
9
9
9
X Y
（2） 2(1)(1)
0,0(,)0
x y e e x y F x y --?-->>=?
?其他
§5 二维均匀分布和二维正态分布
一．二维均匀分布
1(,)(,)0
x y G f x y A
?∈?
=???其他
，
A G 是的面积
例 设二维随机变量(,)X Y 在xOy 平面上由曲线2
y x y x ==和所围成的区域上服
从均匀分布，则概率11
(0,0)22
P X Y <<
<<=________________。
二．二维正态分布，22
1212(,,,;)N μμσσρ12,0σσ>， 1ρ<
2211222221122()2()()()1(,)2(1)x x y y f x y μρμμμρσσσσ????----??
=
--+????-??????
性质：（1）2
11(,)X N μσ ， 2
22(,)Y N μσ （2）X Y 与相互独立的充分必要条件是0ρ=
（3）2
2
2
2
121212(,2)aX bY N a b a b ab μμσσσσρ++++